空间向量的数量积运算教学设计
教学设计4:3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算一、课题：空间向量的数量积二、教学目标：1．巩固空间向量数量积的概念；2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。
三、教学重、难点：应用空间向量数量积解决问题． 四、教学过程： （一）复习：1．空间向量夹角的概念和范围； 2．空间向量数量积的概念；3．向量AB 在e 方向上的射影：|||||cos ,|A B AB AB e ''=⋅<>． （二）新课讲解：例1．已知线段,AB BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===， 求,C D 间的距离．例2．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，求AC '的长．例3．已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．例4．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求：长方体的高1BB ．五、课堂练习：课本第35页第1、5题． 六、课堂小结：空间向量数量积的应用． 七、补充作业：1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )．A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是 ( )． A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB →3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )．A.12B.22 C ．－12D ．0 4．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________． 解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.5．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→答 案例1．【答案】解：（方法一）连结AD ， ∵,AC AD αα⊥⊂，∴AC AD ⊥，在ABD ∆中∵BD AB ⊥， ∴22222AD AB BD a b =+=+，在ACD ∆中∵AC AD ⊥，所以，CD（方法二）：22||()CD CA AB BD =++222||||||222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅又∵,,AC AB BD ααα⊥⊂⊂，∴,AC BD AC AB ⊥⊥，又∵AB BD ⊥，∴BD AB ⊥，∴0,0,0CA AB AB BD CA BD ⋅=⋅=⋅=，∴2||CD =222222||||||CA AB BD a b c =++=++，所以，||CD例2.【答案】解：22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅222435243cos90245cos60235cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯169250201585=+++++=所以，||85AC '=例3．【解析】要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM 与BN 所成的角的余弦值，因此就要求SM BN ⋅以及||||SM BN ⋅，然后再用向量夹角公式求解．【答案】解：设SA a =，SB b =，SC c =，∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()()22a b c b =+⋅- 2111()222a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-1111111(1)2222222=⨯-+⨯-=-∴12cos ,3||||3SM BN SM BN SM BN -⋅<>===-⋅， 所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23．【说明】设出空间的一个基底后，求数量积SM BN ⋅的时候目标就更加明确了，只要将SM与BN 都化为用基向量表示就可以了。
空间向量数量积运算教案
空间向量数量积运算教案一、教学目标1. 理解空间向量数量积的定义及物理意义。
2. 掌握空间向量数量积的运算律及性质。
3. 能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 重点：空间向量数量积的运算律及性质。
2. 难点：运用空间向量数量积解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过复习平面向量数量积的定义及性质，引出空间向量数量积的定义及性质。
2. 新课讲解：通过实例讲解空间向量数量积的运算律及性质，并给出证明过程。
3. 示范与探究：通过例题示范，让学生了解如何运用空间向量数量积解决实际问题，并引导学生探究多种解法。
4. 课堂练习：让学生自己动手完成课堂练习，巩固所学知识。
5. 归纳小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、示范、探究、练习。
2. 教学手段：PPT演示、板书、实物模型。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：完成相关练习题，教师现场指导。
2. 作业：布置相关练习题，让学生在家中复习巩固所学知识。
3. 评价方式：通过作业、小测验等方式评价学生的学习情况。
六、辅助教学资源与工具1. 教学PPT：用于展示教学内容。
2. 黑板与粉笔：用于板书重要内容。
3. 实物模型：用于演示空间向量的运算过程。
4. 教学软件：用于计算和演示空间向量的运算结果。
七、结论本节课学习了空间向量数量积的定义及性质，掌握了其运算律及多种解法，能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
在以后的学习中，需要进一步巩固和拓展所学知识，提高自己的解题能力。
八、教学反思本节课的教学内容比较抽象，需要学生具备一定的空间想象能力，因此在教学过程中需要注重培养学生的空间想象能力。
同时，还需要加强对空间向量数量积的应用的讲解，让学生更加了解其在实际问题中的应用。
在教学方法和手段上，需要进一步探索和创新，提高学生的学习积极性和参与度。
3.1.3空间向量的数量积教学设计
（3） （分配律）．
（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知： 是平面 内的两条相交直线，直线 与平面 的交点为 ，且
求证： ．
证明：在 内作不与 重合的任一直线 ，
在 上取非零向量 ，∵ 相交，
∴向量 不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对 ，使 ，
教学方法：探究，归纳
教学过程：
（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规定 ，显然有 ；
若 ，则称 与 互相垂直，记作： ；
2．向量的模：
设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： ；
通过绘制和展示优美的图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.
