2017中考解直角三角形的应用题
2017山东数学中考真题-分类汇编---解直角三角形
F E C B A （第12题图） 2017山东省各地市中考真题分类汇编--解直角三角形 一、选择题：1、（聊城，2．（3分））在Rt △ABC 中，cosA=，那么sinA 的值是（ ） A ． B ． C ． D ．2、（日照，4．）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3、（烟台12．（3分））如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D 的仰角为67.5°，已知测倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（ ） A ．34.14米 B ．34.1米 C ．35.7米 D ．35.74米 4、（淄博12．）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∠BAC ，∠ACB的平分线相交于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，则EF 的长为 （ ） A ．52 B ．83 C ．103 D ．154 二、填空题; 1、（东营，16．）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．2、（东营，17．）一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A 处测得塔顶的仰角为α，在B 处测得塔顶的仰角为β，又测量出A 、B 两点的距离为s 米，则塔高为 米．3、（临沂，18．（3分））在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB=4，BD=10，sin ∠BDC=，则▱ABCD 的面积是 ．三、解答题1、(菏泽、18.)如图，某小区①号楼及○11号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道○11号楼的高度，于是他做了一些测量.他先在B 点测得C 点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A 处，测得C 点的仰角为30°，请你帮李明计算○11号楼的高度CD .2、（德州，21．）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9秒，已知∠B=30°，∠C=45°．（1）求B ，C 之间的距离；（保留根号）（2）如果此地限速为80km/h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）3、（聊城，21．（8分））耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P 处，利用测角仪测得运河两岸上的A ，B 两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C 到点B 的距离为142米（A 、B 、C 在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A 、B 两点的距离（精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）4、（临沂，22．（7分））如图，两座建筑物的水平距离BC=30m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．5、（青岛，19．）（本小题满分6分）如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：73.1351267tan 13567cos 131267sin ≈≈︒≈︒≈︒；；；） 6、（威海，22．）图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管及太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线及地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线及玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB ⊥BC ，垂足为点B ，EA ⊥AB ，垂足为点A ，CD ∥AB ，CD=10cm ，DE=120cm ，FG ⊥DE ，垂足为点G ．（1）若∠θ=37°50′，则AB 的长约为 83.2 cm ；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG=30cm ，∠θ=60°，求CF 的长．7、（潍坊，20．）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）。
2017中考复习解直角三角形
1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正 方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′ 的周长是（ ）
பைடு நூலகம்
（2016·云南省昆明市）如图，大楼AB右侧有一障碍物， 在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障 碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45° （点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m， DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离.
（2016· 山东省菏泽市· 3分）南沙群岛是我国固有领土，现 在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船 航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+ ）海里的 C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船 前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位 于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
2.已知等边三角形的边 长为3，点P为等边三角 形内任意一点，则点P到 三边的距离之和为( ）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分 线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径 作半圆． （1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）如果tan∠CAO=
，求cosB的值
某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕 像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员 从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得 雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的 中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、 C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两 村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此 公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
2017年中考数学专题练习解直角三角形.doc
《解直角三角形》：分24 分）1．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则t an A 的值是（）A．45B ．35C．43D ．342. 在Rt △ABC中，∠C＝90°，sin A ＝，则s in B 的值为（）A．B．5 13C．D．3. 已知0°＜＜90°，则m＝sin ＋cos 的值（）A．m ＞1 B ．m ＝1C．m ＜1 D ．m ≥ 14. 在△ABC 中，若32sin A (1 tan B) 0，则C的度数是（）2A．45 B ．60C．75 D ．1055. 如果直线y2x与x轴正半轴的夹角为，那么下列结论正确的是（）A. sin 2B. cos 2C. tan 2D. tan 126. 如图，在8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则t an ∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．37. 如图，坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离AC为2m ，则坡面距离AB为（）Ａ．4m Ｂ．3mＣ．4 33m Ｄ．4 3m8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i 1:1.5 ，则坝底AD 的长度为()A．26 米 B ．28 米C．30 米 D ．46 米Ｂ30ＡＣ第6 题图第7 题图第8 题图二、填空题：（每小题 3 分，共24 分）9. 在Rt △ABC中, ∠C＝90 o，BC＝5，AB＝13，sin A ＝_________.10. 计算：0 cos3002sin 45 tan 60 ＝．11. 如图，在地面上的点 A 处测得树顶B的仰角为度，AC＝7 米，则树高BC为米（用含的代数式表示）．12．如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的直线距离AB＝4 米，此时，他离地面高度为h＝2 米，则这个土坡的坡角∠A＝．13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东60°方向的 C 处，他先沿正东方向走了200 米到达 B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地 C (如图) ，那么，由此可知，B、C 两地相距米.北C30°60°A B第11 题图第12 题图第13 题图14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3 米，且则梯子AB 的长度为米 . cos3BAC ，415. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为．16. 如图，在半径为 5 的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），那么cos C 的值是.第15 题图第16 题图三、解答题（本大题共8 个小题，满分52 分）：17. （本题 4 分）计算：0 0( 3 2) 4sin 60 2 2 318. （本题4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝BPC的值．12∠BAC，试求tan ∠19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树C D的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B 点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树C D的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈ 1.414 ，≈ 1.732 ）20. （本题6分）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，3sin A ，求DE.5BDA C E21.( 本题6分) 如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得 B 的方位角为南偏东45°，轮船航行 2 小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈ 1.41 ，≈ 2.45 ）22. （满分8 分）如图，从A地到B 地的公路需经过C地，图中AC＝10 千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B 两地之间修建一条笔直的公路．⑴. 求改直的公路AB的长；⑵.问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25 °≈0.42 ，cos25°≈0.91 ，sin37 °≈0.60 ，tan37 °≈0.75 ）23. （本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ A 的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点 F 恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．⑴. 求证：△ACE≌△AFE；⑵. 求tan ∠CAE的值．24.（满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1).求证：BD＝BF；(2).若C F＝1，cosB＝35，求⊙O的半径．解直角三角形1～8: CAAC CACD；9.513；10.52；11. 7 tan ；12. 030 ；13. 200 ；14.4 ；15. 3 3 ；16. 45 ；17. 3；18. 43；19. 8.7m；20. 154 ；21.100km ；22.（1）AB 14.7千米；（2）缩短了2.3千米；23. （1）证明过程略；（2）tan5 CAE ；524. (1) 证明过程略；(2). 52．。
【通用版】2017年中考一轮考点过关(28)解直角三角形ppt课件(含答案)
分析：这类问题通常可转化为两个直角三角形， 这两个直角三角形中的一条直角边公共，另一 条直角边在同一直线上．解题时注意方程思想 的运用．求出点C到AB的距离，并将这个距离 与半径45千米进行比较，根据两者之间的大小 关系即可判断高速公路是否穿过风景区．
解：不能.理由如下：如图， 过点C作CD⊥AB于点D. ∴AD=CD·tan α， BD=CD·tan β． 由AD＋BD=AB，得CD·tan α＋CD·tan β=AB． AB 150 50(km). ∴CD= tan tan 3 ∵CD=50＞45， ∴连接AB的高速公路不穿过风景区．
【例2】 （2013· 荆门市）A，B两市相距150千米， 分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所 示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα ＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部分设计修建 连接A，B两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过 风景区，请说明理由．
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°， A AB=13，BC=5，则sin A的值是
（
5 13
）
12 13
5 12
13 5
2.（2016· 福州市）如图6个形状、大小完全相 同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知 菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格
点上，则tan∠ABC的值是______.
