高数一第一章复习题

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高等数学第一章练习题

高等数学第一章练习题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x + 14. 若函数f(x)在x=a处连续，则：A. f(a) = 0B. f(a) = f'(a)C. lim(x→a) f(x) = f(a)D. f'(a) = 05. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数为：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 - 3x^26. 曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 47. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)8. 函数f(x) = e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = x^210. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极值点为______。

2. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x)/(x^3 + 2x)的值为______。

3. 若函数f(x)在x=a处有极值，则f'(a) = ______。

4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1, 0)处的切线方程为y = ______。

徐荣聪厦门大学,高数第一章参考答案

第一章参考答案习题1-1（P9）1、（1）]5,2(；（2）]2,2[-；（3）]34,32[；（4）),1()3,(+∞-⋃--∞；2、（1）不同，定义域不同；（2）相同；（3）不同，定义域不同；（4）不同，定义域不同；3、（1）}1,2{±≠-≥x x x 且；（2）Ｒ；（3）Ｒ；（4）]3,1[-；（5）),1(+∞-；（6）R ；4、x x x f x xx f x x x f f f -=++-=++=-==222)1(,231)1(,23)(,0)1(,2)0(； 5、⎩⎨⎧>≤=--=-==1,41,)1(,1)2(,4)2(,1)0(x x x x f f f f ；6、（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）偶函数；7、略； 8、32π； |9、（1）31-=x y ；（2）11-+=x x y ；（3）21-=-x e y ；（4）yyy -=12log ；10、（1）x y 3sin =；（2）13-≤≤-u ，不能构成复合函数；（3）x y 2cos 2+=；11、（1）x u u y tan ,2==；（2）2,,x v v e u e y u =-==；（3）x v v u u y sin ,,arcsin ===；（4）2,1,1,ln 3x t t v v u u y =+=+==；12、略；13、⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g ；习题1-2（P13）（1）0；（2）0；（3）2；（4）∞；（5）0；（6）2；习题1-3（P17） .1、（1）0；（2）8；（3）4-；（4）21；（5）0；（6）∞； 2、解：)(lim )(lim ,7)12(lim )(lim ,3lim )(lim 333333x f x f x x f x x f x x x x x x +-++--→→→→→→≠=+===显然所以)(lim 3x f x →不存在3、证明：)(lim )(lim ,1lim lim ,1lim lim 00000x f x f x xx x xx xx x x x x x x +-++--→→→→→→≠==-=-=显然所以xx x 0lim→不存在习题1-4（P19）（1）9；（2）0；（3）2；（4）0；（5）49；（6）6；（7）2；（8）21；（9）x 2；（10）3；（11）32；（12）31；（13）0；（14）2-；（15）322；（16）2；（17）41；（18）6；'习题1-5（P24）1、（1）3；（2）25；（3）34；（4）0；（5）2；（6）1；（7）x x x x x n nn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim ；（8）xx x x xx xx x x x x x 203030sin cos cos 1lim sin sin cos sin lim sin sin tan lim ⋅-=-=-→→→ 21sin cos )2()2(2sin 2lim sin cos 2sin 2lim 2222220220=⋅⋅⋅⋅=⋅=→→xxx x x x x x x x x x ；2、（1）e 1；（2）4e ；（3）e1；（4）21221)21()21(lim )21(lim 1)121(lim e tt t x t x tt t t x x =+⋅+=++=++-⋅∞→-∞→∞→令 21221)121()121(lim )121(lim e xxx xx x x =++⋅++=++-⋅+∞→∞→；（5）2-e ；（6）e1；《习题1-6（P28）1、（1）无穷大；（2）无穷小；（3）无穷小；（4）无穷大；2、当1→x 时函数无穷大，当∞→x 时函数无穷小；3、（1）0；（2）0；4、2322x x x x --是比高阶的无穷小； 5、（1）同阶；（2）同阶；（3）等价；6、（1）原式⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→mn m n mn x x m nx ,,1,0lim 0；（2）原式44lim 220==→x x x ；（3）原式2323lim 0-=-=→x x x ；习题1-7（P33） 1、（1）1=x ，跳跃间断点；（2）2-=x ，无穷间断点；（3）0=x ，可去间断点；、（4）1=x 可去间断点，3=x ，无穷间断点； 2、不连续；3、连续区间：),2()2,3()3,(+∞⋃-⋃--∞，21)(lim 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x 4、函数在定义域]2,0[内连续；5、（1）2221e e +-；（2）22sin lim cos 2cos sin 2lim )cos(22sin lim 444-=-=-=-→→→x x x x x x x x x ππππ； 6、证明：设x e x f x3)(-=，显然)(x f 在]1,0[上连续因为0)3)(01()1()0(<--=⋅e f f ，由零点存在定理知，至少存在一点)1,0(0∈x ，使0)(0=x f ，即0300=-x e x所以方程x e x3=在区间)1,0(内至少有一个实根。

