江苏省宿迁市宿豫中学高考数学小题训练13(无答案) (2)
江苏省宿迁市宿豫中学高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
江苏省宿迁市宿豫中学高二上学期第一次月考数学试题（无答案）数 学 2021.101.考试时间：120分钟2.请用0.5毫米黑色签字水笔将答案填写在答卷纸上。
一.填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．1．命题〝02,2>-+∈∃x x R x 〞的否认是 ▲ ．2. 用系统抽样方法从400名先生中抽取容量为20的样本，将400名先生随机地编号为1～400，按编号顺序平均分为20个组〔1～20号，21～40号，……，381～400号〕。
假定第1组中用抽签法确定抽出的号码为13，那么第3组抽取的号码为 ▲ ．3．〝1-<x 〞是〝0≤x 〞的 ▲ 条件．(从〝充沛必要〞，〝充沛不用要〞，〝必要不充沛〞，〝既不充沛也不用要〞中选择一个正确的填写)．4．方程17322=-++my m x 表示的曲线为椭圆，那么m 的取值范围为 ▲ ． 5．依据如下图的伪代码，可知输入的结果S 为 ▲ ．6．假定方程0424222=-+-++m m y mx y x 表示圆，那么实数m 的取值范围为▲ ．7．如图，在边长为5的正方形内有一半径为1的圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，那么 它落在圆内的概率为 ▲ ． 8.由直线3-=x y 上的点向圆13)2(22=-++）（y x 引切线，那么切线长的最小值为 ▲ ．9.命题〝],2,1[∈∃x 使022≥++a x x 〞为真命题，那么实数a 的取值范围是 ▲ ． 10.在平面直角坐标系中，设直线01:=+-y kx l 与圆422=+y x C ：相交于B A ,两点，以OB OA ,为邻边作平行四边形OAMB ，那么点M 落在圆C 上，那么实数k = ▲ ．11. M 是椭圆192522=+y x 上的动点，)22()04(，，，B A ，那么||||MB MA +的最大值 为 ▲ ．12.方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实数根，那么k 的取值范围是 ▲ ． 13.椭圆C 的左、右焦点区分为1F ，2F ，过2F 的直线与椭圆相交于,P Q 两点，假定〔第7题〕1PQ PF ⊥，且PQ PF 341=，那么椭圆的离心率=e ▲ ．14.假定实数y x ,满足0222=-+y y x ，且053)1≤+---k y x k （恒成立，那么实数k 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，合计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕p ：0342≤+-x x ；q ：04522<+-a ax x ，其中0>a .〔1〕假定2=a ，且q p ∧为真，务实数x 的取值范围; 〔2〕假定q ⌝是p ⌝的充沛不用要条件，务实数a 的取值集合。
江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 如何用好基本不等式专题检测(含解析)
5 如何用好基本不等式1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则a ，ab ，v 的大小关系为________．答案 a <v <ab解析 设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a . 2．若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3解析 ∵x >2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2 ≥2(x －2)×1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，即a ＝3，f (x )min ＝4. 3．(2014·南通模拟)设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b， 即a ＝b ＝12时等号成立． 4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为________． 答案 m ≥n 解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2)， 当且仅当a ＝3时，等号成立．由x ≥12得x 2≥14， ∴n ＝x －2＝1x2≤4即n ∈(0,4]，∴m ≥n . 5．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．答案 2解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy x ＋y， 而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2， ∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max ＝2. ∴λ的最小值为2.6．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为________． 答案 16 解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 ∵x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，∴22xy ＋6≤xy ，即xy －22xy －6≥0，解得xy ≥18.∴xy 的最小值是18.8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．答案 16解析 根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.9．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15. 10．(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )． ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.11．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x >0，又k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100， 综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x ＝10(x 2＋71x ＋100)x＝10x ＋1 000x ＋710≥2 10x ·1 000x＋710＝910. 当且仅当10x ＝1 000x， 即x ＝10时等号成立．综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。
江苏省宿迁市(新版)2024高考数学统编版摸底(自测卷)完整试卷
江苏省宿迁市（新版）2024高考数学统编版摸底(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题执行如图所示的程序框图，输出的的值为．A．B．C．D．第(2)题如图所示的程序框图的输出结果为，则判断框中应填（）A．B．C．？D．第(3)题若函数在区间内可导，且，则的值为（）A．B．C．D．0第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知，复数满足，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则等于（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，，则集合（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为中点.过作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（）A．B．的纵坐标是定值C．为定值D．存在唯一的使得第(2)题如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，，则（）A．当时，B．，使得平面C．，使得平面D ．当时，与平面所成角为第(3)题已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）A．当时，B．V存在最大值C．当r在区间内变化时，V逐渐减小D．当r在区间内变化时，V先增大后减小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题记，则为_________.第(2)题若的展开式中常数项为84，则_______第(3)题若随机变量，且，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P i+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．①写出P0，P8的值；②求决赛甲获胜的概率．第(2)题已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．第(3)题已知函数.(1)求函数的最小值；(2)证明：函数有两个极值点.第(4)题已知数列前项和为，(1)证明：(2)设求数列的前项和．第(5)题如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：(2)求平面与平面所成角的余弦值.。
2013年江苏省宿迁市高考数学一模试卷