3. 特殊角的三角函数值：
1 2
2 2 3 2 3 3 2 2
1
3 2 1 2
3
4. （2013· 成都市）如图，某山坡的坡
面AB=200米，坡角∠BAC＝30°，则 100 该山坡的高BC的长为______米．
24 2(2cos 45 sin 60)道 特殊角的三角函数值，会使用计
2017年中考数学专题复习试卷分类汇编(解析版)：--解直角三角形专题
.选择题1. （ 2016山东省荷泽市 3分）如图，△ ABC 与厶A'B'C'都是等腰三角形，且 AB=AC=5, AB 'AC ' =3 若/B+ / B ' =90° 则 A ABC 与厶 A 'B'C 的面积比为（ ）【考点】互余两角三角函数的关系. 【分析】先根据等腰三角形的性质得到 / B=Z C , / B ' =C '，根据三角函数的定义得到 AD=AB?sinB , A D ' AB ' s ?B BC=2BD=2AB?;osB , B C ' =2 D ' =2B ' c ?sB '，然后根据三角 形面积公式即可得到结论. 【解答】解：过 A 作AD 丄BC 于D ，过A 作A D 丄B C 于D ', •••△ ABC 与厶A B C 都是等腰三角形, •••/ B= / C , / B ' M C ； BC=2BD , B C ' =B D ••• AD=AB?sinB , A D ' AB ' S ?B ； BC=2BD=2AB?cosB , B C ' =B D ' =A B ' c ?sB ； •••/ B+ / B ' =90° • sinB=cosB ', sinB ' cosB , •-S BAC 誌 AD7BC 令 AB?si nB?2AB?sosB=25s in B^osB , S A A B C =*A D ' B ? ' = B ' c ?sB ' A2B ' s ?B ' =9iB ' cosB ',•-S A BAC : S A A B C =25: 9.【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程就是解直角三角形•也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式.2. （2016重庆市A 卷•分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动， 解直角三角形2'A . 25： 9B . 5: 3C . . ~：D . 5. ： 3一扌 故选A .如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1 : 2.4,那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°~ 0.5%os36°~ 0.8，an36°~ 0.73A . 8.1 米B . 17.2 米C. 19.7 米 D . 25.5 米【分析】作BF丄AE于F,贝U FE = BD=6米，DE = BF，设BF=x米，贝U AF =2.4米，在Rt A ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt A ACE 中，由三角函数求出CE,即可得出结果.【解答】解：作BF丄AE于F，如图所示：贝U FE=BD=6 米，DE=BF ,•••斜面AB的坡度i=1 : 2.4,••• AF =2.4BF ,设BF=x 米，则AF=2.4x 米，在Rt A ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132,解得：x=5,•DE = BF=5 米，AF=12 米，•AE=AF + FE=18 米，在Rt A ACE 中，CE=AEtan36°18X0.73=13.14 米，•CD = CE- DE=13.14 米- 5 米~8.1 米；故选：A.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数; 决问题的关键. 3. （ 2016浙江省绍兴市 4分）如图，在 Rt A ABC 中，/ B=90 ° / A=30 °以点A 为圆心, BC 长为半径画弧交 AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E , 连接AE , DE ，则/ EAD 的余弦值是（ A — B F E C 昼 D . 73 5 . 6 . 3 2 【考点】解直角三角形. 【分析】设BC=x ,由含30°角的直角三角形的性质得出 根据题意得出AD = BC=x , AE=DE=AB= ：;x ,作EM 丄AD 于M ，由等腰三角形的性质得出 111 1 AM^-AD^-x , 在 Rt A AEM 中，由三角函数的定义即可得出结果. 【解答】 解：如图所示：设 BC=x , •••在 Rt A ABC 中，/ B=90° , / A=30° ,故选：B . A M I 0 £7 L\ 、 Ec4. （2016重庆市B 卷4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15米的旗杆ED ,由勾股定理得出方程是解 AC=2BC=2x ,求出 AB= . 】BC=. ; x , 根据题意得： AD=BC=x , AE=DE=AB 「_;x ,在 Rt A AEM 中, cos / EAD= ANAE 13.5 ••• AC=2BC=2x , AB= ';BC= ：_;x , 作EM 丄AD 于M ，贝U AM =」-AD= x ,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：.则大楼AB的高度约为（）（精确到o.i 米，参考数据： 1.41 1.73 2.45I~IC DA. 30.6B. 32.1C. 37.9D. 39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】延长AB交DC于H，作EG丄AB于G,则GH = DE=15米，EG=DH，设BH=x米, 则CH= .「;x米，在Rt A BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△ AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6. ：+20（米），即可得出大楼AB 的高度.【解答】解：延长AB交DC于H，作EG丄AB于G,如图所示：贝U GH = DE=15 米，EG=DH ,•••梯坎坡度i=1：「，••• BH : CH=1 ::-.,设BH=x 米，贝U CH= . lx 米，在Rt A BCH 中，BC=12 米，由勾股定理得：x2+ （一「；x）2=122,解得：x=6, • BH=6 米，CH=6. 一;米，•BG = GH - BH=15 - 6=9 （米），EG=DH=CH + CD=6 . :+20 （米），T/ a=45°,•••/ EAG=90°- 45° =45°,•△ AEG是等腰直角三角形，•AG = EG=6 . 1+20 （米），•AB=AG+BG=6 才£+20+A 39.4 （米）；故选：D.H C D【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、 俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求 出BH ，得出EG 是解决问题的关键.二.填空题1. （ 2016山东省荷泽市 3分）如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角 △ CDE , DE = CE ,连 接 BE ,贝U tan / EBC= 二.~~【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】作EF 丄BC 于F ，如图，设DE=CE = a ,根据等腰直角三角形的性质得 CD=*CE=.:a , / DCE=45 °再利用正方形的性质得 CB=CD^2a , / BCD =90 °接着判断△ CEF 为等【解答】解：作 EF 丄BC 于F ，如图，设DE=CE=a ,•••△ CDE 为等腰直角三角形，••• CD= _ 】CE=.】a , / DCE=45° ,•••四边形ABCD 为正方形，• CB=CD^ ■:a , / BCD =90°,•••/ ECF=45° ,• △ CEF 为等腰直角三角形，腰直角三角形得到 CF = EF= V2 CE=^-' a ，然后在Rt A BEF 中根据正切的定义求解.即/ EBC —•3正方形的四条边都相等， 四个角都是直角；正方形的两 条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四 边形、矩形、菱形的一切性质•也考查了等腰直角三角形的性质.2. （2016湖北荆州3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外•如图，张三同学 在东门城墙上C 处测得塑像底部 B 处的俯角为18°8 '，测得塑像顶部 A 处的仰角为45°点 D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高 AB 约为 58 米（参考数据：tan 78° 12'~）4.8 7 C* 1 弊:二*「B D【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出 EC 的长，进而得出 AE 的长，进而得出答案.【解答】 解：如图所示：由题意可得： CE 丄AB 于点E , BE=DC ,•// ECB=18° 48,'•••/ EBC=78° 12'则 tan78° 12'—=—=4.8, BE 10解得：EC=48 （m ）, •// AEC=45° 贝U AE=EC ,且 BE=DC=10m ,•此塑像的高 AB 约为：AE+EB=58 （米）.故答案为：58.一一 V2 宁一一 BFa 在 RtA BEF 中，tan / EBFE4啓匚 B D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC 的长是解题关键. 三•解答题1. （ 2016湖北随州8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝 雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30°山高857.5尺，组员从山脚 D 处沿山坡向 着雕像方向前进1620尺到达E 点，在点E 处测得雕像顶端 A 的仰角为60°求雕像AB 的 高度.【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可.