高等数学复习第一章

高等数学复习第一章第一篇：高等数学复习第一章高等数学复习第一章一，函数的概念与性质1函数定义有两个要素；○2构成复合函数的条件；○3初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成，○且能用一个解析式子来表示的函数；4函数的奇偶性，周期性，有界性，单调性。

○二，极限1，数列和函数极限的定义2，极限的性质：唯一性，有界性，保号性；3，极限四则运算法则；4，复合函数极限运算；5，极限存在准则：（1）单调有界准则：单调有界的数列必有极限（2）夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某点的极限相等都为A，则f(x)在那点的极限也为A。

（证明题中最常用）三，无穷小与无穷大1，把极限为零的量称为无穷小（0当然也就是最小的无穷小了），绝对值无限大的变量称为无穷大（正无穷和负无穷）；2，无穷小的比较：看两者之商的极限。

3，无穷小的重要性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小（xsinx-1为x趋于0的无穷小），有限个无穷小的积，差，和仍然为无穷小（无穷的不一定，x个x-1就是常数1呢）；4，常见的等价无穷小：x~sinx~tanx~ln(x+1)~ex-1 ax-1~xlna(1+x)n~1+nx.四，函数的连续性1，函数在某点左极限等于右极限，且等于该点函数值，则函数在此点连续； 2，间断点的分类：第一类间断点：函数在某点的左右极限都存在可去间断点：左右极限相等为A，但是该点的函数值不为A跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点：某点左右极限至少有一个不存在无穷间断点：某点左或者右极限为无穷大的时候，此点为无穷间断点振荡间断点：函数在某点左右极限都不存在，但又不是无穷大的时候，此点为振荡间断点。

（比如sinx-1在x=0处）3，介值定理和零点定理。

（用于证明根的存在性问题，相当有用）总结人：自1103程顺均2011年12月12日星期一第二篇：高等数学复习高等数学2考试知识点总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；证明题型：证明与偏导数有关的等式；第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）；证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；第三篇：高等数学复习教程高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限3.连续二、题型与解法 A.极限的求法函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知解：（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.（洛必达）2.（洛必达或Taylor）3.（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分2.微分中值定理3.应用二、题型与解法 A.导数微分的计算B.曲线切法线问题C.导数应用问题D.幂级数展开问题导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求 2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

高数第一章考试例题答案解析

高数第一章考试例题答案解析在学习高等数学时，一章考试是一个重要的环节。

在这里，我们将介绍一些常见的高等数学第一章考试例题及其答案解析，从而帮助广大学子更好地学习、运用和修正高等数学知识。

1.题：在平面直角坐标系中，若设$frac{dx}{dt}=6$,$frac{dy}{dt}=4$,并$x_0=2$,$y_0=0$，求点$(x,y)$的位置。

答案：其中$frac{dx}{dt}=6$表示$x$在$t$的变化率为$6$，而$frac{dy}{dt}=4$表示$y$在$t$的变化率为$4$，根据提供的条件，当$t=0$时，$x_0=2$，$y_0=0$。

因此，当$t$变化时，可得$x=2+6t$，$y=0+4t$。

设$t=k$，则$x=2+6k$,$y=4k$，所以点$(x,y)$的位置为$(2+6k,4k)$。

2.题：求函数$y=x^2+2x-3$关于$x$的一阶导数。

答案：设函数$y=x^2+2x-3$，其关于$x$的一阶导数为$frac{dy}{dx}$，根据微分法则，有$frac{dy}{dx}=2x+2$。

3.题：已知$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值答案：设函数$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值，其一阶导数为$f(x)=4x-7$，求$f(x)$的零点为$x=frac{7}{4}$，此时函数$f(x)$取得极值，由$f(x)=2x^2-7x+6$，算得极值为$f(frac{7}{4})=frac{25}{8}$。

4.题：已知函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域。

答案：设函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域，由于分母$sin{x}$不能为零，因此$f(x)$的定义域为$ {cos{x}eq -3sin{x}}$。