2013年江苏省宿迁市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.集合A={-1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B= ．2.若复数z满足，其中i是虚数单位，则|z|= ．3.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是．4.已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是．5.如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是．6.已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为．7.过点(-1，0)与函数f(x)=e x(e是自然对数的底数)图象相切的直线方程是．8.连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)两次，则出现向上的点数和大于9的概率是．9.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为．10.已知，若，则sin(α-β)的值为．11.若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{b n}也是等比数列；类比上述性质，若数列{c n}是等差数列，则当d n= 时，数列{d n}也是等差数列．12.已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为．13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是．14.已知函数f(x)=||x-1|-1|，若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是．二、解答题(本大题共9小题，共80.0分)15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若向量，，且∥．(1)求角A的大小；(2)求函数的值域．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点．(1)求证：BC1⊥平面AB1C；(2)求证：BC1∥平面A1CD．17.小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？(利润=累计收入+销售收入-总支出)18.已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为．(1)求椭圆C的方程；(2)设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．19.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，n∈N*．(1)证明数列{a n}是等比数列，并写出通项公式；(2)若对n∈N*恒成立，求λ的最小值；(3)若成等差数列，求正整数x，y的值．20.已知函数f(x)=lnx-x，．(1)求h(x)的最大值；(2)若关于x的不等式xf(x)≥-2x2+ax-12对一切x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)-x3+2ex2-bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b 的值．21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，若AB=6，CD=2，求线段AC的长度．B．选修4-2：矩阵与变换()已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．C．选修4-4：坐标系与参数方程()在平面直角坐标系x O y中，已知曲线C的参数方程是(α是参数)，若以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．D．选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．22.如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．23.某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”(如1、2、3)的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；(2)求X的概率分布列和数学期望．。
江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 双曲线的渐近线和离心率专题检测(含解析)
34 双曲线的渐近线和离心率1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________． 答案 2或233解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 取双曲线的渐近线y ＝ba x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a ＝ 2. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．答案 x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，2＋1)解析 根据正弦定理得PF 2sin ∠PF 1F 2＝PF 1sin ∠PF 2F 1， 由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1， 可得a PF 2＝c PF 1，即PF 1PF 2＝c a＝e ， 所以PF 1＝ePF 2.因为e >1，所以PF 1>PF 2，点P 在双曲线的右支上．又PF 1－PF 2＝ePF 2－PF 2＝PF 2(e －1)＝2a ，解得PF 2＝2a e －1. 因为PF 2>c －a (不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)．5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________． 答案 433 解析 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2(r 1>r 2)，F 1F 2＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2， 所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c . 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34， 当r 2r 1＝12时，m max ＝163， 所以(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 6．(2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4， 即1－(b a )4＝34， 解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．答案 (0,1)解析 可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2， e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2， 所以e 21＋e 22＝2>2e 1e 1⇒0<e 1e 2<1. 8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 102解析 设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且PF ′＝2×a 2＝a ，故PF ＝3a ，根据勾股定理得FF ′＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm 3b －a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )， 所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)． 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 10．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案 3解析 不妨设PF 1>PF 2，则PF 1－PF 2＝2a ，又∵PF 1＋PF 2＝6a ，∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴F 1F 2＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上， 有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.① 设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2. 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由(1)可知c 2＝6b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值． 解 (1)设F (c,0)，直线OB 方程为y ＝－1ax ， 直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c 2a)． 又直线OA 的方程为y ＝1ax ， 则A (c ，c a )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a . 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1， 解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x 3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为c ＝a 2＋b 2＝2，所以直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)； 直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)． 则MF 2NF 2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2.因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得MF 2NF 2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43，即MF NF ＝23＝233为定值．。