批注
教学重点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教学难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教学用具：与教材内容相关的资料。
例3．如图，在空间四边形 中， ， ， ， ， ， ，求 与 的夹角的余弦值。
解：∵ ，
∴
∴ ，
所以， 与 的夹角的余弦值为 ．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 易错写成 ，切记！
五．巩固练习：课本第92页练习第1、2、3题。
六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
七．作业：课本第98页第3、4题
3．向量的数量积：
已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 ．
高中数学_空间向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
空间向量的数量积运算教学目标知识与技能1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法2.掌握两个空间向量的数量积的概念和性质以及计算方法和运算律。
3.掌握两个空间向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法1.运用类比方法，体会向量的数量及运算由平面向空间转化的过程。
2.引导学生借助空间几何体理解空间向量的数量积运算情感态度与价值观1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、合作自学能力。
2.培养学生空间向量的应用意识重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律，几何意义2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用教学难点：用向量的方法解决立体几何中的垂直、距离、夹角等问题解决方法：1.深化理解空间向量的数量积的概念2.互助探究，增强合作意识教学过程：一、新课导入回顾平面向量的数量积运算，通过提问的方式回忆知识平面向量的数量积运算：1）两个向量的夹角的定义：如图，已知平面两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b . (1)规定：0≤,a b ≤π （2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,a b =,b a（3）,a b =0时，a 与b 同向；,a b =π时，a 与b 反向（4）如果,a b =2π，则称a 与b 垂直，记为a ⊥b 2）数量积公式：a b •=a b cos ,a b三个重要性质：（1）2a =2a 即a =2a （求线段的长度）（2）a ⊥b ⇔a b •=0（垂直的判断）（3）cos ,a b =a ba b •（求角度）二、新课讲授类似地，我们可以定义空间向量的数量积运算：1） 两个空间向量的夹角的定义：如图，已知空间两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b .（1）规定：0≤,a b ≤π（2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,a b =,b a（3）,a b =0时，a 与b 同向；,a b =π时，a 与b 反向（4）如果,a b =2π，则称a 与b 垂直，记为a ⊥b 2）数量积公式：a b •=a b cos ,a b三个重要性质： （1）2a =2a 即a =2a （求线段的长度）（2）a ⊥b ⇔a b •=0（垂直的判断） （3）cos ,a b =a ba b •（求角度） 以上结论说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题3）空间向量的数量积的几何意义 数量积a b •等于a 的长度与b 在a 方向上的投影b cos ,a b 的乘积。
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计教学目标：知识与技能目标：知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标：1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力.2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标：1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.教辅工具：多媒体课件教学程序设计：一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义0,,,a b a b b a π≤〈〉≤〈〉〈〉规定:这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且＝ba b a b a ⊥=〉〈互相垂直，并记作：与则称如果,2,π,,,,,a b O OA a OB b a AOB a b b ∠〈〉==如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则角叫做向量与的夹角，记作：bABC思考：正三角形ABC 中，,______AB BC 〈〉=度120aOABab2）两个向量的数量积〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量几何意义： a与b的数量积b a⋅等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影|b |cos ,a b 〈〉的乘积.A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉大于0等于0小于0类比平面向量，说说的几何意义。