【解答】解：如图，过点E 作EF 丄AC , EG 丄CD , 在 Rt A DEG 中，•/ DE=1620, / D=30°•/ BC=857.5, CF=EG ,••• EG=••• BF=BC - CF=47.5, 在 Rt A BEF 中，tan / BEF=三一， EF • EF= -BF , 在 Rt A AEF 中，/ AEF=60° ,设 AB=x , •/ tan / AEF —二 BF • AF =EF xtan / AEF , • x+47.5=3 X 47.5, • x=95, 答：雕像AB 的高度为95尺. 2. （2016吉林7分）如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C ,此时飞行高度 AC=1200m , 从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角a =43°，求飞机A 与指挥台B 的距离（结果取整数） （参考数sin43°0.68, cos43°=0.73, tan43° =0.93）答：飞机A 与指挥台B 的距离为1765m . 3. （2016江西8分）如图1是一副创意卡通圆规，图 OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 OA=OB=10cm . 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】先利用平行线的性质得到 / B= a =43°,然后利用/ B 的正弦计算AB 的长. 【解答】 解：如图，/ B= a =43° , 在 Rt A ABC 中，•/sinB= = AB = & 1765（m ）. 2是其平面示意图，OA 是支撑臂，B 可绕点A 旋转作出圆.已知（1）当/ AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到O.O1cm）（2）保持/ A0B=18°不变，在旋转臂0B末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度. （结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°~ 0.15@4cos9°~ 0.9877sin 18°~ 0.3090cos18°~ 0.95,可使用科学计算器）圉1【考点】解直角三角形的应用.【分析】（1）根据题意作辅助线OC丄AB于点C,根据OA=OB=10cm, / OCB=90°,/ AOB=18°,可以求得/ BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB,然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决.【解答】解：（1）作OC丄AB于点C,如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm, / OCB=90°, / AOB=18°,•••/ BOC=9°••• AB=2BC=2OB?sin9°~ 2X 10X 0.1564 5,即所作圆的半径约为 3.13cm；（2）作AD丄OB于点D,作AE=AB，如下图3所示，•••保持/ AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，•••折断的部分为BE,•••/ AOB=18°, OA=OB , / ODA =90°,•••/ OAB=81°, / OAD =72°,•••/ BAD=9° ,••• BE=2BD=2AB?sin9°~ 2X 3.13 X 0.1564 笔册98 即铅笔芯折断部分的长度是 0.98cm .4. （2016辽宁丹东10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度•他们在 C64 °求建筑物的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】Rt A ADB 中用AB 表示出BD 、Rt A ACB 中用AB 表示出BC ,根据CD = BC - BD 可 得关于AB 的方程，解方程可得.【解答】 解：根据题意，得 / ADB=64° , / ACB=48°AB 10 tan48& Ji11• CD = BC - BDsin48°^^, tan48°^^,sin64° J10 101A* #建/ /巩/ // /JT £（参考数据:jf fL_CDBAB 1贝VBD=处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进 6米到达D 处，测得仰角为在 Rt A ADB 中，tan64° -二：，在 Rt A ACB 中，tan48° =.AB ■，tan 64°~)2在 Rt △ ACF 中，tan / ACF肿 -_工 =tan2^ ACP tan Cl i 一丄一「在直角AB =x+ BF =4+ x (米)， 在直角 △ ABF 中， =AB ：=x+4tan/AEB3•/ CF - 解得：x= 则AB =~2~ 胡打 3V3+12+4=22答：树高AB 是心］"'（米）.1 AB -二AB2132 解得：AB=== y•••建筑物的高度约为 14.7 米.5. （2016四川宜宾）如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的 棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角a =30° ,从平台底部向树的方向 水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角3=60° ,求树高AB （结【分析】作CF 丄AB 于点F ,设AF=x 米，在直角△ ACF 中利用三角函数用x 表示出CF 的长，在直角△ ABE 中表示出BE 的长，然后根据CF - BE = DE 即 可列方程求得x 的值，进而求得AB 的长. 【解答】解：作CF 丄AB 于点F ,设AF =x 米， ~ 14.7(米),三角形的应用-仰角俯角问题.△ ABE中， 则CF，(x+4 )米..，则 BEtan / AEB = BE = DE ,即 (x+4 ) =3 .D6. ( 2016湖北黄石8分)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角/ BAF=30° / CBE=45°.(1 )求AB段山坡的高度EF ;(2)求山峰的高度CF .(叮［F1.414, CF结果精确到米)【分析】(1)作BH丄AF于H，如图，在Rt A ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长, 从而得到EF的长；(2)先在Rt A CBE中利用/ CBE的正弦计算出CE,然后计算CE和EF的和即可.【解答】解：(1)作BH丄AF于H，如图，在Rt A ABF 中，T sin/ BAH==,AB••• BH=800?si n30°=400,/• EF =BH =400m；(2)在Rt A CBE 中，T sin/ CBE=),BC•CE=200?sin45°=100 J 2^ 141.4•CF=CE+EF=141.4+400~541 ( m).答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度与坡角问题: 平宽度I 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1: m 的形式.把坡面与水平面的夹角 a 叫做坡角，坡度i 与坡角a 之间的关系为：iTan a 7.( 2016湖北荆门6分)如图，天星山山脚下西端 A 处与东端B 处相距800 (1+ '■)米, 小军和小明同时分别从 A 处和B 处向山顶C 匀速行走.已知山的西端的坡角是 45°东端的 坡角是30°小军的行走速度为 *2米/秒•若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】过点C 作CD 丄AB 于点D ，设AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒，根据直角三 角形的性质用x 表示出AC 与BC 的长，再根据小明与小军同时到达山顶 C 处即可得出结论. 【解答】 解：过点C 作CD 丄AB 于点D ，设AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， •••/ A=45° , CD 丄 AB , ••• AD = CD=x 米， ••• AC=*x. 在 RtA BCD 中，坡度是坡面的铅直高度 h 和水速度是多少?• BC = sin3Q =2x ,•••小军的行走速度为.米/秒.若小明与小军同时到达山顶 C 处,•••/ B=30° ,8. （2016四川内江）（9分）如图8，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向B 处有一艘可 疑船只，测得 A , B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45。
人教版九年级数学下册-模型构建专题：解直角三角形应用中的模型【数学专题教学设计】
模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.◆类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．9．(2017·青岛中考)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)．【方法10】10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE ，求旗杆AB 的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C 2.32解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝60海里，∴CD ＝12AC ＝30海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－30°＝60°，∴BC ＝CDsin ∠CBD ＝203(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为203÷40＝32(小时)．3．解：如图，作AE ⊥CD .∵CD ＝BD ·tan60°＝3BD ，CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，∴AB ＝CD －CE ＝233BD ＝42米，∴BD ＝213米，CD ＝3BD ＝63米．答：⑪号楼的高度CD 为63米．4．解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E .设BD ＝x 米．∵∠CBD ＝60°，∴tan ∠CBD ＝CDBD ＝3，∴CD ＝3x 米．∵AB ＝2000米，∴AD ＝(x ＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan ∠CAD ＝CDAD ＝1，∴3x ＝x ＋2000，解得x ＝10003＋1000，∴CD ＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋10003)米．5．解：(1)在Rt △AHP 中，∵AH ＝5003米，由tan ∠APH ＝tan α＝AH HP ＝5003PH ＝23，可得PH ＝250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)设BC ⊥HQ 于C .