2016-2017学年高中数学苏教版选修1-2学案：2.1.2 演绎推理 Word版含解析
2016-2017学年高中数学人教A版选修1-2课件：2.1.2 演绎推理
(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD. 证明：连接 DO 并延长交 BC 于 E， 连接 AE，BO，CO， 由(1)知 AD⊥平面 ABC， AE⊂平面 ABC， ∴AD⊥AE，又 AO⊥ED， ∴AE2＝EO·ED，
12BC·AE2＝12BC·EO·12BC·ED， 即 S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.
阅读教材 P30～P32 的内容，完成下列问题． 1．演绎推理 (1)含义：从一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况下 (2)特点：由一般 到 特殊 的推理．
的结论的推理．
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2．三段论
大前提 小前提
结论
一般模式 已知的 一般原理
所研究的 特殊情况 根据一般原理，对特
阶
阶
段
段
一
三
2.1.2 演绎推理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
第一页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
1．理解演绎推理的意义．(重点) 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点) 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．(易混点)
第二页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
[基础·初探] 教材整理 演绎推理
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(4)数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为等差数列．(大 前提)
通项公式 an＝3n＋2，n≥2 时， an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提) 通项公式为 an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
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2016-2017学年高中数学人教版选修1-2课件 第二章 推理与证明 2.1-2.1.2演绎推理
[变式训练] 把下列推断写成三段论的形式： (1)因△ABC 三条边的长依次为 3，4，5，所以△ABC 是直角三角形； (2)函数 y＝sin x(x∈R)是周期函数． 解：(1)一条边长的平方等于其他两条边长平方和的 三角形是直角三角形，(大前提)
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∈ (0 ， 1) ， 所 以 函 数
f(x)
＝
5－1
2
x
为
减
函
数
，
故
由
f(m)>f(n)，得 m<n.
答案：m<n
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类型 1 用三段论的形式表示演绎推理(自主研析) [典例 1] 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B 是等腰三角 形的底角，则∠A＝∠B； (2)通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列．
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∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
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归纳升华 1．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一 连串的三段论，解决这类问题关键是找到每一步推理的依 据——大前提、小前提，注意前一推理的结论往往会作为 下一个三段论的前提．
第二章 推理与证明
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2.1 合情推理与演绎推理 2．1.2 演绎推理
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[学习目标] 1.理解演绎推理的意义(重点).2.掌握演 绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(重 点、难点).3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 (难点)．
2019最新高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理(1)学案 苏教版选修1-2
2.1.2 演绎推理课时目标 1.通过生活中的实例和已学过的数学中的实例，体会演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．1．演绎推理由__________的命题推演出____________命题的推理方法，通常称为演绎推理．演绎推理是根据______________和______________(包括________、________、________等)，按照严格的______________得到新结论的推理过程．________________是演绎推理的主要形式．2．三段论(1)三段论的组成①大前提——提供了一个________________．②小前提——指出了一个______________．③结论——揭示了____________与______________的内在联系．(2)三段论的常用格式为M－P(________)S－M(________)S－P(________)3．演绎推理的特点(1)演绎的前提是________________，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的________、______________，结论完全蕴涵于________之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在________的联系．(3)演绎推理是一种__________的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的__________和__________．一、填空题1．下面几种推理过程是演绎推理的是________．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；③由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1 (n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．2．“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提________________________________________________________________________．3．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是________．4．有一段演绎推理是这样的，“整数都是有理数，0.5是有理数，则0.5是整数”． 这个演绎推理的结论显然是错误的，是因为_____________________________________． 5．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2 (x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f x 1－f x 2x 1－x 2>0；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是__________________________________． 6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．7．已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12，求证：f (x )是偶函数．证明：f (x )＝x ·2x＋1x －，其定义域为{x |x ≠0}， 又f (－x )＝(－x )2－x＋1－x－＝(－x )1＋2x－2x＝x ·2x＋1x －＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 此题省略了__________． 8．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a 与b 互为相反数且________，所以b ＝8.(2)因为________，又因为e ＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e 是无理数．二、解答题9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.能力提升11．在数列{a n}中，已知a1＝1，S n，S n＋1,2S1成等差数列(S n表示{a n}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________________，由此猜想S n＝__________.12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．1．用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．2．应用三段论解决问题时，首先要明确什么是大前提和小前提．如果大前提是显然的，则可以省略．有时，对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．2．1.2 演绎推理答案知识梳理1．一般性特殊性已有的事实正确的结论定义公理定理逻辑法则三段式推理2．(1)①一般性的原理②特殊对象③一般原理特殊对象(2)大前提小前提结论3．(1)一般性原理个别特殊事实前提(2)必然(3)收敛性理论化系统化作业设计1．①解析①为演绎推理，②④为归纳推理，③为类比推理．