浙江专升本高等数学-例题解析
习题1-1
1. 求下列函数的定义域： (1) 2
1
x
y x =
- ;
(2) 211
2
++-=
x x
y ；
(3) y
(4) lg(2)y x =-.
解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足2
10x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是
(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。
⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,
2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩
因此函数的定义域是
[2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。
⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2
sin 0,
160 ,
x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),
4 4 ,
k x k x ππ≤≤+⎧⎨
-≤≤⎩因此函数的定义域
是[4,][0,]ππ-- 。
⑷ 要使式子有意义，x 必须满足2
20,
320 ,
x x x ->⎧⎨
+-≥⎩即2,
1 3 ,
x x <⎧⎨
-≤≤⎩因此函数的定义域是
[1,2)-
2. 判断下列各组函数是否相同?
(1) 214
2
x y x -=-，22y x =+；
(2) 2
1lg y x =，22lg y x =,
(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()2
2
sec tan g x x x =-．
解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R π
π⎧⎫
≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若()2
32f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()22
1(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+
4. 若()2
132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.
解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()2
2
131256f t t t t t =---+=-+，
所以()256f x x x =-+，
()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。
5. 设1()1x
f x x
-=
+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
。 解：(0)1f =，1()1x f x x +-=-，1
111()11
1x x f x x x
-
-==++。 6. 设1,20,
()1,02
x x f x x x --≤<⎧=⎨
+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.
解： (1)112f -=--=-，(0)011f =+=，(1)112f =+=
(1)1,210(1)(1)1,012x x f x x x ---≤-<⎧-=⎨
-+≤-≤⎩2,11
,13
x x x x --≤<⎧=⎨
≤≤⎩ 7．作出下列函数的图形：
(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪
=⎨<>⎪⎩
或
8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为
3
4
k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：由题意可得,0,3(),4ks s a m ka k s a s a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩,0,31
,44
ks s a ks ka s a <≤⎧⎪
=⎨+>⎪⎩ 9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海
到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得0.15,050,0.15,050,
0.15500.25(50),500.255,50x x x x y x x x x <≤<≤⎧⎧==⎨
⎨
⨯+->->⎩⎩
习题1-2
1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？
(1) ()3
cos f x x x =； (2) 2
x x
e e y -+=；
（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+- 解：(1) ()3cos f x x x =的定义域是(,)-∞+∞，
()()33()cos()cos f x x x x x f x -=--=-=- ， ()f x ∴是奇函数。
(2) 2x x
e e y -+=的定义域是(,)-∞+∞，
()22
x x x x
e e e e ----++= ， y ∴是偶函数。 ⑶ sin cos y x x =+的定义域是(,)-∞+∞，
()()y x y x -≠ ，且()()y x y x -≠-，y ∴既不是奇函数也不是偶函数。
(4) ()sin x x f x x e e -=+-的定义域是(,)-∞+∞，
()()()sin()sin x x x x f x x e e x e e f x -----=-+-=-+-=- ，()f x ∴是奇函数。 2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：
(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；
(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =+，
()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
()()()()[()][()()]()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=-+-=-+=-，因此两个奇函数的
和仍为奇函数。
设()f x 、()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，
()f x 、()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=-=，
()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=+=，因此两个偶函数的和仍为偶函数。
(2) 设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =，
()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
()()()[()][()]()()()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=--=--==，因此两个奇函数的积为偶函
数。
设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，
()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=， ()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=--=-=-，因此一奇一偶的乘积为奇函数。
(3) 设()f x 是任一函数，令1()[()()]2g x f x f x =+-，1
()[()()]2h x f x f x =--，
11
(){()[()]}[()()]()22
g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+= ，即()g x 是偶函数
111
(){()[()]}[()()][()()]()222
h x f x f x f x f x f x f x h x -=----=--=---=-，即()h x 是奇
函数，
又 ()()()f x g x h x =+，
∴任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
3. 证明函数1x
y x
=
-在(1,)+∞内是单调增加的函数.. 证明：在(1,)+∞内任取两点任取两点,,21x x 且,21x x <则
)
1)(1(11)()(212
1221121x x x x x x x x x f x f ---=
---=
- 因为21,x x 是),1(∞+内任意两点,
所以,01,0121<-<-x x
又因为,021<-x x 故0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f < 所以x
x
x f -=
1)(在),1(+∞-内是单调增加的. 4. 设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数(23)f x +的周期. 解：因为)(x f 是周期T 的周期函数，所以(23)(23)f x T f x ++=+，
即(2()3)(23)2T f x f x +
+=+，因此(23)f x +的周期2
T 。 5．已知函数)(x f 的周期为2，并且
()0,10;
,0 1.x f x x x -<<⎧=⎨≤≤⎩
试在),(+∞-∞上作出函数()y f x =的图形.
6．验证函数x
x f 1)(=在开区间(0,1) 内无界，在开区间(1,2) 内有界.
解：因为对任意0M >，存在01
(0,1)1
x M =∈+，使得0()1f x M M =+>，所以x x f 1
)(=在开区间(0,1) 内无界。
因为12x <<，所以
1112x <<，即1
()12
f x <<，因此()f x 在开区间(1,2) 内有界。 习题1-3
1. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11x
y x
-=
+； (2) 312x y +=； （3）221x x y =+； (4) 101011010x x
x x
y --+=+-．
解：(1) 由11x y x -=
+解得11y
x y
-=+，故所求反函数为11x y x -=+， 反函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞ 。 (2) 由31
2
x y +=解得31(log 1)3x y =
-，故所求反函数为31
(log 1)3
y x =-， 反函数的定义域为(0,)+∞。
（3）由221x x y =+解得21x
y y =-，可得2log 1
y x y =-，故所求反函数为2log 1x y x =-，
反函数的定义域为(0,1)。
(4) 由10101
1010x x
x x y --+=+-解得222102*********x x
x x x y -⨯⨯==--，可得1lg 22y x y =-， 故所求反函数为1lg 22
x
y x =
-，反函数的定义域为(,0)(2,)-∞+∞ 。 2. 证明：()3
21f x x =-和(
)g x =.
证明：设321y x =-
，由此式可得x =321y x =-
的反函数是y = 因此()3
21f x x =-和(
)g x =
3. 已知符号函数
1,0sgn 0,0,1,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
求x x y sgn )1(2
+=的反函数.
