【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《直观图》课时提高练习及解析
2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章 2 直观图-word文档
[A.基础达标]1．给出以下几个结论：①水平放置的角的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行．其中叙述正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由斜二测画法的规则知，结论①与④是正确的，故选B.2．如图所示的直观图的原平面图形ABCD 是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：选B.原图形ABCD 中，必有AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AD >BC ，故ABCD 是直角梯形．3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A 正确．4.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′∥O ′y ′，B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A.732B.73 C ．5 D.52解析：选A.把直观图还原成平面图形如图，得△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为12 82＋32＝732. 5.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm解析：选B.如图，原图形为OABC ，且OA ＝O ′A ′＝1 cm ，OB ＝2O ′B ′＝2 2 cm ， 于是OC ＝AB ＝（22）2＋12＝3(cm)，故OABC 的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．6．如图，△A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，则△ABC 中，最长的边为________．解析：由B ′C ′∥y ′轴，A ′B ′∥x ′轴知，△ABC 为直角三角形，∠B 为直角，AC 为斜边，故最长边为AC .答案：AC7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m ，5 m ，10 m ，四棱锥的高为8 m ，若以长、宽、高所在直线分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.答案：4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm8．如图所示是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．解析：画出原图形△AOB (图略)，则S △AOB ＝12×4×16＝32. 答案：329．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O (0，0)，A (1，3)，B (3，1)，C (4，6)，D (2，5)．试画出四边形ABCD 的直观图．解：(1)先画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图1)．(2)在原图中作AE ⊥x 轴，垂足为E (1，0)．(3)在x ′轴上截取O ′E ′＝OE ，作A ′E ′∥y ′轴，截取E ′A ′＝1.5.(4)同理确定点B ′，C ′，D ′，其中B ′G ′＝0.5，C ′H ′＝3，D ′F ′＝2.5.(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．10．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画下底面．在y 轴上正方向上截取线段OC ，使OC ＝34 cm ，在y 轴负半轴上截取OD ＝38cm ，过D 作线段AB ∥x 轴，使D 为AB 中点，AB ＝1.5 cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取O ′D ′＝315cm ，A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝2315cm)． (4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．[B.能力提升]1．如图水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22B ．1 C. 2 D ．2解析：选A.如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×22＝22. 2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 为△ABC 中BC 边上的中点，则平面图中AB ，AD ，AC 三条线段中( )A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是ABC ．最长的是AB ，最短的是ADD ．最长的是AC ，最短的是AD解析：选B.由斜二测画法的规则知，题图还原后如图所示，是一个∠B 为直角的直角三角形，则AB 为一条直角边，由图可知，AC >AD >AB .3．如图，已知A (－1，0)，B (2，0)，C (0，2)，则△ABC 的直观图的面积为________．解析：由已知得△ABC 的面积S ＝12·AB ·CO ＝12×3×2＝3，于是其直观图的面积S ′＝24S ＝24×3＝324. 答案：3244．如图所示，四边形ABCD 是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，则这个平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A ′B ′C ′D ′也是一直角梯形，其中B ′C ′⊥C ′D ′，A ′B ′＝6，C ′D ′＝4，B ′C ′＝2BC ＝2·6－4sin 45°＝42，所以原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为S A ′B ′C ′D ′＝12(6＋4)×42＝20 2. 答案：20 25．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．6．(选做题)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解：画法步骤：(1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图①中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图②中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ； 过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．。
2018年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 直观图课件5 北师大版必修2
A B
y
F H E
D
O G C
y＇
x
A ＇
F B＇O＇G ＇
E＇D
C ＇
＇x ＇
（3）擦去辅助线，被遮线画虚线.
Fz E A B C＇ D
y
A ＇B
F ＇O G＇
CH＇E＇＇ D＇x＇
＇＇ ＇
平行于 x 轴的线段，仍平行 x ' 轴，且
长度不变。
平行于 z 轴的线段，仍平行 z ' 轴，且
的线段；
(3)取长度：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持 原长度不变，平行于 y 轴的线段 长度为原来的一半．
3.用斜二测法画出水平放置的等边三角形、正方形 的直观图.
y
y'
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
4.如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实 际画图时有什么办法？
提示：我们将正六边形看作圆的内接正六边形时， 可以近似得到圆的直观图画法.即将圆任意n等分， 作此正n边形的直观图，当n非常大时，平滑连接各 顶点，可近似得到圆的直观图.
y
y
O
x
O
x
1.画出正六棱柱的直观图.