在Rt △BCQ 中，∵BC ＝AH ＝5003米，∠BQC ＝30°，∴CQ ＝BCtan30°＝1500米．∵PQ ＝1255米，∴CP ＝245米．∵HP ＝250米，∴AB ＝HC ＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB 为5米．6．D7．22 解析：作PC ⊥AB 于点C .∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC ＝30°，AP ＝4×2＝8(海里)，∴PC ＝AP ×sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B 港沿西北方向出发，∴∠PBC ＝45°，∴PB ＝PC ÷sin45°＝4÷22＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．8．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝ADCD，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BD CD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．9．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝200×33＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则∠CFD ＝90°.∵tan ∠DCF ＝i ＝13＝33，∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4米，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD ·cos ∠DCF ＝4×32＝23(米)，∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝43(米)．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE ＝BF ＝43米，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan37°≈33米，则AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合◆类型一 反比例函数与一次函数的综合 一、判断函数图象1．当k ＞0时，反比例函数y ＝kx和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是【方法3④】( )二、求交点坐标或根据交点求取值范围2．(2017·自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【方法3③】( )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜1第2题图 第3题图 第5题图3．如图，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点为A (－1，2)，则另一个交点B 的坐标为【方法3①】( )A ．(－2，1)B ．(2，1)吧C ．(1，－2)D ．(2，－1)4．若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A ．mn ≥－9B ．－9≤mn ≤0C ．mn ≥－4D ．－4≤mn ≤05．(2017·长沙中考)如图，点M 是函数y ＝3x 与y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k 的值为________．6．(2017·菏泽中考)直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝6x 交于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)两点，则3x 1y 2－9x 2y 1的值为________．【方法4】7．(2017·广安中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx和y ＝kx ＋b 的解析式；(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.◆类型二 反比例函数与二次函数的综合8．(2017·广州中考)当a ≠0时，函数y ＝ax 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )9．★如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象与BC 边交于点E .(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EF A 的面积最大，最大面积是多少？◆类型三 与三角形的综合10．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－211．(2017·包头中考)如图，一次函数y ＝x －1的图象与反比例函数y ＝2x 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，点C 在y 轴上．若AC ＝BC ，则点C 的坐标为________．第11题图 第12题图 第13题图12．(2017·西宁中考)如图，点A 在双曲线y ＝3x(x ＞0)上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B .当AC ＝1时，△ABC 的周长为________．13．(2017·贵港中考)如图，过C (2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝kx(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是________．14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A .反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点C ，交AB 于点D .已知AB ＝4，BC ＝52. (1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．◆类型四 与特殊四边形的综合15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第15题图 第16题图16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx 的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．C 2.D 3.D4．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.5．436．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入双曲线y ＝6x ，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.故答案为36.7．解：(1)把点A (4，2)代入反比例函数y ＝mx，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y＝8x .∵OB ＝6，∴B (0，－6)，把点A (4，2)，B (0，－6)代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C (3，0)，∴CO ＝3.设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 8．D9．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B 点坐标为(3，2)．∵F 为AB 的中点，∴F 点坐标为(3，1)．∵点F 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x(x ＞0)．(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫k 2，2，F ⎝⎛⎭⎫3，k 3，∴S △EF A ＝12AF ·BE ＝12×13k ×⎝⎛⎭⎫3－12k ＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34.当k ＝3时，S △EF A 有最大值，最大值为34. 10．B11．(0，2) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴A (2，1)，B (1，0)．设C (0，m )，∵BC ＝AC ，∴AC 2＝BC 2，即4＋(m －1)2＝1＋m 2，∴m ＝2，故答案为(0，2)．12.3＋113．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2；把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx 的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，即k 的取值范围是2≤k ≤9，故答案为2≤k ≤9.14．解：(1)如图，作CE ⊥AB ，垂足为E .作CF ⊥x 轴，垂足为F .∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2.在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，由勾股定理得CE ＝32.∵OA ＝4，∴OF ＝OA －CE ＝52，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，2.∵点C 在y ＝k x的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)．∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32，∴D ，C 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫m ，32，⎝⎛⎭⎫m －32，2.∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2⎝⎛⎭⎫m －32，解得m ＝6，∴C 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，2，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2，∴OC ＝972. 15．C16．6 解析：∵∠NOM ＝90°，PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴四边形ONPM 是矩形．∵点P 的坐标为(6，3)，∴PM ＝3，PN ＝6.∵A ，B 在反比例函数y ＝k x 上，∴S △NOB ＝S △OAM ＝k 2.∵S 四边形OAPB ＝S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12k －12k ＝12，解得k ＝6. 17．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1. (2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.在y ＝－x －1中，当y ＝9时，x ＝－10；当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．。