解：由题意可得x x y sgn )1(2+=221,00,0,(1),0x x x x x ⎧+>⎪
==⎨⎪-+<⎩
由此式可解得10,1,1
y x y y ⎧>⎪
==⎨⎪
<⎩
故x x y sgn )1(2+=
的反函数为10,11
x y x x ⎧>⎪
==⎨⎪
<⎩。
4.指出下列复合函数的复合过程?
(1) sin 2x y =； (2) ()2lg 1y x =+；(3)
y =
解：(1) s i n
2x y =由2u y =，sin u x =复合而成。
(2) ()
2
lg 1y x =+ 由 2lg ,1y u u x ==+复合而成。
(3)
y =
2cos ,1y u v v x ===-复合而成。 5.设()1
x
f x x =
-()1x ≠,求()()f f x 。 解：()()
f
f x ()1()111
x
f x x x x f x x -===---()1x ≠。
6.设函数
2,1(),1,2,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=-≤⎨⎪->⎩
求()21f x +的表达式.
解：()21f x +=(21)2,211(21),
211(21)2,211x x x x x x +++<-⎧⎪=-++≤⎨⎪+-+>⎩23,
121,1021,0x x x x x x +<-⎧⎪
=---≤≤⎨⎪->⎩
。 7.设1,1
()0,
1,1,1
x f x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩
()2x g x = ，求(())(()).f g x g f x ，
解：(())f g x 1,()11,211,0
0,
()10,21()0,01,()11,211,0x x x g x x g x f x x g x x ⎧⎧<<<⎧⎪⎪
⎪
=======⎨⎨⎨⎪⎪⎪->->->⎩⎩
⎩ ，
()
2,1(())21,11,1
2
f x x
g f x x x ⎧
⎪<⎪===⎨⎪⎪>⎩ 。 习题1-4
1. 求下列函数的定义域：
(1) ()arccos 32y x =-； （2） ()3arccos 1y x =-; （3）21
()ln(1)arcsin
3
x f x x -=++； （4）2()ln(1)tan 2f x x x =-+
解：(1) 要使表达式有意义，只须1321x -≤-≤，解得113
x ≤≤，故()arccos 32y x =-的定义域是1]1[
,3
。 (2) 要使表达式有意义，只须111x -≤-≤，解得02x ≤≤，故()3arccos 1y x =-的定义域是[0,2]。
(3) 要使表达式有意义，只须1021113x x +>⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩，解得12x -<≤，故()f x 的定义域是(1,2]-。
(4) 要使表达式有意义，只须21022x x k ππ⎧->⎪
⎨≠+⎪⎩
，解得11x -<<且4x π≠±，故()f x 的定义
域是(1,)(,)(,1)4444
ππππ--- 。 2. 将下列函数分解成简单函数的复合. (1) ln ln ln y x = (2);sin ln 2x y =
(3) ;2
arctan x e y =
(4) ).12ln(cos 22x y ++=
解：(1) ln ln ln y x =由ln y u =，ln u v =，ln v x =复合而成。
(2) x y 2
s i n ln =
由2ln ,,sin y u v v w w x ===复合而成。
(3) 2
arctan x e y =由2,arctan ,u y e u v v x ===复合而成。 (4) )12l n (c o s 22x y ++=由
2,cos ,ln ,2,y u u v v w w t ====+21t h x =+复合而成。
习题1-5
1. 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?
(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍? 解：(1) 按单利计算, 3年末的本利加为100(137%)121+⨯=元。 (2) 按复利计算, 3年末的本利和为3100(17%)122.5043+=元。
(3) 设需n 年能使本利和超过初始本金的一倍，则100(17%)2100n
+>⨯， 解得ln 2
10.24ln1.07
n >
≈，因此需11年才能使本利和超过初始本金的一倍。
2. 某种商品的供给函数和需求函数分别为
P Q P Q s d 5200,1025-=-=
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解：令s d Q Q =，即25102005P P -=-，解得07P =，因此该商品的市场均衡价格为7，
072510165Q =⨯-=，因此该商品的市场均衡数量为165.
3. 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格. 解：设批发量为x ，电扇批发价格为P ，
由题意可知500160217010050
x x
P -=-⨯
=-（5001000x ≤≤）， 当800x =时，154P =。
4. 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.
解：设该工厂的日产量为x ，则日总成本函数为()15016C x x =+（0200x ≤≤）
日平均成本函数为_
150
()16C x x
=
+（0200x ≤≤）。 5.某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 求出本年的收益(入)函数.
解：由题意可知收益(入)函数为
500 0800()500800(800)5000.9 800<1000500800(1000800)5000.9 >1000x x R x x x x ≤≤⎧
⎪
=⨯+-⨯⨯≤⎨⎪⨯+-⨯⨯⎩
500 080040000+450 800<1000490000 >1000x x x x x ≤≤⎧⎪
=≤⎨⎪⎩
。 6.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这
种产品出厂价为20元，求
（1）利润函数；
（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品. 解：（1）设该厂每天生产x 单位产品，由题意可知利润函数为
()20(200015)52000L x x x x =-+=-（0x >），
（2）要使不亏本，必须()0L x ≥，即400x ≥，因此该厂每天要至少生产400单位这种产品才能不亏本。
7.某企业生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该企业生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元.
(1)求利润函数；
(2)为获得最大利润, 出厂价格应为多少? 解：(1) 由题意可知利润函数为
()(90045000)[27000010(90045000)]L P P P P =-+-+-+ 2
90045000270000900045000
P P P =-
+-
+- 2
900(60800
)P P =--+。 (2) 因为2
()900(30)9000L P P =--+，所以出厂价格为30元时利润最大。 8.已知某产品的成本函数与收入函数分别是
2
54C x x =-+，2R x =
其中x 表示产量，试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.
解：由题意可知利润函数为2()65(1)(5)L x R C x x x x =-=-+-=---， 从而得到两个盈亏平衡点分别为 5,121==x x ，
易见当1
复习题1 （A ）
1.下列函数不相等的是( D ) （A ） (
)f x =()g x x =； （B ） (
)f x =
()g x x =；
（C ） ()2sin 31y x =+，()2
sin 31u t =+；
（D ）21()1
x f x x -=-，()1
g x x =+.
解：D 中的()f x 与()g x 定义域不同。 2.求下列函数的定义域： （1
）1
arcsin
y x
=； （2）
1
ln(1)
y x =
-;
（3）()sin 2cos y arc x =.