江苏省宿迁市宿豫中学届高考数学(二轮复习)专题检测：三角函数化简与求值策略.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作19 三角函数化简与求值策略1．若sin(π＋α)＝－12，则cos α＝________. 答案 ±32解析 由sin(π＋α)＝－12，得－sin α＝－12， 即sin α＝12， ∴cos α＝±1－sin 2α＝±32. 2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．答案 －3解析 tan α＋tan β＝3，tan α×tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α×tan β＝－3. 3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为________．答案 22解析 sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x ) ＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )[－cos(70°＋x )] ＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin(65°－x ＋x －20°) ＝sin 45°＝22.4． sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值是________． 答案 12解析 原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12. 5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案 539解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0<α<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 6．(2014·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝________.答案 π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.7．已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2(π－α)1＋cos 2α的值为________． 答案 52解析 sin 2α＋cos 2(π－α)1＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. 8.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 答案 1解析 原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 9．已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________. 答案 －125解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169， 所以sin θcos θ＝－60169. 由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根， 所以x 1＝1213，x 2＝－513. 又sin θcos θ＝－60169<0， 所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－125. 方法二 同法一，得sin θcos θ＝－60169， 所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169， 即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0， sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125. 10．已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为________． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝169， ∴2cos θcos θ＝79， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－79＝29， 又θ∈(0，π4)，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23. 11．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan 2α的值；(2)求β.解 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得 sin α＝1－cos 2α＝ 1－(17)2＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝43， 于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2， 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－(1314)2＝3314. 由β＝α－(α－β)， 得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos(α2＋π3)的值． 解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，∴a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，∵cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈(3π2，2π)，∴tan α<0， ∴tan α＝－43. (2)∵α∈(3π2，2π)，∴α2∈(3π4，π)． 由tan α＝－43， 求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.。
江苏省宿迁市宿豫中学届高三数学小题训练07
高中数学学习材料
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高三数学小题训练（07）
1．直线m y m x -=++2)1(与1642-=+y mx 平行的充要条件是m = ．
2．函数23)(23+-=x x x f 的单调减区间是 ．
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ．
4．与圆49)5(:22=++y x A 和圆1)5(:22=+-y x B 都外切的圆的圆心P 的轨迹方程是 ．
5．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 ．
6．设奇函数)(x f 在[－1，1]上是增函数，且1)1(-=-f ，若()f x ≤122+-at t 对所有的]1,1[-∈x 都成立，则]1,1[-∈a 时，t 的取值范围是 ．
7．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要
条件是 ．
8．右边的流程图可表示函数=)(x f ．
9．在△ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，
