福建省福州市八县一中2017-2018学年高二下学期期末联考试题数学(理)含答案

2017-2018学年第二学期八县（市）一中期末联考

高中 二 年 数学（理） 科试卷

命题学校： 长乐一中 命题教师： 葛凤清 审核教师：张国华 考试时间：7月4日 完卷时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．对于复数＝(1＋i )21－i ，若命题p ：“复数在复平面内对应的点位于第一象限”，命题q ：“设复

数的共轭复数为z ，则z ＝－1－i ”，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(┒q ) B ．p ∧q C ．(┒p )∧q D ．p ∧(┒q )

2.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ） A.

种 B.

种 C.

种 D.

种

3．在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000

()()2~,=0.6826,

X N P X μσμσμσ-<≤+若，则()220.9544,P X μσμσ-<≤+=()330.9974.P X μσμσ-<≤+=

4.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相互独立，则方差()D X =（）A ．2 B ．1 C ．

2

3

D ．

34

5.

10

3

3)

1x x -（的展开式中系数为正数的有理项有( )

A ．1项

B ．2项

C ．3项

D ．4项

6．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击成绩比较稳定的运动员是( )

A.甲 B ．乙 C ．一样D 7.已知直线1l ：-2y-1=0，直线2l ：a-by+1=0，其中a ，b ∈{1,2,3，4,5,6}则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为（ ）A ．1/6 B ．1/4 C ．1/3 D ．1/2 8.已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0

1

2

，则（ ）A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1

E()ξ<2

E()ξ，1D(

)ξ>2D()

ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ D ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ

9. 已知数据1，2，3，4，

的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这

2个数字之积大于5的概率为（ ）

A. B. C. D.

10.奇函数()f x 定义域为()

(),00,ππ-，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有

()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π??

< ???

的解集为（ ）

A ．,4ππ??

??? B ．,,44ππππ????-- ? ????? C ．,00,44ππ????

- ? ?????

D ．,0,44πππ????- ? ?????

11．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( )A ．408 B ．480 C ．552 D ．816

12.已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k ，则（ ）A ．至少存在两个点P 使得1k =- B ．对于任意点P 都有0k < C ．对于任意点P 都有1k <

D ．存在点P 使得1k ≥

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有 种．（用数字作答）

14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射

击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的数学期望E (η)>7

4

，则

p 的取值范围是________．

15．已知等式4＋a 13＋a 22＋a 3＋a 4＝(＋1)4＋b 1(＋1)3＋b 2(＋1)2＋b 3(＋1)＋b 4，定义映射f ：(a 1，

a 2，a 3，a 4)→(

b 1，b 2，b 3，b 4)，则f (4,3,2,1)＝____________.

16.农历2月初2是中国春节期间最后一个节日，叫“2月2龙抬头”这一天河北农村有一风俗叫“吃燎斗”，就是吃自家炒的黄豆.设想炒熟黄豆后，把两粒生黄豆混入其中，平均分成三份，取其一份恰好含有生黄豆的概率是 ____________.

三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：

学生的概率是多少？

（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？

（3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由. 附：

18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：

（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程

；

（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？

（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好自同一月份的概率.

参考公式：，.

19.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

111

,,234

. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

20．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示：

(I)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布(),198,N μμ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(37<≤79)；

(II)在(I)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的

分布列与数学期望． 14≈．

()()2~,=0.6826,

X N P X μσμσμσ-<≤+若，则()220.9544,P X μσμσ-<≤+=()330.9974.P X μσμσ-<≤+=

21. 已知函数

R a x x

a x x x f ∈++=

,ln 1)(2.

（Ⅰ）若函数f()在=1处的切线l 过原点，求a 的值及切线l 的方程；

（Ⅱ）若a=2,且存在t ∈R 使得f(t)>，求整数的最大值.（参考数据：ln5-ln4=0.223）.

22.在直角坐标系Oy 中，曲线C 1：?

??

x ＝t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为

极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．

2017-2018学年第二学期八县（市）一中期末联考

高二数学(理科)参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

13. 18 14. (0,1/2) 15. (0,-3,4,-1) 16. 5/9

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17

18.（Ⅰ）依题意，，，，

∴关于的线性回归方程为：.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，.

，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.

（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为：，，，，从4月份选取的2位驾驶

员的编号分别为，，从这6人中任抽两人包含以下基本事件：

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，共15个基本事件，其中两个恰好自同一月份的包含7个基本事件，∴所求概率

.

19（Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.

()111101112344

P X ??????==-?-?-= ? ? ???????，

()11111111111

111111123423423424

P X ????????????==

?-?-+-??-+-?-?=

? ? ? ? ? ?????????????， ()1111111111

21112342342344

P X ??????==-??+?-?+??-= ? ? ???????，

()1111

323424

P X ==??=

. 所以，随机变量X 的分布列为

1

随机变量X 的数学期望()113

012342442412

E X =?+?+?+?=.

（Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==

11111111

42424448

=?+?=

. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为

1148

. 20.解：（Ⅰ）

,故

，

∴

，

．

∴

综上

,

．

（Ⅱ）易知

获赠话费的可能取值为

，

，

，

．

；；

．

的分布列为：

∴．

21解：(Ⅰ) 因为，所以

， 所以

，

，所以切线的斜率，即，所以

，

所以切线的斜率，由切线过原点得其方程为

.

(Ⅱ)当时，

，

，

令

，则

是单调递减函数，因为

，

，所以在

上存在，使得

，即

，

所以当时，，时，

，

即当时，

，时，，所以在上单调递增，

在

上单调递减，所以当时，

取得最大值是

.

因为，所以，

因为，所以，所以，

所以若存在

，使得

，则

，故整数的最大值为2.

22解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为2

＋y 2－23＝0.

联立?????

x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，

解得?????

x ＝0，y ＝0，或

????

?

x ＝32

，

y ＝32.

所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和? ??

??

32，32.

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4??????

sin ? ????α－π3.

当α＝5π

6

时，|AB |取得最大值，最大值为4.