陕西省高一上学期数学期中考试试卷(I)卷

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陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷及参考答案

西工大附高2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷及参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，1.复数11iz =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，其中正确的命题为（）A.a α∥，b a b α⊂⇒∥B.a α∥，b a b α⇒∥∥C.a α⊄，b α⊂，a b a α⇒∥∥ D.b α⊂，b αββ⇒∥∥3.已知向量(),1a x =，()2,1b =- ，若()()2a b a b +⊥- ，则实数x =（）A.2B.12-C.2-或4D.44.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.232+ B.8C.6D.223+5.复数z 满足1z =，则1i z --的最大值为（）A.21- B.1C.2D.21+6.已知ABC △中，()0BA BC AC +⋅= ，3ABACABAC+=，则此三角形为（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7.在《九章算术•商功》中将上、下底面均为正方形的正棱台称为方亭，在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，方亭的体积为283，则侧面11ABB A 的面积为（）A.32B.7C.22D.3118.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为1DD 的中点，过点D 作正方体截面使其与平面11A EC 平行，则该截面的面积为（）A.23B.26C.46D.43二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是（）A.向量()12,3e =-，213,24e =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 不能作为平面内所有向量的一组基底B.非零向量a ，b ，满足a b > 且a 与b 同向，则a b>C.对于任意向量a ，b，必有a b a b+≤+ D.对于任意向量a 与b，不等式a b a b ⋅≤⋅ 恒成立10.下列命题中的真命题是（）A.设1z ，2z 是复数，若120z z -=，则12z z =B.设1z ，2z 是复数，若12z z =，则12z z =C.若z 为复数，则22z z =D.已知m ，n 为实数，1i -（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则4m n +=11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点O ，则（）A.1AD ∥平面1BOC B.三棱锥1C BOC -的体积为23C.三角形1C OB 是锐角三角形D.三棱锥1C ABC -的四个面都是直角三角形12.下列命题中正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台B.圆柱形容器底半径为5cm ，两直径为5cm 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为5cm3C.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为45π，则该圆锥的体积为32213D.已知三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，若球O 经过三棱锥A BCD -各棱的中点，则到O 的表面积为4π三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1b =，且a b ⋅= a 与b的夹角为______.14.在锐角ABC △中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2sin a B =，则角A 等于______.15.设i 为虚数单位，则23101i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.16.正四棱锥S ABCD -，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______.17.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1C P ∥平面1CD EF ，则点P 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为______.18.在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若229611b bccosA c +=，则角B 的最大值为______.四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(无答案)

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第2页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I 卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，3.若，函数最小值为（）B.2C. D.44.若幂函数为偶函数，则（）A.或4 B. C.2 D.45.“”的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D.6.已知不等式的解集为或，则（）A. B.C. D.的解集为7.已知函数，对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.{2,1,0,1,2}A =--122x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭A B = {1}-{2,1}--{1}{1,0,1}-:2p x ∀>210x ->p 2x ∀>210x -≤2x ∀≤210x ->2x ∃>210x -≤2x ∃≤210x -≤0x >13y x x=+()2()19m f x m m x =+-m =5-5-3a ≥1a ≥1a <3a ≥3a >20ax bx c ++<{1x x <-}3x >0a >0c <0a b c ++<20cx bx a -+<113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2(31)4,1()6,1a x a x f x x ax x -+<⎧=⎨-+≥⎩1x 2x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-a [2,)+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[1,2]8.在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A ，B 均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（）A.6B.7C.8D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B.C. D.10.若，，且，则（）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（）A.的周期为4 B.的图象关于对称C. D.当时，第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的定义域为，则的定义域为_________.13.若正实数x ，y 满足，则的最小值为_________.14.已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设集合，.（1）当时，求与；M a b M ∈[2,3]ab∉M {}1,4,6,7{}1,2,,A B n = n (0,)x ∈+∞()f x =()||f x x =2()||f x x x =+()22xxf x -=-a 0b ≠||||a bc c >a b>11a b<||a b >||||a cbc >()f x R ()(2)f x f x =-(2)y f x =+(0,0)[0,1]x ∈()2xf x a b =⋅+(3)1f =-()f x ()y f x =(4,0)(2025)1f =[4,5]x ∈()21xf x =-(31)f x +[1,2]-()f x 32x y +=31x y+22,0()112,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩x ()2f x kx k =-k {}23100A x x x =--≤{}121B x m x m =-<<+4m =()A B R ðA B（2）当时，求实数的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义域为上的奇函数满足当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值.17.（本小题满分15分）已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，求的最大值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知函数，.（1）求函数的值域；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.A B A = m R ()f x (,0]x ∈-∞2()4f x x x =+()f x ()f x [1,3]-x 2()33f x x mx x m =+--m ∈R x ()0f x ≤2m =[],1x t t ∈+()f x ()g t 3()2||1xf x x x =++()f x ()f x [0,)+∞x ()()2310f ax ax f ax ++->x a 1()21x f x =+x ∈R ()f x ()y f x =1[1,]x n ∈2[1,2]x ∈m ()()11231f mx f x x -+=n。

四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷(含答案)

