迭代加权最小二乘法
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的参数估计方法，广泛应用于信号处理、通信系统、自适应滤波等领域。
它通过不断迭代更新参数，逐步逼近最优解，具有快速收敛、适应性强的特点。
本文将从最小二乘法出发，介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
最小二乘法（Least Squares）是一种常见的参数估计方法，用于寻找一组参数，使得模型预测值与观测值之间的误差平方和最小。
对于线性模型，最小二乘法可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算的方式得到最优参数。
然而，在实际应用中，数据通常是逐步到来的，因此需要一种能够动态更新参数的方法，于是递推最小二乘法应运而生。
递推最小二乘法的基本原理是利用递推的方式不断更新参数，以逼近最优解。
在每一时刻，根据当前的观测数据和先前的参数估计，通过递推公式计算出新的参数估计值，从而实现参数的动态更新。
这样的方法不仅能够适应数据的动态变化，还能够实现快速的收敛，适用于实时系统和非平稳环境下的参数估计。
递推最小二乘法的核心思想是利用指数加权的方式对历史数据进行处理，赋予近期数据更大的权重，从而更好地适应数据的变化。
通过引入遗忘因子（Forgetting Factor），可以控制历史数据对参数估计的影响程度，使得算法更具灵活性和适应性。
同时，递推最小二乘法还可以结合正交分解等技术，进一步提高计算效率和数值稳定性。
在实际应用中，递推最小二乘法被广泛应用于自适应滤波、信道均衡、系统辨识等领域。
例如，在自适应滤波中，递推最小二乘法可以根据接收信号的实际情况，动态调整滤波器的参数，实现信号的实时去噪和增强。
在通信系统中，递推最小二乘法可以用于自适应调制解调器的设计，提高系统的抗干扰能力和适应性。
此外，递推最小二乘法还被广泛应用于雷达跟踪、无线定位等领域，发挥着重要作用。
总之，递推最小二乘法作为一种经典的参数估计方法，具有快速收敛、适应性强的特点，在信号处理、通信系统、自适应滤波等领域有着重要的应用。
计量经济学金玉国第7章
LOWESS是一种非参数回归方法，通过对数据点进行局部加权拟合，得到变量间的回归关系。该方法 适用于探索变量间的非线性关系，能够揭示数据的局部特征。
半参数方法简介及应用举例
半参数方法简介
半参数方法是介于参数方法和非参数方 法之间的一种统计方法。它结合了参数 方法和非参数方法的优点，既能够利用 已知的信息提高估计精度，又能够适应 数据的复杂结构。半参数方法主要包括 部分线性模型、单指标模型等。
线性回归模型基本概念
线性回归模型定义
描述因变量与一个或多个自变量之间线性关系的统计 模型。
回归方程
表示因变量与自变量之间关系的数学表达式，形如 Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βkXk。
估计的回归方程
利用样本数据对回归方程中的参数进行估计，得到的 方程用于预测和解释。
最小二乘法原理及性质
01
最小二乘法原理
计量经济学金玉国第7章
• 第七章概述 • 线性回归模型 • 广义线性模型 • 时间序列分析 • 面板数据分析 • 非参数和半参数方法 • 计量经济学软件应用
01
第七章概述
章节内容与结构
章节内容
本章主要介绍了计量经济学中的时间序列分析，包括时间序列的基本概念、平稳性检验、自回归模型、移动平均 模型、自回归移动平均模型等。
结构安排
首先介绍时间序列的基本概念和性质，然后阐述平稳性检验的方法和应用，接着详细讲解自回归模型、移动平均 模型和自回归移动平均模型的原理、建模步骤、预测及应用，最后通过案例分析和实践练习帮助读者深入理解和 掌握本章内容。
学习目标与要求
学习目标
通过本章学习，读者应能够掌握时间序列分析的基本方法和 技术，能够运用相关模型进行实际问题的分析和预测。
几种最小二乘法递推算法的小结
几种最小二乘法递推算法的小结最小二乘法是一种常见的参数估计方法，广泛应用于各个领域的数学和统计模型的拟合问题。
在实际应用中，我们常常需要递推地计算最小二乘法的结果，以便能够在实时数据到来的情况下，快速地更新参数估计值。
以下是几种常见的最小二乘法递推算法的小结。
