向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案新人教版必修4
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计）一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量的数量积的定义及几何意义；熟练掌握平面向量数量积的性质；掌握关于平面向量数量积的几类重要题型．2.过程与能力目标通过对数量积的定义及运算性质的应用，加深学生对知识的理解与掌握，同时，通过对数量积的几类重要问题的解答，培养学生的归纳能力，运算能力，应用所学知识解决问题的能力．3.情感与态度目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.二、教学重、难点1.教学重点平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.2.教学难点平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用.三、教学准备多媒体、彩色粉笔四、教学过程新课（一）创设情景，引入新课问题：如图所示，一辆小车，在力F 的作用下，产生位移S ，那么请问力F 在这个运动过程中所做的功？（1）力F 所做的功W ：W = （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W （功）是 量，F （力）是 量，S （位移）是 量，θ是 .（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.思考：如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？（二）探究新知探究一:明晰向量数量积的定义1、 数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b 数量积（或内积），记作b a ⋅规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a 00=⋅注意： “b a ⋅”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替.2、提出问题（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？（2）影响数量积大小的因素有哪些？ （3）学生讨论完成下表θ的范围 0°≤θ<90° θ=90° 90°<θ≤180° a ·b 的与0的关系探究二:向量数量积的几何意义1、 给出“投影”定义师引导学生思考：（1）初中学过投影吗？（2）b 在a 方向上的投影应该怎么做？红色线段又表什么？（3）计算投影？作图：如图，我们把│b │cos θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，记做：OB 1=│b │cos θ2、 提出问题：向量数量积的几何意义是什么？数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影︱b ︱cos θ 的乘积 探究三：探究数量积的运算性质1、（1）我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:b a b a b a =⋅︒=同向，与，0θ;b a b a b a -180=⋅︒=反向，与，θ0,,90=⋅⊥︒=b a b a θ（2）我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢? 根据定义ba b a b a b a ⋅=⇒=⋅θθcos cos 由此我们就可以得出θ的值. 当0=⋅b a 时,︒=⇒=900cos θθ．总结（1）（2）知0=⋅⇔⊥b a b a .（3）特别地，22,a a a a a a a a a 常记为这里或⋅⋅==⋅.（4）请判断的大小关系与b a b a ⋅．分析： 1cos ,cos ≤=⋅θθb a b a ，b a b a b a ≤=⋅∴θcos ．这些就是数量积的性质.在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。
人教版高中必修4(B版)2.3.1向量数量积的物理背景与定义课程设计
人教版高中必修4(B版)2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课程设计引言在我们的日常生活中，经常会使用到向量及其相关的数学工具。
对于高中学生来说，向量数量积是一个必须要掌握的概念和技能。
本文将从物理背景和概念定义两个方面，为学生展开向量数量积的课程设计。
一、物理背景1.1 向量概念向量是一个既有大小（又叫模长）、又有方向的量，通常用有向线段表示。
向量最早源于物理学，但现在已经在各种领域广泛应用。
1.2 力和位移在力学中，向量被用来描述力和位移。
力是物体间的相互作用，可以分解为大小和方向。
位移也是一种向量，它描述物体在空间中的位置变化。
1.3 力与位移的物理背景在力学中，可以通过向量的数量积来描述力和位移之间的关系。
具体来说，力在物体运动方向上产生的位移可以表示为力与位移的数量积。
二、概念定义2.1 向量的数量积定义向量的数量积又称点积或内积，是使用向量的长度和夹角计算两个向量的乘积。
设有向量a和b的夹角为θ，a和b的数量积为a·b，则a·b=|a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度。
2.2 向量的数量积计算以二维空间为例，设向量a的坐标为(a1,a2)，向量b的坐标为(b1,b2)则向量a、b的数量积为a·b=a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>2.3 向量的数量积性质向量的数量积具有以下性质：1.交换律：a·b = b·a2.分配律：a·(b+c) = a·b + a·c3.数量积为0的向量互相垂直4.若a,b的夹角为90度，则a·b = 0三、课程设计本次课程设计主要是让学生了解向量的数量积的物理背景和概念定义。
具体来说，课程将分为以下几个步骤：3.1 知识预热为了让学生更好的理解向量数量积的物理背景，可以从以下几个方面进行预热。
高中数学第二章平面向量的数量积的物理背景及其含义教案新人教必修
高中数学第二章平面向量的数量积的物理背景及其含义教案新人教必修教学目的：1.把握平面向量的数量积及其几何意义；2.把握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积能够处理有关长度、角度和垂直的问题；4.把握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的明白得和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生明白得平面向量数量积的定义，明白得定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生关于平面向量数量积的认识.要紧知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量差不多定理：假如1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量差不多定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情形：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范畴的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范畴0︒≤θ≤180︒C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有专门大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；然而在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.然而a⋅b = b⋅c a = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，然而(a⋅b)c≠a(b⋅c)明显，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一样a与c不共线.3．“投影”的概念：作图投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 专门的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判定正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；关于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；关于②：应有０·ａ＝0； 关于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，那个地点θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；关于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；关于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ能够都非零；关于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范畴是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.9.关于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求现在b 与a +tb 的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：（王海）。