绵阳中学高2024级高一上期期中测试数学试题第I 卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共计40分）1.已知命题，命题的否定是（）A.B.C.. D.2.已知集合，若，则实数的值不可以为（）A.2 B.1 C.0 D.3.下列函数既是奇函数又在单调递增的是（）A. B.C. D.4.已知，若的解集为，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.5.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A. B. C. D.6.“函数的定义域为”是“”的（）2:,210p x x ∀∈+>R p 2,210x x ∀∈+R …2,210x x ∃∈+>R 2,210x x ∃∈+<R 2,210x x ∃∈+R …{}()(){}2320,220A x x x B x x ax =-+==--=∣∣A B A ⋃=a 1-()0,∞+1y x =31y x=1y x x =-1y x x=+()2f x ax x c =--()0f x >()2,1-()y f x =-222y x x =-+[],a b []1,2[],a b []1,0-30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3[]1,1-()211f x ax ax =-+R 04a <<A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（）A.B.C. D.8.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二､多选题（每小题6分，共计18分）9.对于任意实数，下列四个命题中为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为4B.的最小值为18C.的最小值为4D.11.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.0,0a b >>1ab =11422m a b a b++≥+m 2m ≥4m ≥6m ≥8m ≥()f x [)0,∞+[)0,x ∞∈+()2f f x ⎡=⎣x ()2f x x k +=+k 92,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭13,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,a b c d ,0a b c >≠ac bc>22ac bc >a b>0a b <<22a ab b >>0,a bcd >>>ac bd>,a b 8ab a b ++=ab 22(1)(1)a b +++a b +1111a b +++R ()f x ()22f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()()2f xg x x -=()g x ()0,∞+()()34g g -<C.在上单调递减D.若正数满足，则第II 卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共计15分）12.函数__________.13.函数，若，则14.已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，若，则__________.四､解答题（共计77分）15.（13分）已知定义在上的函数满足：.（1）求函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.16.（15分）设集合.（1）若，求实数的值；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）如图，正方形的边长为分别是和边上的点沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.若（1）证明：的周长为定值.（2）求的面积S 的最大值.()f x ()2,∞+m ()()24202m f m f m -+->()2,m ∞∈+()12f x x =+()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩()()2f a f a =+()2__________.f a =()(),f x g x (),y f x =R 1x =()()()()110,45f x g x f x g x -+=--=()21f =()()12g g +=R ()()2223f x f x x x +-=-+()f x ()21f x ax ≥-[]1,3a {}(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=∣∣{}2A B ⋂=a x A ∈x B ∈a ABCD 1,,E F AD BC EF C AB M M ,A B CD AD G ,BM x BF y==AMG AMG18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式.19.（17分）若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.()21ax b f x x-=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()()210f t f t f -+>()f x D M D ⊆t x M ∈x t D +∈()()f x t f x +>()f x M ()P t 2()f x x =()f x [1,0]-(1)P 3()f x x x =-()f x [0,1]()P n n ()f x R 0x ≥()()f x x a a a =--∈R ()f x R (6)P a数学参考答案题号12345678910答案D D C C B B D C AD ABC题号11答案ABD 填空题12.13.414.【详解】因为的图象关于直线对称，则①，又，即，结合①得②，因为，则，结合②得，则，令，得，令，得，由，得，由，得，则，所以.15.【详解】（1）将的替换为得联立()(],22,1∞--⋃-()y f x =1x =()()11f x f x -=+()()110f x g x -+=()()110f x g x -=-()()110g x f x ++=()()45f x g x --=()()135f x g x +--=()()35g x g x +-=1x =()()125g g +-=2x =()()125g g -+=()()110f x g x -+=()()2110f g +-=()()45f x g x --=()()225f g --=()()125g g -+-=()()125g g +=()()2223f x f x x x +-=-+x x -()()2223f x f x x x -+=++()()()()22223223f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩解得（2）不等式为，化简得，要使其在上恒成立，则，，当且仅当取等，所以.16.【详解】（1）由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或（2）因为“”是“”的必要条件，所以对于集合.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.17.【详解】（1）设，则，由勾股定理可得，即，由题意，，()21213f x x x =++()21f x ax ≥-2121213x x ax ++≥-116x a x ≤++[]1,3min116x a x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭11116x x ++≥=x =1a ≤+()()2320120x x x x -+=⇒--=1x =2x ={}1,2A ={}2A B ⋂=2B ∈2x =B 2430a a ++=1a =-3a =-1a =-{}{}2402,2B x x =-==-∣3a =-{}{}24402B x x x =-+==∣a 1-3-x A ∈x B ∈B A⊆()()22,Δ4(1)4583B a a a =+--=+Δ0<3a <-B =∅B A ⊆Δ0=3a =-{}2B =B A ⊆Δ0>3a >-B A ⊆{}1,2B A ==()221352a a ⎧+=-⎨-=⎩a (],3∞--,,01BM x BF y x ==<<1CF MF y ==-222(1)x y y +=-212x y -=90GMF DCF ∠∠==即，可知，设的周长分别为，则又因为，所以，的周长为定值，且定值为2.（2）设的面积为，则，因为，所以，.因为，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，满足故的面积的最大值为.18.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得，，而，解得，.（2）函数在上为减函数；90AMG BMF ∠∠+= Rt Rt AMG BFM ∽,AMG BFM 1,p p 11p AM x p BF y -==111p x y y x =++-=+()2111112x x x p p x y y y---==⋅+==AMG BFM 1S 22122(1)S AM x S BF y-==112S xy =()2221221(1)(1)(1)211x x x x x x x S S y y x x ----====-+()()()211121311x x x x x⎡⎤⎡⎤-++-⎣⎦⎣⎦==-+-+++10x +>201x>+211x x ++≥=+3S ≤-211x x+=+1x =-()0,1x ∈AMG 3-()21ax b f x x-=+[]1,1-()()22;11ax b ax b f x f x x x ----=-=-++0b =()21ax f x x ∴=+()11f =-2a =-()[]22,1,11x f x x x -∴=∈-+()221x f x x -=+[]1,1-证明如下：任意且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由题意，，又，所以，即解不等式，所以，所以，解得，所以该不等式的解集为.19.【详解】（1），当时，，故在区间[―1，0]上不具有性质；（2）函数的定义域为，对任意，则，在区间上具有性质，则，即，因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，设，其对称轴为，则在区间上是严格增函数，所以，，解得，故正整数的最小值为2；[]12,1,1x x ∈-12x x <()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++12x x <120x x -<[]12,1,1x x ∈-1210x x ->()()120f x f x ->()()12f x f x >()()12f x f x >[]1,1-()()()210f t f tf -+>()00f =()()210f t f t -+>()()21f t f t >--()()21f t f t >-22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩0t≤<()()221(1)21f x f x x x x +-=+-=+0.8x =-()()10.60f x f x +-=-<()f x ()1P ()3f x x x =-R []0,1x ∈x n +∈R ()f x [0,1]()P n ()()f x n f x +>33()()x n x n x x +-+>-n 223310x nx n ++->[]0,1x ∈22()331g x x nx n =++-02n x =-<()g x [0,1]2min ()(0)10g x g n ==->1n >n（3）法一：由是定义域为上的奇函数，则，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，当时，，所以有，若在上具有性质，则对任意恒成立，在上单调递减，则，x 不能同在区间内，，又当时，，当时，，若时，今，则，故，不合题意；，解得，下证：当时，恒成立，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，()f x R (0)0f a a =-=0a ≥0a =()f x x =6x x +>0a >0x <()()()f x f x x a a x a a =--=----=-++()2,,2,x a x a f x x a x a x a x a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩()f x R (6)P (6)()f x f x +>x ∈R ()f x [,]a a -6x +[,]a a -6()2a a a ∴>--= [2,0]x a ∈-()0f x ≥[0,2]x a ∈()0f x ≤264a a <≤2x a =-6[0,2]x a +∈(6)()f x f x +≤46a ∴<302a <<302a <<()()6f x f x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>故实数的取值范围为.法二：由是定义域为上的奇函数，则，解得.作出函数图像：由题意得：，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，故实数的取值范围为.a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x R (0)0f a a =-=0a ≥2(2)46a a a --=<302a ≤<0a =()f x x =6x x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

贵州省贵阳市2024-2025学年高一上学期教学质量监测卷(一)数学试题(含解析)