a b ⋅①两个向量的数量积是数量，而不是向量.〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个非零向量③非零向量④⑤cos ,a b a b a b⋅〈〉=2）两个向量的数量积a b ⊥0a b ⇔⋅=2a a =几个重要结论：②规定：00a ⋅=3)空间向量的数量积满足的运算律1)()()a b a b λλ⋅=⋅3()(a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅）分配律）2)(a b b a ⋅=⋅交换律）量的数量积定义及几何意义等.对个的结论主让例题与练习分析二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa-=⋅==2.10,0,0()2)()()()3)()4)()a b ca b a ba b c a b ca b a c b cka b k ba⋅===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅==对于空间中任意向量,和，请判断下列说法的对错：）若则若，则若，则135××××ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD⋅⋅⋅⋅)4()3()2(11 .3）（计算：的中点。
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
空间向量的数量积运算”教学设计与反思
“空间向量的数量积运算”教学设计与反思笔者有幸参加了2015年浙江省高中数学课堂教学评比活动，并得到了与会专家和老师的一致认同，获得了课堂教学评比一等奖.以下是本节课的教学设计和课后的教学反思，以此抛砖引玉，供同行参考.一、教学内容解析向量兼具数和形的双重形态，是沟通代数和几何的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决三维空间中图形位置关系与度量问题的有效工具.空间向量的数量积运算，是人教社A版《数学2-1》中继空间向量的加减运算、数乘运算之后的又一种运算，是平面向量运算向空间推广的一个实例.在平面向量的夹角、长度概念和数量积定义的基础上，通过类比的方式，得出空间向量数量积的相关概念、运算律，并举例说明了空间向量数量积运算在处理立体几何中垂直关系中的重要作用，充分体现了数学的应用价值.做好类比、抓住本质、学会方法、奠定基础是本节课的教学主线.通过类比发现任意两个空间向量都是共面的，抓住本质确定空间任意两个向量的数量积本质上就是平面向量的数量积；基于空间向量的数量积运算，学会用数量积解决垂直问题的方法，体会化归转化与数形结合思想另外，本节课内容为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定了重要基础.二、教学目标设置教学指导意见对本节内容的要求是：理解空间向量的长度和夹角的意义；理解空间向量的数量积的意义及其运算律；能利用空间向量的运算解决直线和直线垂直、直线和平面垂直、两点间距离或线段长度等相关问题结合教学实际，制定教学目标如下：（1）通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出明确的认识：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.（2）经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.（3）在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.三、学生学情分析学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已感受空间向量与平面向量之间的内在联系，体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算由于空间任意两个向量必共面，因此空间向量在本质上与平面向量是一致的.同时学生在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积的概念和计算方法、运算律.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素可能困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：重点：通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，能利用数量积运算解决空间垂直问题.难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示线线、线面垂直，并深刻体会没有运算的向量只能起到路标作用，有了向量的运算力量无穷.四、教学策略分析（一）本节课的框架设计为了实现教学目标，我按照以下框架安排本节课的教学：环节1：问题引入，提出概念；环节2：自主探究，交流分享；环节3：例题赏析，感悟运算；环节4：归纳总结，作业巩固.（二）对教学方法和手段的分析本节课的教学主线是：做好类比、抓住本质、学会方法、奠定基础教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行学生先行，交流呈现，教师断后的教学理念，凸显以学生为主体的教，在教师引导下的学的授课模式.通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生动起来，让课堂活起来.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立已知与待求间的关联.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用.另外，根据教学需要，对教材内容和呈现方式作了如下设计：（1）设置自主探究，交流分享环节，并以表格的形式呈现空间与平面向量数量积的对比，增强对比的效果，突出两者的共性，有利于空间向量数量积的知识构建.