2．矩形都是对角线相等的四边形3．②解析①是大前提，②是小前提，③是结论．4．推理形式错误5．②③6．②解析①是大前提，②是小前提，③是结论．7．大前提解析此处省略了“偶函数的定义”这一大前提．8．(1)a＝－8(2)无限不循环小数是无理数9．解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提 在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提 水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提 2100＋1是奇数，小前提 2100＋1不能被2整除．结论 (3)三角函数都是周期函数，大前提y ＝tan α是三角函数，小前提 y ＝tan α是周期函数．结论10．证明 三角形的中位线平行于底边大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点小前提 所以EF ∥BD 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD 小前提 EF ∥平面BCD .结论11.32，74，158 2n－12n －1 12．证明 设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1)＝(x 32－x 31)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1.因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．于是根据“三段论”，得函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．。
2017-2018学年高中数学苏教版选修1-2学业分层测评：第2章2.1.2 演绎推理含答案
学业分层测评（五）第2章2.1.2 演绎推理(建议用时:45分钟）一、填空题1.“所有金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电"这种推理方法属于________。
【答案】演绎推理2。
“若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A＋∠B＝180°"若将其恢复成完整的三段论后,大前提是________________.【答案】两直线平行，同旁内角互补3。
已知函数f(x）＝a-错误!,若f（x)为奇函数，则a＝______________.【解析】∵f（x)是R上的奇函数,∴f(0）＝0，即f(0）＝a-错误!＝0,∴a＝错误!.【答案】错误!4。
刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说：“乙和丁至少有一人没考好。
”丁说：“我没考好."结果，四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的________两人说对了。
【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错,如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确,故答案为乙，丙.【答案】乙，丙5。
若不等式ax2＋2ax＋2〈0的解集为空集，则实数a的取值范围为________。
【解析】①a＝0时，有2〈0，显然此不等式解集为∅。
②a≠0时需有｛a>0，，Δ≤0，⇒错误!⇒错误!所以0〈a≤2.综上可知实数a的取值范围是。
【答案】6.已知f（1,1)＝1,f（m，n)∈N＊（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n＋1)＝f（m，n)＋2，②f（m＋1，1）＝2f（m，1）.给出以下三个结论:(1)f（1,5）＝9.（2）f(5,1)＝16。
（3）f(5,6)＝26其中正确结论为________.【解析】由条件可知,因为f（m，n＋1)＝f(m，n）＋2，且f（1,1)＝1，所以f（1,5）＝f（1,4)＋2＝f(1，3）＋4＝f(1,2）＋6＝f（1，1）＋8＝9。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章 推理与证明 2.1.3 Word版含解析
2.1.3 推理案例赏析明目标、知重点 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．1．数学活动与探索数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．[情境导学]合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉．探究点一 运用归纳推理探求结论思考1 在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？答 (1)实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论．(2)概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性．(3)猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论．思考2 归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．例1 已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．32710917解 把已知4项改写为，，，，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝；a 2＝32557109172×1＋112＋1；a 3＝，2×2＋122＋12×3＋132＋1a 4＝，….2×4＋142＋1据此猜测a n ＝.2n ＋1n 2＋1反思与感悟 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪训练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案 n 2解析 前4个图中小三角形个数分别为1,4,9,16.猜测：第n 个图形中小等边三角形的个数为n 2.探究点二 运用类比推理探求结论思考1 在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？答 (1)观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点．(2)联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质．(3)猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来．思考2 类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．例2 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BC 2＝BD ·BA .(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P —ABC (如图乙)中，可得到什么结论？解 如图在三棱锥P —ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB 、OC 猜想下列结论：S ＝S △OBC ·S △ABC .2△PBC 证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥PD ，PA ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面PAD .∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S ＝2＝BC 2·PD22△PBC (12BC ·PD )14S △OBC ·S △ABC ＝BC ·OD ·BC ·AD 1212＝BC 2·OD ·AD .14∵PD 2＝OD ·AD ，∴S ＝S △OBC ·S △ABC .2△PBC 反思与感悟 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪训练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：B 1C 1(1)S ＝ah ；12(2)S ＝bc sin ∠BAC .12运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________．答案 (1)S ＝lR 真命题12(2)S ＝R 2sin A 1 假命题12探究点三 运用演绎推理证明结论的正确性思考1 合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．思考2 应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？答 在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提．例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)求证数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.∴＝4 (n ∈N *)．an ＋1－(n ＋1)an －n∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1)＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝＋·4n －.n (n ＋1)21313(3)证明 由(2)知，S n ＋1－4S n ＝＋·4n ＋1－－(n ＋1)(n ＋2)213134[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝－2n (n ＋1)＋1(n ＋1)(n ＋2)2＝－≤0，(n －1)(3n ＋4)2∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．反思与感悟 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪训练3 已知函数f (x )对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．求证：f (x )是奇函数．证明 ∵对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．