混沌系统介绍及例子
混沌
混沌现象在非线性系统中，存在一类非常特殊的系统，即混沌系统. 从数学上来讲，对于具有确定初始值的动力系统，人们可以很容易推得该系统的长期行为甚至追溯其过去性态. 但当气象学家洛伦兹（Lorenz）在上世纪60 年代研究大气时却发现，一个由确定性参数描述的三阶常微分方程对初始条件高度敏感，其动态行为非常难以预测，这就是著名的“蝴蝶效应”. 通过反复地数值计算和思考，洛伦兹首先在耗散系统中发现了混沌运动，从而为以后的混沌研究开辟了道路. 一般而言，混沌系统对于初始条件极端敏感，具有稠密轨道的拓扑特征，以及呈现多种“混乱无序却又颇有规则”的图案. 与其它的非线性系统相比，混沌系统的动力学行为有着独有的特征，如：1) 有界性. 混沌是有界的，它的运动轨迹始终位于一个确定的区域，即混沌吸引域. 无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会超出此吸引域.2) 遍历性. 混沌系统在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道可以经过域内的每一个状态点.3) 统计特性. 如正的李雅普诺夫（Lyapunov）指数等. 李雅普诺夫指数是对系统的运动轨线相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画. 当李雅普诺夫指数小于零时，轨线间的距离以指数式衰减，对应于周期运动或者不动点；当李雅普诺夫指数大于零时，则初始状态相邻的轨线将按指数分离，对应于混沌运动. 目前的研究表明，尽管不能用李雅普诺夫指数是否大于零来判断系统是否是混沌系统，但对于一个混沌系统，它的李雅普诺夫指数一定大于零.目前，混沌研究已经涉及到众多的领域，包括数学、物理学、化学、生物学及经济学等. 例如, 在工程学上著名的洛伦兹系统族中的陈（Chen）系统，其数学模型可以描述为：其中，参数a=35, b=3, c=28通过类似于庞加莱（Poincare）截面分析的方法，即从低维投影判定高维动力学行为的方法，我们可以在系统的截面上区分Chen 系统的混沌、周期、拟周期等复杂的动力学行为. 图8.5 给出了Chen 系统的三个状态随时间的变化曲线图，图8.6 给出了Chen 系统的混沌吸引子图，图8.7 给出了MA TLAB 仿真的Simulink 模块图.图8.5(a) 状态x 随时间的变化图图 8.5(b) 状态y 随时间的变化图图8.5(c) 状态z 随时间的变化图图8.6 Chen 系统的混沌吸引子。
混沌系统的应用与控制研究
混沌系统的应用与控制研究混沌系统是指不断变化且表现出无序、随机、非线性等复杂性质的系统。
混沌系统在自然界中有着广泛的应用，如气象系统、生物系统、电路系统等。
此外，混沌系统在通信、保密、图像处理等领域也有很多实际应用。
混沌系统的产生是由于非线性系统中微小扰动在演化过程中不断放大，从而导致系统的表现出混乱的状态。
混沌系统的特点是不可预测、不稳定、无常、复杂等。
混沌系统对于一些领域的发展有着重要的作用，但是控制混沌系统是个挑战。
混沌控制一般是指通过一种控制手段去调节并稳定混沌状态以达到控制的目的。
下面我们将会详细介绍一些混沌系统的应用和控制方法。
一、混沌系统的应用1. 混沌通信混沌通信是一种新型的保密通信方式，它利用混沌系统的混乱性来保证通信的安全性。
混沌通信具有抗干扰、抗窃听等特点，已经被广泛应用于军事、金融和通信等领域。
其基础原理是通过混沌系统，将明文转化为混沌信号，然后发送到接收端，再通过相同的混沌系统进行解密。
混沌通信的保密性大大增加了通信的安全性，也为信息的保密传输提供了新的方法。
2. 混沌控制混沌控制可以用于一些实际应用中。
例如，在磁悬浮列车、空气动力学、化学反应等领域，混沌控制可以用于实现对系统的优化和调节。
混沌控制的方法有很多，例如针对可逆系统的方法、基于自适应控制的方法、基于反馈控制的方法等。
混沌控制的研究对于提高系统性能和稳定性具有重要意义。
3. 混沌密码学混沌密码学是一种新的密码保护方式，它使用混沌系统来生成随机数，这些随机数用于加密信息。
混沌密码学大大提高了密码保护的安全性。
混沌密码学与其他传统密码学的不同在于，混沌密码学生成的密钥是基于混沌系统的随机序列，这种序列是没有可确定规律的，从而可以提高密码的随机性和保密性。
二、混沌系统的控制方法1. 混沌控制的反馈控制方法反馈控制方法是一种常见的混沌控制方法，它通过在混沌系统中引入反馈控制，实现对混沌系统的稳定和控制。
在反馈控制策略中，系统的输出被量化，并与目标量进行比较，然后产生一个控制信号，该信号与系统中引入的反馈信号相加，修正系统的状态。
系统工程混沌学
起源与发展
最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个 系统中随时间变化的变量。洛伦兹（E.N.Lorenz）教授于1963年《大气科学》杂志上发表了“决 定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一 种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。
洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极 细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半 球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国德克 萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的 “蝴蝶效应”。
混沌学的另一个重要特点是，他致力于研究定型的变化，而非日常我们做熟悉的定量。这是由 它的成立的目的——解决复杂的，多因素替换成为引起变化的主导因素的系统而决定的。它的基本 观点是积累效应和度，即事物总处在平衡状态下的观点。它是与哲学一样，适用面最广的科学。
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PART THREE
蝴蝶效应
蝴蝶效应
运输
混沌理论最现实应用的奖赏应归于美国一交通工程师 小组，他们在1988年华盛顿会议期间把混沌与错综复杂的 交通图形联系了起来，下次你被停停走走堵塞在高峰超速 公路上，那你就把责任推给混沌。
天文学
先辈们认清了火星、木星间小行星带的Kirkwood间隙 起源问题，这些间隙相应于小行星混沌的运行轨道。 Laskar给出了行星内部的混沌运动图像，推翻了太阳系稳 定的观点。太阳系中地球混沌的特征时间大约是5百万年。
艺术
科学对艺术来说通常没有多大关系，但关于混沌，则 却有着某种内在的吸引人的特质，美kaos艺术公司的董事 长Kevin说，他支持“艺术或科学上的古怪或不同寻常的努 力”。Kaos公司在1995年主办了混沌芝家哥艺术节。艺术 家和建筑师的反响是热烈的，他们说混沌理论把意义和内 容带回到了装饰术中。混沌将有序无序巧妙地结合了起来 。1995年纽约当代艺术博物馆在纽约举办的“奇怪吸引子 ：混沌的符号”，在芝家哥举办的“奇怪吸引子：混沌的 奇观”轰动美国。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
混沌
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二、混沌现象介绍
Lorenze 天气模型
x x y y x y x z z xy z
Lorenze 的蝴蝶效应
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描述水平温度（y）和垂 直温度（z）差异而引起 的全球大气环流（x）
MIT W. Malkus、L.Howard 佛州立大学的R. Krishnamurti 不规则交替环流实验
2
2
(3)
d 2 2 c1 dt
(4)
分别以θ和为横坐标和纵坐 标，则方程(4)的相图为一椭 圆，c1为一与初始条件或总能 量有关的积分常数，对不同的 c1，可得一簇同心椭圆，如图 11所示。该相图表明系统状态 变化具有周期性。此即对应极 限环吸引子。
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约克-李天岩定理给出了非线性系统从周期规则运动 走向混沌的一种方式。
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二、混沌现象介绍
生态学中的混沌现象
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3、周期倍增与分岔
• 20世纪60年代的生态学对70年代的混沌建立有重要作用
• T.R.Malthus函数： x x
1 该生物群体个数逐年增加。
显然：该模型不受食物、环境和伦理情况限制。
扰动力项:
f e mg sin( a vt )
单摆受扰2
g sin x / l g sin( x / l t ) x
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二、混沌现象介绍
“Examples of Chaos”
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1、 Lorenze 的蝴蝶效应
“蝴蝶效应”的历史
“失之毫厘，差之千里”
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图 a: 趋向吸引子的螺旋轨道； b: 似于周期的轨道（极限 环）；c: 趋向于更复杂吸 引子的轨道
混沌系统的理论与应用
混沌系统的理论与应用混沌系统是指在确定性系统中，由于微小的初始条件差异引起系统长时间演化过程中，状态不断变化且呈现高度复杂无序的现象。
混沌现象的出现给人类带来了诸多困难，但同时也在科学研究和技术应用领域中发挥了巨大的作用。
本文将对混沌系统的理论及其应用进行探讨。
一、混沌系统的定义及基本特征混沌系统的理论是源于20世纪60年代。