解：（1）要使式子有意义，x 必须满足110,101,20,
x x x ⎧-≤<⎪⎪
⎪<≤⎨⎪
-≥⎪⎪⎩ 即112x x x ≤-⎧⎪
≥⎨⎪≤⎩ ，因此函数的定义域是
(,1)[1,2]-∞- 。
（2）要使式子有意义，x 必须满足30,10,11,
x x x +≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ 即310x x x ≥-⎧⎪
<⎨⎪≠⎩ ，因此函数的定义域是
[3,0)(0,1)- 。
（3）要使式子有意义，x 必须满足12cos 1x -≤≤，即2,3
3
k x k k Z π
π
ππ+≤≤+
∈， 因此函数的定义域是2[,],3
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈。 3. 函数1
sin ,0,
0,0
x y x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域为 (,)-∞+∞ ，值域为 [1,1]- . 4. 设1,10,
()1,02
x f x x x -≤≤⎧=⎨
+≤≤⎩，则()1f x -= .
解：()1f x -=1,110,1,01
(1)1,012,13x x x x x x -≤-≤≤≤⎧⎧=⎨
⎨
-+≤-≤≤≤⎩⎩
. 5.判断下列函数的奇偶性： （1） (
)f x =
（2） 22sin x x
y e e x -=-+.
解：（1）因为 (
)()f x f x -=，所以()f x 是偶函数。 （2） 因为()2222sin (sin )()x
x x x f x e
e x e e x
f x ---=--=--+=-，所以()f x 是
奇函数。
6.判断下列函数在定义域内的有界性及单调。
(1) 2
1x
y x =
+； （2） ln y x x =+. 解：(1) ①有界性：
因为,0)1(2
≥-x 所以,212
x x ≥+ 故2221()12
21x x f x x x ==≤++，对一切),(+∞-∞∈x 都成立.因此函数1
2+=
x x
y 在),(+∞-∞上是有界函数 ②单调性：在),(∞+-∞内任取两点,,21x x 且,21x x <则
)
1)(1()
1)((11)()(2
221212122221121x x x x x x x x x x x f x f ++--=+-+=
- 当21,x x 是),1(∞+内任意两点时,
则,0121<-x x 又因为,021<-x x 故
0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >，所以2
1x
y x =
+在),1(+∞内是单调减少的. 当21,x x 是)1,(--∞内任意两点时,
则,0121<-x x 又因为,021<-x x 故
0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >，所以2
1x
y x =
+在)1,(--∞内是单调减少的. 当21,x x 是]1,1[-内任意两点时,
则,0121>-x x 又因为,021<-x x 故
0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，所以2
1x
y x =
+在)1,(--∞内是单调增加的. （2） ①单调性：在),0(∞+内任取两点,,21x x 且,21x x <则
1211221212()()(ln )(ln )()(ln ln )f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-
因为,21x x <故,021<-x x 且12ln ln 0x x -<，所以12()()0f x f x -<，即
)()(21x f x f <，所以ln y x x =+在),0(∞+内是单调增加的.
②有界性：因为ln y x x =+在),0(∞+内是单调增加的，所以ln y x x =+在),0(∞+内无界。
7.设y =f (x )的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：
(1) ()
2
f x ； (2) ()sin f x ；
(3) ()f x a + ()0a >； (4) ()()f x a f x a ++- ()0a > .
解：(1) 因为y =f (x )的定义域为[0，1]，所以2
01x ≤≤，解得11x -≤≤，故()
2f x 的
定义域为[1,1]-.
(2) 因为y =f (x )的定义域为[0，1]，所以0sin 1x ≤≤ ，解得22,k x k k Z πππ≤≤+∈，故()sin f x 的定义域为[2,2],k k k Z πππ+∈.
(3) 因为y =f (x )的定义域为[0，1]，所以01x a ≤+≤，又因为0a >，故可解得
1a x a -≤≤-，因此()f x a +的定义域为[,1]a a --.
(4) 因为y =f (x )的定义域为[0，1]，所以01,01,x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解得1,
1,
a x a a x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩，
当102a <≤
时，可解得1a x a ≤≤-；当1
2a >时，无解 故1
02a <≤时，()()f x a f x a ++-的定义域为[,1]a a -，
1
2
a >时()()f x a f x a ++-定义域为空集。
8. 设()2x
f x =，()ln
g x x x =，求()()f g x ，()()g f x ，()()f
f x 和()()
g g x .
解：()()
()ln 22g x x x f g x ==，()()
()()ln 2ln22ln2x x x g f x f x f x x ===，
()()()222x
f x f f x ==，()()()()ln ln ln(ln )
g g x g x g x x x x x ==.
9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1） (
)
123
1y x =+；
（2）1
1arccos3y x
=
+.
解：（1） (
)
1
23
1y x =+由
123
,1y u u x ==+复合而成的。
（2）11arccos3y x =
+由1
,1,arccos ,3y u v v w w x u
==+==复合而成的。
10.设()f x 定义在(),-∞+∞上，证明： （1）()()f x f x +-为偶函数； （2）()()f x f x --为奇函数.
解：（1）设()()()F x f x f x =+-，则()()()()F x f x f x F x -=-+=， 所以()()f x f x +-为偶函数。 （2）设()()()G x f x f x =--，
则()()()(()())()G x f x f x f x f x G x -=--=---=-，所以()()f x f x --为奇函数。
11.邮局规定国内的平信，每20g 付邮资0.80元，不足20g 按20g 计算，信件重量不得超过2kg ，试确定邮资y 与重量x 的关系.
解：由题意可知0.8, 0201.6, 20402.4, 406080, 19802000
x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪⎪
=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩ .
（B ）
1. 求函数245sin )
3lg()(x x x
x x f -++-=
的定义域.
解：要使式子有意义，x 必须满足230,sin 0,540,x x x x ->⎧⎪≠⎨⎪+-≥⎩ 即315x x k x π<⎧⎪
≠⎨⎪-≤≤⎩
，因此函数的定义域
是[1,0)(0,3)- .
2．设,2
1,21
0,1)(⎩⎨
⎧≤<-≤≤=x x x f 求函数)3(+x f 的定义域.
解：由()f x 的定义域是[0,2]，故032x ≤+≤，解得31x -≤≤-，所以函数)3(+x f 的定义域为[3,1]--.