∴当x ＝y ＝0时，f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，则f (－x )＋f (x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．1．一个数列的第2项到第4项分别是3，，，据此可以猜想这个数列的第一项是1521________．答案 3解析 ∵a 2＝＝，a 3＝＝，96×2－3156×3－3a 4＝＝，∴猜想a 1＝＝.216×4－36×1－332．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.答案 球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2；x 1＋x 2＋x 3≥3，…类比上x 1x 23x 1x 2x 3述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论______________________．答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…xn4．已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则＋＋…＋＝________.f (2)f (1)f (3)f (2)f (2 013)f (2 012)答案 4 024解析 令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)，∴＝f (1)＝2.f (a ＋1)f (a )∴＋＋…＋＝2＋2＋…＋2f (2)f (1)f (3)f (2)f (2 013)f (2 012)＝2×2 012＝4 024.[呈重点、现规律]1．数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.一、基础过关1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋...＋>，1＋＋＋...＋>2,1＋＋＋...＋>， (1)21213121317321213115121313152由此猜测第n 个等式为______________________(n ∈N *)．答案 1＋＋＋…＋>121312n －1n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝_______.答案 2 3 5 7 Error!4．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，相关结论：________________________.答案 对角面AA 1C 1C ⊥BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎1x 推理错误的原因是______________．答案 大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P —ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —AC —B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝____________________________________.答案 S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：(tan 5°＋1)(tan 40°＋1)＝2；(tan 15°＋1)(tan 30°＋1)＝2；(tan 25°＋1)(tan 20°＋1)＝2；据此可猜想出一个一般性命题：______________________________.答案 (tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2二、能力提升8．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝，n (n ＋3)2易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.9．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x －1.下列判断正确的是________．①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M .答案 ②③解析 对于f 1(x )＝log 2x ；log 22＋log 24>log 2(2＋4)，所以f 1(x )∉M .对于f 2(x )＝2x －1：2s －1＋2t －1－(2s ＋t －1)＝－(2s －1)(2t －1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆＋＝1 (m >n >0，p ＝)上，椭圆的离心率是e ，则＝.x 2m 2y 2n 2m 2－n 2sin A ＋sin Csin B1e 将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________.答案 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线－＝1 (m ，n >0，p ＝)上，双曲线的离心率为e ，则＝x 2m 2y 2n 2m 2＋n 2|sin A －sin C |sin B1e11．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝(n ∈N *)也是等na 1a 2…an 比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝也是等差数列．a 1＋a 2＋…＋ann证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝＝＝a 1＋(n －1)，a 1＋a 2＋…＋annna 1＋n (n －1)d2nd 2所以数列{b n }是以a 1为首项，为公差的等差数列．d212．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P 为正三棱锥A —BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC 、ACD 、ABD 的距离分别为h 1、h 2、h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则：V P —ABC ＋V P —ACD ＋V P —ABD ＝V D —ABC .即：S △ABC ·h 1＋S △ACD ·h 2＋S △ABD ·h 3131313＝S △ABC ·h .13∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论．三、探究与拓展13．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列：(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30.(2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)．下面给出证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0，∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋d －na 1－d(2k －n )(2k －n －1)2n (n －1)2＝[(k －n )(1－2k )＋－]d ＝0.(2k －n )(2k －n －1)2n (n －1)2∴S2k－n＝S n，猜想正确．。
2016-2017学年高二数学苏教版选修1-2学案：1.2 回归分析 Word版含解析
1.2 回归分析1.会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解线性回归模型，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(重点、难点)3.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.[基础·初探]教材整理1 线性回归模型 阅读教材P 13～P 14，完成下列问题1.线性回归模型的概念：将y ＝a ＋bx ＋ε称为线性回归模型，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差.2.线性回归方程：直线y ^＝a ^＋b ^x 称为线性回归方程，其中a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^称为回归值，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i -n x - y-∑n i ＝1x 2i-n (x -)2，a ^＝y --b ^x -.其中x -＝1n ∑n i ＝1x i ，y -＝1n ∑ni ＝1y i.设某大学生的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x -85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).【导学号：97220003】(1)y 与x 具有正的线性相关关系(2)回归直线过样本点的中心(x，y)(3)若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg(4)若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg【解析】回归方程中x的系数为0.85>0，因此y与x具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x，y)，(2)正确；∵回归方程y^＝0.85x-85.71，∴该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，(3)正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确.【答案】(1)(2)(3)教材整理2相关关系阅读教材P16～P17“例2”以上部分完成下列问题1.相关系数是精确刻画线性相关关系的量.2.相关系数r＝∑ni＝1(x i-x-)(y i-y-)∑ni＝1(x i-x-)2∑ni＝1(y i-y-)2＝∑ni＝1x i y i-n x-y-⎝⎛⎭⎪⎫∑ni＝1x2i-n(x-)2⎝⎛⎭⎪⎫∑ni＝1y2i-n(y-)2.3.