贵阳2024级高一年级教学质量监测卷（一）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷第1页至第3页，第II 卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C. D.2.命题，则的否定是（）A.B.C.D.3.下列四组函数中，是同一个函数的是（）A. B.C.D.4.已知函数，则（）A.3B. C. D.95.已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.为奇函数C.为单调递增函数D.为单调递减函数6.已知集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件{}{15},1,0,1,2A x x B =∈-<<=-N∣A B ⋂={}1,2{}1,0,1,2,3,4-{}0,1,2{}1,0,1,2-[]2:"0,2,11"p x x ∀∈+…p []20,2,11x x ∀∉+<[]20,2,11x x ∀∈+<[]20,2,11x x ∃∉+<[]20,2,11x x ∃∈+<()()21,1x f x x g x x=-=-()()24,f x x g x ==()(),f x x g x ==()()2,f x x g x ==()221461f x x x +=+-()3f -=3-1-()y f x =(()f x ()f x ()f x ()f x {}{}220,2,210A B xx ax a ==++-=∣{}2A B ⋂=1a =-C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.8.已知函数，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列不等式中取等条件无法满足的是（）B.D.10.已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象开口向上B.函数的图象开口朝下C.无论为何值，必有D.不等式的解集为或11.已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（）A.必为奇函数B.可能为偶函数C.不一定为定值，且与的单调性有关D.为定值，且定值为6()f x R [)0,∞+()()12f m f m -<m 1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()f x =[)0,∞+a []0,1(]0,1{}1[)1,∞+2221222x x +++≧21222x x +++…20ax bx c ++<{23}xx -<<∣()2f x ax bx c =++()f x ()f x ,,a b c a c b +<20cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭R ()y f x =,,a b c 222a b c +=()()()0f a f b f c ++=()()23g x f x x =++[]2,2x ∈-M m ()f x ()f x M m +()f x M m +第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，则__________.13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________.14.已知函数，若，则__________，的取值范围为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义在上的奇函数满足，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若，求的取值范围.17.（本小题满分15分）已知正实数满足：.（1）求的最小值；（2）求的最小值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若，使得，求的取值范围；（2）若，都有恒成立，求的取值范围；（3）当时，，满足，求的取值范围.19.（本小题满分17分）对于数集，定义点集，若对任意，都{210},{23}A xx B x x =+<=-<<∣∣()A B ⋂=R ð()21f x +[)5,3-()3f x +()(){}()(){}21,0,0f x x ax b x A x f x B x f f x =+++=∈==∈=R R ∣∣A B =≠∅b =a {}{}2{27},21,320A xx B x m x m C x x x =<<=+=-+<∣∣∣……B C C ⋂=m A B A ⋃=m R ()f x [)0,x ∞∈+()22f x x x =+()f x R ()()121f m f m +<-m ,a b ab a b =+2a b +222a b a b++()()()210,2f x mx m g x x x k =+≠=++x ∃∈R ()0g x …k []1,2x ∀∈-()0f x >m 3k =[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …m {}()123,,,,2n A a a a a n = …(){},,B x y x A y A =∈∈∣()11,x y B ∈存在使得，则称数集是“正交数集”.（1）判断以下三个数集是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）；（2）若，且是“正交数集”，求的值；（3）若“正交数集”满足：，，求的值.高一数学参考答案第I 卷（选择题，共58分）()22,x y B ∈12120x x y y ⋅+⋅=A {}{}{}1,11,2,31,1,4---､､4a >{}2,2,4,a -a {}1232024,,,,A a a a a = 12320243,0a a a a =-<<<< 20241012a =2a一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDCACDDA【解析】1.由已知集合，所以，故选C.2.改变量词，否定结论，所以命题的否定为，故选D.3.对于A 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于B 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于C 选项，的定义域为的定义域为，且，对应关系相同，故是同一个函数；对于D 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数，故选C.4.令，解得，故，故选A.5.由幂函数的图象过点，解得，故幂函数为函数，且为增函数，故选C.6.由已知，若，则有或，解得或，当时，满足，当时，不满足，所以是的既不充分也不必要条件，故选D.7.由已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减得函数在上单调递增，若要有则需，即，解得或，故选D.8.若函数，则内函数有定义，故内函数大于或等于0.当时，函数其定义域为，值域为符合题意；当时，内函数开口向上，若要满足题意则需，解得；当时，内函数开口向下，不可能符合题意，综上所述：，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是{}{}0,1,2,3,4,1,0,1,2A B ==-{}0,1,2A B ⋂=[]2:0,2,11p x x ∀∈+…[]20,2,11x x ∃∈+<()f x (),g x R {}0xX ≠∣()f x (),g x R [)0,∞+()f x (),g x R R ()g x x ==()f x (),g x R [)0,∞+213x +=-2x =-()()234(2)6213f -=⨯-+⨯--=y x α=(2α=12α=y =()(){}1,1B a a =-+--{}2A B ⋂=()12a -+=()12a --=3a =-1a =-3a =-{}2,4B ={}2A B ⋂=1a =-{}0,2B ={}2A B ⋂={}2A B ⋂=1a =-()f x R [)0,∞+()f x (),0∞-()()12f m f m -<12m m ->22(12)m m ->13m <1m >()f x =[)0,∞+221ax x ++0a =()f x =1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭[)0,∞+0a >221ax x ++Δ440a =-…01a <…0a <221ax x ++[]0,1a ∈符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACDABD【解析】9.