（2）以表格形式呈现课本第90页思考题中的3个问题，概括为可约、可除、可结合三个问题，增强学生对三种运算的直观理解.（3）以例1、例2为载体，强化学生对数量积运算价值的认识.通过课堂感悟，引导学生去体会没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷.（4）制作实用的多媒体课件，设计合理的板书，辅助课堂教学的有效开展.五、教学过程（一）问题引入，提出概念之前刚刚学习了空间向量的加减、数乘运算，通过学习发现：空间向量的加减、数乘运算与平面向量的加减、数乘运算是完全一样的.必修4中已经学习了平面向量的数量积运算，从定义、几何意义、运算律等方面认识了数量积运算，那么空间向量的数量积运算会是怎么样的呢？设计意图：通过回顾加减、数乘运算学习经验，让学生体会空间向量与平面向量的内在联系，暗示学生运用类比的方法学习空间向量的数量积运算等借此，提出空间向量的数量积的概念，为后续自主探究、交流分享环节作好铺垫.（二）自主探究，交流分享1.小组合作，自主探究分组：4人小组，确定1名组长.组长负责组织讨论、记录、汇报讨论结果.引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向.巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导.提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.设计意图：充分发挥学生的主体作用，践行学生先行，交流呈现，教师断后的教学理念，凸显以学生为主体的教，在教师引导下的学的授课模式，让学生动起来，让课堂活起来.2.概念辨析，交流分享（1）空间向量的投影.设计意图：学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的内在联系，领悟空间任意两个向量都是共面的，空间向量的投影可以转化为平面向量的投影，同时还学会了空间向量投影的直观作法.（2）空间向量数量积运算的分配律.a（b+c）=ab+ac（b+c）在a方向上投影=b在a方向上投影+c在a方向上投影设计意图：学生在理解了空间向量的投影的概念之后，对投影的认识有进一步提升的需要.另外，从定义出发论证分配律也需要借助投影来实现.以长方体为背景的空间向量图示，能直观呈现空间位置和向量投影，达到此时无声胜有声的奇效，是本节课的一处亮点.（3）课本第90页思考题辨析.设计意图：通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持.3.例题赏析，感悟运算例 1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.设计意图：将文字叙述转译为数学语言表达是例1的难点，将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算.因此设置如下步骤来突破难点：第一步，用数学语言表示；（已知：PO平面，l在平面内，OA是斜线PA在内的射影，且lOA.求证：lPA）第二步，构建已知与求证的关联，引导学生将问题转化为向量问题；第三步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算证明；第四步，根据计算结果解释几何结论（三垂线定理）；第五步，体验数量积运算的价值：数量积运算可以刻画空间线线垂直的位置关系.例2 如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果lm，ln，求证：l设计意图：例2呈现了数量积运算刻画空间线面垂直关系的价值.证明l与内任意一条直线g是关键，运用空间向量共面定理表示g=xm+yn是本题的难点.通过与例1的对比，促使学生深刻体会数量积运算在刻画空间垂直关系中的应用价值.为此设置问题串来突破难点：问题1如何判断直线l平面？问题2如何判断lg（g为平面内任意一条直线）？问题3如何判断lg？问题4如何用m，n表示g？4.归纳总结，作业巩固（1）空间向量数量积的定义、几何意义、运算律.（2）用数量积运算来刻画空间中的垂直关系：线线垂直、线面垂直.类比与归纳右图（1）数形结合思想；（2）化归转化思想.学习感悟没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！课后作业必做作业：书本第92页练习1，书本第99页B组第1题；选做作业：试证明三垂线定理的逆定理.六、教学反思从实际的教学反馈来看，本节课的总体架构是切实可行的，收效也非常好.本节课的亮点主要体现在以下三个方面：1.教学思路的独创性教学设计中突出了构建向量的代数系统的思路，寻求达成没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷的共识，是本节课的第一大亮点.教学设计合理地解读了人教版教材的编写意图，为空间向量章节内容的教学提供了一个很好的范式.本节课介绍了又一种新的空间向量运算（数量积运算），从定义、几何意义、运算律、应用等维度对这种运算进行研究.本节课的重心是数量积运算的认知以及价值体验的过程，而不是解题应用.2.教学定位的适切性教学重、难点的确定是否适切，直接影响教学是否有效.本节课的定位和预设，符合学生认知水平.高二学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受空间向量与平面向量之间的内在联系（空间任意两个向量必共面），能体会运用类比的方法学习空间向量及其运算.基于平面向量数量积的学习经验，学生已经认识到平面向量数量积在判定垂直关系中的应用价值，这为研究空间位置关系提供了类比前提，自然地确定了教学重点通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，并能利用数量积运算解决空间垂直问题.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.教学过程中，充分利用直观的几何图示，帮助学生建立对空间向量投影和分配律的几何内涵的认知，这是本节课的又一亮点.3.教学过程的探索性教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行学生先行，交流呈现，教师断后的教学理念，突显以学生为主体的教，在教师引导下的学的授课模式.这是本节课的第三个亮点.通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生动起来，让课堂活起来，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳，在探究中发现、理解数学概念；设置问题（串）引导学生主动发现已知与待求间的关联，体验数形结合、化归转化等数学思想.当然，本节课也存在许多不足之处，需要在后续的教学中加以改进.（1）小组合作的探究活动开放程度不够，探究发现的层次不够高，课堂生成意外不多.（2）例题赏析环节中，学生的主动参与程度不高，气氛调动和难点突破的设计还需优化.。