相关系数r具有的性质：(1)|r|≤1；(2)|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；(3)|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱.4.相关性检验的步骤：(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1-0.95＝0.05与n-2在附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中1-0.95＝0.05称为检验水平).(3)计算样本相关系数r ；(4)作统计推断：若|r |>r 0.05，则否定H 0，表明有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则没有理由拒绝原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系.判断正误：(1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.( )(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.( ) (3)若相关系数r ＝0，则两变量x ，y 之间没有关系.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.其中正确命题是__________(填序号).(2)如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e (单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e |≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿.【自主解答】 (1)①反映的正是最小二乘法思想，故正确.②反映的是画散点图的作用，也正确.③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确.④在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系，故不正确.(2)由题意可得：y ^＝0.8x ＋2＋e ，当x ＝10时，y ^＝0.8×10＋2＋e ＝10＋e ，又|e |≤0.5，∴9.5≤y ^≤10.5.故今年支出预计不会超过10.5亿. 【答案】 (1)①②③ (2)10.51.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程.2.由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.3.随机误差的主要来源(1)线性回归模型与真实情况引起的误差； (2)省略了一些因素的影响产生的误差； (3)观测与计算产生的误差. 4.残差分析是回归分析的一种方法.[再练一题]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号).①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x ，y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.【解析】 只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程.【答案】 ④某班5(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩.【精彩点拨】 先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用线性回归模型求解.【自主解答】 (1)散点图如图所示.(2)由散点图可知y 与x 之间具有线性相关关系. 因为x -＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y -＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，∑5i ＝1x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以b ^＝∑5i ＝1x i y i -5 x - y-∑5i ＝1x 2i -5(x -)2＝25 054-5×73.2×67.827 174-5×73.22≈0.625，a ^＝y --b ^x -≈67.8-0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)当x ＝96时，y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.1.求线性回归方程的基本步骤：2.需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.[再练一题]2.某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场调查中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：(1)y 与x 求出回归直线方程.(方程的回归系数保留一位有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润.【解】 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关.设回归直线为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x -＝42.5，y -＝34，则求得b ^＝∑4i ＝1x i y i -4x - y-∑4i ＝1x 2i -4(x -)2＝-370125≈-3. a ^＝y --b ^x -＝34-(-3)×42.5＝161.5. ∴y ^＝-3x ＋161.5.(2)依题意有P ＝(-3x ＋161.5)(x -30)＝-3x 2＋251.5x -4 845＝-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -251.562＋251.5212-4 845.∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426. 即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.[探究共研型]探究1 【提示】 直观分析数据是否存在线性相关关系.探究2 下表显示出变量y 随变量x 变化的一组数据，由此判断表示y 与x 之间的关系最可能的是________.(填序号).【解析】画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在一条直线附近，故最可能是线性函数模型.【答案】①10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：(1)y与x是否具有相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.【精彩点拨】可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x 与y的相关性做出判断.【自主解答】(1)由已知表格中的数据，求得x＝71，y＝72.3，r＝∑i＝110(x i-x)(y i-y)∑i＝110(x i-x)2∑i＝110(y i-y)2≈0.78.由检验水平0.05及n-2＝8，在课本附录1中查得r0.05＝0.632，因为0.78>0.632，所以y与x之间具有很强的线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则有b ^＝∑i ＝110(x i -x )(y i -y )∑i ＝110(x i -x )2≈1.22，a ^＝y --b ^x -＝72.3-1.22×71＝-14.32.所以y 关于x 的回归直线方程为y ^＝1.22x -14.32.1.线性回归分析必须进行相关性检验；若忽略，则所求回归方程没有实际意义.2.|r |越接近于1，两变量相关性越强，|r |越接近于0，两变量相关性越弱.[再练一题]3.关于两个变量x 和y 的7组数据如下表所示：【解】 x -＝17×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4， y -＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3， ∑7i ＝1x 2i ＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414，∑7i ＝1x i y i ＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542，∑7i ＝1y 2i ＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393，∴r＝∑7i＝1x i y i-7 x-y-(∑7i＝1x2i-7(x-)2)(∑7i＝1y2i-7(y-)2)＝18 542-7×27.4×81.3(5 414-7×27.42)(124 393-7×81.32)≈0.837 5.∵0.837 5>0.755，∴x与y之间具有线性相关关系.[构建·体系]1.在下列各量之间，存在相关关系的是：①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系.【答案】②③④2.根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，则下列说法正确的是__________.(填序号)①a>0，b>0 ②a>0，b<0③a<0，b>0 ④a<0，b<0【解析】由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b<0，a>0，故②正确.【答案】 ②3.设有一个回归方程为y ^＝2-2.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y ＝__________.【导学号：97220004】【解析】 由回归系数的意义可知当变量x 增加一个单位时，y ^的平均改变量为b ^，由题目回归方程y ^＝2-2.5x ，可得当变量x 增加一个单位时，y ^平均减少2.5个单位. 【答案】 平均减少2.5个单位4.对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________.【解析】 由题意知x ＝2，y ＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y -b ^x ＝3-6.5×2＝-10，即回归直线的方程为y ^＝-10＋6.5x .【答案】 y ^＝-10＋6.5x5.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝-20，a ＝y -b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入-成本)【解】 (1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ∵b ^＝-20，a ^＝y -b ^x ，∴a ^＝80＋20×8.5＝250， ∴回归直线方程为y ^＝-20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (-20x ＋250)-4(-20x ＋250)＝-20⎝ ⎛⎭⎪⎫x -3342＋361.25，∴该产品的单价应定为334元时，工厂获得的利润最大.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学 选修1-2 同步练习 专题2.1 合情推理与演绎推理(解析版)