1. 递推最小二乘法（Recursive least squares, RLS）递推最小二乘法是一种在线参数估计方法，可以在每次新数据到来时，快速地更新参数估计值。
RLS算法利用递推的方式，将历史数据和新数据的信息结合起来，从而得到最新的参数估计值。
该算法基于递归迭代过程，迭代公式中的权重矩阵可以由历史数据的协方差矩阵递推得到。
递推最小二乘法具有良好的收敛性和较低的计算复杂度。
2.递推最小二乘法的变种算法（RLS的变种算法）递推最小二乘法的变种算法是对传统的RLS算法进行改进和优化的方法。
其中，经典的改进算法有递归正交最小二乘法（Recursive orthogonal least squares, ROLS）和递推快速QR分解法（Recursive fast QR factorization, RFQR）。
ROLS算法通过引入正交化处理，解决了经典RLS算法中信号相关性较高时，参数估计不稳定的问题。
RFQR算法则通过对历史数据进行快速QR分解的方法，进一步提高了算法的计算速度，并降低了计算复杂度。
3. 渐进最小二乘法（Asymptotic least squares, ALS）渐进最小二乘法是一种常见的在线参数估计算法，用于解决参数估计问题的收敛速度较慢的情况。
ALS算法通过估计参数的渐进协方差矩阵，然后利用资料增益矩阵计算最新的参数估计值。
由于ALS算法不需要存储和计算全部历史数据的相关矩阵，因此可以在实时数据到来的情况下，快速地进行参数估计。
4. 数据辅助递推最小二乘法（Data-augmented recursive least squares, DARLS）数据辅助递推最小二乘法是一种常见的递推最小二乘法的改进算法，适用于当历史数据缺失或者不完整时。
最小二乘法
第七章 最小二乘法最小二乘法是实验数据处理的一种基本方法。
它给出了数据处理的一条准则，即在最小二乘以一下获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残差平方和最小。
基于这一准则所建立的一整套的理论和方法，为随机数据的处理提供了行之有效的手段，成为实验数据处理中应用十分广泛的基础内容之一。
自1805年勒让得（Legendre ）提出最小二乘法以来，这一方法得到了迅速发展，并不断完善，成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，广泛地应用于天文测量，大地测量及其他科学实验的数据处理中。
现代，矩阵理论的发展及电子计算机的广泛应用，为这一方法提供了新的理论工具和得力的数据处理手段。
随着计量技术及其他现代科学技术的迅速发展，最小二乘法在各学科领域将获得更为广泛的应用。
本章仅涉及独立的测量数据的最小二乘法处理。
以等精度线性参数的最小二乘法为中心，叙述最小二乘法原理，正规方程和正规方程的解，以及最小二乘估计的精度估计。
最后给出测量数据最小二乘法处理的几个例子。
7 .1 最小二乘法原理县考察下面的例子。
设有一金属尺，在温度()C t ︒条件下的长度可表示)1(0t y y t α+=式中 y 0——温度为0°C 时的金属尺的长度；α——金属材料的线膨胀系数； t ——测量尺长时的温度。
现要求给出y 0与α的数值。
为此，可在t 1与t 2两个温度条件下分别测得尺的长度l 1与l 2，得方程组()()⎭⎬⎫+=+=20210111t y l t y l αα由此可解得y 0与α。
事实上，由于测量结果l 1与l 2含有测量误差，所得到的y 0与α的值也含有误差。
显而易见，为减小所得y 0与α值的误差，应增加y t 的测量次数，以便利用抵偿性减小测量误差的影响。
设在n t t t ,,,21 温度条件下分别测得金属尺的长度n l l l ,,,21 共n 个结果，可列出方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=+=)1()1()1(0202101n n t y l t y l t y l ααα)1(0t y y t α+=但由于方程式的数目n 多于待求量的数目，所以无法直接利用代数法求解上述方程组。
最小二乘参数辨识方法及原理
N N N N R i t i2 R i t i t i i 1 i 1 i 1 a i 1 ˆ 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1