议
解:画法：
（1）画底面（根据平面图形的直观图画法）.
y
F HE
A
O
Dx
B GC
y
F H E
A
O
D x
B G C
（2）画z＇轴（z＇轴与x＇轴的交角为90°），
并画高，侧棱（与原长相等），连线成图.
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《空间图形的基本关系与公理》单元测试题及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二第一章《空间图形的基本关系与公理》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．下列命题中，正确命题的个数为( )①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④平行四边形是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．1个或3个3．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中( ) A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线4．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．相似C．有一个角相等D．全等或相似5．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A．异面B．相交C．平行D．异面或相交6．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，AEAB ＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ，则下列结论中不正确的为( )A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C．当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形D．当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形7．a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系( )A．异面B．平行C．相交D．都有可能8．在空间中有下列四个命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④连接空间四边形各边中点的四边形一定是梯形．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．下列说法中正确的是( )A．空间中没有交点的两条直线是平行直线B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交C．空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥cD．分别在两个平面内的直线是平行直线二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P、Q分别是AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面的形状是______．12．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，与AB异面的棱有_______________．13．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为_________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为________________________________．14．如下图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于点O，O在平面ABC和平面A′B′C′之间，且AO OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23，则S △ABC S △A ′B ′C＝_____. 15．如图，在正方体ABCD －EFMN 中，①BM 与ED 平行；②CN 与BM 是异面直线；③CN 与BE 是异面直线；④DN 与BM 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)． 16．（12分）求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． 17．（12分）如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1和AA 1的中点，画出平面BED 1F 和平面ABCD 的交线，并说明理由．18．（12分）如图所示，在长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 、F 分别是棱A 1A 和棱C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形． 19．（12分）如图，O 1是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心，M 是对角线A 1C 和截面B 1D 1A 的交点．求证：O 1，M ，A 三点共线．20．（13分）梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面CDEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H 分别为AD′和BC′的中点，求证：EFGH为平行四边形．21.（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.北师大版必修2第一章《空间图形的基本关系与公理》单元测试题答案一、选择题：1．[答案]A[解析] ①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线；④平行四边形是平面图形(原理：两条平行直线确定一个平面)，故只有④正确．2．[答案]D[解析] 如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．3．[答案]B[解析] 四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错．4．[答案]D5．[答案]D[解析]a，b为异面直线，c，d分别与a，b都相交．图(1)中c，d异面，图(2)中c，d相交．6．[答案]D[解析] 由AEAB ＝AHAD＝λ，得EH∥BD，且EHBD＝λ，同理得FG∥BD且FGBD＝μ，当λ＝μ时，EF綊FG.当λ≠μ时，EF∥FG，但EH≠FG，故A、B、C都对，只有D错误．7．[答案]D[解析] 直线a与c的位置关系有以下三种情形(如下图)：∴直线a与c的位置关系可能平行(如图(1))；可能相交(如图(2))；可能异面(如图(3))，故选D.8．[答案] A[解析] 四边相等或两组对边相等的四边形可以是空间四边形，故①②错误，连接空间四边形的各边中点构成的四边形是平行四边形，故④错，易知③对，由此选A.9．[答案]C[解析] 如图所示，图(1)中，b与c相交，图(2)中b与c异面，假如b∥c，∵a∥c，∴a∥b这与a，b异面矛盾，∴b与c不可能为平行直线．10．[答案]C[解析] A、B中，两直线可能异面，D中两直线可能相交，也可能异面．二、填空题：11．[答案]菱形[解析] 先证截面BPD1Q是平行四边形，再证是菱形．12．[答案]A1D1、DD1、CC1、C1B113．[答案] (1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2) α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B14．[答案]49[解析] 由题设条件知ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝23，∴△ABC∽△A′B′C′.∴S△ABCS△A′B′C＝49.15．[答案] ②④[解析] 观察图形，根据异面直线的定义可知，BM 与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题16．已知：点P∉直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．[解析] ∵P∉a，∴点P和直线a确定一个平面α，在平面α内过点P 作直线b与直线a平行(由平面几何知识)，故存在．假设过点P，还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与b、c共点P矛盾，故假设不成立，因此直线b惟一．即过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．17．[解析] 如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA ，交于一点P ，则P ∈平面BED 1F ， ∵DA ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面ABCD ，∴P 是平面ABCD 与平面BED 1F 的一个公共点， 又B 是两平面的一个公共点， ∴PB 为两平面的交线．