对于A无实数解；对于B 选项，不等式取等条件为，即，即，无实数解；对于C 选项，不等式取等条件为；对于D 选项，不等式取等条件为，即，即或，无实数解，综上，故选ABD.10.由不等式的解集为，则可知一元二次方程的两根为和3，且二次函数开口向上，，故A 正确，B 错误；当时有，即，故C 正确；由韦达定理得，故，函数的开口向上，对于方程，若是方程的根则有，等式两边同时除以，则有，故是方程的根，故的根为与，则不等式的解集为或，故选ACD.11.令，满足，则有，则；令，满足，则有，即，且定义域为关于原点对称，故函数为奇函数；若，则符合题意且为偶函数；因为与为奇函数，故也为奇函数，设其在的最大值与最小值分别为与，由奇函数的性质，对于函数，其最大值与最小值分别为，故，D 正确，故选ABD.第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）=231x +=22122x x +=+()2221x +=()221x +=±=1x =122x x +=+2(2)1x +=21x +=21x +=-20ax bx c ++<{23}xx -<<∣20ax bx c ++=2-2y ax bx c =++0a >1x =-0a b c -+<a c b +<2360ca=-⨯=-<0c <2y cx bx a =++20ax bx c ++=0x 2000ax bx c ++=20x 200110c b a x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01x 20cx bx a ++=20cx bx a ++=12-1320cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭0a b c ===222a b c +=()()()0000f f f ++=()00f =,0,a x b c x =-==222a b c +=()()()00f x f f x -++=()()f x f x -=-R ()f x ()0f x =()f x ()f x 2x ()2f x x +[]2,2-0M 0m 000M m +=()()23g x f x x =++003,3M M m m =+=+6M m +=题号121314答案【解析】12.由已知得，则，则.13.已知的定义域为，则的定义域为，故，即，故的定义域为.14.由已知是由函数的所有实数零点构成的集合，，令，是由所有满足且的所有实数构成的集合.若，当满足且因为，则有，即，解得；当时，，此时，符合题意；当时，有，于是，若要使得，只需方程无实数根，故有，解得.综上，的取值范围为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）易得，，于是有，解得，故当时，.（2），则，①当时，有，解得，符合题意；132x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭…[)12,4-[)0,0,41,{23}2A x x B xx ⎧⎫=<-=-<<⎨⎬⎩⎭∣R 12A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭…ð()R 132A B x x ⎧⎫⋂=-<⎨⎬⎩⎭…ð()21f x +[)5,3-()f x [)9,7-937x -+<…124x -<…()3f x +[)12,4-()(){}21,0f x x ax b x A x f x =++-=∈=R∣()f x ()(){}0B x f f x =∈=R ∣()t f x =()0f t =()t f x =A B =1x A ∈()10f x =1x B ∈()()10f f x =()00f =0b =0a =()()()24,f x x f f x x =={}0A B ==0a ≠()()()()()()()22220,f x x ax x x a a f f x x ax a x ax=+=+≠=+++()()()()222x ax x ax a x x a x ax a =+++=+++{}0,A a =-A B =2x ax a ++2Δ40a a =-<04a <<a [)0,4{12}C xx =<<∣,B C C C B ⋂=∴⊆ 1212m m ⎧⎨+⎩ (1)12m ……1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B C C ⋂=A B A ⋃= B A ⊆B =∅21m m +<1m <-②当时，有，解得，综上所述，的取值范围为.16.（本小题满分15分）解：（1）令，则，又在上为奇函数，故有故在上的解析式为.（2）与在上单调递增，在上单调递增.又，故当时，.是奇函数，时，且单调递增，故为增函数，若要使得，只需，即，故的取值范围为.17.（本小题满分15分）解：（1）由可得，，当且仅当时等号成立，故的最小值为.（2）由已知得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.B ≠∅212217m mm m +⎧⎪>⎨⎪+<⎩…23m <<m ()(),12,3∞--⋃0x <0x ->()f x R ()()()22()22,f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦()f x R ()222,02,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-+<⎩…2x 2x [)0,∞+()f x ∴[)0,∞+()00f = [)0,x ∞∈+()0f x …()f x (),0x ∞∴∈-()0f x <()f x ()()121f m f m +<-121m m +<-2m >m ()2,∞+ab a b =+111a b+=()112221233a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++++=+ ⎪⎝⎭…1,a b ==2a b +3+2222222a b a b a b a b ab b a ++==+=+…1a b ==+222a b a b++18.（本小题满分17分）解：（1）若，有成立，只需，解得.（2）若对，都有恒成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.（3）当时，，若对，满足，只需，有，当时，，故，有，则有，解得或，综上所述，的取值范围为.19.（本小题满分17分）解：（1）是正交数集，不是正交数集.（2）若，且是正交数集，则对于有序数对能使得其满足条件的有序数对只能为或.若为，则有，解得与矛盾，舍去；故只能是，于是有，解得，经检验符合题意.（3）先证：若集合为正交数集，则至少要有一对相反数，对于，且，有有序数对，故，使得，所以，故集合中至少有一对相反数.因为且是唯一负数，故，x ∃∈R ()0g x …Δ440k =-…1k …[]1,2x ∀∈-()0f x >()()1020f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩112m -<<m ()1,00,12⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭3k =()223g x x x =++[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …[]11,2x ∀∈()()12max f x g x <[]21,2x ∈-()max ()211g x g ==[]11,2x ∀∈()111f x <()()111211f f ⎧⎪⎨⎪⎩……0m <05m <…m ()(],00,5∞-⋃13,B B 2B 4a >{}2,2,4,a -()4,a 12120x x y y +=()2,2-()4,2-()2,2-820a -=4a =4a >()4,2-1620a -=8a =8a =A 0a ∀≠a A ∈(),a a B ∈()11,x y B ∃∈110x a y a +=110x y +=A 13a =-3A ∈下证3为最小正数：反证法：若3不为最小正数，则，对于有序数对是最大正数，则与之相匹配的有序数对设为，故有，即，与是最大正数相矛盾，故3为最小正数，综上所述，.23a <()220242024,,a a a ()(),30x x ->2101230a x -⨯=231012a x =⨯23,1012a x <∴> 2024a 23a =。

