步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学（理）精练七 不等式

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测七 不等式第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是____________________． 2．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是______________． 3．(·江西百所重点中学诊断)已知m >0，n >0，且2m ＋3n ＝5，则2m ＋3n 的最小值是________．4．(·合肥第二次质检)已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．5．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为________． 6．(·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．7．(·湖北七市联考)若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是____________．8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为_______________．9．(·郑州第一次质量预测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.若P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111，Q ＝f ⎝⎛⎭⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为____________． 10．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.11．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________________．12．(·四川资阳第一次诊断)已知点A 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1所表示的平面区域内的一个动点，点B (－1，1)，O 为坐标原点，则OA →·OB →的取值范围是____________． 13．(·青岛模拟)已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________． 14．(·湖南师大附中第三次月考)设正实数a ，b 满足等式2a ＋b ＝1，且有2ab －4a 2－b 2≤t －12恒成立，则实数t 的取值范围是____________． 第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)(·河北高阳中学第二次模拟考试)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2a x －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．16．(14分)已知a ，b 是正常数，x ，y ∈R ＋，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．17.(14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R)．18．(16分)(·扬州模拟)如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．19.(16分)(·江西宜春四校联考)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．20．(16分)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．答案解析1．a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1解析 作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)| ＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 2.⎝⎛⎦⎤－35，1 解析 a ＝1显然满足题意，a ＝－1时不满足题意，若a ≠±1，则该不等式为一元二次不等式，则必有a 2<1，且Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.综上可知－35<a ≤1.3．5解析 因为m >0，n >0,2m ＋3n ＝5，所以(2m ＋3n )·(2m ＋3n )＝13＋6⎝⎛⎭⎫m n ＋n m ≥13＋12m n ·n m＝25(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，所以2m ＋3n ≥5.4．b <a <c解析 由于函数为偶函数，故b ＝f (cos 2)＝f (－cos 2)，c ＝f (cos 3)＝f (－cos 3)，由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，即函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，据单位圆三角函数线易得0≤ －cos 2<cos 1<－cos 3≤π2，根据函数单调性可得f (－cos 2)<f (cos 1)<f (－cos 3)，即b <a <c .5．20解析 某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．6．2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2.7．(－4,2)解析 x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，而a b ＋16b a≥2a b ·16b a ＝8，当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时，等号成立．因此x 2＋2x <8，即x 2＋2x －8<0，解不等式得－4<x <2. 8．7解析 直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域是由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.9．R >P >Q解析 令x ＝y ＝0，得f (0)－f (0)＝f (0)＝0，再令x ＝0，可得f (0)－f (y )＝f (－y )⇒－f (y )＝ f (－y )，即函数为奇函数．若－1<x <y <1，则x －y 1－xy <0，故由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，即f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，故函数在区间(－1,1)上为减函数．又P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫15－f ⎝⎛⎭⎫－111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋1111＋15×111＝f ⎝⎛⎭⎫27，而0<27<12，由单调性可得R ＝f (0)>f ⎝⎛⎭⎫27＝P >f ⎝⎛⎭⎫12＝Q . 10.32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.(2)当a <1时，∵x >0， ∴(a －1)x －1<0，不等式可化为 x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0， 即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－aa －1－1＝0， 整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.11．－12≤m ≤43解析 根据题意，得不等式|x －m |<1的解集是m －1<x <m ＋1，设此命题为p ，命题13<x <12为q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示集合的真子集，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤43.12．[－1,1]解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A (x ，y )，z ＝OA →·OB →＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z 表示斜率为1，纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝x ＋z ，知当直线过点D (2,1)时，直线y ＝x ＋z 的截距最小，z min ＝－2＋1＝－1；当直线y ＝x ＋z 过点E (1,2)时，直线y ＝x ＋z 的截距最大，z max ＝－1＋2＝1， 所以OA →·OB →的取值范围是[－1,1]．13．9解析 因为x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，所以xy ＝x ＋y ＋3≥2xy ＋3，解得xy ≥3或xy ≤－1(舍去)，所以xy ≥9，当且仅当x ＝y ＝3时取等号．故xy 的最小值为9. 14.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ 解析 ∵2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab .而2a ＋b ＝1≥22ab ，∴ab ≤24，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立．∴2ab －4a 2－b 2＝2ab ＋4ab －1，令ab ＝u ∈⎝⎛⎦⎤0，24，f (u )＝4u 2＋2u －1，∴f (u )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫24＝2－12，故只需t －12≥2－12，即t ≥22. 15．解 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5)， ∴A ∩B ＝(4,5)．(2)B ＝(2a ，a 2＋1)，当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时a ＝－1；当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在；当a >13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．16．解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ，当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立． ∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10.∴2ab ＝8，∴ab ＝16.由a ＋b ＝10，ab ＝16可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 17．解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)(x －1a )<0.因为方程(x －2)(x －1a )＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是{x |2<x <1a }；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是{x |1a<x <2}．(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)(x －1a )>0，由于1a <2，故原不等式的解集是{x |x <1a或x >2}．综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a 或x >2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x |2<x <1a }；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{x |1a <x <2}．18．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0. 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，由x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6 km 时，可击中目标． 19. 解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝OC ＝2，d max ＝OB ＝29，故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．20．解 问题等价于f (x )在(0,2)上的最小值恒大于或等于g (x )在[1,2]上的最大值． 因为f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.若f ′(x )>0，则x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3， 故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)， 故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点， 这个极小值点是唯一的，故也是最小值点， 所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]． 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142.。