从上述例题分析可知，高等数学中各章考试例题的答案解析有着非常清晰的规律性和解题思路，如果可以找到正确的解题方法，就可以轻松解答大部分考试例题。

高中数学必修一第一章复习参考题及解答

高中数学必修一第一章复习参考题及解答（人教A 版）A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ；（2）{|12}B xN x；（3）2{|320}Cx xx .解：（1）方程29x的解为123,3x x ，即集合{3,3}A ；（2）12x，且xN ，则1,2x，即集合{1,2}B；（3）方程2320xx的解为121,2x x ，即集合{1,2}C．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB (,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm ()O 是定点.解：（1）由PAPB ，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PAPB 表示的点组成线段A B 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm 表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PAPB P PAPC 的点是什么.解：集合{|}P PA PB 表示的点组成线段A B 的垂直平分线，集合{|}P PA PC 表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PAPB P PAPC 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC 的外心．4.已知集合2{|1}A x x，{|1}B x ax.若B A，求实数a的值.解：显然集合{1,1}A，对于集合{|1}B x ax，当0a时，集合B，满足B A，即0a；当0a时，集合1{}Ba，而B A，则11a，或11a，得1a，或1a，综上得：实数a的值为1,0，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y，{(,)|30}B x y x y，{(,)|23}C x y x y，求A B，A C，()()A B B C.解：集合20(,)|{(0,0)}30x yA B x yx y，即{(0,0)}A B；集合20(,)|23x yA C x yx y，即A C；集合3039(,)|{(,)}2355x yB C x yx y；则39()(){(0,0),(,)}55A B B C.6.求下列函数的定义域：（1）25y x x；（2）4||5xyx.解：（1）要使原式有意义，则2050xx，即2x，得函数的定义域为[2,)；（2）要使原式有意义，则40||50xx，即4x，且5x，得函数的定义域为[4,5)(5,)．7.已知函数1()1x f x x，求：（1）()1(1)f a a；（2）(1)(2)f a a.解：（1）因为1()1x f x x ，所以1()1a f a a ，得12()1111a f a aa，即2()11f a a ；（2）因为1()1x f x x，所以1(1)(1)112a a f a aa ，即(1)2a f aa．8.设221()1x f x x，求证：（1）()()f x f x ；（2）1()()f f x x.证明：（1）因为221()1x f x x，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x，即()()f x f x ；（2）因为221()1x f x x，所以222211()11()()111()xxf f x xx x ，即1()()f f x x.9.已知函数2()48f x xkx在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.解：该二次函数的对称轴为8k x，函数2()48f x xkx在[5,20]上具有单调性，则208k ，或58k ，得160k，或40k ，即实数k 的取值范围为160k ，或40k．10．已知函数2y x，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)上是增函数还是减函数？解：（1）令2()f x x，而22()()()f x x xf x ，即函数2yx 是偶函数；（2）函数2y x的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x 在(0,)上是减函数；（4）函数2yx在(,0)上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x，得3x，只参加游泳一项比赛的有15339（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R xa ，试求实数a 的取值范围.解：因为集合A，且20x，所以0a ．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U ，3,1)(B A C U ，4,2)(B C AU ，求集合B .解：由3,1)(B AC U ，得{2,4,5,6,7,8,9}AB，又4,2)(B C A U ，所以集合{5,6,7,8,9}B.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x xx .求(1)f ，(3)f ，(1)f a 的值.解：当0x 时，()(4)f x x x，得(1)1(14)5f ；当0x 时，()(4)f x x x，得(3)3(34)21f ；(1)(5),(1)(1)(3),1a a a f a aa a ．5.证明：（1）若()f x axb ，则1212()()()22x x f x f x f ；（2）若2()g x x ax b ，则1212()()()22x x g x g x g .证明：（1）因为()f x axb ，得121212()()222x x x x a f a bx x b ，121212()()()222f x f x axbax b a x x b ，所以1212()()()22x x f x f x f ；（2）因为2()g x xax b ，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b 2212121()()22x x x x a b ，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ，即222212121211(2)()42x x x x x x ，所以1212()()()22x x g x g x g .6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a 上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a 上是增函数还是减函数？解：（1）函数()f x 在[,]b a 上也是减函数，证明如下：设12bx x a ，则21ax x b ，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ，即12()()f x f x ，所以函数()f x 在[,]b a 上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a 上是减函数，证明如下：设12bx x a ，则21ax x b ，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x ，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x ，即12()()g x g x ，所以函数()g x 在[,]b a 上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则)125008000(%,20)8000(345)80005000(%,10)5000(45)50003500(%,3)3500()35000(,0xx xx xx xy由该人一月份应交纳此项税款为303元，得80005000x，303%10)5000(45x，得7580x，所以该人当月的工资、薪金所得是7580元．全月应纳税所得额税率00()不超过1500元的部分5超过1500元至4500元的部分10超过4500元至9000元的部分20。