2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)

一､2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题单选题1. 已知集合A ={1 ，2，3，4，5}，{},|15B x x =<<，则A ∩B 的元素个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合A ={1 ，2，3，4，5}，{}|15B x x =<<所以{}2,3,4A B =I ，即A ∩B 的元素个数为3个.故选：B2. 函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则实数m 的取值范围是（）A. [2,)-+¥B. [2,+∞)C. (,2)-¥D. (,2]-¥【答案】A【解析】【分析】直接由抛物线对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m=-函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则2m -£，解得2m ³-.故选：A.3. 若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）A. B.的C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A，该函数的定义域为{}20x x-££，故A错误；对B，该函数的定义域为{}22M x x=-££，值域为{}02N y y=££，故B正确；对C，当()2,2xÎ-时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；对D，该函数的值域不是为{}02N y y=££，故D错误.故选：B.4. 已知函数()af x x=，则“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.【详解】当0a>时，函数()af x x=在()0,¥+上单调递增，则1a>时，一定有()f x在()0,¥+上单调递增；()f x在()0,¥+上单调递增，不一定满足1a>，故“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知0,0x y>>，且121yx+=，则12xy+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于0,0x y >>，故11112224448x y x xy y x y xy æöæö+=++=++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当14,121,xy xy y xì=ïïíï+=ïî即2,14x y =ìïí=ïî时，等号成立，故12x y +的最小值为8.故选：D6. 已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则（）A. ()(),0x f x f x "Î-+¹R B. ()(),0x f x f x "Î--¹R C. ()()000,0x f x f x $Î-+¹R D. ()()000,0x f x f x $Î--¹R 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得()(),0x f x f x "Î--=R 是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R 的函数()f x 是偶函数()(),0x f x f x Û"Î--=R ，所以()f x 不是偶函数()()000,0x f x f x Û$Î--¹R ．故选：D ．7. 若函数()22f x ax bx c=++的部分图象如图所示，则()1f =（） A. 23- B. 112- C. 16- D. 13-【答案】D【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知2x =和4x =不在函数()f x的定义域内，因此2x =和4x =是方程20ax bx c ++=的两根，因此可得()()()224f x a x x =--，又易知()31f =，所以可得2a =-；即()()()124f x x x =---，所以()113f =-.故选：D8. 奇函数()f x 在(),0-¥上单调递增，若()10f -=，则不等式()0xf x <的解集是（）．A. ()()101,∪,-¥- B. ()()11,∪,-¥-+¥C. ()()1001,∪,- D. ()()101,∪,-+¥【答案】C【解析】【分析】由()f x 奇偶性，单调性结合题意可得答案.【详解】因奇函数()f x 在(),0¥-上单调递增，()10f -=则()f x 在()0,¥+上单调递增，f (1)=0.得()()()01,01,f x x È¥>ÞÎ-+；()()()0,10,1f x x ¥È<ÞÎ--.则()()000x xf x f x <ì<Þí>î或()()()01,00,10x x f x È>ìÞÎ-í<î.故选：C二､多选题9. 下列关于集合的说法不正确的有（）A. {0}=ÆB. 任何集合都是它自身的真子集C. 若{1,}{2,}a b =（其中,a b ÎR ），则3a b +=D. 集合{}2y y x =∣与{}2(,)x y y x =∣是同一个集合【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】{0}中含有一个元素，不是空集，A 错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B 错；由集合相等的定义得2,1a b ==，3a b +=，C 正确；集合{}2yy x =∣中元素是实数，集合{}2(,)x y y x =∣中元素是有序实数对，不是同一集合，D 错，故选：ABD ．10. 已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（）A. 该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B. 若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C. 当2m >，且12x ££时，y 的最大值为45m -；D. 当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<ìí=--->î，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02m x m =-<-，故函数在12x ££时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD 11. 已知幂函数()()293m f x m x =-的图象过点1,n m æö-ç÷èø，则（）A. 23m =-B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-¥【答案】AB【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m æö-ç÷èø，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x m x =-为幂函数，所以2931m -=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n æö-ç÷èø，故23m ¹，当23m =-，幂函数()23f x x -=的图象过点3,2n æöç÷èø，则2332n -=，解得3232n -æö=±=ç÷èøA 正确，C 错误；()23f x x -=的定义域为{|0}x x ¹，且()2233()()f x x x f x ---=-==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x -=在(0,)+¥上单调递减，由()()13f a f a +>-，可得()()13f a f a +>-，所以1310a a a ì+<-ïí+¹ïî，解得1a <且1a ¹-，故D 错误.故选：AB.三､填空题12. 满足关系{2}{2,4,6}A ÍÍ的集合A 有____________个.【答案】4【解析】【分析】由题意可得集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，又因为{2,4,6}的含元素2的子集为：{}2,{}2,4,{}2,6,{2,4,6}共4个.故答案为：4.13. 已知()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，则()3f =______.【答案】4【解析】【分析】令1x y ==得()10f =，再令1x =，2y = 即可求解.【详解】令1x y ==得()()()21122f f f =++=，所以()10f =，令1x =，2y =得()()()31224f f f =++=.故答案为：4.14. 已知函数()()()22223124,,4f x x ax ag x x x a a =-+-=-+-ÎR ，若[]10,1x "Î，[]20,1x $Î，使得不等式()()12f x g x >成立，实数a 的取值范围是__________.【答案】(),6-¥【解析】【分析】由题意将问题转化为()(),min max f x g x >[]0,1x Î，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意[]10,1x Î，存在[]20,1x Î，使得不等式()()12f x g x >成立，即只需满足[]min min ()(),0,1f x g x x >Î，()22314g x x x a =-+-，对称轴()1,2x g x =在10,2éö÷êëø递减，在,1,12æùçúèû递增，()2min 18,2g x g a æö==-ç÷èø()[]2224,0,1f x x ax a x =-+-Î，对称轴4a x =，①04a £即0a £时，()f x 在[0,1]递增，()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-恒成立；②014a <<即04a <<时，()f x 在0,4a éö÷êëø递减，在,14a æùçúèû递增，22min min 7()4,()848a f x f a g x a æö==-=-ç÷èø，所以227488a a ->-，故04a <<；③14a ³即4a ³时，()f x 在[0，1]递减，()22min min ()12,()8f x f a a g x a ==--=-，所以2228a a a -->-，解得46a £<，综上(),6a ¥Î-.故答案为：(),6¥-【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四､解答题15. 设全集R U =，集合{|23}P x x =-<<，{|31}.Q x a x a =<£+（1）若1a =-，求集合()U P Q I ð；（2）若P Q =ÆI ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|03}x x <<（2）][132,,æö-¥-+¥ç÷èøU 【解析】【分析】（1）先求出U Q ð，再求()U P Q Çð即可；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情况求解即可【小问1详解】解：当1a =-时，{|31}{|30}Q x a x a x x =<£+=-<£；{|3U C Q x x =£-或0}x >，又因为{}23P x x =-<<，所以(){|03}.U P Q x x Ç=<<ð【小问2详解】解：由题意知，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，即31a a ³+，解得12a ³，此时符合P Q =ÆI ，所以12a ³；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î或3331a a a ³ìí<+î，解之得3a £-.综上所述， a 的取值范围为][1,3,.2¥¥æö--È+ç÷èø16 已知二次函数()()20f x ax bx c a =++¹满足()()14f x f x x -+=，且()0 1.f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()2641f x t x t £-+-+.【答案】（1）()2221f x x x =-+（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为()01f =，1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()14f x f x x -+=，所以()(()22[1)1114a x b x ax bx x ù++++-++=û，所以24ax a b x ++=，所以240a a b =ìí+=î，所以22a b =ìí=-î，即()222 1.f x x x =-+.【小问2详解】由()()2641f x t x t £-+-+，可得不等式()222440x t x t +++£，即()2220x t x t +++£，所以()()20x x t ++£，当2-=-t ，即2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t -<-，即2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t ->-，即2t <时，不等式的解集为{|2}x x t -££-，综上所述，当2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t <时，不等式的解集为{|2}.x x t -££-17. 已知函数()221x f x x-=．（1）用单调性的定义证明函数()f x 在()0,¥+上为增函数；（2）是否存在实数l ，使得当()f x 的定义域为11,m n éùêúëû（0m >，0n >）时，函数()f x 的值域为[]2,2m n l l --．若存在．求出l 的取值范围；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，()2,+¥.【解析】分析】（1）设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，然后作差、通分、因式分解即可判断()()12f x f x <，得证；（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为210x x l -+=存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.【小问1详解】()222111x f x x x-==-，设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，【则()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+æö--=---=-==ç÷èø，因为120x x <<，所以221212120,0,0x x x x x x <-+>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(0,+∞)上为增函数.【小问2详解】由（1）可知，()f x 在11,m n éùêúëû上单调递增，若存在l 使得()f x 的值域为[]2,2m n l l --，则22112112f m m m f n n n l l ìæö=-=-ç÷ïïèøíæöï=-=-ç÷ïèøî，即221010m m n n l l ì-+=í-+=î，因为0m >，0n >，所以210x x l -+=存在两个不相等的正根，所以21212Δ40100x x x x l l ì=->ï=>íï+=>î，解得2l >，所以存在()2,l ¥Î+使得()f x 的定义域为11,m n éùêúëû时，值域为[]2,2m n l l --.18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与肥料费10x （单位：元）满足如下关系：()252,02()48,251x x W x x x x ì+££ï=í<£ï+î其它成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？的【答案】（1）25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î；（2）当投入肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）由单株产量W 乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；（2）利用二次函数的单调性求出当02x ££时，()f x 的最大值，由基本不等式求出当25x <£时，()f x 的最大值，即可得出答案.【小问1详解】（1）由题意可得()()()1020101030f x W x x x W x x=--=-()22105230,025030100,024804830,251030,2511x x x x x x x x x x x x x x ì´+-££ì-+££ïï==íí-<£´-<£ïï+î+î.故()f x 的函数关系式为25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î.【小问2详解】（2）由（1）22319150,025030100,02102()48030,251651030(1),2511x x x x x f x x x x x x x x ììæö-+££ï-+££ïç÷ïïèø==íí-<£éùïï-++<£+êúïï+ëûîî,当02x ££时，()f x 在30,10éùêúëû上单调递减，在3,210æùçúèû上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=，max ()(2)240f x f \==；当25x <£时，16()51030(1)1f x x x éù=-++êú+ëû，16181x x ++³=+Q 当且仅当1611x x=++时，即3x =时等号成立． max ()510308270f x \=-´=.的因为240270<，所以当3x =时，max ()270f x =.当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.19. 已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A Î，若i j a a ¹，都有i j a a B Î；②对于任意,m k b b B Î，若m k b b <，都有k mb A b Î.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.【答案】（1）{}2,48B =,（2）16t =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据①可得2,4,8都是B 中的元素，进而证明B 中除2,4,8外没有其他元素即可求解，（2）根据条件①②，即可求解，（3）根据题意可得41a a ，3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素，进而根据11a =和12a ³可得{}2341111,,,A a a a a =，进而{}3456711111,,,,a a a a a B Í，接下来假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，利用k 与31a 的关系得矛盾求解.【小问1详解】由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2k b 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.【小问2详解】由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t 是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t ===，解得16t =.【小问3详解】证明：设{}12341234,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素.若11a =，则34344122a a a a a a a a =>，所以3412a a a a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ³，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B Í.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a <，由（2）可得71a A k Î，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a Î，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a Î，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.。