3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
必做题：P92 练习1、2、3
选做题： A组 1、2、3、4
学生口答
类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律
旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚，其地位比一般属吏高。《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈，这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去，要文案给他补一份状子。"
文案音译
文案英文:copywriter、copy、copywriting
文案拼音:wénàn
现代文案的概念:
以问题的形式引导学生回顾复习前面所学的平面向量的相关知识，为学习好空间向量做好铺垫。
明确空间向量夹角的概念
让学生对空间向量数量积有更深的理解
力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会.
让学生对两个问题进行对比分析，强化对空间向量的数量积运算的理解.有助于教学目标的实现，
教学重点
空间向量数量积运算
教学难点
如何将立体几何问题等价转化为向量问题
板
书
设
计
§3.1.3空间向量的数量积运算
1.两个向量的夹角
3.数量积的性质
例题解答
2.两个向量的数量积
4.数量积满足的运算律
教学反思
舒兰一中构建高效课堂教学设计案
教学环节及时间分配
教师活动
（教学内容的呈现及教学方法）
2022年《两个向量的数量积》教学优秀教案1
两个向量的数量积一、教学目标1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．二、教学重点两个向量的数量积的计算方法及其应用．三、教学难点两个向量数量积的几何意义．四、教学过程〔一〕复习引入：1.空间向量的概念：2.空间向量的运算：〔1〕加法；〔2〕减法；〔3〕数乘3.共线向量定理：空间任意两个向量4.共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面<=>存在实数使5.空间向量根本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使假设三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底〔二〕讲解新课这节课我们来学习向量的第四种运算，两个向量的数量积。
首先请同学们回忆，在平面向量中，如何定义两个平面向量的数量积的？向量，那么叫做的数量积，记作，即．由于两个空间向量总可以平移到同一个平面内，因此平面向量的数量积就是两个空间向量的数量积.但如何定义空间中两个向量的夹角呢？想想我们是如何定义平面向量的夹角的？由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．1.空间向量的夹角：两非零向量，在空间任取一点，作，那么叫做向量与的夹角，记作；(1)范围：规定；(2)显然有；(3)假设，那么称与互相垂直，记作：.2.空间向量的数量积：向量，那么叫做的数量积，记作，即．说明：两个向量的数量积是一个实数.3.空间向量数量积的性质：(1)．(2)．(3)．(4)4.空间向量数量积运算律：(1)．(2)〔交换律〕．(3)〔分配律〕．〔三〕讲解范例：例1.在正方体AC/中，求以下各对向量的夹角：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；例2.平面，，点A 、B 在内，它们在上的正射影分别为；点C 、D 在内，它们在上的正射影分别为，求证：例3.如图，在空间四边形中，，，，，，解：∵，∴∴，所以，与的夹角的余弦值为．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！例4．空间四边形中，，，求证：．证明：〔法一〕．〔法二〕选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，∴，∴，∴，即．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明五、教学总结由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．。
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舒兰一中构建高效课堂教学设计案
高二年级数学学科课题
§3.1.3空间向量的数量积运算
预讲授时间2012 年 12月 5日第 1 课时授课类型新授课
教学目标掌握空间向量的数量积运算及向量的夹角概念；运用公式解决立体几何中的有关问题。培养学生观察、分析、类比转化的能力；探究空间几何图形，将几何问题代数化，
提高分析问题、解决问题的能力。通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空
间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力.