18．[解析] 设Q 是D 1D 的中点，连结EQ 、QC 1，∵E 是A 1A 的中点，∴EQ //=A 1D 1.在矩形A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1//=B 1C 1. 由基本性质4，得EQ//B 1C 1.∴四边形EQC 1B 1是平行四边形．∴B 1E//C 1Q. 又由F 、Q 分别是矩形C 1CDD 1中CC 1、D 1D 两边的中点．得QD//C 1F.∴四边形DQC 1F 是平行四边形，从而C 1Q //=FD.由基本性质4，得B 1E //=FD ，所以四边形B 1EDF 是平行四边形． 19．证明：因为上底面中A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，A 1C 1平面A 1C 1CA ，B 1D 1平面AB 1D 1，所以，O 1是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点． 又因为A 1C ∩平面AB 1D 1＝M ，A 1C 平面A 1C 1CA ， 所以，M 是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点． 又因为A ∈平面AB 1D 1，A ∈平面A 1C 1CA ，所以，A 是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点．所以，O 1，M ，A 都是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点，由公理3可知，O 1，M ，A 三点共线．20．[解析] ∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD)，又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB. ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点，∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD)，∴GH 綊EF ，∴EFGH 为平行四边形．21.证明：(1)在正方形ADD 1A 1中，M ，M 1分别为AD ，A 1D 1的中点，∴MM 1＝AA 1，MM 1∥AA 1. 又∵AA 1＝BB 1，AA 1∥BB 1， ∴MM 1∥BB 1，且MM 1＝BB 1， ∴四边形BB 1M 1M 为平行四边形．(2)方法一：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1∥BM.同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形， ∴C 1M 1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B 1M 1C 1都是锐角， ∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.方法二：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1＝BM.同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形． ∴C 1M 1＝CM.又∵B 1C 1＝BC ，∴△BCM ≌△B 1C 1M 1. ∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.。
高中数学 1.2 直观图课后训练 北师大版必修2
高中数学 1.2 直观图课后训练北师大版必修2 1．有下列说法：①从投影的角度看，斜二测画法画的直观图是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线仍为直线，但平行线可能变成相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法正确的是()．A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()．4．如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是()．A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BCC．AC＞AD＞AB＞BCD．AC＞AD＞AB＝BC5．如图水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为()．A．22B．1 C．2D．26．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②菱形的直观图是菱形；③相等的角在直观图中仍相等；④相等的线段在直观图中仍然相等；⑤若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．以上结论，正确的是__________．(填序号)7．如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，其中O′B′＝O′A′＝2 cm，则原△AOB 的面积为________cm2.8．如图所示的四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图的形状是__________，其周长为__________．9．如图，四边形OABC是上底长为2，下底长为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．10．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，试求原△ABC的面积．参考答案1答案：D 解析：利用平行投影与中心投影的概念逐一判断，以上四句话都正确． 2答案：D3答案：A 解析：直观图中正方形的对角线长(即在y ′轴上的部分)为2，因此在原图形中应在y 轴上且长为22.故选A.3答案：C 解析：画出△A 1B 1C 1的原图△ABC 即可得．5答案：A 解析：如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×22＝22.6答案：①⑤7答案：4 解析：根据斜二测画法的规则可知，△AOB 为直角三角形，即∠AOB ＝90°，OA ＝O ′A ′＝2 cm ，OB ＝2O ′B ′＝4 cm ， ∴S △AOB ＝12×OA ×OB ＝12×2×4＝4(cm 2)． 8答案：正方形 4 cm 解析：原图形中，OB ＝222231=22AB OA -=- (cm)，且OA ⊥OB ，那么在直观图中，∠A ′O ′B ′＝45°，O ′B ′＝12OB ＝2 (cm)，又B ′C ′＝1 cm ，所以四边形O ′A ′B ′C ′必为正方形，边长为1 cm ，其周长为4 cm.9答案：解：按斜二测画法得梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，如下图所示，原图形中梯形的高CD ＝2，在直观图中C ′D ′＝1，且∠C ′D ′A ′＝45°，作C ′E ′垂直x ′轴于E ′，则C ′E ′即为直观图中梯形的高，那么C ′E ′＝C ′D ′sin 45°＝22.10答案：解：在△A ′B ′C ′所在的平面上建立坐标系x ′O ′y ′，使x ′轴，y ′轴成45°角，如图(甲)，建立直角坐标系xOy ，使x 轴，y 轴成90°角，如图(乙)．∵△A ′B ′C ′为正三角形，∴△A′B′C′的高|A′D′|＝32 a.∴|O′A′|＝2|A′D′|＝62a.∵在直观图中平行于y′轴的线段为原线段的一半，平行于x′轴的线段与原线段等长．∴在原图中，|OA|＝2|O′A′|＝6a，|BC|＝|B′C′|＝a，∴S△ABC＝12|BC|·|OA|26.。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《简单多面体》课后训练及答案解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二《简单多面体》课后训练1．下列说法正确的是( )．A．三棱柱有6个顶点，3个侧面，6条侧棱B．三棱锥总共有4个面C．四棱台是由四棱锥截得的，故它与四棱锥具有相同的棱数D．几何体截去一部分后，面数会增加，顶点数也会增加2．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．33．在如图所示的长方体中，由面OAB，OBC，OCD，ODA以及ABCD所构成的几何体是( )．A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱4．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．35．设M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合之间关系为( )．A．P N M Q B．Q M N PC．P M N Q D．Q N M P6．若一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )．A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )．A．20 B．15 C．12 D．108．如图，下列几何体是棱台的是__________(填序号)．