2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =，则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天；（2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+×³-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +ì££ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+×³-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =××¢×¢Î¢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =××¢×¢Î¢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。

陕西省西安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试高三数学（理科）试题命题人：付功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限（B ）其次象限（C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（）（A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（）（A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置关系是（）（A ）相交（B ）相离（C ）相切（D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（）（A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案

2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学学科试题（答案在最后）命题：考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()0,1A =，{B x y ==，则A B = （）A.∅B.(],1-∞C.{}[)01,∞⋃+ D.0,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据已知可得集合{}1B x x =≥，根据并集的概念求解即可.【详解】因为{B x y ==，所以{}1B x x =≥，所以()0,A B =+∞ .故选：D .2.下列函数在定义域上为减函数的是（）A.()1f x x=B.()1f x x=-C.()12xf x =- D.()()2log 1f x x =-【答案】C 【解析】【分析】对于A ，由单调性的定义即可判断；对于B ，画出函数图象即可判断；对于C ，由函数图象的变换即可判断；对于D ，由复合函数的单调性即可判断.【详解】对于A ，函数的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()11f -=-，()11f =，()()11f f -<，所以()f x 不是减函数，故A 不正确；对于B ，()1,11,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数图象如下：所以函数()1f x x =-不是减函数，故B 不正确；对于C ，()12xf x =-的定义域为R ，因为2x y =是增函数，所以2x y =-是减函数，所以()12xf x =-是减函数，故C 正确；对于D ，函数()()2log 1f x x =-定义域为1,+∞，令1t x =-，因为1t x =-是增函数，2log y t =是增函数，所以()()2log 1f x x =-在1,+∞上是增函数，故D 不正确.故选：C .3.“111x -”是“2x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解不等式，然后根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】解不等式111x -＞得12x <<，所以111x -＞成立能推出2x <，当2x <时111x -＞不一定成立，所以“111x -＞”是“2x <”的充分不必要条件.故选：A .4.已知幂函数()()21af x a a x =--为偶函数，则a =（）A .1-或2B.2C.1-D.1【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】因为幂函数()()21af x a a x =--为偶函数，所以211a a --=且a 为偶数，所以2a =.故选：B .5.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为12010I -=（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强I ，用声强I 与0I 比值的常用对数来表示声强I 的“声强级数n ”，即0lg lg n I I =-，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（）A.20倍B.lg 200倍C.100倍D.1000倍【答案】D 【解析】【分析】根据已知可得lg 12n I =+，分别计算当8n =时和5n =时I 的值，即可求解.【详解】因为12010I -=，所以0l lg g 1lg 2n I I I =-+=，当8n =时，410I -=，当5n =时，710I -=，所以4710100010--=，即“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的1000倍.故选：D .6.已知函数()2111,14()43,1x x f x x x x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩＞若当[],x m n ∈时，()12f x ≤≤，则n m -的最大值是（）A.4B.3C.7D.5【答案】C 【解析】【分析】画出()f x 的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.【详解】根据题意，作出=op 的图象如下所示：数形结合可知，要使=op 的值域为[]1,2，且n m -取得最大值，则只需3m =-，4n =即可，故n m -的最大值为7.故选：C.7.已知函数()f x 的定义域为R ，()2e xy f x =+是偶函数，()4e xy f x =-是奇函数，则()1f =（）A.3e e+B.3e e-C.3e e xx+D.0【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义列式，消去()f x -得到()f x 的解析式，即可求解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，()2e xy f x =+是偶函数，所以()()2e2e xx f x f x --+=+，即()()2e 2e x x f x f x ---=-，因为()4e xy f x =-是奇函数，所以()()4e 4e xx f x f x -⎡⎤--=--⎣⎦，即()()4e 4e xx f x f x --+=+，所以()3e e xx f x -=+，所以()1313e e e ef -=+=+.故选：A .8.已知函数()44x x f x -=-，若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为(41),(41)mnk k ⎡⎤--⎣⎦，则实数k 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()(),22,-∞+∞ C.()()1,22,⋃+∞ D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得()2110k x kx --+=有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.【详解】∵4x y =在R 上为增函数，4x y -=在R 上为减函数，∴()44x x f x -=-在R 为增函数，∴函数()f x 在区间[],m n 上的值域为44,44mmn n --⎡⎤--⎣⎦，∴44(41)44(41)m m m n n n k k --⎧-=-⎨-=-⎩，整理得22(1)4410(1)4410m m n nk k k k ⎧--⋅+=⎨--⋅+=⎩，∴4,4m n 为方程2(1)10k x kx --+=的两根，即2(1)10k x kx --+=有两个不相等的正实数根，∴Δ=2−4(−1)>0K1>01K1>0，解得1k >且2k ≠，∴实数k 的取值范围是()()1,22,∞⋃+.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：（1）分析函数的单调性，可得()44x x f x -=-在R 为增函数，函数()f x 在区间[],m n 上的值域为44,44m m n n --⎡⎤--⎣⎦.（2）根据值域的对应关系可得4,4m n 为方程2(1)10k x kx --+=的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数k 的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.命题“,x y ∀∈R ，220x y +≥”的否定是“,x y ∃∈R ，220x y +<”B.()2f x x =-与()242x g x x -=+是同一个函数C.函数2y x =+的值域为[2,+∞）D.若函数()1f x -的定义域为[]2,5，则函数()f x 的定义域为[]1,4【答案】ACD 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；求出两个函数的定义域可判断B ；利用换元法求出的函数值域可判断C ；根据抽象函数定义域的求法可判断D.【详解】A.命题“,x y ∀∈R ，220x y +≥”的否定是“,x y ∃∈R ，220x y +<”，选项A 正确.B.()2f x x =-定义域为R ，()242x g x x -=+定义域为{|2}x x ≠-，定义域不同，不是同一函数，选项B错误.C.(0)t t =≥，则21x t =+，函数2y x =+可变形为222y t t =++，对称轴为直线14t =-，函数在[)0,∞+上为增函数.当0t =时，min 2y =，故函数的值域为[2,+∞），选项C 正确.D.由函数(1)f x -的定义域为[]2,5得，114x ≤-≤，故函数()f x 的定义域为[]1,4，选项D 正确.故选：ACD.10.若0a >，0b >，且21a b +=，下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为18B.224a b +的最小值为12C.a b ab ++的最大值为1D.1a a b a++的最小值为3【答案】AB 【解析】【分析】根据基本不等式及其取等条件分别判断各选项.【详解】A 选项：由21a b +=，且2a b +≥1≤，18ab ≤，当且仅当122a b ==时，等号成立，即ab 的最大值为18，A 选项正确；B 选项：()22211424141482a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当122a b ==时，等号成立，即224a b +的最小值为12，B 选项正确；C 选项：由21a b +=，则12b a =-，所以1200a a ->⎧⎨>⎩，即102a <<，()()2121221a b ab a a a a a ++=+-+-=-+，无最大值，C 选项错误；D 选项：由()21a b a a b +=++=，则1111a a b a a a b+=+-++，所以()111113a a b a a a b a b a a a b a a b+⎛⎫⎡⎤+=+++-=++≥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当a b aa a b+=+，即0b =时，等号成立，又0b =与已知0b >矛盾，所以1aa b a++无最小值，D 选项错误；故选：AB.11.已知函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，()31f x f x ++=（），且1f x +（）为偶函数，()()24g x g x ++-=，对于[0,2]x ∀∈都有()()32x f x g x x +=-，则（）A.函数()g x 的图象关于()1,2-对称B.(1)(3)f f -=C.()()6f x f x +=D.()07(0)9f g =-【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x 的周期及函数()f x ，()g x 图像的对称性，对各选项逐一判断即可.【详解】对于A ：()()()()24114g x g x g x g x ++-=⇔++-+=，即()()1212g x g x ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，∴()12y g x =+-是奇函数，关于()0,0原点对称，∴=关于()1,2原点对称，故A 不正确；对于B ：∵1f x +（）为偶函数，∴11f x f x ++（）=（-），令2x =，则31f f （）=（-），故B 正确；对于C ：由()31f x f x ++=（）得()631f x f x +++=（），所以()6f x f x +=（），故C 正确；对于D ：∵()()24,11g x g x f x f x ++-=+=-+（）（），∴()()()()204,20g g f f +==，∵对于[0,2]x ∀∈都有()()32xf xg x x +=-，∴()()001f g +=，()()224f g +=-，∴()()205g g -=-，()902g =，()970122f =-=-，所以()07(0)9f g =-，故D 正确.故选：BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.22log 3122-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】7【解析】【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得结果．【详解】22log 3123472-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：7.13.已知函数()202420241xxf x =+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()1y f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为________.