教学重点
空间向量数量积运算
教学难点
如何将立体几何问题等价转化为向量问题
板
书
设
计
§3.1.3空间向量的数量积运算
1. 两个向量的夹角3.数量积的性质
例题解答
2. 两个向量的数量积4.数量积满足的运算律
教
学
反
思
舒兰一中构建高效课堂教学设计案
教学环节及时间分配教师活动（教学内容的呈现及教学方法）学生活动
（学习活动的设计）设计意图
问题引领3分合作探究6分自主建构6分钟合作探究4分钟6分钟回顾平面向量数量积的相关内容，如平面向量夹角及平面向量数量积1）两个向量的夹角的定义2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零3)空间向量的数量积性质对于非零向量，有：学生口答
类比平面向
量的数量积
的有关概念、
计算方法和
运算律推导
出空间向量
的数量积的
有关概念、计
算方法和运
算律
结合复习过
的知识，学生
探究讨论
学生探究交
流讨论。
结合平面向
量的学习，让
学生自学、探
究对学生可
能出现的问
题，组织学生
讨论、交流、
纠正
以问题的
形式引导
学生回顾
复习前面
所学的平
面向量的
相关知识，
为学习好
空间向量
做好铺垫。
明确空间
向量夹角
的概念
让学生对
空间向量
数量积有
更深的理
解
力求改变
单一、被动
的学习方
式，让学生
成为学习
O
A
B
a
a
b
b
babaAOBbOBaOAOba,
,,
.,
记作：
的夹角，与叫做向量则角作
，在空间任取一点量如图，已知两个非零向
abbaba,,
,0
＝被唯一确定了，并且
的夹角就在这个规定下，两向量范围：
bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,
babababababababaaaOAaOA,cos
,
,,cos,
,,
即记作：
的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量
记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设
ba,
aaababaeaaea2)3
0)2
,cos)1
点拨提升5分钟点拨提升12分注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；4)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 变式训练设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则△BCD是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不确定例2: 已知直线m ,n，是平面内的两条相交直线, 如果,,nlml求证: l例3 如图，已知线段在平面内，线段AC，线段ABBD，线段'DD，.'30DBD，如果，求C、D之间的距离。课堂练习1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) 学生分组讨论、纠正、争辩，合作交流引出共面向量定义交流问题，给每一个学生表现个人的机会。学生板演，注重步骤。学生完成鼓励学生先尝试分析。学生展示的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会. 让学生对两个问题进行对比分析，强化对空间向量的数量
积运算的
理解.有助
于教学目
标的实现，
将一个复
杂问题分
解成为两
个简单问
题，易于学
生理解.
不同层次
的题目，层
层递进，不
断提高学
生的能力。
不仅巩固
新学的知
识，而且让
不同层次
的学生得
到不同的
收获.
通过典型
例题让学
生理解本
节的知识
分配律））
交换律）
()(3()2)()()1cabacba
abba
baba
)()cbacba（
.________,2,22,22.1所夹的角为则已知ba
baba
)(,b)3)()()()2)(,1.2bkakacbacbacbabba?
?
则
则若）
判断真假：
0,0,0ABACABADACAD
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
AB
,ABaACBDb
总结评价3分钟布置作业A. 60度 B. 90度 C. 105度 D.75度通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角. 必做题：P92 练习1、2、3 选做题： A组 1、2、3、4 应用整合，强化新知学生总结归纳所学知识点培养学生
总结归纳
的能力
使不同的
学生得到
不同的锻
炼