3．下列函数是奇函数的是 ( B )，是偶函数的是 ( A ).
A . 11ln (11)11x x
e x
y x e x
--=-<<++；
B . )1ln(2x x y ++=；
C . +cos 2x x
e e y x --=
； D . 2
sin x x
e e y x x
-+=+. 解：A . 11ln 11x x e x
y e x
--=++的定义域是(11)x -<<，是对称区间， 因为111111()ln ln ln ()111111x x x x
x x e x e x e x
f x f x e x e x e x ---+-+---====+-+-++， 所以11ln (11)11x x
e x
y x e x
--=-<<++是偶函数。 B .)1ln(2x x y ++=的定义域是(,)-∞+∞，是对称区间，
因为()(
lg lg f x x ⎛⎫-=-=(()lg x f x =-=-
所以，)1ln(2x x y ++=是(),-∞+∞上的奇函数.
C . +cos 2
x x
e e y x --=
的定义域是(,)-∞+∞，是对称区间， 因为()()cos()cos 22x x x x e e e e f x x x ------=
+-=+，所以+cos 2
x x
e e y x --=是非奇非偶函数。
D . 2
sin x x
e e y x x -+=+的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，是对称区间， 因为2()sin x x e e
f x x x -+-=
-，所以2
sin x x
e e y x x -+=+是非奇非偶函数。 4. 设 ,1122
x
x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
求).(x f 解：因为2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21()2x x =+-，所以2)(2
-=x x f .
5. 设函数)(x f 为定义域(,+)-∞∞上的奇函数，(1)f k =，且对任意x 满足
(2)(2)().f x f f x +-=
(1) 求(2)f 与(5)f ；
(2) 问k 为何值时，)(x f 是以2为周期的函数. 解：(1) 因为(12)(2)(1)f f f -+-=-，即(1)(2)(1)f f f -=-，又因为函数)(x f 为
奇函数，故(1)(1)f f =--，所以(2)2(1)2f f k ==，
(5)(2)(3)(2)(2)(1)5f f f f f f k =+=++=. (2) 若想要)(x f 是以2为周期的函数，只要有(2)()f x f x +=，则只要(2)20f k == 故当0k =时，)(x f 是以2为周期的函数.
6. 设函数)(x f 的定义域为(,)a a -，证明必存在(,)a a -上的偶函数)(x g 及奇函数),(x h 使得 ).()()(x h x g x f +=
证明：令)(x g 1[()()]2f x f x =+-，1
()[()()]2h x f x f x =--，
因为1()[()()]()2g x f x f x g x -=-+=，
1
()[()()]()2
h x f x f x h x -=--=-，所以)(x g 是偶函数，)(x h 是奇函数
又)()()(x h x g x f +=，命题得证。
7．若)(x f 对其定义域上的一切x , 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x = 证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期
函数.
证明：因为)(x f 对称于a x =，则有),2()(x a f x f -=又因为)(x f 对称于b x =，则有),2())2(2(x a f x a b f -=--
所以()(2)(2(2))(2())f x f a x f b a x f b a x =-=--=-+， 即)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数. 8. 已知(sin )3cos2f x x =-, 求(cos )f x . 解：因为2
2
(sin )3(12sin )22sin f x x x =--=+， 所以2
(cos )22cos 3cos2f x x x =+=+ 9. 已知()ln(1)f x x =-, [()]f g x x =, 求()g x . 解：由 [()]ln(()1)f g x g x x =-=，解得()1x g x e =+.
10. 设1
()3()21x f f x x x +=--，求)(x f . 解：令11x u x +=-，解得11u x u +=-，则有11
()3()211u u f u f u u ++=---，
即11()3()211x x f x f x x ++=---，又因为1
()3()21
x f f x x x +=--， 可解得31()44(1)
x x f x x +=+-.
学研教育—浙江专升本高数一元函数微分学53题及答案(汇编)
一元函数微分学 1．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（ ） A ．x y x f x ??=→?00lim )(' B ．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )('0000 C ．000)()(lim )('0x x x f x f x f x x --=→ D ．h x f h x f x f h )()21(lim )('0000--=→ 2．若e cos x y x =，则'(0)y =( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．2 3．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f ( ) A ．x e sin B ．x e cos - C ．x e cos D ．x e sin - 4．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0=x f ,则h x f h x f h )()21(lim 000--→等于( ) A ．1- B ．2 C ．1 D ．2 1- 5．设)(x f 在a x =处可导,则x x a f x a f x )()(lim 0--+→=( ) A ． )('a f B ．)('2a f C ．0 D ．)2('a f 6．设)(x f 在2=x 处可导，且2)2('=f ，则=--+→h h f h f h )2()2(lim 0（ ） A ．4 B ．0 C ．2 D ．3 7．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（ ） A ．0 B ．6- C ．1 D ．3 8．设)(x f 在0=x 处可导，且1)0('=f ，则=--→h h f h f h )()(lim 0（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．3 9．设函数)(x f 在0x 处可导,则0lim →h h x f f )()h - x (00-( ) A ．与0x ,h 都有关 B ．仅与0x 有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关,而与0x 无关 D ．与0x ,h 都无关
浙江专升本高等数学-例题解析