混沌现象是理论物理学家对非线性动力学系统的理论研究时，所发现的一种极端复杂的动力学现象。
混沌现象被定义为，一种无规律但非随机的动力学现象，其表现在确定性混沌系统中，无论系统初值多么接近，最终演化出的状态都会极其敏感的依赖于初值。
混沌系统是指非线性动力学系统过程中出现的这种现象。
混沌系统最基本的特征是，虽然每个状态都有非常简单的生成规则，但是系统的演化过程却呈现出极其复杂的变化，使得人们即使通过各种数学方法也无法完全预估其发展规律和最终状态。
此外，混沌的系统还表现出以下的一些特点：1. 混沌系统的状态在空间和时间上都是无规律的，非随机。
2. 混沌系统的初始条件非常敏感，即“蝴蝶效应”，微小的初值差异对其演化过程的影响可以是复杂的非线性关系。
3. 混沌系统在演化过程中呈现出迅速的变化，且永远不会重复出现相同的状态。
二、混沌系统的代表模型混沌系统在实际问题中广泛应用，众多的研究和模型的探索，为混沌的理论研究提供了很多的可能性，以下是混沌系统代表性模型的介绍。
1. Logistic 映射模型Logistic 映射模型最经典的表示形式是：xn+1 = r xn (1 – xn)其中 xn 表示第 n 个时刻的系统状态，r 表示系统的“控制参数”。
当 r 在一定的范围内变化时，它的演化过程呈现出明显的周期性或混沌性。
2. Lorenz 方程模型Lorenz 方程模型是由美国气象学家 Edward Lorenz 提出的一个非线性模型，它描述了空气流动的一些基本规律。
Lorenz 方程模型的表示形式是：dx/dt = σ(y – x)dy/dt = x(ρ – z) – ydz/dt = xy –βz其中x、y、z 分别表示空气流动中温度、密度和速度的状态量，而右边的三个式子则分别描述了它们之间的相互作用。
混沌系统分类
混沌系统分类混沌系统是指那些看似无序、无规律、复杂且难以被完全预测的系统。
混沌系统在自然界和人工系统中都有广泛的应用，如气象学、生物学、经济学、物理学等领域。
根据混沌系统的特征和行为，可以将其分为以下几类：1. 离散映射混沌系统离散映射混沌系统是指在离散时间步中，系统状态通过一个离散映射进行更新。
这类系统中最著名的是Logistic映射，其表达式为：x_n+1 = r*x_n*(1-x_n)，其中x_n为系统在第n个时间步的状态，r 为常数。
这个映射可以产生极其复杂的行为，如周期倍增、途中混沌、周期混沌等。
2. 连续系统混沌系统连续系统混沌系统是指系统的状态是连续的，并且通过微分方程系统进行更新。
这类系统中最著名的是Lorenz系统，它可用下列方程组描述：dx/dt = σ(y-x), dy/dt = x(ρ-z)-y, dz/dt = xy-βz，其中x、y、z分别表示系统的三个状态，σ、ρ、β为参数。
该系统表现出极其复杂的行为，如奇异吸引子、周期倍增等。
3. 分数阶混沌系统分数阶混沌系统是指系统的微分方程中含有分数阶导数，这类系统的行为更加复杂。
比如，分数阶Lorenz系统的方程为：_C^0D_t^αx(t) = σ(y-x), _C^0D_t^αy(t) = x(ρ-z)-y, _C^0D_t^αz(t) = xy-βz，其中_C^0D_t^α表示Caputo分数阶导数，α为分数阶指数。
该系统表现出的行为更加丰富，如多重奇异吸引子、混沌吸引子等。
4. 拓扑混沌系统拓扑混沌系统是指系统的结构可以用拓扑学的方法来描述，比如网络拓扑结构。
这类系统中最著名的是Chua电路，它可用下列方程描述：C(dVc/dt) = g(Vb-Vc) - I_1, L(di/dt) = Vc-Va, C(dVb/dt) = g(Vc-Vb) + g(Va-Vb), L(di_1/dt) = Vb-Va-Ri_1，其中Va、Vb、Vc、i、i_1为电路的状态变量，C、L、R、g分别表示电容、电感、电阻和非线性电感。
复杂混沌知识点总结图解
复杂混沌知识点总结图解一、基本概念1.1 复杂系统复杂系统是由大量相互作用的元素组成的系统，其整体行为不可简单地通过其组成元素的行为来解释。
复杂系统包括自然界和人类社会中的许多对象，如气候系统、生态系统、神经网络、经济系统、交通网络等。
复杂系统的性质包括非线性、动态演化、自组织、敏感依赖于初始条件和边界条件等。
1.2 混沌现象混沌现象是非线性动力学系统中的一种特殊现象，其特征是对初始条件极其敏感，微小的扰动可能导致系统行为的剧烈变化。
混沌现象的典型表现包括轨道的无限分岔、轨道的随机性、轨道的分形特征等。
1.3 复杂混沌系统复杂混沌系统是指那些既具有复杂性又具有混沌性质的系统。
这类系统的行为通常由一系列非线性微分方程描述，其行为表现为非周期性、随机性、敏感依赖于初始条件等。
1.4 分形分形是一类具有自相似性的几何形状，其形状在各个尺度上都具有相似的结构。
分形具有广泛的应用价值，在复杂混沌系统中常常描述系统的分形特征。
二、数学模型2.1 非线性动力学方程复杂混沌系统的行为通常由一系列非线性微分方程描述，典型的非线性动力学方程包括洛伦兹方程、齐次方程、吸引子方程等。
这些方程描述了系统状态随时间的演化规律，是研究复杂混沌系统的重要数学工具。