9．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为______cm2.10．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．参考答案1答案：B2答案：D 解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA1P－DD1Q，三棱柱BB1E－CC1F和四棱柱ABEP－DCFQ.3答案：B4答案：B 解析：对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错；②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是所截棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，故④是正确的．5答案：B6答案：D 解析：由正棱锥的图形可知，正棱锥的侧棱应大于顶点与底面中心的连线，正六边形的边长等于顶点与其中心的连线，故正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长．7答案：D 解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.8答案：④解析：①，③都不是由棱锥截成，不符合棱台的定义与特征，故①③错．∵②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义与特征，∴②不正确．∵④中的截面平行于底面，且侧棱延长线交于一点，符合棱台的定义与特征，∴④正确．9答案：16 解析：正四棱台的中截面是正方形，其边长为12(3＋5)＝4(cm)．由此S 截＝42＝16(cm 2)．10答案：解：如图，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′，符合题意的截面为△A ′BC .在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ′＝4，BB ′＝6.∴A ′B ＝''2'22246=213AB BB +=+. 同理A ′C ＝213，在等腰三角形A ′BC 中，O 为BC 的中点，BO ＝12×4＝2. ∵A ′O ⊥BC ，∴A ′O ＝''22A B BO - ＝22(213)2=43-. ∴S △A ′BC ＝12BC ·A ′O ＝12×4×43＝83， ∴此截面的面积为83.。
北师大版高中数学必修2同步测试题：第1章 第2节 直观图(斜二测画法)(含答案解析)
《空间几何体的直观图（斜二测画法）》同步测试题1.作出水平放置的正六边形的直观图2.作出水平放置的等边三角形的直观图3.作出水平放置的正五边形的直观图4.作出水平放置的直角梯形的直观图5.（1）作出长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的长方体的直观图；（2）作出底面半径为1cm ，高为3cm 的圆柱和圆锥的直观图6.已知斜二测画法得到的直观图A B C '''∆是正三角形,画出原三角形的图形．同步练习1、关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135°2、下列说法正确的是（ ）A ．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形C ．矩形的直观图可能是梯形D ．正方形的直观图可能是平行四边形3、如右图所示，该直观图表示的平面图形为（ ） ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．正三角形 4、下列几种说法正确的个数是（ ）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A ．1B ．2C ．3D ．45、下列结论正确的有①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
6、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ． 90,90B ． 90,45C ． 90,135D ． 45或 90,135 7、、一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 （ ）（第3题图）A ．46B ．43C ．23D ．26 8、水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．29、如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a) cmD ．4a cm10、已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 11、一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4cm,1cm,2cm,1.6cmB ．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC ．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD ．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm12、如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形13、利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．14、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于 ．15、 如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．16、水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．17、在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的投影长度总和是________．18、已知等边△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为616，则等边△ABC 的面积是多少？19、一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．① ②。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《解析几何初步》综合测试题2及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二解析几何小题训练一、选择题：1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支2．参数方程2tan cot x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示的曲线是（ ）A ．圆B ．直线C ．两条射线D ．线段3．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．321-D ．264．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．42D ．322+5．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ）A ． 2-B ．1-C ．1D ．46. 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）．A ．︒+α45B ．︒-α135C ．α-︒135D ．当︒<α≤︒1350时为︒+α45，当︒<α≤︒180135时为︒-α1357. 直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+8．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为 （ ） （A ）－3或7 （B ）－2或8 （C ）0或10 （D ）1或11选择题答题卡二、填空题： 9. 已知两点A B ()()-2002，，，，点C 是圆x y x 2220+-=上的任意一点，则∆ABC 的面积最题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案小值是 .10. 已知直线l ：x y +-=20与圆C ：x y ax ay a 2224240++-+=，设d 是圆C 上的点到直线的距离，且圆C 上有两点使d 取得最大值，则此时a = ，d =11. 直线()()a x b y +++=110与圆x y 222+=的位置关系是_________.12. 在直角坐标系中，射线OA ，OB 的方程是x y x -=≥00()，x y x +=≥00()。
(北师大版)数学必修二达标练习：1.2直观图(含答案)
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课堂达标·效果检测
1.长方形的直观图可能为下图中的哪一组( )
A.①②
B.①②③
C.②⑤
D.③④⑤
【解析】选C.由直观图的画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确.