习题1-1 1. 求下列函数的定义域： (1) 2 1 x y x = - ; (2) 211 2 ++-= x x y ； (3) y (4) lg(2)y x =-. 解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足2 10x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是 (,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。 ⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1, 2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩ 因此函数的定义域是 [2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。 ⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2 sin 0, 160 , x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21), 4 4 , k x k x ππ≤≤+⎧⎨ -≤≤⎩因此函数的定义域 是[4,][0,]ππ-- 。 ⑷ 要使式子有意义，x 必须满足2 20, 320 , x x x ->⎧⎨ +-≥⎩即2, 1 3 , x x <⎧⎨ -≤≤⎩因此函数的定义域是 [1,2)- 2. 判断下列各组函数是否相同? (1) 214 2 x y x -=-，22y x =+； (2) 2 1lg y x =，22lg y x =, (3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()2 2 sec tan g x x x =-． 解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。 (2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。 (3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。 (4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R π π⎧⎫ ≠+ ∈⎨⎬⎩ ⎭ ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。 3. 若()2 32f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()22 1(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+
专升本高数真题及答案解析
专升本高数真题及答案解析 高等数学是专升本考试的一门重要科目，对于许多考生来说，高等数学的难度是一个挑战。在备考过程中，了解历年的真题以及对应的答案解析是非常重要的。本文将为大家介绍一些专升本高数真题以及详细的答案解析，希望对大家的备考有所帮助。 第一题：求函数y = x^2 - 3x + 2的极值。 解析：要求函数的极值，首先需要求出函数的导数。对于给定的函数y = x^2 - 3x + 2，可以分别对x^2、-3x和2求导。 导函数为y' = 2x - 3。要求函数的极值，即要求导函数等于0，得到2x - 3 = 0，解得x = 3/2。 然后，我们继续计算导函数的二阶导数，即y'' = 2。因为y''大于零，所以我们可以确定在x = 3/2处，函数y = x^2 - 3x + 2取得最小值。 将x = 3/2代入原函数中，得到y = (3/2)^2 - 3(3/2) + 2 = -1/4。所以函数y = x^2 - 3x + 2的极小值为-1/4。 第二题：已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2，求f(x)的单调增区间。 解析：要求函数的单调增区间，首先需要求出函数的导数。对于给定的函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2，可以分别对x^3、-6x^2、9x和-2求导。
导函数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。要求函数的单调增区间，即要求导函数大于0。我们可以利用一元二次方程的求解方法，将导函数等于0求出x的值。 化简方程3x^2 - 12x + 9 = 0，得到x^2 - 4x + 3 = 0。将方程因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。 我们可以得到一个区间(-∞, 1)和(3, +∞)。然后，我们可以选取这两个区间各一个点，代入导函数，来判断相应区间内函数的单调性。 当x取小于1的数时，如x = 0，代入导函数得到f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9，大于0，说明这个区间内函数单调增。 当x取大于3的数时，如x = 4，代入导函数得到f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9，大于0，说明这个区间内函数单调增。 综上所述，函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的单调增区间为(-∞, 1)和(3, +∞)。 通过以上两道题目的解析，我们可以发现专升本高数真题中，涉及到求极值和单调性的问题较为常见。这些题目要求考生掌握函数的导数和二阶导数公式，以及一元二次方程的求解方法。因此，在备考过程中，重点复习这些内容是非常重要的。 除此之外，还有一些其他经典的高数题目，如曲线的切线和法线、函数的极限、函数的逼近等等。要在考试中取得较好的成绩，考生需要对这些题目进行充分的练习和理解，并学会将理论知识应用到具体问题的解决过程中。 总之，对于备考非常重要。熟悉真题并掌握解题方法，可以帮助
浙江专升本高等数学真题答案解析
高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题: 本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 1．已知函数f(x)=e x ，则 x=0 是函数 f(x)的 （ ）． （A）可去间断点（B）连续点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是（）．（A）必存在ζ∈（a,b）,使得 ?a b f(x)dx=f(ζ)(b-a) （B）必存在ζ∈（a,b）,使得f(b)-f(a)=f'(ζ)(b- a) （C）必存在ζ∈（a,b）,使得f(ξ)=0 （D）必存在ζ∈（a,b）,使得f'(ζ)= 3 下列等式中，正确的是（）． （A）?f'(x)dx=f(x)（B）? df ( x )= f ( x)（C）d ? f ( x ) dx = f ( x) dx 4. 下列广义积分发散的是（）． +∞1 11 +∞ln x +∞ - x （A）? 0 dx （B）? 0 dx （C）? 0x dx （D）? 0 e dx 1+x2 1-x2 5．微分方程'' ' + 2 y=e x sin x, 则其特解形式为（）．y -3 y （A）ae x sin x （B）xe x(a cos x+b sin x) （C）xae x sin x （D）e x(a cos x+b sin x)
2023年浙江省温州市成考专升本高等数学二自考预测试题(含答案带解析)
2023年浙江省温州市成考专升本高等数学二自考预测试题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(30题) 1. A.A. B. C. D. 2.（）。 A.0 B.-1 C.-3 D.-5 3.（）。 A.是驻点，但不是极值点 B.是驻点且是极值点 C.不是驻点，但是极大值点 D.不是驻点，但是极小值点 4.设f n-2(x)=e2x+1，则f n(x)｜x=0=0
A.A.4e B.2e C.e D.1 5. 6.函数f(x)在[a，b]上连续是f(x)在该区间上可积的（） A.必要条件，但非充分条件 B.充分条件，但非必要条件 C.充分必要条件 D.非充分条件，亦非必要条件 7. 8.设函数?(x)=sin(x2)+e-2x，则?ˊ(x)等于（）。 A. B. C. D. 9. 【】 A.0 B.1 C.2 D.3
10. （）。A. B. C. D. 11.函数：y=|x|+1在x=0处【】 A.无定义 B.不连续 C.连续但是不可导 D.可导 12.曲线y=x3的拐点坐标是（）。 A.(-1，-1) B.(0，0) C.(1，1) D.(2,8) 13.已知f(x)=aretanx2，则fˊ(1)等于（）． A.A.-1 B.0 C.1 D.2 14.当x→0时，若sin2与x k是等价无穷小量，则k= A.A.1/2 B.1 C.2 D.3 15.
16.（）。 A.0 B.1 C.2 D.3 17. A.2x+3y B.2x C.2x+3 D. 18. 19.下列命题正确的是（）。 A.无穷小量的倒数是无穷大量 B.无穷小量是绝对值很小很小的数 C.无穷小量是以零为极限的变量 D.无界变量一定是无穷大量 20. A.A.-1/4 B.-1/2 C.1/4 D.1/2 21.
