浙江专升本高等数学-例题解析

习题1-11. 求下列函数的定义域： (1) 21xy x =- ;(2) 2112++-=x xy ；(3) y(4) lg(2)y x =-.解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足210x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。

⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩因此函数的定义域是[2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。

⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2sin 0,160 ,x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),4 4 ,k x k x ππ≤≤+⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[4,][0,]ππ-- 。

⑷ 要使式子有意义，x 必须满足220,320 ,x x x ->⎧⎨+-≥⎩即2,1 3 ,x x <⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[1,2)-2. 判断下列各组函数是否相同?(1) 2142x y x -=-，22y x =+；(2) 21lg y x =，22lg y x =,(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()22sec tan g x x x =-．解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。

(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

3. 若()232f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()221(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+4. 若()2132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()22131256f t t t t t =---+=-+，所以()256f x x x =-+，()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。

5. 设1()1xf x x-=+，求()0f ，()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

解：(0)1f =，1()1x f x x +-=-，1111()111x x f x x x--==++。

6. 设1,20,()1,02x x f x x x --≤<⎧=⎨+≤≤⎩，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.解： (1)112f -=--=-，(0)011f =+=，(1)112f =+=(1)1,210(1)(1)1,012x x f x x x ---≤-<⎧-=⎨-+≤-≤⎩2,11,13x x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩ 7．作出下列函数的图形：(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨<>⎪⎩或8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为34k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：由题意可得,0,3(),4ks s a m ka k s a s a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩,0,31,44ks s a ks ka s a <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得0.15,050,0.15,050,0.15500.25(50),500.255,50x x x x y x x x x <≤<≤⎧⎧==⎨⎨⨯+->->⎩⎩习题1-21. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？(1) ()3cos f x x x =； (2) 2x xe e y -+=；（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+- 解：(1) ()3cos f x x x =的定义域是(,)-∞+∞，()()33()cos()cos f x x x x x f x -=--=-=- ， ()f x ∴是奇函数。

(2) 2x xe e y -+=的定义域是(,)-∞+∞，()22x x x xe e e e ----++= ， y ∴是偶函数。

⑶ sin cos y x x =+的定义域是(,)-∞+∞，()()y x y x -≠ ，且()()y x y x -≠-，y ∴既不是奇函数也不是偶函数。

(4) ()sin x x f x x e e -=+-的定义域是(,)-∞+∞，()()()sin()sin x x x x f x x e e x e e f x -----=-+-=-+-=- ，()f x ∴是奇函数。

2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =+，()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()()()[()][()()]()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=-+-=-+=-，因此两个奇函数的和仍为奇函数。

设()f x 、()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，()f x 、()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=-=，()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=+=，因此两个偶函数的和仍为偶函数。

(2) 设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =，()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()()[()][()]()()()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=--=--==，因此两个奇函数的积为偶函数。

设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=， ()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=--=-=-，因此一奇一偶的乘积为奇函数。

(3) 设()f x 是任一函数，令1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，11(){()[()]}[()()]()22g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+= ，即()g x 是偶函数111(){()[()]}[()()][()()]()222h x f x f x f x f x f x f x h x -=----=--=---=-，即()h x 是奇函数，又 ()()()f x g x h x =+，∴任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

3. 证明函数1xy x=-在(1,)+∞内是单调增加的函数.. 证明：在(1,)+∞内任取两点任取两点,,21x x 且,21x x <则)1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ---=---=- 因为21,x x 是),1(∞+内任意两点,所以,01,0121<-<-x x又因为,021<-x x 故0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f < 所以xxx f -=1)(在),1(+∞-内是单调增加的. 4. 设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数(23)f x +的周期. 解：因为)(x f 是周期T 的周期函数，所以(23)(23)f x T f x ++=+，即(2()3)(23)2T f x f x ++=+，因此(23)f x +的周期2T 。

5．已知函数)(x f 的周期为2，并且()0,10;,0 1.x f x x x -<<⎧=⎨≤≤⎩试在),(+∞-∞上作出函数()y f x =的图形.6．验证函数xx f 1)(=在开区间(0,1) 内无界，在开区间(1,2) 内有界.解：因为对任意0M >，存在01(0,1)1x M =∈+，使得0()1f x M M =+>，所以x x f 1)(=在开区间(0,1) 内无界。

因为12x <<，所以1112x <<，即1()12f x <<，因此()f x 在开区间(1,2) 内有界。

习题1-31. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11xy x-=+； (2) 312x y +=； （3）221x x y =+； (4) 101011010x xx xy --+=+-．解：(1) 由11x y x -=+解得11yx y-=+，故所求反函数为11x y x -=+， 反函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞ 。

(2) 由312x y +=解得31(log 1)3x y =-，故所求反函数为31(log 1)3y x =-， 反函数的定义域为(0,)+∞。

（3）由221x x y =+解得21xy y =-，可得2log 1y x y =-，故所求反函数为2log 1x y x =-，反函数的定义域为(0,1)。

(4) 由101011010x xx x y --+=+-解得222102*********x xx x x y -⨯⨯==--，可得1lg 22y x y =-， 故所求反函数为1lg 22xy x =-，反函数的定义域为(,0)(2,)-∞+∞ 。