那么A= ．。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作9 分段函数，剪不断理还乱1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12， 所以x >1.综上可知x ≥0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3)x ＋5，x ≤1，2a x，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．答案 (0,2] 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2. 3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是______________________． 答案 [－94，0]∪(2，＋∞) 解析 由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0. ∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]． 综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)． 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ －2x (－1≤x ≤0)，x (0<x ≤1)， 则下列函数的图象错误的是________．答案 ④解析 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此①正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此②正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，③正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0.若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 若m >0，则－m <0，f (m )＝12log m ＝－log 2m ，f (－m )＝log 2m ，由f (m )>f (－m )，得－log 2m >log 2m ，即log 2m <0,0<m <1；若m <0，则－m >0，f (－m )＝log 12 (－m )＝－log 2(－m )，f (m )＝log 2(－m )，由f (m )>f (－m )得log 2(－m )>－log 2(－m )，解得m <－1.6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－2]∪(－1，－34) 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知c 的取值范围为(－∞，－2]∪(－1，－34)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，f (x ＋2)＋1，x ≤0，则f (－3)的值为________．答案 2 解析 f (－3)＝f (－1)＋1＝f (1)＋2＝2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 答案 －1<a <3解析 由分段函数可得f (f (1))＝f (3)＝6a ＋9，故f (f (1))>3a 2⇔6a ＋9>3a 2，解得－1<a <3. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10 解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2013·四川)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 又当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2，因为x 1<x 2<0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥ [－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立． 所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ， ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2. 由①②得，a ＝ln x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t . 设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)， 因为h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0， 所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，a >－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．12．(2013·湖南)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －x x ＋2a； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a(x ＋2a )2<0，f (x )在(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a， 故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a 4＋2a； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a (x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*)由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a <3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。
江苏省宿迁市宿豫中学届高考数学(二轮复习)专题检测：与抛物线相关的热点问题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作35 与抛物线相关的热点问题1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为________．答案 4或－4解析 设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线的距离为4，故p 2＋2＝4，所以p ＝4， 则方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.2．若抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F ，M (3,3)且与l 相切的圆共有________个．答案 1解析 由题意得F (2,0)，l ：x ＝－2，线段MF 的垂直平分线方程为y －32＝－3－23－0(x －52)， 即x ＋3y －7＝0，设圆的圆心坐标为(a ，b )，则圆心在x ＋3y －7＝0上，故a ＋3b －7＝0，a ＝7－3b ，由题意得|a －(－2)|＝(a －2)2＋b 2，即b 2＝8a ＝8(7－3b )，即b 2＋24b －56＝0.又b >0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是________．答案 2± 3解析 依题意得F (p 2，0)，设P (y 212p ，y 1)，Q (y 222p ，y 2)(y 1≠y 2)．由抛物线定义及PF ＝QF ，得y 212p＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又PQ ＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P (12p，y 1)．又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF ＝12p ＋p 2＝2，由此解得p ＝2± 3. 4．(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 94解析 由已知得焦点坐标为F (34，0)， 因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12OF ·|y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有AB ＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12AB ·h ＝94. 5．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋PQ 的最小值为________．答案 3解析如图所示，由题意，知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，连结PF ，则d ＝PF .圆C 的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2. d ＋PQ ＝PF ＋PQ ，显然，PF ＋PQ ≥FQ (当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号)．而FQ 为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，最小值为CF －r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为______．答案 322解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又AF ＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12OF ·|y A －y B |＝12×1×|22＋2| ＝322. 7．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝2512，AF <BF ，则AF ＝________.答案 56解析 ∵1AF ＋1BF ＝2p＝2， AB ＝AF ＋BF ＝2512，AF <BF ，∴AF ＝56，BF ＝54. 