高数第一章练习题

第一章函数、极限与连续1.下列各极限正确的是( ) A.e xx x =+→)11(lim 0B.e xx x =-→)11(lim 0C.11sin lim =∞→x x x D.11sin lim 0=→xx x 2.下列极限中，正确的是（） A.cot 0lim(1tan )x x x e →+= B.01lim sin 1x x x→= C.sec 0lim(1cos )xx x e →+= D.1lim(1)nn n e →∞+=3.若1112()1xxe f x e-=+，则0x =是()f x 的（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D. 连续点 4.下列极限中，正确的是( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =∞→xx x C.∞=--→24lim22x x x D.1lim 0=+→x x x 5.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(1020sin )(x x bx x x x axx f 为连续函数，则,a b 满足( )A.2,a b =为任何实数B.21=+b aC.32,2a b ==- D.1==b a6.当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的（） A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小7.若21)2(lim 0=→x xf x ，则=→)3(lim0x f xx ( ) A.21B.2C.3D.318.若2)2(lim0=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x ( ) A.41 B.21C.2D.4 9.0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则（） A. 1,12a b == B. 1,1a b == C. 1,12a b =-= D. 1,1a b =-=10.设12a ≠，则21lim ln _______(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦11.若0sin lim(cos )5xx xx b e a→-=-，则_______,______.a b == 12.已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -时等价无穷小，则常数___.a =13.已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等价无穷小，则=a .14.设3214lim1x x ax x b x →---+=+，则______,______.a b == 15.设2lim()3xx x c x c→∞+=-，则________c =. 16.求下列函数的极限（1）lim x →-∞（2）01cos3limtan x xx x→- （3）201lim 1cos x x →- （4）3lim()1x x x x +→∞+ 17.求极限20lim(13)x xx x -→-18.判断函数21arctan 0()0,00ln(1)x x f x x x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪>+⎪⎪⎩是否在0x =处连续?19.设函数10sin(),0x x x f x x x e αβ⎧>⎪=⎨≤⎪+⎩，根据α和β不同取值，讨论()f x 在0x =处的连续性？20.求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.21.求函数xxx f sin )(=的间断点，并判断其类型. 22.已知02x →=，求0lim ()x f x →. 23.设()f x 在[],a b 上连续，()()f a f b =，证明：至少存在[]0,x a b ∈，使00()()2b af x f x -=+. 24.证明：方程sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一个正根，并且它不超过a b +.。

高数第一章习题课 [兼容模式]

1 1 1 lim [ 2 + + ⋅⋅⋅ + ] 2 2 8. (n + 1) ( 2n) n →∞ n 1 1 1 解：令 xn = 2 + +⋅ ⋅ ⋅ + 2 n (n+1) (2n)2 n+1 n+1 则有： ≤ xn ≤ 2 则有： 2 (n + n) n
=0
9.
求极限
n+1 n+1 a + b lim , ( 0 < a < b) n→ ∞ n n a +b
=b
10.
[ ( x + a )( x + b) − x ] 求极限 xlim →∞ 1
= (a + b) 2
11. 当a取何值时, cos x , x < 0, 函数 f ( x ) = 在 x = 0处连续. a + x , x ≥ 0, 解 ∵ f ( 0) = a ,
− +
无穷间断点振荡间断点
至少一个不存在
4. 闭区间上连续函数的性质有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . （与这一内容有关的往往是证明题）与这一内容有关的往往是证明题）
3x + 1 , x < 1 , 例1. 设函数 f ( x) = x ≥1 x,
解:
求
f [ f ( x)] .
3 f ( x) + 1 , f [ f ( x)] = f ( x) ,
f ( x) < 1 f ( x) ≥ 1
x<0
3(3x + 1) + 1
= 3x + 1 , x,

