傅里叶变换性质证明
傅里叶变换及其性质 PPT
也称为时间倒置定理。
5. 对称性
我们知道
S a ( t) 1
－1
1
－2
0
2
t
(a )
g 2( ) 1
－ o
( b ) 图2.5-4 取样函数Sa(t) 及其频谱
6. 时域卷积
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系 统的单位冲激响应h(t), 则有
的关系也可以用一个图绘出。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
2
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
f
(t)
e at
t 0
0
t 0
f (t)
1 e－t (＞0)
(0)
F()
1
o
t
o
(a)
(b)
图 2.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
e((jj )t ) 01j
1
jarctan
ea
a22
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明
1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。
假设可以，不失一般性，于是得到：2、将后面的正弦函数展开：于是得到：那么如何计算a n,b n,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。
上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。
这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。
下面的处理手段凸显了大师的风范：如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。
那么如何求出a n,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。
利用三角函数的正交性，可以得到：再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到b n,于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A 0/2而不是直接的A 0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。
通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。
到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet 的家伙证明出如下结论：有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间····至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。
也就是说如何让一个以2l 为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z 就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。
傅里叶变换(1)
1.4.2 对称性质
若 F() =ℱ f (t) 则以 t 为自变量的函数 F(t)
的象函数为 2 f
即 ℱF(t) 2 f
1.4.3 相似性质
ℱ
1
f
1
2
F (t )
若F() =ℱ f (t) a 0 则
ℱ
f (at)
t c
解 F () f (t)e jtdt
c e jt dt 2 c e jtdt
c
0
2sin c
0
2c
0
例4 求函数
0 f (t) e t
和傅氏积分表达式.
t 0 ( 0) 的傅氏变换
t0
解 F () f (t)e jt dt ete jtdt
0
e( j)t dt 1 e( jt)
ℱ [ t]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t t0 与 e jt0 也构成了一个傅氏变换对,即 t t0 e jt0
1.4 傅立叶变换的性质
1.4.1 线性性质
设 F1() =ℱ f1(t) F2 () =ℱ f2(t) , 为常数则
ℱ f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
1.4.6 积分性质
若 F () =ℱ f (t)
则
ℱ [ t f ( )d ] 1 F ()
j
在这里 t
f ( )d
必须满足傅氏积分存在定理的条件,
若不满足,则这个广义积分应改为
ℱ
[
t
f ( )d ]
1 F () F(0) () j
1.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理
傅里叶变换的性质与应用
f2
(t
)e
jt
dtd
f1
F2
(
j)e
j
d
F2 j f1( )e j d
F1( j)F2( j)
例：求三角波的傅立叶变换。
f
(t)
0
t
t
其他
f (t) gτ(t)* gτ(t)
F () Sa( ) Sa( ) 2Sa2( )
2
2
2
应用：系统响应的频谱
因 y(t) f (t) * h(t)
若 f (t) F()
则 f (t)ej0t F[ j( 0 )]
f
(t) cos0t
1 2
F[
j(
0)
1 2
F[
j(
0 )]
图中 fa (t) gτ(t) cos0t
则
Fa ( j)
2
Sa
(
0
2
)
Sa ( 0 )
2
课堂练习：
已知f (t) F ( j)，求y(t) f (3 2t)e j4t的频谱Y ( j).