高中数学新人教版A版精品教案《2.4.1 平面向量数量积（第一课时）（特色班）—— 向量数量积的物理背景及其含义》
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课题】：平面向量数量积的物理背景及其含义【设计与执教者】：广铁一中叶丹【教学时间】：40分钟【学情分析】：学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的，因而本节课教学的难点数量积的概念。
【教学目标】：（（1）知识和技能目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，知道平面向量的数量积与向量投影的关系，对向量数量积的定义，性质的理解和应用既是重点又是难点。
；（2）过程和方法目标：1、向量数量积定义与性质的学习，要利用好力做功这一物理背景，同时要运用几何直观理解定义的实质，揭示其几何意义。
2、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法。
（3）情感、态度与价值观：对本课采用探究性学习，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，培养我们发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展我们的创新意识。
【教学重点】：平面向量的数量积定义、性质的理解和应用；【教学难点】：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。
【教学突破点】：利用物理中功的概念帮助学生理解向量的数量积【教法、学法设计】：采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
【课前准备】：多媒体课件【教学过程设计】：⋅=cbb：①错误00a；a；cosa b a b；当→a≠→0，b≠→0且a→b时；→→→→=⇒=⋅00ab或→→=0b或a→b；⑥错误若→→≠0b，→→→→⋅=⋅cbba则→→=ca或() b a c。
《向量数量积的物理背景与定义》教案1 新人教B版必修4
2.3.1向量数量积的物理背景与定义(舞蹈附中孟婷)（一）教学目标1．知识与技能：(1)通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义.(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.(4)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.2．过程与方法：(1)通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念.(2)运用几何直观引导学生理解定义的实质.(3)进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用.3．情感、态度与价值观：有物理背景出发引出数量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生的自主探索能力.（二）教学重点、难点教学重点是向量的数量积的定义及性质.教学难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用.（三）教学方法有物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，探索数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问（1）向量的概念.（2）向量的加减法和数乘运算.提问引入：我们已经学过平面向量的加减法和数乘运算，那么自然会想到两个向量能否进行乘法运算呢？学生回答复习旧知识引出新知识概念形成1．向量数量乘积的物理背景问题：如果一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功w等于多少？教师提问学生回答教师给出向量的数量积的概念.以物理问题为背景，使学生从中受到启发，为引入向量的数量积的概念做准备.2．两个向量的夹角已知两个非零向量a、b，OA=a，OB= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a ，b〉并规定0≤〈a ，b〉≤π强调：（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移.（2）范围0≤〈a ，b〉≤π.（3）〈a ，b〉=〈b ，a〉（4）〈a ，b〉=0时, a、b同借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义打好基础。
《平面向量数量积的物理背景及其含义(1)》教学设计
《平面向量数量积的物理背景及其含义（1）》教学设计一.教学内容分析：本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.二.学生学习情况分析：学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.三.设计思想：遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四.教学目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
五.教学重点和难点:重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
六.教学过程设计：活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。
2017人教a版高中数学必修四平面向量的数量积的物理背
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、自主学习（一）温习（1）两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则___________（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；（2）当θ＝π时，a 与b 反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；（4）注意在两向量的夹角概念，两向量必须是同起点的.范围是0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定定理________________________（3）力做的功：W = |F ||s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移肯定的，类比这种运算，咱们引入“数量积”的概念。