【答案】{}1-【解析】【分析】根据指数函数性质可得202411x +>，即可求解()()1,01f x --∈，进而根据取整函数的定义求解.【详解】由于()2024112024120241x x xf x ==-++，且202411x +>，故10120241x <<+，因此()()110,120241x f x =-∈+，则()()1,01f x --∈，故()11y f x =-⎡⎣⎦=-⎤，因此值域为{}1-，故答案为：{}1-14.已知函数()()e e x b f x x a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，当0x >时()0f x ≥恒成立，则a 的最小值为________.【答案】1-【解析】【分析】通过分析()e e x g x =-的零点及在零点两侧函数值的正负，得出()bx a xh x =++在0x >时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为0x >，研究二次函数()()x xh x ϕ=的零点分布情况即可求解.【详解】设()e e x g x =-，()bx a xh x =++，则()()(),(1)0f x g x h x g ==，且()g x 在(0,)+∞单调递增，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >；因为当0x >时()0f x ≥恒成立，所以()h x 有一个零点为1，且当01x <<时，()0h x <；当1x >时，()0h x <，所以10a b ++=.令22)1()(x ax b x ax x xh a x ϕ++=+-==-，因为0x >，所以()ϕx 有一个零点11x =，且当01x <<时，()0x ϕ<；当1x >时，()0x ϕ>，所以240a b ∆=->，且1210x x a =--≤，所以1a ≥-.故答案为：1-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知a ∈R ，()(){}|40A x x x a =-+<，03xB xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭（1）当2a =-时，求集合A ；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()2,4A =（2）3a ≤-.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）分别讨论当4a =-，4a -＞，4a <-时，写出集合A ，列出满足A B ⊆的条件并求解即可.【小问1详解】当2a =-时，不等式()()420x x --<的解集为()2,4，所以集合()2,4A =.【小问2详解】由03xB xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭得(](),03,B ∞∞=-⋃+，①当4a =-时，A =∅，满足题意，所以4a =-；②当4a -＞时，(),4A a =-，要满足A B ⊆只要3a -≥，解得43a -<≤-；③当4a <-时，()4,A a =-，满足A B ⊆，故4a <-；综上，a 的取值范围为3a ≤-.16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()4x g f x x f ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭，[]1,8x Î，求函数()g x 的值域.【答案】（1）22log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）[]1,3-【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数可得(0)0f =，利用奇函数的定义可求0x <时()f x 的表达式，从而得到()f x 的解析式.（2）计算()g x 表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果.【小问1详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =.∵0x >时，=log 2，∴当0x <时，()()()2log f x f x x =--=--，∴22log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪==⎨⎪--<⎩.【小问2详解】由题意得，()()()()()2222222log log log log 2log 2log 4x g x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.令[]2log ,0,3x t t =∈，问题等价于求2()2h t t t =-，[]0,3t ∈的值域∵函数2()2h t t t =-图象开口向上，对称轴为直线1t =，∴()h t 在0,1上单调递减，在[]1,3上单调递增，∵(1)121h =-=-，(0)0h =，(3)963h =-=，∴min ()1h t =-，max ()3h t =，∴函数()g x 的值域为[]1,3-.17.经市场调查，某商品在过去30天的日销售量()f t （件）与日销售价格()g t （元/件）都是时间t （天）的函数，其中()4f t t =+（030t <≤）.238,015,()242015,1530.16t t g t t t -<<⎧⎪=⎨+≤≤⎪-⎩，每件商品的综合成本为10元.（1）写出该店日销售利润W 与时间t 之间的函数关系；（2）求该店日销售利润W 的最大值.（注：销售利润＝销售收入－销售成本）【答案】（1）W 224112,0152420520,15304t t t t t t ⎧-++<<⎪=⎨++≤≤⎪-⎩（2）315元【解析】【分析】（1）利用销售利润等于单件利润乘以销售量可得结果.（2）分别计算015t <<和1530t ≤≤时日销售利润的最大值，比较后可得日销售利润W 的最大值.【小问1详解】[]2(4)(3810),015()()102420(4)1510,153016t t t W f t g t t t t +--<<⎧⎪=⋅-=⎨⎛⎫++-≤≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩224112,0152420520,15304t t t t t t ⎧-++<<⎪=⎨++≤≤⎪-⎩.【小问2详解】当015t <<时，()222411212256W t t t =-++=--+，当12t =时，W 取得最大值，最大值为256，当153t ≤≤0时，()24202420520544044W t t t t ++=+-+-=-，令()2420544t t =--，解得26t =，由对勾函数性质可知()242054404t W t =+-+-在[)15,26上单调递减，在[]26,30上单调递增，且当15t =时，2420752031511W ++==，当30t =时，24203420150201326W ++==，由于342067501333151=->，故1530t ≤≤时，W 的最大值为315，因为315256＞，所以该店日销售利润W 的最大值为315元.18.已知函数()21x f x mx b a =++-（0m >，0a >且1a ≠）为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）当01a <<时，判断()f x 在()0,∞+的单调性并用定义加以证明；（3）记()()g x f x mx =-，解关于x 的不等式()2024)g x g x >(.【答案】（1）1b =（2）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由奇函数定义可得()()0f x f x +-=，代入函数解析式化简即可得到结果.（2）利用单调性定义可证明()f x 在0,+∞上单调递增.（3）结合（2）的分析过程，对a 进行分类讨论，确定函数的单调性，利用单调性解不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意得0x ≠，故()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，由()()22011x x f x f x mx b mx b a a -+-=+++-+=--，化简得()21201xx a b a -+=-，解得1b =.【小问2详解】()f x 在0,+∞上单调递增，证明如下，设()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x <，则()()()()()2112121121222222211(1)(1)x x x x x x a a f x f x m x x m x x a a a a --=-+-=+-----，∵0m >，01a <<，12x x <，∴21x x a a <，且11x a <，21x a <，110x a -<，210x a -<，∴21120(1)(1)x x x x a a a a -<--，()1220m x x -<，∴()()12f x f x ＜，∴()f x 在0,+∞上为增函数.【小问3详解】∵y mx =为奇函数，∴()g x 为奇函数，当01a <<时，由（2）证明过程可知，()g x 在0,+∞上单调递增，∴()g x 在(),0∞-上单调递增，由()()2024g x g x >可得2024x x >解得0x <，当1a >时，同理可证()g x 在0,+∞上单调递减，∴()g x 在(),0∞-上单调递减，由()()2024g x g x >可得2024x x <解得0x >，综上，当01a <<时，解集为(),0∞-，当1a >时，解集为0,+∞.19.已知函数()||2x a f x --=，()24ax g x x =+，其中R a ∈.（1）当1a =时，写出()f x 在()0,∞+上的单调性以及最大值（不用证明）；（2）若0a =，函数()()221x m x f x b =+⋅-，[]3,0x ∈-，是否存在实数b ，使得()m x 的最大值为1？若存在，求出b 的值，若不存在，说明理由；（3）设()(),2,4(), 2.g x x h x f x x ≥⎧=⎨<⎩，若对1)2[x ∀∈+∞，，22)x ∃∈-∞(，，使得()()12h x h x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）|1|()2x f x --=在(]0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，最大值为1；（2）存在，1b =（3）04a <<.【解析】【分析】（1）根据指数型复合函数的单调性即可求解，（2）换元，将问题转化为求()2221124b b m t t bt t ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭在1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值，分类讨论，即可根据二次函数的性质求解，，（3）将问题转化为求解两个函数的值域问题，()()()(){}21112221424x a ax h x h x h x h x x --⎧⎫⎪⎪=⊆=⋅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，分类讨论，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】当1a =时，|1|()2x f x --=在(]0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，当1x =时，()f x 有最大值为1；【小问2详解】当[]3,0x ∈-时，()2221x x m x b =+⋅-，令12,18x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2221124b b m t t bt t ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，当12b -≥，即2b ≤-，此时()m t 在1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故()m t 在1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最大值()111111218648648m b ⎛⎫=+-≤+⨯-< ⎪⎝⎭，不满足题意，舍去，当128b -≤即14b ≥-时，()m t 在1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则最大值()11m =，解得1b =符合；当1182b -<-<，即124b -<<时，此时()11m b =<且111108648m b ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，不满足最大值为1；综上，1b =；【小问3详解】若对1)2[x ∀∈+∞，，都22)x ∃∈-∞(，，使得()()12h x h x =成立，即()()()(){}21112221424x a ax h x h x h x h x x --⎧⎫⎪⎪=⊆=⋅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，①当0a <时，()g x 在[)2,+∞上符号是负，而()f x 在(),2∞-上符号是正的，所以不满足题目的条件；②当0a =时，当2x ≥时，=0，而()f x 在(),2∞-上符号为正，所以也不符合条件；③当02a <<时，()()max 1f x f a ==，()2444ax a a g x x x x ==≤++，当且仅当2x =取到等号，故()()max max 444a f x g x =>=，满足题意，所以02a <<；④当2a ≥时，()22x a x a f x ---==在(),2∞-上单调递增，()g x 在[)2,+∞上递减，故此时()()20,2a f x -∈，()0,4a g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，要满足条件只需24204a a -⋅-＞，由于2424a a y -=⋅-为减函数，又因为4a =时，24204aa -⋅-=，所以24204a a -⋅-的解为24a ≤<综上，实数a 的取值范围为04a <<.【点睛】关键点点睛：对1)2[x ∀∈+∞，，都22)x ∃∈-∞(，，使得()()12h x h x =成立，转化为()()()(){}21112221424x a ax h x h x h x h x x --⎧⎫⎪⎪=⊆=⋅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，即()()()(){}2,242,24x a ax g x g x x f x f x x x --⎧⎫=≥⊆=>⎨⎬+⎩⎭，利用函数的单调性求解两个函数的值域.。