第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列13521,,n -,,,,则23是这个数列的A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项【答案】C【解析】令2123n -=，解得12n =，故23是这个数列的第12项．故选C ． 2．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数()13xf x =是减函数；②指数函数是减函数；③函数()13x f x =是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是 A ．①→②→③ B ．③→②→① C ．②→①→③ D ．②→③→①【答案】D3．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确 【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C ． 4．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提与推理形式都错误【答案】B5．设0()sin x f x =，10()()f f x x '=，21()()f f x x '=，…，1()(),n n f f n x x +='∈N ，则2017()f x = A ．cos x - B ．sin x - C ．cos x D ．sin x【答案】C【解析】1()cos f x x =，2()(cos )sin ,f x x 'x ==-，3()cos ,f x x =-，4()sin f x x =， 故2017450411()()()cos f x f x f x x ⨯+===．故选C ．6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214SS =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．127【答案】D【解析】如图，连接AE ，7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……A ．811B ．809C ．807D ．805【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数21353920400++++==个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809⨯-=．故选B ．8．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是……A．26 B．31 C．32 D．36 【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B．9．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是A．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{}n b的前n项积为n T，则4T，______________，128TT成等比数列．【答案】84TT【解析】由题意，等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列，运用类比思想，只需要将差改为比即可，故有4T，84TT，128TT成等比数列．11．用演绎推理证明2)0(,,y x x=∈-∞是减函数时，大前提是______________．【答案】减函数的定义【解析】大前提：减函数的定义，在x I ∈内，若有12x x >，则有12()()f x f x <，小前提：2)0(,,y x x =∈-∞时12x x >，有12()()f x f x <， 结论：2)0(,,y x x =∈-∞是减函数．12．已知下列等式：，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________()*n ∈N ． 【答案】13．在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”，类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，≠0b ，则=0a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC SACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△．【答案】④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．把下列演绎推理写成三段论的形式．（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； （2）一切奇数都不能被2整除，20(2)1+是奇数，所以20(2)1+不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，cos y α=是三角函数，因此cos y α=是周期函数． 【解析】（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，………………大前提 在标准大气压下把水加热到100℃，…………………………………小前提 水会沸腾．………………………………………………………………结论 （2）一切奇数都不能被2整除， ……………………………………大前提20(2)1+是奇数， ……………………………………………………小前提 20(2)1+不能被2整除． ……………………………………………结论（3）三角函数都是周期函数，………………………………………大前提cos y α=是三角函数，………………………………………………小前提 cos y α=是周期函数．………………………………………………结论15．已知()33xf x =+，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【解析】由1()33xf x=+，得01113()()313333f f=+=+++，12113()()3333123f f-=+=++-+，23113()()3333233f f-=+=++-+，归纳猜想一般性结论为3()(1)3f fx x-++=，证明如下：111131()(1)333313333xx x x xf f xx-++-++=+=++++⋅+1113313313313=33333333(133)x x xx x x x+++⋅⋅+⋅++===++++⋅．16．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？（2）已知数列满足11212,4nnnaa aa+-==+，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.17．如图1，已知PAB△中，，点在斜边上的射影为点.（1）求证：222111PH PA PB =+； （2）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（1）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.因为，，，所以平面，。
2016_2017学年高中数学第2章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教版选修2_2201704200170
2.1.3 推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]观察如图2116所示的“三角数阵”：图2116记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式.【精彩点拨】(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n .归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题] 1.观察下列各式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…. 则当n <m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________.(最后结果用m ，n 表示)【解析】 当n ＝0，m ＝1时，对应第1个式子13＋23＝1，此时1＝12－0＝m 2－n 2；当n＝2，m ＝4时，对应第2个式子73＋83＋103＋113＝12，此时12＝42－22＝m 2－n 2；当n ＝5，m ＝8时，对应第3个式子163＋173＋…＋233＝39，此时39＝82－52＝m 2－n 2.由归纳推理可知3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.【答案】 m 2－n 2通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1).类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值.【导学号：01580039】【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比. 【自主解答】 ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， … …(n ＋1)4－n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1. 