(二)、（预习教材103-105页）1．平面向量数量积（内积）的概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量_______________叫a 与b 的数量积，记作a •b ，即有_______________（其中０≤θ≤π）.并规定：0向量与任何向量的数量积为0.⋅探讨：（1）、向量数量积是一个向量仍是一个数量？它的符号何时为正？何时为负？（2）、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？【平面向量数量积的几点说明】（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；书写时要特别注意：.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；可是在数量积中，若a ≠0，且a •b =0，不能推出b =0因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .可是a •b =b •c= (5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，可是(a •b )c ≠ a (b •c ) 显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.2．“投影”的概念：作图概念：______________叫做向量b 在a 方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当θ为_____时投影为正值；当θ为____时投影为负值当θ为直角时投影为0；当θ =_____时投影为│b │；当θ = ________时投影为 -│b │. 3．向量的数量积的几何意义：数量积a •b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影│b │cos θ的乘积. 探讨一、：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a •b = 0,二、当a 与b 同向时，a •b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a •b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅= ,│ a •b │ ≤|a ||b | , cos θ =b a ba ⋅ 探讨二、：平面向量数量积的运算律（1）．互换律：a •b = b •a （2）．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）．分派律：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c说明：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c ）（2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0a ＝b （3）有如下常常利用性质：a ２＝｜a ｜２，（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d二 探讨、讨论、展示例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)•(-)=２-２例2．已知│a │=12，│b │=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角θ。
人教B版必修4高中数学《231向量数量积的物理背景与定义》教学设计.docx
人教B版必修4高中数学《2. 3.1向量数量积的物理背景与定义》教学设计一.课标分析：《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
二.教材分析本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书B版必修4的第二章《平面向量》的第3节《平面向量的数量积》的第一课时《向量数量积的物理背景与定义》。
数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、儿何意义、性质与运算律，而且在物理和儿何屮具有广泛的应用。
它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。
数量积为解决有关儿何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角。
三.学情分析学生在学习本节内容之前，己经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其儿何意义。
学生会产生这样的疑问一一平面向量Z间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。
四.教学目标知识与技能：（1）学生能够通过平移找出两个向量的夹角，掌握夹角的范围。
（2）学生了解平面向量数量积的物理背景，理解平血向量数量积的定义及英物理意义，能求出两个向量的数量积。
知道夹角的大小决定非零向量数量积的符号，通过用数量积解释物理知识，进一步加深对数量积的定义的理解（3）体会平面向量的数量积与向量的投影的关系，学生能够学会求一个向量在另一个向量方向上的正射影的数量，运用几何直观理解定义的实质，揭示其几何意义。
（4）学生能够掌握数量积的五条重要性质，学生能通过公式变形得到夹角公式，能运用数量积解决两个向量的夹角问题，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.学会使用数量积求向量的长度。
人教课标版(B版)高中数学必修4《向量数量积的物理背景与定义》参考教案1
2.3.1 平面向量数量积的物理背景与定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。
2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系；（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别；（3）通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。
3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算律三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程a般的关系意义形成问题：给θ一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝0时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2π时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c osθ叫a与b的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b=|a||b|c osθ，（0≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.θ的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，C|||b b |a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量·b ）c ＝a （22a b =+22a b =-2221(())2b a b a b =+--例3、△A B C 为等腰直2，求AB BC BC CA CA BA ++。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教案(人教A版必修四)平面向量的数量积
平面向量的数量积一、三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义．(2)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律．(3)了解用平面向量的数量积处理垂直问题的方法．(4)掌握向量垂直的条件．2．过程与方法通过以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，培养学生分析问题、解决问题的能力和发现数学规律的思维方法和能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对数量积概念的探究学习，培养学生的探索精神和创新意识．(2)通过本节内容的学习和运用，体会数学的科学价值和应用价值．二、重点、难点1.重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角．2.难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．三、教学过程：（一）.导入新课：一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．1．如何计算这个力所做的功？【提示】w＝|S||F|cos θ.2．力F在位移方向上的分力是多少？【提示】|F|cos θ.3．力做功的大小与哪些量有关？【提示】与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．（二）.新课讲解：向量的数量积的定义：已知两非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积均为0.向量的数量积的几何意义：1.投影的概念如图2－4－1所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cosθ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．