陕西省咸阳市永寿县中学2013-2014学年高一第二学期期中考试数学试题

陕西省咸阳市永寿县中学2013-2014学年高一第二学期期中考试数学试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的表格中.1．sin(30)-的值是（）A ．12 B C ．12- D ． 2.已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于（）A.(－2，－4)B.(－4，－2)C.(2，4)D.(4，2) 3．已知α是第二象限角，那么2α是（） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角 4.向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（） A ．ABB ．ACC ．AMD ．BC5.使函数sin(2)y x θ=+为奇函数的θ的值可以是( )A ．4π B ．2π C ．π D ．32π 6. 在下列区间中，函数sin()4y x π=+是单调递增的是（）A.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [],0π-D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC →等于( ) A ．－16B ．－8C ．8D ．168．已知△ABC 中，tan A ＝－512，那么cos A 等于( )A.1213B. 513C ．－1213D ．－5139. 函数)32sin(3π+=x y 的图像可以看作是把函数x y 2sin 3=的图像作下列移动而得到（）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度 10.如图是函数)sin(2ϕω+=x y （02><ωπϕ，）的图像，则ϕω、的值是（）A ．1110=ω，6πϕ= B ．1110=ω，6πϕ-=C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，6πϕ-=第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上. 11．如果()1cos 2A π+=-，那么sin 2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 12．计算1tan151tan15︒︒-=+ . 13.在△ABC 中，设AB a =，AC b =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用,a b 表示为 .14.函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数2=y 的图像围成一个封闭图形(如图中的阴影部分)，这个封闭图形的面积是__________.15. 如图，平面内有三个向量OA 、、,其中OA 与的夹角为120°，OA 与的夹角为30°,且|OA |＝||＝1， || ＝32，若(),,OC OA OB R λμλμ=+∈则λμ+的值为 .永寿县中学2013—2014学年度第二学期期中考试高一数学答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在下面横线上.11. . 12. . 13. . 14. . 15. .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知3tan =α，求下列各式的值.（1）ααααcos 5sin 2cos 4sin 670-+；（2）.cos 8sin 2122αα-17．（本小题满分12分）一艘船从A 点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．18．（本小题满分12分）已知向量a ＝(sin θ，－2) 与 b ＝(1，cos θ) 互相垂直，其中 θ ∈(0，π2)．(1) 求sin θ 和 cos θ 的值；(2) 若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0 < φ < π2，求cos φ 的值．19.（本小题满分12分）已知向量()()()6,1,,,2,3,AB BC x y CD ===-- 且//.BC DA (1) 求x 与y 之间的关系式； (2) 若AC BD ⊥，求x,y 的值.20.（本小题满分13分）已知()()x x cos ,sin ,3,1==，且函数()()R x x f ∈⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期；（2) 求函数()x f 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（3）求函数()x f 的单调递增区间.21．（本小题满分14分）已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1) 求cos(α－β)的值；(2) 若0 < α < π2，－π2 < β < 0，且sin β＝－513，求sin α.高一数学期中考试试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.12 13.1344AD a b =+ 14.34π 15. 6 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）（1）2014……6分（2) 1 ……12分17.（本小题满分12分）如图，设−→−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→−AB 表示水流的速度，以AD ,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→−AC 就是船实际航行的速度. ………4分在ABC Rt ∆中，2||=−→−AB ，32||=−→−BC ，∴22||||||AC AB BC =+4==，∴tan CAB ∠== ∴60CAB ∠=. …………10分故船实际航行速度的大小为4/km h ，方向与水流速间的夹角为60. …………12分备注只要步骤完整,答案正确就给满分. 18.（本小题满分12分） (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. ………… 2分又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45. … 4分又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55. …… 6分(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ. ………10分∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22. …………12分19.（本小题满分12分）（1）(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-+ , ……… 2分//BC DA , (,)BC x y =, (4)(2)0x y y x ∴+--+=. …………5分即20x y +=. ① ……… 6分（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++, (2,3)BD BC CD x y =+=--. ………8分A CB D ⊥, 0AC BD ∴⋅=，即(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=,2242150x x y y ∴++--=. ② ……… 10分 ∴由①②得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或63.x y =-⎧⎨=⎩ ………12分20.（本小题满分13分）（1）因为()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅=3sin 2cos 3sin πx x x b a x f ，所以函数()x f 的最小正周期是π2=T . ………7分（2) 函数()x f 的最大值是2，取得最大值时自变量x的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,62ππ. ………10分（3）函数()x f 的单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-62,652ππππ. ………13分 21.（本小题满分14分）(1)∵|a |＝1，|b |＝1， ………2分|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)， ………6分|a －b |2＝(255)2＝45， ………7分∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35. ………8分(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， ………10分由sin β＝－513得cos β＝1213. ………11分∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365. ………14分。

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陕西省高一上学期数学期中考试试卷（I）卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分）已知集合
,
,则
（）
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2018 高二上·淮北月考) 设全集（）
A.
，集合
，
，则
B.
C.
D.
3. （2 分） (2019 高三上·汉中月考) 函数 A. B. C. D.
的定义域是（）
4. （2 分）设
的两个极值点分别是若
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（－1,0），则 2a＋b 的取

值范围是（） A . （1,7） B . （2,7） C . （1,5） D . （2,5）
5. （2 分） (2018 高一上·烟台期中) 中文“函数
一词，最早由近代数学家李善兰翻译之所以这
么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
6. （2 分）已知函数 f（x）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）的图象如图所示，那么 f（x）的值域是（）
A . （﹣4，4） B . [﹣6，6] C . （﹣4，4）∪（4，6]
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D . [﹣6，﹣4）∪（4，6]
7. （2 分） (2017 高一上·马山月考) 如图，
中，
，
，
，点是边
上的一个动点（点与点不重合）过点作
，垂足为，点是的中点，连接，
设
的面积为，点从点沿运动到点的过程中，与的距离为，则能表示与
的函数关系的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
8. （ 2 分） (2018 高二下 · 重庆期中 ) 定义在上的函数
任意的
，且
，均有
.若关于的不等式
恒成立，则实数的取值范围是（）
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满足
，对任意的对

A.
B.
C.
D.
9. （2 分） (2019 高一上·河南期中) 已知函数数的单调减区间是（）
，若
，则此函
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） (2019 高一上·南充期中) 幂函数 y＝xa ，当 a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y＝xα ， y＝xβ 的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝（）
A.1 B.2 C.3 D . 无法确定
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11.（2 分）(2018·鞍山模拟) 已知函数
在上满足
若
，则实数的取值范围是（）
，当
时，
.
A.
B.
C.
D.
12.（2 分）(2019 高一上·南充期中) 设
且当
时，
，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题 (共 4 题；共 4 分)
是定义在实数集上的函数，满足条件
，
，
的大小关系是（）
13. （1 分） (2017 高一上·广州月考) 函数
的图象一定过定点________.
14. （1 分） (2019 高一上·河南期中) 已知函数
若
成立，则实数的取值范围是________．
15. （1 分） (2016 高一上·慈溪期中) 已知
，则函数 f（3）=________
16. （1 分） (2018 高二下·抚顺期末) 设
数，则
的解集为________.
是定义在
上的偶函数，且在
，使得上为增函
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三、解答题 (共 6 题；共 60 分)
17. （10 分） (2016 高一上·承德期中) 计算：
（1）
（2）
．
18. （10 分） (2019 高一上·林芝期中) 已知集合求实数的取值集合．
，集合
，若
，
19. （10 分）设函数
，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，
，
其中 e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）求
，
的解析式，并证明：当时，
，
；
（Ⅱ）设，
，证明：当时，
.
20. （10 分） (2019 高一上·大庆期中) 已知函数
，
（1）若
，求实数的取值范围；
（2）若存在
，使得
，求实数的取值范围；
（3）若
对于
实数的值；若不存在，说明理由.
恒成立，试问是否存在实数，使得
. 成立？若存在，求出
21. （10 分） (2017·江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
（t 为参数），
曲线 C 的参数方程为
（s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值．
22. （10 分） (2020·定远模拟) 设函数
.
（1）若
为偶函数，求的值；
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（2）当
时，若函数
的图象有且仅有两条平行于轴的切线，求的取值范围.
第 7 页共 10 页

一、单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
第 8 页共 10 页

15-1、 16-1、
三、解答题 (共 6 题；共 60 分)
17-1、 17-2、
18-1、
19-1、
第 9 页共 10 页

20-1、
20-2、 20-3、 21-1、 22-1、 22-2、
第 10 页共 10 页

。