2.2 分形维数分形维数是描述分形对象维度的概念，常用的分形维数包括分形维数、盒覆盖维数、信息维数等。
分形维数可以有效地描述复杂混沌系统的分形特征。
2.3 动力学系统动力学系统是对自然界中的各种现象进行建模和分析的数学工具，包括连续动力学系统和离散动力学系统。
动力学系统可以描述系统状态随时间的演化规律，分析系统的稳定性、周期性和混沌性质。
2.4 随机过程随机过程是一类描述随机现象演化规律的数学模型，包括马尔可夫链、随机微分方程、随机分形等。
随机过程可以描述复杂混沌系统中的随机性质。
三、分析方法3.1 常微分方程数值解法常微分方程数值解法是研究复杂混沌系统的重要数值方法，包括欧拉方法、隐式方法、龙格-库塔方法等。
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二零一五年六月二十二日 目录 1. 混沌系统概念 2. 典型混沌系统介绍 3. 混沌金融系统的线性与非线性反馈同步 4. 混沌研究的发展方向及意义 一、混沌系统概念 混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。又称浑沌。英语词Chaos源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。 动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。运动的可预测性是一个物理概念。一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。 混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
二、典型混沌系统介绍 Lorenz系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz方程组：
。 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t，一般称作自治方程。式中x表示对流强度，y表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz和xy为非线性项，b是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差
△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。kva是普朗特数(v和k分别为分子粘性系数和热传导系数)，c代表与对流纵横比有关的外形比，且a和c为无量纲常数。在参数范围为1)3(cacaab时，Lorenz系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所
121212133312
10(),28,8/3,xxxxxxxxxxxx
示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x、y随时间t的变化情况。
总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。这个吸引子中的环和螺线有无穷的深度，它们之间可以无限靠近，但永远不会相交，仅占据有限的空间，具有无穷嵌套的复杂结构。例如，随着时间的演化，每一个环都靠得很近的无穷多层，每层上都密密麻麻的排列着无穷多个螺线，它代表系统的相点在右侧转几圈后又跳到左侧转几圈，运动轨道无法预测什么时候从这一侧过渡到另一侧，并且它所绕各自中心的方式和圈数也是个明显的随机数。这就是混沌状态。 三、混沌金融系统的线性与非线性反馈同步 自从1990年E.Ott等提出OGY混沌控制以及同年L.M.Pecora等提出完全同步以来,人们对混沌系统的认识更加深入.混沌同步用来实现两个系统的混沌态的完全重构,已经成为非线性科学理论及应用中的重要组成部分,是当前混沌理论研究和应用中的热点问题。目前,混沌同步已经广泛应用于激光物理、通信、化学反应、生物医学等领域.经济学中的混沌现象自1985年首次被发现以来,对当今西方主流经济学派产生了巨大的冲击,因为经济系统中出现混沌现象意味着宏观经济本身具有内在的不稳定性.根据混沌经济学家的观点,金融市场是一个复杂的经济系统,金融危机是这个系统产生的一种混沌现象,显然经济混沌控制就显得尤为重要.本研究考虑一类金融系统的混沌同步问题,首先利用非线性反馈控制实现了该金融系统的自同步,其次利用线性耦合的方法探讨了该系统的耦合自同步,得到了两种使该金融系统渐进同步的控制方法.数值仿真结果表明所给方法是有效的。 3.1、一类混沌金融系统的数学模型 模型建立了一个由生产子块、货币、证券子块和劳动力所组成的混沌金融系统: ﹒x=z+(y-a)x, ﹒y=1-by-x2, ﹒z=-x-cz, 其中x表示利率,y表示投资需求,z表示价格指数,a为储蓄量,b为投资成本,c为商品需求弹性.取参数a=0.9,b=0.2,c=1.2,初始条件为(2,1,2),利用Matlab软件得到系统(1)的三维相图见图1.