将以上各式两边分别相加，得 (n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎢⎡n ＋4－14－6×16nn ＋n ＋－4×⎦⎥⎤n n ＋2－n ＝14n 2(n ＋1)2.1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理的步骤与方法(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.[再练一题]2.半径为r 的圆的面积S (r )＝π·r 2，周长C (r )＝2π·r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r 2)′＝2π·r ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.【解析】 因为半径为R 的球的体积V (R )＝43πR 3，表面积S (R )＝4πR 2，类比(πr 2)′＝2πr ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2.因此②式应为：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2.且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数[探究共研型]探究列”，请你给出“等积数列”的定义.【提示】 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究2 若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式.【提示】 由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n2，n 为偶数，n －2＋2＝5n －12，n 为奇数.探究3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A ，B ，C 三个城市中的哪一个？【提示】 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.如图2117所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.图2117(1)求证：O为△BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.【精彩点拨】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心.(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.【自主解答】(1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心.(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，BO，CO，由(1)知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EO ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S △ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).[再练一题]3.已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列.证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n －d2n＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列.1.设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________.【导学号：01580040】【解析】 k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 【答案】 k －12.如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条.这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________；f (n )＝________.(答案用数字或含n 的式子表示)【解析】 所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数， 即n ＋n ＋n n －2＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12， f (n )＝n (n －2)＋n n －32×(n －2)＝n n －1n －22.【答案】n 2＋n212n n －n －23.下面几种推理是合情推理的是________.(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.【解析】 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①、②、④是合情推理. 【答案】 ①②④图21184.(2016·深圳二模)如图2118所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积为________.【解析】 已知图中圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，y )|(x－d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体积的体积应等于以圆(x －d )2＋y 2＝r 2围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2r 2d .【答案】 2π2r 2d5.在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想.【导学号：01580041】【解】 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”.证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面PAB ， 从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB. ∵V P ABC ＝16PA ·PB ·PC＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·PA cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。
2016-2017学年高二数学苏教版选修1-2学案：2.2.1 直接证明
2.2 直接证明与间接证明2.2.1 直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理 直接证明阅读教材P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.已知条件结论(2)推证过程：⇒…⇒…⇒.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.结论已知条件(2)推证过程：⇐…⇐…⇐.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )(3)证明不等式“＋<＋”最合适的方法是分析法.( )2736(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2.命题“对于任意角θ，cos 4θ-sin 4θ＝cos2θ”的证明过程“cos 4θ-sin 4θ＝(cos 2θ-sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ-sin 2θ＝-＝cos 2θ”应1＋cos 2θ21-cos 2θ2用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】 综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：97220017】【解析】 要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝<0即可，也就是b 2＋c 2-a 22bcb 2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]综合法的应用 (1)在△ABC 中， 已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________.(2)已知方程(x 2-mx ＋2)(x 2-nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，12则|m -n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋(a ＋b )；②a (1-a )3≤；③＋≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________.14b a ab 【自主解答】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B -sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π-C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴<C <π，所以△ABC 是钝角三角形.π2(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.12设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，12由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m -n |＝.9232(3)①a 2＋b 2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2a 2232b 2232a 22b 22a 22×b 22a 22×32＝ab ＋(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立).b 22×323②a (1-a )＝-a 2＋a ＝-2＋≤.(a -12)1414③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2) (3)①②④321.