i 1
i
Ri |2
最小 测量误差的平方和最小
2.1 利用最小二乘法求模型参数
根据最小二乘的准则有
J min v i2
i 1 N
[ Ri ( a bt i )] 2
i 1
N
根据求极值的方法，对上式求导
N J 2 ( R i a bt i ) 0 a i 1 ˆ aa N J 2 ( R i a bt i )t i 0 b b bˆ i 1
n
y ( k ) a i y ( k i ) bi u ( k i )
i 1 i 1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
v (k ) u (k ) G (z ) y (k ) z (k )
图 3.4 SISO 系统的“黑箱”结构
若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声
T
a1 a n b1 bn
V m v (1)
v ( 2) v ( m )
T
Z m H m V m
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值 ˆ ，使得各次测量
ˆ 的 Z i (i 1, m ) 与由估计 ˆ 确定的量测估计 Z i H iˆ 之差的平方
基于GAM_Tweedie模型的车险定价研究
基于GAM_Tweedie模型的车险定价研究摘要：广义线性模型作为车险费率厘定的主流方法，其假设协变量的影响为预测函数的线性形式，但在实际的情况下，许多对索賠频率、索賠强度或纯保费的影响因素不仅仅是表现成线性形式的，单纯地用线性估计会造成一些变量的不显著而丢失重要影响因素。
本文以一组汽车保险损失数据为样本，建立Tweedie广义加法模型，通过与Tweedie广义线性模型对比，表明Tweedie广义加法模型可以更好的解释各因素对索赔额的影响。
关键词：广义线性模型，车险费率厘定，Tweedie分布，广义加法模型一、引言车险定价实则是对索赔频率、索赔强度或纯保费进行预测。
在车险定价实务中，经常假设索赔频率与索赔强度相互独立，并分别建立索赔频率和索赔强度的广义线性模型。
在独立的假设下，可以把索赔频率与索赔强度的预测值相乘从而求得纯保费的预测值。
这种方法简单易行，在非寿险精算实务中得到广泛的应用，但其忽略了索赔频率与索赔强度之间可能存在的相依关系，从而造成预测的偏差。
而在纯保费的预测中，主要是应用Tweedie广义线性模型。
Tweedie广义线性模型，是假定保单的累积赔付额服从Tweedie分布，对赔付额的均值函数建立回归模型。
其要求协变量的影响为预测函数的线性形式，但在实际的情况下，许多对纯保费的影响因素不仅仅是表现成线性形式的，如空间协变量，大多数情况下其对响应变量均值函数的影响是非线性的，如果单纯地用线性估计会造成一些变量的不显著而丢失重要的影响因素。
为了更好的拟合数据，从而有必要对其进行优化推广，在广义线性模型中纳入平滑预测项，将其推广到广义加法模型。
从线性和非线性两个方面去分析各因素对预测函数不同的影响程度。
本文以一组汽车保险损失数据为样本，建立Tweedie广义加法模型，利用R软件对模型的参数进行估计检验。
通过与Tweedie广义线性模型对比，表明Tweedie 广义加法模型可以更好的解释各因素对索赔额的影响，从而改进了传统广义线性模型对纯保费的预测精度。
最小二乘估计
最小二乘估计随着空间技术的发展，人类的活动开始进入了太空，对航天器（包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等）的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下，各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性，它的原理不复杂，数学模型和计算方法也比较简单，编制程序不难，所以它颇受人们的重视，应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据，最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明，在没有粗差的情况下，大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法，用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值，即所谓的批处理算法定轨。