3.2、非线性反馈实现混沌金融系统的自同步控制 设驱动系统为(1),响应系统为 ﹒x1=z1+(y1-a)x1+u1, ﹒y1=1-by1-x21+u2, ﹒z1=-x1-cz1+u3, 其中U= (u1,u2,u3)T是非线性反馈控制器.设e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,则误差系统为 ﹒e1=e3+y1e1+xe2-ae1+u1, ﹒e2=-be2-e1(x1+x)+u2, ﹒e3=-e1-ce2+u3, 选择非线性反馈控制器如下: u1=-y1e1+k1e1, u2=x1e1+k2e2, u3=k3e3, 其中ki(i=1,2,3)为反馈增益常数,此时误差系统变为 ﹒e1=e3+xe2-ae1+k1e1, ﹒e2=-be2-e1x+k2e2, ﹒e3=-e1-ce3+k3e3, 构造李雅普诺夫函数V=12∑3i=1e2i,则 ﹒V= ﹒e1e1+﹒e2e2+﹒e3e3=e1(e3+y1e1+xe2-ae1+u1)+e2[-be2-e1(x1+x)+u2]+ e3(-e1-ce3+u3)=-ae21-be22-ce23+y1e21+e1u1-e1e2x1+u2e2+u3e3, 将式第四个式代入上式可得 ﹒V=-(a-k1)e21-(b-k2)e22-(c-k3)e23, 由于a,b,c为正数,只要反馈增益常数k1雅普诺夫稳定性理论,误差系统的零解稳定,从而在控制器的控制下,混沌驱动系统响应系统可达到全局渐进同步.综合以上讨论可得定理1. 定理1 对于驱动系统(1)和响应系统(2),如果系统的非线性反馈控制器取式(4),反馈增益常数 k1注:1)由于所取的控制器中含有3个参数,反馈增益的取值范围较大,从而实现了混沌系统大范围可控. 2)可以通过调节反馈增益常数使系统达到同步的时间缩短,从而减少实现混沌系统同步所需的工程造价. 3.3、线性耦合实现金融混沌系统的自同步控制 考虑两个状态变量相互耦合的系统: ﹒x=z+(y-a)x+d1(x1-x), ﹒y=1-by-x2+d2(y1-y), ﹒z=-x-cz+d3(z1-z),
﹒x1=z1+(y1-a)x1+d1(x-x1), ﹒y1=1-by1-x21+d2(y-y1), ﹒z1=-x1-cz1+d3(z-z1), 其中di(i=1,2,3)是耦合常数.设e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z, 则由式和得到误差系统为: ﹒e1=e3+y1e1+xe2-ae1-2d1e1, ﹒e2=-be2-e1(x1+x)-2d2e2, ﹒e3=-e1-ce3-2d3e3, 构造李雅普诺夫函数V=12∑3i=1e2i,则﹒
•••3213211113213322112,00,20,2,022),,(eeedcdbxxydaeeeeeeeeeV
令V负定,则A的一阶主子式|A1|=a+2d1-y1>0, A的二阶主子式|A2|=(a+2d1-y1)(b+2d2)-x122>0, A的行列式0)2(2)2)(2(321211dcxdbydaA所以当耦合常数满
足,2,4,2321211cdxdayd时,﹒V负定.根据李雅普诺夫稳定性理论,误差系统的零解稳定,驱动系统(6)和响应系统(7)可达到全局渐进同步.综合以上讨论可得定理2 定理2 对于驱动系统(6)和响应系统(7),参数a>0,b>0,c>0,若耦合常数
,2,4,2321211cdxdayd,则耦合系统(6)和(7)可达到全局渐进同步.
注:这种线性耦合方法也可以运用于两个不同结构的混沌系统的同步控制. 3.4、数值模拟 为了验证所设计的混沌控制器的有效性,采用 四阶龙格-库塔方法进行仿真.
例1、取驱动系统(6)的初值为(1.07,1,2.08),响应系统(7)的初值为(1.76,1.74,2.19),耦合常数d1=1,d2=5,d3=-0.5,参数取a=0.9,b=0.2,c=1.2,仿真结果得误差e1,e2,e3的时序图如图3所示.由图3可知,虽然耦合系统(6)和(7)的初值不同,但该混沌系统很快实现了自同步.