2020年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省2020年高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、已知函数，则x =0是函数f(x)的（ ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、第二类间断点 2、已知f (x +3)=x 3+8，则f’(x)为（ ） A 、3x 2 B 、3(x −3)2 C 、3(x +3)2 D 、3x 2+6x 3、当x →0是√1+ax 23 −1与tan 2x 是等价无穷小，则a 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、下列结论不正确的是（ ） A 、设函数f(x)在闭区间[a,b ]上连续，且在这区间的端点取到不同的函数值，f (a )=A 和f (b )= B ，则对于A 和B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b )上至少有一点ξ，使得f (ξ)=C . B 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，那么在(a,b )上至少有一点ξ，使得f (b )−f (a )=f′(ξ)(b −a)成立. C 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，那么在[a,b ]上至少有一点ξ，使得等式∫f(x)b a dx =f (ξ)( b −a)成立. D 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，那么在(a,b )内必能取得最大值与最小值. 5、若函数y (x )=e 3x cos x 为微分方程y ′′+py ′+qy =0的解，则常数p 和q 的值为（ ） A 、p =−6，q =10 B 、p =−6，q =−10 C 、p =6，q =−10 D 、p =6，q =10 二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分） 6、极限lim x→∞ (x−2x+3) 2x = 7、设函数f(x)在x =5处可导，并且极限lim x→5f (x )−f(5) (x−5)3 =3,则f ′(5)= 8、lim x→0 +2x 3+ln(1+x) = x =2t +cos t y =ln(3+t 2)
浙江专升本(高等数学)模拟试卷5(题后含答案及解析)
浙江专升本（高等数学）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．设函数，则f′(0) ( ) A．0 B．不存在 C．1 D．－1 正确答案：D 解析：导数定义，f′(0)==－1，故选项D正确． 2．若＝( ) A． B． C．2 D．4 正确答案：B 解析：因＝1．所以
3．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则∫f′(2x)dx ( ) A．cos4x+c B．cos4x+c C．2cos4x+c D．sin4x+c 正确答案：A 解析：因为∫f(x)dx=sin2x+c，所以 f(x)=2cos2x．f(2x)+C=cos 4x+ C． 4．设f′(x)=g(x)，则f(sin2x)= ( ) A．2g(x)sinx B．g(x)sin2x C．g(sin2x) D．g(sin2x)sin2x 正确答案：D 解析：因为[f(sin2x)]′=f′(sin2x).2sinx.cosx=f′(sin2x)sin2x=g(sin2x)sin2x 5．设直线L的方程为，则L的参数方程( ) A． B．
C． D． 正确答案：A 解析：据题意可知，直线L的方向向量为S==－2i＋j＋3k，且 过点(1，1，1)，故可以写出直线L的参数方程为，可见选项A正确． 填空题 6．设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且f()=3，则 =____________． 正确答案： 解析： f()，因而原极限为．
7．曲线y=的垂直渐近线为__________，水平渐近线为____________． 正确答案：x=1 y=0 解析：因为=0故x=1是曲线y=的垂直渐近线，y=0是曲线y=的水平渐近线 8．已知函数Ф(x)=tcos2tdt，则Ф′()=____________． 正确答案：0 解析：变限函数求导，Ф′(x)=xcos2x，所以Ф′()=0 9．函数f(x)=x一的单调减区间是__________． 正确答案：(0，) 解析：f′(x)=1－，由f′(x)＜0得2－1＜00＜x＜10．+x)=___________． 正确答案：-50 解析： ==－50． 11．设函数f(x)具有四阶导数，且f″(x)=，则f(4)(x)=____________．
浙江专升本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
浙江专升本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．下列关于连续与间断的表述正确的是( ) A．如果f(x)在x=a处连续，那么｜f(x)｜在x=a处连续． B．如果｜f(x)｜在x=a处连续，那么f(x)在x=a处连续． C．如果f(x)在R上连续，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则φ(f(x))必有间断点． D．如果φ(x)在R上有定义，且有间断点，则φ2(x)必有间断点． 正确答案：A 解析：B选项，构造f(x)＝，x=0处间断，但｜f(x)｜在x=0连续；C选项，构造φ(x)=sgnx，f(x)=ex，则φ(f(x))连续；D选项，构造φ (x)=，但φ2(x)在R上连续．通过排除法知：A正确．2．设，则f(x)在x=1处( ) A．左、右导数都存在 B．左导数存在，右导数不存在 C．左导数不存在，右导数存在 D．左、右导数都不存在 正确答案：B 解析：因f′(1)==2，f′＋ (1)==∞，故该函数的左导数存在，右导数不存在，可见选项B正确． 3．下列等式中，正确的结果是：( ) A．∫f′(x)dx=f(x)
B．∫df(x)=f(x) C．∫f(x)dx=f(x) D．d∫f(x)=f(x)+c 正确答案：C 解析：由不定积分和原函数概念可知∫f′(x)dx=f(x)+c，∫df(x)=f(x)+C，∫f(x)dx=f(x)，由微分与导数关系可知d∫f(x)dx=f(x)dx，可见选项C正确． 4．已知向量=j+3k，则△OAB的面积是( ) A． B． C． D． 正确答案：A 解析：根据向量叉积的几何意义得S△AOB＝ ＝=－3i－3j＋k，所以，可见选项A正确． 5．下列级数发散的是( ) A． B． C．
2023年浙江专升本高等数学真题
浙江专升本高数考试真题答案 一、选择题：本大题共 5小题，每题4分，共20分。 1、设⎪⎩⎪ ⎨⎧≤>=00,,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在)1,1(-内（ C ） A 、有可去间断点 B 、持续点 C 、有跳跃间断点 D 、有 第二间断点 解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0000====++ - - →→→→x x x f x x f x x x x )(lim )(lim 0 x f x f x x +-→→≠ ，不过又存在，0=∴x 是跳跃间断点 2、当0→x 时，x x x cos sin -是2 x 旳（ D ）无穷小 A 、低阶 B 、等阶 C 、同阶 D 、高阶 解析：02 sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim 0020==+-=-→→→x x x x x x x x x x x x x ⇒高阶无穷小 3、设)(x f 二阶可导，在0x x =处0)(0<''x f ，0) (lim =-→x x x f x x ，则)(x f 在0 x x =处（ B ） A 、获得极小值 B 、获得极大值 C 、不是极值 D 、 ())(0, 0x f x 是拐点 解析：0 000)()(lim )(,0) (lim 00 x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ ，则其0)(,0)(00=='x f x f ， 0x 为驻点，又000)(x x x f =∴<'' 是极大值点。 4、已知)(x f 在[]b a ,上持续，则下列说法不对旳旳是（ B ） A 、已知 ⎰ =b a dx x f 0)(2，则在[]b a ,上，0)(=x f B 、⎰-=x x x f x f dt t f dx d 2)()2()(，其中[]b a x x ,2,∈ C 、0)()(<⋅b f a f ，则()b a ,内有ξ使得0)(=ξf