2017年中考数学专题练习解直角三角形
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18. （本题 4 分） 如图，在△ ABC中， AB＝AC＝ 5，BC＝ 8．若∠ BPC＝ 1 ∠ BAC，试求 tan ∠ 2
BPC的值．
19. （本题 6 分） 如图， 某数学兴趣小组想测量一棵树 CD的高度， 他们先在点 A 处测得树顶 C的仰角为 30°，然后沿 AD方向前行 10m，到达 B 点，在 B处测得树顶 C 的仰角高度为 60° （A、B、D 三点在同一直线上） ．请你根据他们测量数据计算这棵树 CD的高度（结果精确到 0.1m）．（参考数据： ≈ 1.414 ， ≈ 1.732 ）
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5
解直角三角形
1～ 8: CAAC CACD； 9. 5 ； 10. 5 ； 11. 7 tan ； 12.
13
2
15. 3
3 ； 16. 4 ； 17. 3 ； 18. 4 ； 19. 8.7m ； 20.
5
3
300 ； 13. 15 ； 21. 4
200 ； 14.4 ； 100km ； 22.
）
A． m ＞ 1
B ． m＝1
C． m ＜ 1
D
． m≥1
4. 在 △ ABC 中，若 sin A 3 (1 tan B) 2 0 ，则 C 的度数是（
北京市第四中2017年中考数学总复习专题训练锐角三角函解直角三角形及其应用(无答案
解直角三角形及其应用*思考：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值？DB在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求出其余未知元素的过程， 叫做解直角三角形．1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）：（1）三边之间的等量关系：222a +b =c（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边与角之间的关系：（4）直角三角形中成比例的线段： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2=AD •BD ；AC 2=AD •AB ； BC 2=BD •BA ； sin co s a A B c==co s sin b A B c==1ta n ta n a A B b ==1ta n ta n b B A a ==AC •BC=AB •CD ．（5）直角三角形中的主要线段： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边的中点是外心． 若r 是Rt △ABC （ ∠C=90°）的内切圆半径，则（6）直角三角形的面积公式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，2．关于直角三角形可解的条件：在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道两个（其中至少 有一个为边），这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为：（1）已知两条边（两条直角边或斜边和直角边）；（2）已知一边和一个锐角（直角边和一个锐角或斜边和一个锐角）．2a b c a b r a b c +-==++121 2 A B C cS a b c h ∆==⋅=例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）已知a=35，A、∠B和b；（2）已知b=2 ，求∠A、∠B和c；（3）已知sinA=23, c=6 ，求a和b；（4）已知tanB=32，b=9，求a和c；（5）已知∠A=60°，△ABC的面积，求a、b、c及∠B．例2．如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC 的面积S ；（3）求tanB ．例3．如图，有一段斜坡BC 长为10m ，坡角∠CBD=12°，为方便残疾 人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 之间的距离（精确到0.1m ）．参考数据s in 120.21c o s 120.98ta n 50.09︒≈︒≈︒≈。
2017级中考数学专题训练—解直角三角形
2017级中考数学专题训练—解直角三角形一．选择题（共21小题）1．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，则sinA=（）A．B．C．D．3．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米4．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.45．如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.26．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m．A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.87．我市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示，小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌DE的高度为（）A．3﹣B．2﹣3 C．2D．3+8．如图所示，在A处观察C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=800米，AB的坡度i=1：2，索道BC的坡度i=2：3，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F．则索道BC的长大约是（）（参考数据：tan31°≈0.6，cos31°≈0.9，≈3.6）A．1400 B．1440 C．1500 D．15409．重庆实验外国语学校坐落在美丽的“华岩寺”旁边，它被誉为“巴山灵境”．我校实践活动小组准备利用测角器和所学的三角函数知识去测“华岩寺”大佛的高度．他们在A处测得佛顶P的仰角为45°，继而他们沿坡度为i=3：4的斜坡AB前行25米到达大佛广场边缘的B处，BQ∥AC，PQ⊥BQ，在B点测得佛顶P的仰角为63°，则大佛的高度PQ为（）米．（参考数据：，，）A．15 B．20 C．25 D．3510．中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76°（雕像的高度忽略不计），远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）（参考数据：tan76°≈4.0，tan27°≈0.5，sin76°≈0.97，sin27°≈0.45．A．262 B．212 C．244 D．27611．如图，在坡度i=1：的斜坡AB上立有一电线杆EF，工程师在点A处测得E的仰角为60°，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为15°，现要在斜坡AB上找一点P，在P处安装一根拉绳PE来固定电线杆，以使EF保持竖直，为使拉绳PE最短，则FP的长度约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．3.7米B．3.9米C．4.2米D．5.7米12．如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4：3，坡长AB=10.5米，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（）米．（≈1.7，结果保留两位有效数字）A．11 B．8.5 C．7.2 D．1013．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡顶A处的俯角为15°，山脚处B的俯角为60°，已知该山坡的坡度i=1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上，点HBC在同一条直线上，且PH⊥BC，则A到BC的距离为（）A．10米B．15米C．20米D．30米14．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米15．如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米16．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米17．重庆一中研究性学习小组准备利用所学的三角函数的知识取测量南山大金鹰的高度．他们在B处测得山顶C的仰角是45°，从B沿坡度为1：的斜度前进38米到达大金鹰上的一个观景点D，再次测得山顶C的仰角为60°，则大金鹰的高度AC为（）米（结果精确到1米．参考数据≈1.41，≈1.73）A．45 B．48 C．52 D．5418．如图，在△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于（）A．B．C．D．19．如图所示，李鑫老师利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA=PC），水平线l与OC夹角a=8°（点A在OC上），则铅锤P处的水深h为（）（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）A．150cm B．144cm C．111cm D．105cm20．如图，一人滑雪沿坡度为1：2的斜坡滑下，下滑的距离s=100米，则此人下降的高度为（）A．50米B．50米C．20米D．50米21．山坡底部有一棵竖直的大树AB，小明从A处沿山坡前进20米到达C处，此时转身正好看到同一水平线上的树顶B．已知坡角α=30°，小明的眼睛到地面的距离为1.7米，则树高AB为（）A．20米B．21.7米C．米D．11.7米二．解答题（共9小题）22．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．