2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，
其中A′B′=A′C′，那么△ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选B.原图中，AB⊥AC，且AC≠2AB.
3.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′=6，B′C′=4，则AB边的长度是__________.
【解析】原图为Rt△ABC且AC=6，BC=4×2=8，
所以AB==10.
答案：10
4.水平放置的矩形ABCD长AB=4，宽BC=2，以AB，AD为轴作出斜二测直观图
A′B′C′D′，求四边形A′B′C′D′的面积.
【解析】平行线在斜二测直观图中仍为平行线，
所以四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′=45°，A′B′=4，
A′D′=×2=1，D′E=1×sin45°=.
所以四边形A′B′C′D′的面积为4×=2.
关闭Word文档返回原板块。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《解析几何初步》单元同步训练1及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二解析几何初步习题课(四)【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．1．圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧①圆的标准方程：， 其中 为圆心，r 为半径.②圆的一般方程：其中( >0).2．直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆半径) ⎩⎪⎨⎪⎧相交⇔d <r ；相离⇔ ；相切⇔ .3．圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距，R 、r 表示两圆半径且R ≥r )⎩⎪⎨⎪⎧外离⇔d >R ＋r ；外切⇔d ＝R ＋r ；相交⇔R －r <d <R ＋r ；内切⇔d ＝R －r ；内含⇔d <R －r .一、选择题1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1，－2)，5B ．(1，－2)， 5C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 52．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝83．直线x －3y ＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．直线l 与直线3x ＋4y －15＝0垂直，与圆x 2＋y 2－18x ＋45＝0相切，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －6＝0B ．4x －3y －66＝0C ．4x －3y －6＝0或4x －3y －66＝0D ．4x －3y －15＝06．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎦⎥⎤512，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，512D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫512，34二、填空题7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为23的直线方程为______________．8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________．9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．三、解答题10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m ∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．能力提升12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．习题课(四) 答案知识梳理1．①(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F2．d>r d＝r作业设计 1．D2．B [线段AB 两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r ＝2，∴选B ．] 3．C [直线旋转后为y ＝3x ，圆心(2,0)到该直线距离d ＝r ．∴选C ．]4．D [圆的标准方程为(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋32b 2＝a 2＋94b 2．圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a ，－32b ．∴a <0，b >0．∴y ＝－1a x －ba不过第四象限．]5．C [设直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由直线与圆相切得m ＝－6或－66．] 6．A [在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝4－x 2(就是x 2＋y 2＝4，y ≥0)和y ＝k (x －2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需k PA <k ≤k PB ，k PB ＝3－02－(－2)＝34，对于k (x －2)－y ＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d ＝r ，即|－2k ＋3|k 2＋1＝2， 解得k PA ＝512．所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34．] 7．x ＝0或15x ＋8y －32＝0解析 设直线方程为x ＝0或kx －y ＋4＝0．当直线方程为x ＝0时，弦长为23符合题意；当直线方程为kx －y ＋4＝0时，d ＝|k －0＋4|k 2＋1＝22－(3)2＝1，解得k ＝－158，因此直线方程为15x ＋8y －32＝0．8．4解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，转化为求A ′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝4．9．3或7解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A ∩B 中有且仅有一个元素，∴两圆x 2＋y 2＝4与(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切，O (0,0)，C (3,4)，|OC |＝5，r 1＝2，r 2＝r ，故2＋r ＝5，或r －2＝5，∴r ＝3或7．10．解 设所求圆的圆心为O ，则OA ⊥l ，又设直线OA 与圆的另一交点为P ．所以直线OA 的斜率为－34．故直线OA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0．又因为k AB ＝2－65－3＝－2，从而由平面几何知识可知k PB ＝12， 则直线PB 的方程为x －2y －1＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.即点P 的坐标为(7,3)．因为圆心为AP 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，92，半径为OA ＝52，故所求圆的标准方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254．11．(1)证明 把直线l 的方程改写成 (x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝02x ＋y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1，所以直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25，所以圆C 的圆心为(1,2)，半径为5． 定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．(2)解 设直线与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M (3,1)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB |最短．