浙江专升本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
浙江专升本（高等数学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1一cosx的高阶无穷小，则正整数n等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 正确答案：C 解析：由=0知n＞2；故n=3． 2．设函数f(x)=｜x3－1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( ) A．必要但不充分条件 B．充分必要条件 C．充分但非必要条件 D．既非充分也非必要条件 正确答案：B 解析：因为(x2+x+1) φ(x)＝－3φ(1)，(x2+x+1) φ(x)=3φ(1)，所以f(x)在x=1处可导的充分必要条件为一3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，选项B正确． 3．直线l：与平面π：4x一2y一2z一3=0的位置关系是( ) A．平行 B．垂直相交 C．直线l在π上 D．相交但不垂直
正确答案：A 解析：直线的方向向量为(一2，一7，3)，平面π的法向量为(4，一2，一 2)．(一2)×4+(一7)×(一2)+3×(一2)=0，且直线l：上的点(一3，一4，0)不在平面：4x一2y一2z一3=0上，所以直线与平面平行． 4．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有( ) A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数 B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数 C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数 D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数 正确答案：A 解析：记G(x)=f(t)dt，则G(x)是f(x)的一个原函数，且G(x)是奇(偶)函数f(x)是偶(奇)函数，又F(x)=G(x)+C，其中C是一个常数，而常数是偶函数，故由奇、偶函数的性质知应选A． 5．如果级数un(un≠0)收敛，则必有( ) A．级数(一1)nun收敛 B．级数｜un｜收敛 C．级数发散 D．级数收敛 正确答案：C 解析：因为un(un≠0)收敛，所以=
2023年浙江省成考专升本高等数学题库附答案(典型题)
2023年浙江省成考专升本高等数学题库附 答案（典型题） 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(100题) 1.设函数y=sin(x2-1)，则dy等于() A.cos(x2-1)dx B.-cos(x2-1)dx C.2xcos(x2-1)dx D.-2xcos(x2-1)dx 2.设二元函数z=xy，则点P0(0，0) A.为z的驻点，但不为极值点 B.为z的驻点，且为极大值点 C.为z的驻点，且为极小值点 D.不为z的驻点，也不为极值点 3.设y=x2-2x＋a，则点x=1 A.为y的极大值点 B.为y的极小值点 C.不为y的极值点 D.是否为y 的极值点与a有关 4.在稳定性计算中，若用欧拉公式算得压杆的临界压力为Fcr，而实际上压杆属于中柔度压杆，则( ) A.并不影响压杆的临界压力值 B.实际的临界压力大于Fcr，是偏于安全的 C.实际的临界压力小于Fcr，是偏于不安全的 D.实际的临界压力大于Fcr，是偏于不安全的 5.设f(x)的一个原函数为xsinx，则f(x)的导函数是（）
A.2sinxxcosx B.2cosxxsinx C.-2sinx+xcosx D.-2cosx+xsinx 6.函数的单调递减区间是( ) A.（-∞，-1） B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，+∞） 7.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（） A.2 B.-2 C.3 D.-3 8.设函数y=x3+eX则y(4)=（） A.0 B.ex C.2+ex D.6+ex 9.已知?(x)在区间(-∞，+∞)内为单调减函数，且?(x)>?(1)，则x的取值范围是() A.(-∞，-l) B.(-∞，1) C.(1，+∞) D.(-∞，+∞) 10.若y(x-1)=x2-1，则y'(x)等于（） A.2x+2 B.x(x+1) C.x(x-1) D.2x-1 11.函数y=f(x)在点x=x0处左右极限都存在并且相等，是它在该点有极限的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 12.设函数z=2(x-y)-x2-y2，则其极值点为( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(1,1) D.(1,-1) 13.设f(x)=xα+αxlnα，(α＞0且α≠1)，则f'(1)=（） A.α(1+lnα) B.α(1-lna) C.αlna D.α+(1+α) 14.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn，Fn沿齿廓在接触处的公法线方向，且垂直于过A点的齿面的切面，如图所示，α为
2022年学研教育——浙江专升本高等数学复习资料含答案题库高等数学200题
专升本高等数学复习资料 一、函数、极限和持续 1．函数 )(x f y =旳定义域是（ ） A ．变量x 旳取值范畴 B ．使函数 )(x f y =旳体现式故意义旳变量x 旳取值范畴 C ．全体实数 D ．以上三种状况都不是 2．如下说法不对旳旳是（ ） A ．两个奇函数之和为奇函数 B ．两个奇函数之积为偶函数 C ．奇函数与偶函数之积为偶函数 D ．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相似则（ ） A ．两函数体现式相似 B ．两函数定义域相似 C ．两函数体现式相似且定义域相似 D ．两函数值域相似 4．函数 y =旳定义域为（ ） A ．(2,4) B ．[2,4] C ．(2,4] D ．[2,4) 5．函数 3()23sin f x x x =-旳奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶 D ．无法判断 6．设 ,1 21)1(-+= -x x x f 则)(x f 等于( ) A ． 12-x x B ．x x 212-- C ．121-+x x D ．x x 212-- 7． 分段函数是( ) A ．几种函数 B ．可导函数 C ．持续函数 D ．几种分析式和起来表达旳一种函数 8．下列函数中为偶函数旳是( )