综合法处理问题的三个步骤→分析条件选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法 ↓→转化条件组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路 ↓→适当调整回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取2.用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤2≤(a，b ∈R )；(a ＋b 2)a 2＋b 22(2)a ＋b ≥2(a ≥0，b ≥0).ab [再练一题]1.综合法是( )A.执果索因的逆推证法B.由因导果的顺推证法C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法 【答案】 B分析法的应用 设a ，b 为实数，求证：≥(a ＋b ).a 2＋b 222【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键.【自主解答】 当a ＋b ≤0时，≥0，a 2＋b 2≥(a ＋b )成立.a 2＋b 222当a ＋b >0时，用分析法证明如下：≥(a ＋b )，a 2＋b 222只需证()2≥2，a 2＋b 2[22(a ＋b )]即证a 2＋b 2≥(a 2＋b 2＋2ab )，12即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，≥(a ＋b )成立.a 2＋b 222综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，->1，求证：>.1b 1a 1＋a 11-b 【证明】 由已知->1及a >0可知0<b <1，要证>，1b 1a 1＋a 11-b ·>1，1＋a 1-b 只需证1＋a -b -ab >1，只需证a -b -ab >0，即>1，a -bab 即->1，这是已知条件，所以原不等式得证.1b 1a [探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )-1＋(b ＋c )-1＝3(a ＋b ＋c )-1.【精彩点拨】 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】 法一：(分析法)要证(a ＋b )-1＋(b ＋c )-1＝3(a ＋b ＋c )-1，即证＋＝，1a ＋b 1b ＋c 3a ＋b ＋c 只需证＋＝3，a ＋b ＋ca ＋b a ＋b ＋cb ＋c 化简，得＋＝1，ca ＋b ab ＋c 即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝＝，a 2＋c 2-b 22ac12即a 2＋c 2-b 2＝ac 成立.∴(a ＋b )-1＋(b ＋c )-1＝3(a ＋b ＋c )-1成立.法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2-2ac cos 60°.所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得＋＝1，c a ＋b a b ＋c 所以＋＝3，(ca ＋b ＋1)(ab ＋c ＋1)即＋＝，1a ＋b 1b ＋c 3a ＋b ＋c 所以(a ＋b )-1＋(b ＋c )-1＝3(a ＋b ＋c )-1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋≤＋＋xy .1xy 1x 1y 【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋≤＋＋xy ，1xy 1x 1y 只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]-[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2-1]-[xy (x ＋y )-(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy -1)-(x ＋y )(xy -1)＝(xy -1)(xy -x -y ＋1)＝(xy -1)(x -1)(y -1).因为x ≥1，y ≥1，所以(xy -1)(x -1)(y -1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋≤＋＋xy 成立.1xy 1x 1y [构建·体系]—Error!直接证明1.已知x >0，y >0，且＋＝1，则xy 的最大值为______________.x 3y4【解析】 ∵1＝＋≥＝.x 3y4xy12xy3∴xy ≤3，当且仅当x ＝，y ＝2时等号成立.32【答案】 32.如果>b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________.a b 【导学号：97220018】【解析】 要使a >b ，a b 只需使a >0，b >0，(a )2>(b )2，a b 即a >b >0.【答案】 a >b >03.将下面用分析法证明≥ab 的步骤补充完整：要证≥ab ，只a 2＋b 22a 2＋b 22需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】 用分析法证明≥ab 的步骤为：要证≥ab 成立，只a 2＋b 22a 2＋b 22需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2-2ab ≥0，即证(a -b )2≥0.由于(a -b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】 a 2＋b 2-2ab ≥0 (a -b )2≥0 (a -b )2≥04.设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最小值为________.1a 1b 1c 【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋1a 1b 1c a ＋b ＋c aa ＋b ＋c ba ＋b ＋c cb a ab c b b c ac ca≥3＋＋2＋2b a ·a b c b ·b c c a ·a c ＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立.【答案】 95.已知a >0，b >0，试用分析法证明不等式＋≥＋.ab ba ab 【证明】 要证原不等式成立只需证：＋b ≥(＋)，a b ab a b 即只需证()3＋()3≥(＋)，a b ab a b 只需证(＋)(a -＋b )≥(＋)，a b ab ab a b 只需证a -＋b ≥，ab ab 即(-)2≥0，a b 而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)2 3。
苏教版高三数学选修2-2同步课堂精练：2.1.2演绎推理 Word版含答案
1．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a ＜b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A ＜∠B ，∴a ＜b ，画线部分是演绎推理的__________．2．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数(结论)．”上面推理的错误是__________．13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭3．在三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②所以这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的”中，“小前提”是__________(填序号)．4．已知a ，b 为正数，a ＋b ≥， (大前提)，(小前提)1x x +≥所以x ＋≥2.(结论)1x以上推理过程中的错误为__________．5．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为__________________．6．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，该奇数(S )是3的倍数(P )”．上述推理__________．(填“正确”或“错误”)7．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a 与b 互为相反数且__________，所以b ＝8.(2)因为__________，又因为e ＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e 是无理数．8．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则__________.a b c x y z ++=++9．用三段论形式写出下列命题：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．10．如图所示，在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．参考答案答案：小前提 解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提.答案：大前提 解析：∵当a ＞1时，指数函数y ＝a x 是增函数，若0＜a ＜1，则y ＝a x 是减函数，∴大前提错误.答案：③答案：小前提 解析：大前提中a ，b 为正数，而小前提中，x 为正数，∴小前提出错，应当改为x 为正数答案：三角形的中位线平行于第三边答案：正确答案：(1)a ＝－8 (2)无限不循环小数是无理数答案： 解析：∵由题意可得，，1222210444x y z ++=∴a 2＋b 2＋c 2＋－ax －by －cz ＝0，即.222444x y z ++2220222x y z a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，，.2x a =2y b =2z c =∴.122x y za b c x y z x y z ++++==++++答案：解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，结论：水会沸腾.(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：(2100＋1)是奇数，结论： (2100＋1)不能被2整除.答案：证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提)在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，(小前提)所以△ABD 是直角三角形.(结论)同理，△ABE 也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M 是Rt△ABD 斜边AB 的中点，从而DM 是斜边上的中线，(小前提)所以DM ＝AB .(结论)12同理，EM ＝AB .所以DM ＝EM .12。