因为|AB |＝2|BC |2－|CM |2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝220＝45，此时k AB ＝－1k CM＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0． 12．B [视线即切线，切线与直线x ＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y ＝±33(x ＋1)． 当x ＝2时，y ＝±3，所以a ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，故选B ．] 13．解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22． ∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝22．方法二 利用等价转化的思想，设点P 坐标为(x ，y )，则|PC |＝(x －1)2＋(y －1)2， 由勾股定理及|AC |＝1，得 |PA |＝|PC |2－|AC |2 ＝(x －1)2＋(y －1)2－1， 从而S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12|PA |·|AC |＝|PA |＝(x －1)2＋(y －1)2－1， 从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA |的最小值，只需求|PC |2＝(x －1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )距离的平方的最小值，它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，这个最小值d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9，∴(S 四边形PACB )min ＝9－1＝22．。
北师大版数学高一必修二 直观图
本 课
(1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy.画直观图时，它们分别
时 栏
对应 x′轴、y′轴，两轴交于 O′，使∠x′O′y′＝ 45°，
目 它们确定的平面表示 水平平面 ；
开
关 (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画
成平行于 x′轴或 y′轴的线段；
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度
问题 4 你能画出水平放置的正六边形的直观图吗？(阅读教 材第 7 页例 1 的画法，然后自主作图)
答 画法如下图所示
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 问题 4 中画水平放置的平面图形的直观图的方法叫
作斜二测画法，你能概括出斜二测画法的规则吗？
答 (1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy.画直观图时，它
直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这
个问题．那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何
操作？
本
课
时
栏
目
开
关
答 如上图，直角坐标系变成 45°的坐标系，利用 A′B′＝
AB，A′D′＝12AD，D′C′＝DC 确定出点 A′，B′，D′，
C′，连接这四个点，即得到直角梯形的直观图．
研一研·问题探究、课堂更高效
们分别对应 x′轴、y′轴，两轴交于 O′，使∠x′O′y′
本 课
＝45°，它们确定的平面表示水平平面；
时 (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画
栏
目 成平行于 x′轴或 y′轴的线段；
开 关
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二
§2 直观图
【课时目标】 1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面
图形和立体图形的直观图．
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画
成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表
示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线
段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，
长度为原来的一半．
一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有( )
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )
A．等腰梯形B．直角梯形
C．任意四边形D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图的周长是( )
A．8 cmB．6 cm
C．2(1＋3) cmD．2(1＋2) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯
形，则该平面图形的面积等于( )
A．12＋22B．1＋22
C．1＋2D．2＋2
二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是______________．
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边
上的中线的实际长度为____________．
9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐
标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
三、解答题
10．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，
AD＝3 cm，试画出它的直观图．
11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．
能力提升
12．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A
′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形
的真实图形并求出其面积．
§2 直观图 答案
作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．]
2．B
3．A [
根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，
OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]
5．C
6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′
∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形
为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以S
ABCD
＝2＋2．]
图1 图2
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因
此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计
算得AB＝5，所求中线长为2．5．
9．22
解析
画出直观图，则B′到x′轴的距离为
22·12OA＝24OA＝2
2
．
10．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原
点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′
＝AE＝323≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED，再过点D′作D′C′∥x′
轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A
′B′C′D′就是所求作的直观图．
11．解 先画出正三角形ABC，
然后再画出它的水平放置的直观图，
如图所示．由斜二测画法规则知
B′C′＝a，O′A′＝34a．
过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M，
则A′M＝O′A′·sin 45°＝
34a×22＝6
8
a．
∴S△A′B′C′＝12B′C′·A′M
＝12a×68a＝616a2．
12．
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝2，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．