23．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）24．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N的俯角β=45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）25．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．26．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）27．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米的A点处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．（1）沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；（2）由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间．（参考数据：≈1.414，≈1.732）28．马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．29．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．30．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）2017级中考专题训练—解直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2016•澄迈县二模）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB【分析】根据三角函数的定义即可判断．【解答】解：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（2016•宜昌模拟）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，则sinA=（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AB=6，AC=2，∴BC===4，∴sinA===．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．4．（2016•重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x 米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG 的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．5．（2016•重庆校级模拟）如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.2【分析】过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，可得MN=EF，然后设ME=FN=x，分别在Rt△GME和Rt△NHF中表示出GM和HN的长度，最后根据GH=6米，列出方程求出x的值．【解答】解：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在Rt△GME中，∵斜坡AD的坡度为1：1.2，∴ME：GM=1：1.2，∴GM=1.2x，在Rt△NHF中，∵斜坡BC的坡度为1：0.8，∴NF：NH=1：0.8，∴NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1．故选B．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、矩形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．6．（2016•重庆校级二模）数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα=，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m．A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8【分析】根据题意结合坡度的定义得出C到AB的距离，进而利用锐角三角函数关系得出AB的长．【解答】解：如图所示：过点C作CG⊥AB延长线于点G，交EF于点N，由题意可得：==，解得：EF=2，∵DC=1.6m，∴FN=1.6m，∴BG=EN=0.4m，∵sinα==，∴设AG=3x，则AC=5x，故BC=4x，即8+1.6=4x，解得：x=2.4，故AG=2.4×3=7.2m，则AB=AG﹣BG=7.2﹣0.4=6.8（m），答：大树高度AB为6.8m．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡度的定义，正确得出C到AB的距离是解题关键．7．（2016•重庆校级一模）我市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示，小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌DE的高度为（）A．3﹣B．2﹣3 C．2D．3+【分析】过A作AF⊥DC，交DC于点F，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义求出DF的长，在直角三角形AEF中，利用锐角三角函数定义求出EF的长，由DF﹣EF求出DE的长即可．【解答】解：过A作AF⊥DC，交DC于点F，∴AF=BC=3米，在Rt△ADF中，AF=3米，∠DAF=60°，∴tan60°=，即DF=3米，在Rt△AEF中，AF=3米，∠EAF=30°，∴tan30°=，即EF=米，则DE=DF﹣EF=3﹣=2米，故选C【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．8．（2016•重庆校级二模）如图所示，在A处观察C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=800米，AB的坡度i=1：2，索道BC的坡度i=2：3，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F．则索道BC的长大约是（）（参考数据：tan31°≈0.6，cos31°≈0.9，≈3.6）A．1400 B．1440 C．1500 D．1540【分析】根据题意，可以设CF=2x，则BF=3x，然后根据锐角三角函数值，进而可以求得x的值，从而可以求得索道BC的长．【解答】解：∵AB的坡度i=1：2，∴BE：AE=1：2，∵AE=800，∴BE=400，∴FD=400∵索道BC的坡度i=2：3，∴设CF=2x，则BF=3x，∵tan31°=，∴≈0.6，解得，x=400，经检验，x=400是原分式方程的解，∴BF=1200，CF=800，∴BC==400≈1440，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．9．（2016•重庆校级一模）重庆实验外国语学校坐落在美丽的“华岩寺”旁边，它被誉为“巴山灵境”．我校实践活动小组准备利用测角器和所学的三角函数知识去测“华岩寺”大佛的高度．他们在A处测得佛顶P的仰角为45°，继而他们沿坡度为i=3：4的斜坡AB前行25米到达大佛广场边缘的B处，BQ∥AC，PQ⊥BQ，在B点测得佛顶P的仰角为63°，则大佛的高度PQ为（）米．（参考数据：，，）A．15 B．20 C．25 D．35【分析】如图，作BE⊥AC于E，延长PQ交AC于F．设PQ=4x，则四边形BEFQ是矩形，求出BQ、EF、AE，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图，作BE⊥AC于E，延长PQ交AC于F．设PQ=4x，则四边形BEFQ是矩形，∵tan∠PBQ==，∴BQ=EF=3x，∵=，AB=25，∴BE=15，AE=20，∵∠PAF=45°，∠PFA=90°，∴∠PAF=∠APF=45°，∴AF=PF，∴20+3x=4x+15，∴x=5．∴PQ=20米故选B．【点评】本题考查解直角三角形，仰角问题、坡度问题等知识，解题的关键是理解这些概念，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．10．（2016•重庆校级三模）中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76°（雕像的高度忽略不计），远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）（参考数据：tan76°≈4.0，tan27°≈0.5，sin76°≈0.97，sin27°≈0.45．A．262 B．212 C．244 D．276【分析】作AB⊥ED交ED的延长线于H，作CG⊥AB交AB的延长线于G，根据坡度的概念求出BG，根据勾股定理求出BC，得到BD，根据平行线的性质分别求出DH、BH，根据正切的概念计算即可．【解答】解：作AB⊥ED交ED的延长线于H，作CG⊥AB交AB的延长线于G，∵宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上，CG=36米，∴BG==15米，由勾股定理得，BC==39米，∴BD=CD+BC=299米，∵CG∥DH，∴==，即==，解得，DH=276，BH=115，由题意得，∠ACG=76°，则tan∠ACG=，则AG=36×4=144，∴AH=AG+BH﹣BG=244米，则EH===488，∴ED=EH﹣DH=488﹣276=212米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握坡度的概念、仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．11．（2016•重庆校级三模）如图，在坡度i=1：的斜坡AB上立有一电线杆EF，工程师在点A处测得E 的仰角为60°，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为15°，现要在斜坡AB上找一点P，在P处安装一根拉绳PE来固定电线杆，以使EF保持竖直，为使拉绳PE最短，则FP的长度约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．3.7米B．3.9米C．4.2米D．5.7米【分析】要使点E到AB的距离最短，则EP⊥AB，根据题目中的信息可以求得FP的长度，本题得以解决．【解答】解：作BD∥AC，如右图所示，∵斜坡AB的坡度i=1：，∴tan∠BAC==，∴∠BAC=30°，∵∠EAC=60°，∴∠EAF=30°，∵要使点E到AB的距离最短，∴EP⊥AB于点P，∴tan∠EAP=，∴AP=，∵∠EBD=15°，BD∥AC，∴∠DBA=∠BAC=30°，∴∠EBP=45°，∴EP=PB，∵AP+PB=AB=20米，∴+EP=20，解得，EP=10﹣10，又∵EF∥BC，∠B=90°﹣∠BAC=60°，∴∠EFP=60°，∵tan∠EFP=，即tan60°=，解得，PF≈4.2米，故选C．