图2－4－12．数量积的几何意义：a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积.向量的数量积的性质：设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.(3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2.(4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |.向量数量积的运算律：1.a ·b ＝b ·a (交换律)．2．(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．向量的数量积运算：例1.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b上的投影．【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解．【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×(－12 )＝－10.(2)∵|a|cos θ＝5×cos 120°＝－5 2，∴a在b上的投影为－5 2 .1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.利用数量积解决垂直问题：例2.已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．【思路探究】证明a＋b与a－b垂直，转化为证明a＋b与a－b的数量积为零．【自主解答】∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，∴a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．1．解本题的关键是找出a与b的关系，由已知条件建立方程组不难找出a与b的关系．2．非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．与向量模有关的问题：例3.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【思路探究】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解．【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系．2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．（三）课堂练习：课本106页，1.2.3.（四）课堂小结：学习本节时要注意两个方面的问题，⑴怎么求夹角；⑵数量积是一个数量；⑶理解数量积性质的推导过程，并能熟练应用；⑷数量积的运算律使用。
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6.2.4 向量的数量积
第1课时向量的数量积的
物理背景和数量积
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
课程目标
学科素养
1.教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；
2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。
多媒体
一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的定义：
【答案】一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ，它的长度与方向规定如下：
（1）||||||a a λλ=；
（2）当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相反。
2.向量的数乘运算律：
【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
（1） a a )()(λμμλ=
（2）a a a μλμλ
+=+)(
（3）b a b a λλλ+=+)(
二、探索新知
思考1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s ，那么力F 所做的
功应当怎样计算？ 【答案】θcos ||||S F W =
思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？
【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。
1.向量的夹角的定义：
已知两个非零向量b a 和，O 是平面上的任意一点，作,,b OB a OA ==则θ=∠AOB
)0(πθ≤≤叫做向量b a 和的夹角。
显然，当0=θ时，b a 和同向；当πθ=时，b a 和反向。
如果b a 和的夹角是2
πθ=
，我们就说b a 和垂直，记作b a ⊥。
思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
2.数量积的定义：
已知两个非零向量b a 和，它们的夹角为θ，我们把数量θcos ||||b a 叫做向量b a 和的数量积（或内积），记作b a ⋅，即θcos ||||b a b a =⋅。
规定：零向量与任一向量的数量积为0。
说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（2）b a ⋅中间的“⋅”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“⨯”； （3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。
思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候
为负？
【答案】当0°≤θ ＜ 90°时，b a ⋅为正；
当90°＜θ ≤180°时，b a ⋅为负；
当θ =90°时，b a ⋅为零。
结论：数量积符号由θcos 的符号所决定。
例1.已知,4||,5||==b a b a 和的夹角3
2π
θ=，求b a ⋅。
解：
例2.设,9||,12||==b a 254-=⋅b a ，求b a 和的夹角。
解：
3. 投影向量的定义：
如图(1)设b a ,是两个零向量,b CD a AB ==,,我们考虑如下的变换:过AB 的起点A 和终点B,分别作CD 所在直线的垂线,垂足分别为
A 1,
B 1,得到11B A ，我们称上述变换为向量a 在向量b 投影
(project).,11B A 叫做向量a 在向量b 上的投影向量。
如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作b ON a OM ==,，过点M 作直线ON 的垂线,垂足为M 1，则1OM 就是向量a 在向 量b 上的投影向量。
探究：如图，设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，
那么1OM 与θ,,a e 之间有怎样的关系？
【答案】e OM λ=1设。
综上可得，对于任意的],0[πθ∈，都有e a OM θcos ||1=。
探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能
通过本节课的教学,我有以下几点体会：
(1)让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉刨设问题情景,建立数学模型,让学生经历数学知识的形成与应用,可以更好的理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法,增强学好数学的愿望和信心。
对于抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法。
(2)鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者,教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提,教学过程中要发扬民主,要鼓励学生质疑,提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。
对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等,要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的方案,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。