A ． x e y -= B ．)ln(x y -= C ．x x y cos 3= D ．x y ln = 9．如下各对函数是相似函数旳有( ) A ． x x g x x f -==)()(与 B ．x x g x x f cos )(sin 1)(2=-=与 C ． 1)()(==x g x x x f 与 D ．⎩⎨ ⎧<->-=-=2 222)(2)(x x x x x g x x f 与 10．下列函数中为奇函数旳是( ) A ．)3 cos(π +=x y B ．x x y sin = C ．2x x e e y --= D ． 23x x y += 11．设函数 )(x f y =旳定义域是[0,1],则)1(+x f 旳定义域是( ) A ．]1,2[-- B ． ]0,1[- C ．[0,1] D ． [1,2] 12．函数 ⎪⎩ ⎪⎨⎧≤<+=<<-+=2 0200 022 )(2x x x x x x f 旳定义域是( ) A ．)2,2(- B ．]0,2(- C ．]2,2(- D ． (0,2] 13．若 =---+ -=)1(,23321)(f x x x x x f 则( ) A ．3- B ．3 C ．1- D ．1 14．若 )(x f 在),(+∞-∞内是偶函数,则)(x f -在),(+∞-∞内是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ． 0)(≡x f 15．设 )(x f 为定义在),(+∞-∞内旳任意不恒等于零旳函数,则)()()(x f x f x F -+=必是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．0) (≡x F 16． 设 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<<≤<-≤<--=4 2,021, 121 1,1)(2x x x x x x f 则)2(πf 等于 ( ) A ．12-π B ．182-π C ． 0 D ．无意义 17．函数 x x y sin 2=旳图形（ ） A ．有关ox 轴对称 B ．有关oy 轴对称 C ．有关原点对称 D ．有关直线x y =对称 18．下列函数中,图形有关 y 轴对称旳有( )
专升本高数二真题答案解析
专升本高数二真题答案解析 导读：高等数学是专升本考试中的一门重要科目，也是考生们最担心的科目之一。为了帮助考生更好地理解和掌握高数知识，本文将对专升本高数二真题进行答案解析，希望能够对考生们的备考有所帮助。 第一题： 解析：本题是一道求导题，要求求出函数f(x) = x^3 - x的导函数。 首先，我们可以按照求导法则对每一项进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 1。 所以答案是f'(x) = 3x^2 - 1。 第二题： 解析：本题是一道定积分题，要求计算∫(0到1) (3x^2 + 2x + 1)dx。 根据定积分的性质，我们可以将被积函数的各项分别进行积分，并进行求和。 ∫(0到1) (3x^2 + 2x + 1)dx = ∫(0到1) 3x^2 dx + ∫(0到1) 2x dx + ∫(0到1) 1 dx 依次求积分，得到(3/3)x^3 + (2/2)x^2 + (1)x = x^3 + x^2 +
x。 所以答案是∫(0到1) (3x^2 + 2x + 1)dx = x^3 + x^2 + x。 第三题： 解析：本题是一道极限题，要求求出lim(x趋近无穷) (3x^2 + 2x + 1)。 对于x趋于无穷时，我们可以略去低阶无穷小，只保留最高次的项。 所以lim(x趋近无穷) (3x^2 + 2x + 1) = lim(x趋近无穷) 3x^2 = +无穷。 所以答案是lim(x趋近无穷) (3x^2 + 2x + 1) = +无穷。 第四题： 解析：本题是一道微分方程题，要求求出微分方程dy/dx = x + 1的通解。 对于一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以使用积分因子法进行求解。 首先，将方程改写为dy/dx + 1y = x，并求出积分因子μ(x) = e^∫1dx = e^x。 然后，将方程两边同时乘以积分因子μ(x)，得到e^xdy/dx + e^xy = xe^x。
2023年浙江省成考专升本高等数学试题及答案
2023年浙江省成考专升本高等数学试题及 答案 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(100题) 1.设函数在x=0处连续，则a等于( ) A.0 B.1/2 C.1 D.2 2.设函数z＝x2＋3y2－4x＋6y－1，则驻点坐标为（） A.(2，-1) B.(2，1) C.(-2，-1) D.(-2，1) 3.设f(x)在x=0处有二阶连续导数则x=0是f(x)的( ) A.间断点 B.极大值点 C.极小值点 D.拐点 4.设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有 A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量 B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量 C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量 D.f(x)与g(x)为等价无穷小量 5.设函数f(x)=COS 2x，则f′(x)=( ) A.2sin 2x B.-2sin 2x C.sin 2x D.-sin 2x 6.设二元函数z=xy，则点Po(0，0)（）
A.为z的驻点，但不为极值点 B.为z的驻点，且为极大值点 C.为z的驻点，且为极小值点 D.不为z的驻点，也不为极值点 7.设函数?(x)=cos 2x，则? ’(x)=() A.2sin 2x B.-2sin 2x C.sin 2x D.-sin 2x 8.设函数y=f(x)的导函数，满足f'(-1)=0，当x＜-1时，f'(x)＜0；x＞-1时，f'(x)＞0．则下列结论肯定正确的是( ) A.x=-1是驻点，但不是极值点 B.x=-1不是驻点 C.x=-1为极小值点 D.x=-1为极大值点 9.设函数?(x)=cos 2x，则? ’(0)=() A.-2 B.-l C.0 D.2 10.设函数f(x)在区间[a,b]连续，且a
2023年浙江省成考专升本高等数学题库综合试卷B卷附答案
2023年浙江省成考专升本高等数学题库综 合试卷B卷附答案 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(100题) 1.设二元函数z=xy，则点Po(0，0)（） A.为z的驻点，但不为极值点 B.为z的驻点，且为极大值点 C.为z的驻点，且为极小值点 D.不为z的驻点，也不为极值点 2.受弯构件斜截面受剪承载力设计时，若V＞0．25βcfbho，应采取的措施是( ) A.加大箍筋直径或箍筋配筋间距 B.提高箍筋的抗拉强度设计值 C.增大构件截面年纪或提高混凝土强度等级 D.加配弯起钢筋 3.设z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处（） A.取得极大值 B.取得极小值 C.无极值 D.无法判定 4.设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)( ) A.不存在零点 B.存在唯一零点 C.存在极大值点 D.存在极小值点 5.设f(x)的一个原函数为xsinx，则f(x)的导函数是（） A.2sinxxcosx B.2cosxxsinx C.-2sinx+xcosx D.-2cosx+xsinx 6.设函数z＝x2＋3y2－4x＋6y－1，则驻点坐标为（）
A.(2，-1) B.(2，1) C.(-2，-1) D.(-2，1) 7.设函数z=x3+xy2+3,则 A.3x2+2xy B.3x2+y2 C.2xy D.2y 8.函数f(x)在[0，2]上连续，且在(0，2)内f＇(x)＞0，则下列不等式成立的是( ) A.f(0)＞f(1)＞f(2) B.f(0)＜f(1)＜f(2) C.f(0)＜f(2)＜f(1) D.f(0)＞f(2)＞f(1) 9.某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建筑物经历了50年后，它将在10年内倒塌的概率等于( ) A.0.25 B.0.30 C.0.35 D.0.40 10.已知函数f(x)的导函数f'(x)=3x2-x-1，则曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率是（） A.3 B.5 C.9 D.11 11.在稳定性计算中，若用欧拉公式算得压杆的临界压力为Fcr，而实际上压杆属于中柔度压杆，则( ) A.并不影响压杆的临界压力值 B.实际的临界压力大于Fcr，是偏于安全的 C.实际的临界压力小于Fcr，是偏于不安全的