傅里叶变换的性质与应用
线性 若
则
f1(t) F1(), f2 (t) F2 () a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2F2 ()
例：
sgn(t)
1 1
t0 t0
sgn(t)
2
(t)
1
F
2[
()
1
j
]
2(j2)
* 脉冲展缩与频带变化（尺度变换）
若 f (t) F F ( j) 则 f (at) F 1 F ( j )
2k(cos b cos a)
函数的傅里叶变换和反变换的性质
函数的傅里叶变换和反变换的性质傅里叶变换和反变换是函数分析中非常重要的概念，它们在信号处理和通信领域等多个应用中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论傅里叶变换和反变换的性质，以期对函数分析、信号处理以及数学等领域更深入的了解。
一、傅里叶变换的性质傅里叶变换的定义是：任何函数可以表示成以时间为自变量的正弦和余弦函数的无穷级数的形式。
也就是说，将任何函数分解成一系列的正弦和余弦函数后，我们就可以用傅里叶变换来进行函数的处理和操作。
傅里叶变换可以分为离散和连续两种形式，而它们都具有一些很重要的性质。
下面将分别介绍这些性质：1. 线性性傅里叶变换具有线性性，也就是说如果对于两个函数 f(t) 和g(t)，它们的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么对于函数 a ×f(t) + b × g(t)（其中 a 和 b 是任意实数），它的傅里叶变换就是 a × F(ω) + b × G(ω)。
2. 卷积定理卷积定理说明了傅里叶变换中频域的卷积运算可以通过时域中的乘积运算来实现。
如果函数 f(t) 和 g(t) 的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω)，那么它们在时域的卷积 f(t) * g(t) 的傅里叶变换就是F(ω) × G(ω)。
3. 改变函数的时间和频率如果函数 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而f(t − τ) 表示 f(t) 向右平移τ 个单位，那么f(t − τ) 的傅里叶变换就是F(ω) × e^{- iωτ}。
同样的道理，如果 f(t) 的傅里叶变换是F(ω)，而 f(at) 表示将 f(t) 的时间宽度缩小到原来的 a 倍，那么 f(at) 的傅里叶变换就是 (1/a) ×F(ω/a)。
二、傅里叶反变换的性质与傅里叶变换相对应的是傅里叶反变换，它可以将函数由频域转换到时域。
傅里叶反变换的定义是：如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，那么它的傅里叶反变换就是：f(t) = (1/2π) × ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω同样的，傅里叶反变换也有一些很重要的性质：1. 线性性傅里叶反变换与傅里叶变换一样具有线性性，也就是说，如果一个函数的傅里叶变换为F(ω)，而另一个函数的傅里叶变换为G(ω)，那么对于函数a × F(ω) +b × G(ω)，它的傅里叶反变换就是a × f(t) + b × g(t)。
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
[理学]第8章 傅里叶变换_OK
F () f (t) e jtd t
t
ete jtd t
0
e( j)td t
0
1
j
j 2 2
f (t) 1
2
F () e jtd 1
2
j 2 2
e jtd
1
0
cost 2
sin 2
t
d
16
f (t) 1
0
cost 2
sin 2
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴 上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
lim
T
fT (t)
f
(t)
6
Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
f
(t
)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
F () f (t)e jt dt 1 e jt dt e jt 1
1
i
1
1 e j e j 2sin
i
f (t) 1
F ()e jtd 1
F ()costd
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电 流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的 运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的 单位脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点 或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点 的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能 够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以18 解决.
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2.6 傅里叶变换的性质
2.6.1线性
若信号和的傅里叶变换分别为和，
则对于任意的常数a和b，有
将其推广，若,则
其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.
显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个
含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换
也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和
2.6.2 反褶与共轭性
设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信
号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶
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f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
（2）共轭
（3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明：
设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是
复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性
质
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2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示
成模与相位或者实部与虚部两部分，即
根据定义，上式还可以写成
下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数
对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得
（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时X()=0，于是
可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即
左边反褶，右边共轭
（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)
R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时R()=0，于是
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可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即
左边反褶，右边
共轭
有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不
是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特
点。
2.6.4对称性
傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性
质。若已知
F()=F[f(t)]
则有
F[f(t)]=2лf(-)
证明：因为
将变量t与互换，再将2乘过来，得
上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)
所以
F[F(t)]=2лf(-)
若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t)，则有
F[F(t)]=2f()
从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――
即f(t)的频谱是F()，F(t)的频谱为f()。
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若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，则有
F[F(t)]=-2f()
利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举
些例子来说明这一点。
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2.6.5 尺度变换
若F[f(t)]=F()，则
这里a是非零的实常数。
下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变
换的尺度变换特性。
证明：因为
令at=x，
当a > 0时
当a < 0时
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上述两种情况可综合成如下表达式：
由上可见，若信号f(t)在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上
将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。
尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反
之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于a=-1的特殊情况，它说明信号在
时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。
对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，
在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间
上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提
高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑
厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。
2.6.6 时间平移(延时)
下面进行证明
证明：
上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，
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于是可以得到
同理可以得到
2.6.7 时域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为 ，两边对t求导，可得
所以
同理，可以推出
由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()
乘以(j)n. 下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变
换，可利用此定理求出(t)的FT
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2.6.8 频域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为 ，两边分别对求导，可得
所以
2.6.9 时域积分
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可见，这与利用符号函数求得的结果一致。
2.6.10 频域积分
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若F[f(t)]=F() ，则有
2.6.11 时域卷积定理
2.6.12 频域卷积定理
与时域卷积定理类似，
证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。
由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说，
两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。
显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。
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2.6.13 帕斯瓦尔定理
前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理
在FT中的具体表现形式。
若F[f(t)]=F() ，则
这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频
域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。
式中 是信号f(t)的总能量，为信号f(t)的能量谱密度。
帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f(t)|2在整个
时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内
积分来得到。
此定理也可以如下证明。由相关性定理可得
取t=0，即得帕斯瓦尔定理。