8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设直线l 的斜率等于k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 为y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则有x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝4k 2－2， 因此可得Q (2k 2－1，2k)， 因F (1,0)，由FQ ＝2，则有(2k 2－2)2＋(2k)2＝4， 解得k 2＝1，所以k ＝±1.9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°.则△OAF 的面积为________．答案 3解析 由题意，得直线AB 方程为y ＝3(x －1)，与抛物线方程y 2＝4x 联立，求得交点A 的坐标为(3,23)，利用三角形面积公式即可求得S △OAF ＝12×1×23＝ 3. 10．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 因为△ABF 为等边三角形， 所以由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2， 代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 11．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且QF ＝54PQ .(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p. 所以PQ ＝8p ，QF ＝p 2＋x 0＝p 2＋8p. 由题设得p 2＋8p ＝54×8p， 解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故设AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故设MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)， MN ＝ 1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m2， 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于AE ＝BE ＝12MN ， 从而14AB 2＋DE 2＝14MN 2， 即4(m 2＋1)2＋(2m 2＋2)2＋(2m ＋2m )2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.12．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解 (1)设点M (x ，y )，依题意得MF ＝|x |＋1， 即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ，x >00，x ≤0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x >0)，C 2：y ＝0(x ≤0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ， 可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1)①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点(14，1)． ②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．(*2)设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.(*3) (ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ<0，x 0<0，由(*2)(*3)解得k <－1或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪(12，＋∞)时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由(*2)(*3)解得k ∈{－1，12}，或－12≤k <0. 即当k ∈{－1，12}时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当k ∈[－12，0)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈[－12，0)∪{－1，12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 0<0，由(*1)(*2)解得－1<k <－12或0<k <12. 即当k ∈(－1，－12)∪(0，12)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪(12，＋∞)∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈[－12，0)∪{－1，12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈(－1，－12)∪(0，12)时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。
2024年江苏省宿迁市宿豫区中考数学二模试卷+答案解析
2024年江苏省宿迁市宿豫区中考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是()A.2024B.C.D.2.下列运算正确的是()A. B. C. D.3.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.4.如图，，，，则的度数为()A. B. C. D.5.某校举行“我爱阅读”演讲比赛，7位评委给选手甲的打分是：93，90，86，95，88，93，92，则这组数据的中位数是()A.95B.93C.92D.906.如图，是由绕点C旋转得到，，，则的度数是()A. B. C. D.7.如图，四边形ABCD是的内接四边形，AB是的直径，过点D的切线交BA的延长线于点E，若，则的度数是()A. B. C. D.8.已知m、n是两个连续的偶数，且，，，则下列对c的表述中正确的是()A.总是奇数B.总是偶数C.总是无理数D.可能是有理数可能是无理数二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.方程的解是______.10.一种登革热病毒的直径约为，将用科学记数法表示为_______.11.若关于x的分式方程无解，则a的取值是_____.12.如图，在矩形ABCD中，，，M、N分别是边CD、AB上的点，将四边形ADMN沿MN 翻折至四边形EFMN，点E落在BC边上，且，则MF的长为______.13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是____.14.已知一块等腰直角三角形纸片ABC，，，在该纸片上剪下一个以点C为圆心的最大扇形并围成一个无底的圆锥，所围成的圆锥底面圆的半径是_____15.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为____.16.对于任意实数m，抛物线与x轴都有公共点，则n的取值范围是_____.17.如图，点P是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是_____.18.如图，在中，，，点D是AB边上一个动点，以CD为边作正方形CDEF，连接BE，面积的最大值是______.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
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高三数学小题训练（13）
姓名 学号 得分
1、设全集4,3,2,1,0U，4,3,0A，3,1B，则)(BACU= 。
2、函数xxysincos的最小正周期是 。
3、复数12ii的模是 。
4、若命题2:,210pxxR，则该命题的否定是 。
5、函数0,01),cos()(1xexxxfx，若1)()1(aff，则a的值为
6、已知等差数列na满足：6,821aa。若将541,,aaa都加上同一个数，所得的三
个数依次成等比数列，则所加的这个数为 。
7、设曲线2axy在点（1，a）处的切线与直线062yx平行，则a 。
8、根据表格中的数据，可以判定方程20xex的一个零点所在的区间为
))(1,(Nkkk
，则k的值为 。
x
－1 0 1 2 3
x
e
0.37 1 2.72 7.39 20.09
2x
1 2 3 4 5
9、有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，
已知3,4aB， ，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边
的长度，且答案提示6A.试在横线上将条件补充完整。
10、若函数2()min{2,log}fxxx，其中min{,}pq表示,pq两者中的较小者，则不
等式2)(xf的解集为 。
11、已知函数1)(2bxxaxxf在]1,1[上为奇函数，则)21(f的值为 。
12.数列25),2(122}{31anaaannnn其中满足.若存在一个实数,使得
}2{
n
n
a
为等差数列，则 。
13、对于函数)(xfy及其定义域的子集D,若存在常数M,使得对于任意的Dx1,则存
在唯一的Dx2，满足等式Mxfxf2)()(21，则称M为)(xf在D上的均值。如果
2
1
是)(xf在),0(上的唯一均值，那么函数)(xfy可以是_ 。（只需
写出满足条件的一个函数即可）