长期以来，在整个天体力学领域之中，各种天体的定轨问题，几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型，通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态X0和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值X。
常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为P。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程y二Hx0•；，得x =（H T PH）JH T py卫星的参考状态为X； = X0 x0在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。
广义最小二乘法例题
两则广义最小二乘法例题广义最小二乘法是一种用于估计线性回归模型参数的方法。
它适用于当回归模型存在异方差性（即误差方差不恒定）或者误差项之间存在相关性的情况。
下面是一个广义最小二乘法的例题：一、假设你正在研究某个城市的房价，你收集到了以下数据：对于n个房屋，你记录了它们的面积（X）、卧室数量（Z）以及售价（Y）。
你希望建立一个回归模型来预测房屋售价。
首先，我们可以假设回归模型的形式为：Y = β0 + β1X + β2Z + ε其中，Y是售价，X是面积，Z是卧室数量，ε是误差项。
为了使用广义最小二乘法估计模型参数，我们需要对误差项的方差进行建模。
假设误差项的方差为异方差的，即Var(ε) = σ^2 * f(Z)，其中σ^2是常数，f(Z)是卧室数量的某个函数。
我们可以使用最小二乘法来估计模型参数β0、β1和β2。
首先，我们需要构造一个加权最小二乘问题，其中每个样本的残差平方会被一个权重因子所加权。
权重因子可以根据样本的特征值进行计算，以反映异方差性的影响。
在广义最小二乘法中，我们需要估计的参数为β0、β1和β2，以及函数f(Z)的形式和参数。
一种常见的方法是使用加权最小二乘法来求解该问题，其中权重因子可以通过对误差项的方差进行估计得到。
具体的计算过程可以使用迭代的方法进行。
需要注意的是，实际应用中可能存在多种处理异方差性的方法，具体的选择取决于数据的特点和研究目的。
二、假设你是一家电子产品公司的数据分析师，你希望通过回归分析来预测一种新产品的销售量。
你收集到了以下数据：对于n个销售点，你记录了它们的广告费用（X）、竞争对手的广告费用（Z）以及销售量（Y）。
你希望建立一个回归模型来预测销售量。
假设回归模型的形式为：Y = β0 + β1X + β2Z + ε其中，Y是销售量，X是该公司的广告费用，Z是竞争对手的广告费用，ε是误差项。
然而，你发现误差项的方差与广告费用的大小有关，即存在异方差性。
你决定使用广义最小二乘法来估计模型参数。
levenberg-marquardtalgorithm最小二乘算法
levenberg-marquardtalgorithm最小二乘算法Levenberg-Marquardt算法是一种用于求解非线性最小二乘问题的迭代算法。
它结合了Gauss-Newton方法和梯
度下降法的思想，通过迭代更新参数来最小化目标函数（即
残差平方和）。
算法的基本步骤如下：
1.初始化参数向量θ^0，选择一个足够小的正数μ>0和足够大的正数β>0。
2.对于k=0，1，2，...，直到收敛：
a.计算残差向量r=y−F(θ^k)，其中y是观测数据，F是模型函数。
b.计算雅可比矩阵J=∂F/∂θ，即F对参数θ的导数。
c.计算H=J^T*J+μ*I，其中I是单位矩阵。
d.计算δ=J^T*r。
e.计算θ^(k+1)=θ^k−H^(-1)*δ。
f.如果||δ||<β*||r||，则停止迭代，否则将μ增大一个数量级，并返回步骤2。
3.输出参数向量θ^(k+1)。