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件．12．（2016秋•沙坪坝区校级期中）如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4：3，坡长AB=10.5米，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（）米．（≈1.7，结果保留两位有效数字）A．11 B．8.5 C．7.2 D．10【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．∵i==，AB=10.5米，∴BE=8.4，AE=6.3．∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+8.4=10，AH=AE+EH=6.3+0.7=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=10，tan30°==，∴CH=17.6．又∵CH=CA+7，即17.6=CA+7，∴CA=17.6﹣7≈11（米）．故选A．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．13．（2016秋•沙坪坝区校级月考）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡顶A处的俯角为15°，山脚处B的俯角为60°，已知该山坡的坡度i=1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上，点HBC在同一条直线上，且PH⊥BC，则A到BC的距离为（）A．10米B．15米C．20米D．30米【分析】作AM⊥BC于M，设AM=x，先证明PB=AB=2x，在RT△PBH中利用sin∠PBH=解决问题．【解答】解：如图作AM⊥BC于M，设AM=x．∵tan∠ABM=，∴∠ABM=30°，∴AB=2AM=2x，∵∠HPB=30°，∴∠PBH=90°﹣∠HPB=60°，∴∠ABP=180°﹣∠PBH﹣∠ABM=90°，∴∠BPA=∠BAP=45°，∴AB=BP=2x，在Rt△PBH中，∵sin∠PBH=，∴=，∴x=10．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解坡度、俯角、仰角的概念，学会转化的思想，把问题转化为解直角三角形，属于中考常考题型．14．（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米【分析】在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．【解答】解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6米，∴DC=CB+BD=6+6（米）．故选：A．【点评】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．15．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米【分析】延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．【解答】解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k（米），AD=12k（米），则AB=13k（米）．∵AB=13（米），∴k=1，∴BD=5（米），AD=12（米）．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8（米），∴BC=10.8﹣5≈5.8（米）．故选：D．【点评】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20解得：AB=10．故选A．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17．（2016秋•沙坪坝区校级月考）重庆一中研究性学习小组准备利用所学的三角函数的知识取测量南山大金鹰的高度．他们在B处测得山顶C的仰角是45°，从B沿坡度为1：的斜度前进38米到达大金鹰上的一个观景点D，再次测得山顶C的仰角为60°，则大金鹰的高度AC为（）米（结果精确到1米．参考数据≈1.41，≈1.73）A．45 B．48 C．52 D．54【分析】根据题目所给的度数可判定△BDC是等腰三角形，得到CD=BD，然后解直角三角形，可求出BE 的长和DE的长，从而可求出山高的高度．【解答】解：过点D作DF⊥AC，DE⊥AB于E，∵BD的坡度为1：，∴∠ABD=30°，又∠ABC=45°，∴∠BDC=15°，∵∠FDC=60°，∠DFC=90°，∴∠FCD=30°，又∠ACB=45°，∴∠DCB=15°，∴∠DCB=∠DBC，∴CD=BD=38，∵AC⊥BA，DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形AFDE是矩形，∴DF=DE，CF=BE，在Rt△BDE中，∠DBE=30°，∴DE=BD=19，∴BE=38×cos30°=19≈33，∴AC=19+33=52．故选：C．【点评】本题考查直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据角判断特殊的三角形，直角三角形或者等腰三角形，从而求出解．18．（2015秋•重庆校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，DE⊥AC 于点E，则tan∠CDE的值等于（）A．B．C．D．【分析】由△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ACD中根据三角函数的定义求出tan∠CAD，然后根据同角的余角相等得出∠CDE=∠CAD，于是tan∠CDE=tan∠CAD．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=13，AD为BC边上的中线，BC=10，∴AD⊥BC，CD=BC=5，∴AD==12，∴tan∠CAD==．∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴∠CDE+∠ADE=90°，∠CAD+∠ADE=90°，∴∠CDE=∠CAD，∴tan∠CDE=tan∠CAD=．故选A．【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．19．（2014秋•渝中区校级月考）如图所示，李鑫老师利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA=PC），水平线l与OC夹角a=8°（点A在OC上），则铅锤P处的水深h为（）（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）A．150cm B．144cm C．111cm D．105cm【分析】在Rt△ABC中，已知∠ACB=α=8°，AB=6，根据三角函数就可以求出BC的长；在直角△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理就可以求出水深h．【解答】解：∵l∥BC，∴∠ACB=α=8°，在Rt△ABC中，∵tanα=，∴BC===42（cm），根据题意，得h2+422=（h+6）2，∴h=144（cm）．故选：B．【点评】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．20．（2014秋•沙坪坝区校级月考）如图，一人滑雪沿坡度为1：2的斜坡滑下，下滑的距离s=100米，则此人下降的高度为（）A．50米B．50米C．20米D．50米【分析】根据坡度为1：2，可用未知数表示出铅直高度和水平宽度的值，进而可用勾股定理求得铅直高度的值．【解答】解：如图，AB=100，BC：AC=1：2．设BC=x，则AC=2x．在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，即x2+（2x）2=1002，解得x=20，即BC=20．故此人下降的高度为20米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．21．（2011秋•沙坪坝区校级期中）山坡底部有一棵竖直的大树AB，小明从A处沿山坡前进20米到达C处，此时转身正好看到同一水平线上的树顶B．已知坡角α=30°，小明的眼睛到地面的距离为1.7米，则树高AB 为（）A．20米B．21.7米C．米D．11.7米【分析】过点C作CE⊥AB与点E，在RT△ACE中，根据AC=20米，∠ACE=α=30°可得出CE的长度，继而结合小明的身高可得出AB的长度．【解答】解：由题意得，∠ACE=α=30°，。
2017年中考数学专项复习(1)《解直角三角形》练习(无答案) 浙教版
解直角三角形（01）一、选择题1．在△ABC 中，AB=12，AC=13，cos ∠B=，则BC 边长为（ ） A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或172．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan ∠CAD 的值（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为（ ）A ．B ．﹣1C ．2﹣D ．4．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则tan α的值是（ ）A ．B ．C ．D ．25．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（ ）A ．S 1=S 2B ．S 1=S 2C ．S 1=S 2D ．S 1=S 26．在Rt △ACB 中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（ ）A．6 B．7.5 C．8 D．12.57．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，二、填空题（共10小题）9．已知在△ABC中，A B=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．11．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为．12．在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= ．13．请运用你喜欢的方法求tan75°=．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为．16．△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为．