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1 2.1.2 演绎推理 1.理解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单推理.(重点、难点) 2.演绎推理与合情推理的区别和联系.(易误点)
[基础·初探] 教材整理 演绎推理 阅读教材P36及P39“练习”以上部分，完成下列问题. 1.演绎推理 (1)含义：由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法. (2)特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化. 2.三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式 一般模式 常用格式 大前提 提供了一个一般性的原理 M是P 小前提 指出了一个特殊对象 S是M
结论 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 S是P
1.判断正误： (1)演绎推理是由一般到特殊的推理.( ) 2
(2)演绎推理的结论一定正确.( ) (3)“三段论”就是演绎推理.( ) (4)演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.“π是无限不循环小数，∴π是无理数.”以上推理的大前提是________. 【导学号：97220013】 【解析】 大前提为：无限不循环小数是无理数. 【答案】 无限不循环小数是无理数 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型] 把演绎推理写成三段论的形式 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数. (2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°. (3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列. 【自主解答】 (1)一切奇数都不能被2整除. (大前提) 75不能被2整除. (小前提) 75是奇数. (结论) 3
(2)三角形的内角和为180°. (大前提) Rt△ABC是三角形. (小前提) Rt△ABC的内角和为180°. (结论) (3)数列{an}中，如果当n≥2时，an-an-1为常数，则{an}为等差数列. (大前提) 通项公式an＝3n＋2，n≥2时， an-an-1＝3n＋2-[3(n-1)＋2]＝3(常数). (小前提) 通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列. (结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法： 1用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系. 2在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[再练一题] 1.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B. 【解析】 (1)平行四边形的对角线互相平分， (大前提) 菱形是平行四边形， (小前提) 菱形的对角线互相平分. (结论) (2)等腰三角形的两底角相等， (大前提) 4
∠A，∠B是等腰三角形的两底角， (小前提) ∠A＝∠B. (结论) 演绎推理在几何证明中的应用 如图2-1-14所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
图2-1-14 【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF. 【自主解答】 (1)同位角相等，两直线平行， (大前提) ∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， (小前提) 所以DF∥AE. (结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形， (大前提) DE∥BA且DF∥EA， (小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形. (结论) (3)平行四边形的对边相等， (大前提) DE和AF为平行四边形的对边， (小前提) 所以DE＝AF. (结论)
1.用“三段论”证明命题的步骤 (1)理清楚证明命题的一般思路； (2)找出每一个结论得出的原因； 5
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来. 2.几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.
[再练一题] 2.证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角. 【解】 已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：(1)等腰三角形的两底角相等， (大前提) △DAC是等腰三角形，DC＝DA， (小前提) ∠1＝∠2. (结论) (2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等， (大前提) ∠1和∠3是平行线AD，BC被AC 所截的内错角， (小前提) ∠1＝∠3. (结论) (3)等于同一个量的两个量相等， (大前提) ∠2，∠3都等于∠1， (小前提) ∠2和∠3相等.即CA平分∠BCD. (结论) ④同理BD平分∠CBA. [探究共研型] 演绎推理在代数中的应用 探究1 演绎推理的结论一定正确吗？ 6
【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确. 探究2 因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝log13x是对数
函数，所以y＝log13x是增函数.上面的推理形式和结论正确吗？ 【提示】 推理形式正确，结论不正确.因为大前提是错误的. 已知a，b，m均为正实数，b【精彩点拨】 利用不等式的性质证明. 【自主解答】 因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b0， (小前提) 所以mb因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变， (大前提) mb所以mb＋ab因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变， (大前提) b(a＋m)0， (小前提)
所以ba＋maa＋m
代数问题中常见的利用三段论证明的命题 1.函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等. 2.导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明 7
与函数有关的不等式等. 3.三角函数的图象与性质. 4.数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质. 5.不等式的证明.
[再练一题] 3.“由(a2＋a＋1)x>3，得x>3a2＋a＋1”的推理过程中，其大前提是__________. 【答案】 不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变. [构建·体系]
演绎推理—三段论— —大前提—小前提—结论
1.函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提：_________________________________________________； 小前提：_________________________________________________； 结论：____________________________________________________. 【答案】 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线 2.“指数函数y＝ax(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________. ①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确. 【解析】 ∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数. 8
∴小前提错误. 【答案】 ③ 3.“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”.上述推理中，下列说法正确的序号是________. ①大前提错误；②小前提错误；③结论错误；④正确. 【解析】 该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确. 【答案】 ④ 4.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的.”中的小前提是序号________. 【导学号：97220014】 【解析】 该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②. 【答案】 ③ 5.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (2)y＝cos x(x∈R)是周期函数. 【解】 (1)因为矩形的对角线相等， (大前提) 而正方形是矩形， (小前提) 所以正方形的对角线相等. (结论) (2)因为三角函数是周期函数， (大前提) 而y＝cos x(x∈R)是三角函数， (小前提) 所以y＝cos x(x∈R)是周期函数. (结论)
我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案：