该算法在每一步迭代中都尝试最小化目标函数，直到达到收
敛条件。
其中，H是近似于目标函数的Hessian矩阵（即二
阶导数矩阵），而δ是残差向量。
通过求解线性方程组H*δ=J^T*r，可以得到参数向量的更新量。
在迭代过程中，μ是
一个阻尼因子，用于控制Hessian矩阵的近似精度。
如果迭代不收敛，则将μ增大一个数量级，以增加阻尼效果。
Levenberg-Marquardt算法在许多领域都有广泛的应用，例如曲线拟合、图像处理、机器视觉、控制系统等领域。
它是一种非常有效的非线性最小二乘求解方法，尤其适用于问题规模较大、非线性程度较高的情况。
Eviews数据统计与分析教程6章 基本回归模型的OLS估计-加权最小二乘法
EViews统计分析基础教程
二、广义最小二乘法（GLS）
基本原理： 再求模型(3)的滞后1期即(t-1)期的回归模型，并在两侧 同乘 yt-1= 0 + 1x1t-1 +2x2t-1 +…+kxkt-1+ ut-1 (4) 用（2）式与(4)相减，得 ut- yt-1 = 0 (1-)+1(x1t-x1t-1)+ …+k(xk-1- xkt-1) + vt (5) 令 yt* = yt - yt -1 xjt* = xjt -xjt -1, j = 1 , 2 , … k (6) 0* = 0 (1 - ) 则yt* = 0*+ 1 x1 t* + 2 x2 t* +… + k xk t* + vt 如果模型不存在异方差和序列相关，则使用广义最小二 乘法等于普通最小二乘法。
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四、非线性最小二乘法（NLS）
非线性模型包括可线性化的非线性模型和不可线性化的 非线性模型。可线性化的模型是指该模型可以通过线性 化的处理变为线性模型，如一元二次方程，幂函数等。 例如： y =axb lny =lna+blnx 即 y﹡=a﹡+bx﹡ 并非所有的函数均可被线性化，能被线性化的可以继续 用OLS等线性回归模型适用的方法进行估计，不能被线 性化的模型就可以用非线性最小二乘法（Nonlinear Least Square，NLS）进行估计。
EViews统计分析基础教程
本章小结：
• 了解WLS、GLS、NLS、TSLS、GMM五种估计方 法的基本原理 • 掌握这五种估计法的EViews相关操作
EViews统计分析基础教程
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迭代加权最小二乘法
1、什么是迭代加权最小二乘法
迭代加权最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares）是一种优化方法，利用最小二乘法这一线性模型对未知参数求解的技术，综合考虑样本的离散程度与参数估计的准确程度，得到了高效且
精确的迭代算法。
2、迭代加权最小二乘法的原理
迭代加权最小二乘法就是一种用最小二乘法拟合线性模型，使未
知参数求解的方法，利用极小化误差函数的思想，将极大化通过最小
二乘拟合的问题转换为极小化某一函数的问题，从而可以通过迭代的
方式得到最优的解。
迭代加权最小二乘法的核心原理是，实际样本数
据由误差项$\epsilon$组成，参数的估计精确程度取决于
$\epsilon$的方差，可以不断调节权重向量W，达到使估计误差最小的目的。
3、迭代加权最小二乘法的收敛性
由于迭代加权最小二乘法应用有限次迭代最小二乘解来计算未知
参数，因此具有收敛性，即越迭代，最优解精度越高，最终收敛到极
限参数值。
收敛性由迭代次数和初始反馈值大小共同决定，当迭代次
数足够多时，无论初始反馈值是何值，最终收敛的结果都将一致。
4、迭代加权最小二乘法的优势
1、求解简单：使用最小二乘拟合线性模型，可以以数学的方法解
决未知参数估计问题，使迭代加权最小二乘法的求解变得简单；
2、算法效率高：迭代特性，可以有效降低计算量，算法效率较高；
3、具有收敛性：迭代次数足够多时，最终结果总能收敛到一致。
5、迭代加权最小二乘法的应用
迭代加权最小二乘法可以应用在各个领域中，比如回归分析，计
算未来股票价格的变量等，在建设领域，利用迭代加权最小二乘法来
拟合建筑复杂曲面拱顶节点等问题，也能获得较好的结果。
通过对变
量改变，也可以获得最优解，提高回归模型的准确性。