17．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为．三、解答题19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．20．如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°（1）求∠CEF的度数；（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B 在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=；②sin60°=，c os60°=，则sin260°+cos260°=．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．22．如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．23．如图，在△AB C中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求B C的长．（结果保留根号）24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果C D=，求BE的值．26．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan C的值．27．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DA B=90°，∠ACB=2∠D，AD=2，AC=，根据题意画出示意图，并求tanD的值．28．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．29．如图，在△ABC中，C D⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．30．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．。
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解直角三角形 1．计算sin245°+tan60°•cos30°值为（ ）
A．2 B．32 C．1 D．12 2．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点C的深
度(结果精确到0.1参考数据7321.13414.12、)．
3．如图，人民公园有一座人工假山。在社会实践活动中，数学老师要求同学们利用所学的知识测量假山的宽度AB．小红将假山前左侧找到的一颗树根部定为点Ｃ，又在假山前确定一点P，经目测PC //A8，并测量出∠CPA==45°，∠CPB=150°，PA＝100米，
请你帮小红计算出假山的宽度AB约为多少米．结果精确到O.1米：参考数据：2＝
1.414，3≈1.732，62.449）
4．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC=300，求BC的长。（结果保留根号）
一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上． 5．请根据以上描述，画出图形． 6．已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩， 若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？
A C
B 60º 30º 7．如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈1．4，≈1．7）
8．（7分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）； （2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，2=1.41） 9．（7分）如图，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0．1小时：参考数据：sin38°≈0．62，cos38°≈0．79，sin22°≈0．37，cos22°≈0．93，sin37°≈0．60，cos37°≈0．80）
北 10．（本题满分8分）2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的MH370航班在起飞一个多小时后在雷达上消失，至今没有被发现踪迹．飞机上有239名乘客，其中154名是中国同胞，中国政府启动了全面应急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救．如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东航行的搜救船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一疑似物C，求此时疑似物C与搜救船A、B的距离各是多少？（结果保留根号）
11．（6分）（2014•昆明）如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC=22米，求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
12．如右图在某建筑物AC上，挂着“和谐广东”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30，条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60，求宣传条幅再往BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
13．“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结
果保留整数，参考数值：3≈1.7）
45o 15o A 北 北 C 东 B 14．如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（精确到1米）
30° 60°
B A
D
C 海面
15．如图，西园中学数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得
古塔顶端点的仰角为，求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）.
16．目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．
45°39°D
CA
E
B
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）。 （参考数据：sin39°≈0.6293，cos39°≈0.7771，tan39°≈0.8100） 17．如图所示，在A岛周围25海里的范围内有暗礁．一轮船由西向东航行到B处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里，到达C处，发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前行，有无触礁的危险？（结果精确到0.1海里） 18．如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进（9m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，求该建筑物AB的高度
19．如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）
20．如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C． （1）求AC的长度； （2）求每级台阶的高度h． （参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）
21．如图，小明站在离树20m的C处测得树顶的仰角为36，已知小明的眼睛（点A）离地面约1.6m，求树的高度．（精确到0.1m） 22．某人从楼顶A看地面C、D两点，测得它们的俯角分别是60和45．已知10mCD，B、C、D在同一直线上，求楼高AB．（精确到0.1m，参考数据：
41.12，73.13）
23．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是43tan，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为6.26，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：45.06.26sin，89.06.26cos，50.06.26tan）．
24．飞机测量一岛屿两端A、B的距离，在距海平面垂直高度为200 m的点C处测得A的俯角为53°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了300 m，在点D处测得B的俯角
为45°，求岛屿两端A、B的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°
≈43）
25．如图，已知“中国渔政310”船（A）在南海执行护渔任务，接到陆地指挥中心（P）命令，得知出事渔船（B）位于陆地指挥中心西南方向，位于“中国渔政310”船正南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心北偏西60°方向，距离为80海里的地方．而“中国渔政310”船最大航速为20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船接到命令后赶往渔船出事地点最少需要多少时间（结果保留根号）？
E 26．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡度i=1：3，且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求小明到电线杆的距离．．．．．．．．．和髙压电线杆．．．．．CD．．的髙度．．．（结果保留根号）.
27．如图，某天，我国一艘渔政船航行到B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A处位于B处的北偏西30°的方向上．求A、C两处之间的距离.(结果精确到0.1)．
28．如图，我边防哨所A测得一走私船在A的西北方向B处由南向北正以每小时10海里的速度逃跑，我缉私艇迅速朝A的西偏北600的方向出水拦截，2小时后终于在B地
正北方向M处拦截住，试求缉私船的速度．（参考数据：31.73,21.41）
29．如图，两座建筑物AB及CD，其中A，C距离为50米，在AB的顶点B处测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角α＝60°，求两座建筑物AB及CD的高