高等数学题库-第1章含参考答案

第一章函数与极限题库一、选择题1. 下列函数相同的是（D ）.A 、2(),()f x x g x ==B 、()()f x g x x ==C 、2()ln ,()2ln f x x g x x == D 、2()ln ,()2ln f x x g x x ==2. 设函数22,0,,0,()()2,0,,0,x x x x g x f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩则[()]g f x =（ D ）.A 、22,0,2,0.x x x x ⎧+<⎨-≥⎩B 、222,0,2,0.x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C 、22,0,2,0.x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D 、22,0,2,0.x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 函数1ln y x=的自然定义域为（ C ）.A 、 {|0x x <<B 、 {|0x x ≤≤C 、{|0x x <≤D 、 {|0x x ≤<4. 设(),()f x g x 是[,]l l -上的偶函数，()h x 是[,]l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（ D ）A 、()()f x g x +；B 、()()f x h x +；C 、()[()()]f x g x h x +；D 、()()()f x g x h x 。

5. 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ B ）条件.A 、充分非必要B 、必要非充分C 、充分且必要D 、既非充分又非必要 6. 关于数列110n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的说法正确的是（ D ） A 、极限不存在 B 、极限存在且为1 C 、极限情况无法确定 D 、极限存在且为0 7.()f x 在0x 的某一去心邻域内有界是0lim ()x x f x →存在的（ C ）A 、充分必要条件；B 、充分条件；C 、必要条件；D 、既不充分也不必要条件. 8. 函数在一点的极限存在和函数在该点的左右极限的关系是（ A ）A 、若左右极限都存在且相等，则函数在该点极限存在B 、若函数在该点极限存在，则左极限不一定存在C 、若函数在该点极限存在，则右极限不一定存在D 、若函数在一点极限不存在，则左右极限中至少有一个不存在9. 1()1xx xα-=+，()1x β=-1x →时有。

高等数学习题(第一章)

第一章函数与极限第一节映射与函数习题1.11.设),4()6,( A ，)4,9[ B ，写出B A ，B A ，B A \，)\(\B A A 。

2.设A 、B 、C 是任意三个集合，证明对偶律：cc c B A B A )(。

3.求下列函数的自然定义域：（1）x y cos；（2）)1tan(x y ；（3）)2arcsin( x y ；（4）xx y 1arctan5 ；4.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）)(x f =2lg x ，)(x g =x lg 2；（2）)(x f =334x x ，)(x g =x x x 1 ；5.设3,03,sin )( x x x x ，求6( ，4( ，)4( ，)2( ，并作出函数)(x y 的图形.6.试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）xxy1，)1,( ；（2）x x y ln ，),0( 7.设)(x f 为定义在),(l l 内的奇函数，若)(x f 在),0(l 内单调增加，证明)(x f 在)0,(l 内也单调增加。

8.设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

9.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）)1(24x x y ；（2）323x x y ；（3）)1ln(2 x x y .10.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2sin( x y ；（2）x y 4sin ；（3）x y 2cos .11.求下列函数的反函数：（1）y 35 x ；（2）xxy22；（3）)3ln(1 x y .12.设函数)(x f 在数集X 上有定义，试证：函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。

高等数学第一章总复习

参考答案
一、 1、x 0为可去间断点；x =kπ为无穷间断点. 2、f ( x )在x =1连续，连续区间为（-,+）. 3、x 1为跳跃型间断点，连续区间为（-,1）（1，+）. 4、x 2为跳跃型间断点，连续区间为 [0,2）（2，+）. 二、 1 1、a=0,b=1. 2、n . 3、k 3. 4 1 1 4、a 4, b 1. 5、- . 6、x . 12 2
0 x
是阶无穷小，则k等于多少.
(4)求正常数a与b, 使等式 1 lim x 0 bx sin x 0
x
t
2 2
at
dt 1成立.
1 2 2 x 1 1 x (5)求极限 lim 2 . 2 x 2 x0 (cos x e ) sin x 1 (6)求 lim 2 n n

i 1
n
( nx i ) ( nx i 1) , ( x 0).
三、计算题
1.lim(1 3 x )
x 0 2 sin x 1
; 2.lim(cos x ) ;
x 0
x2
π 2 1 x 3.lim tan( ); 4.lim ; n x 1 ln x 4 n x 5. lim ; 6. lim x ( x 1 x 1); x x 0 1 cos x 1 1 tan x 1 sin x 7.lim(cot x 2 ); 8.lim ; 2 x 0 x 0 x x ln(1 x ) x
第一章：函数与极限
一、讨论下列函数的连续性，如有间断点说明其类型.
1 x2 x ,x 1 (1) y (2) f ( x ) 1 x sin 2 x 2, x 1 1 x (3) f ( x ) lim n 1 x 2 n n 2 x (4) f ( x ) lim ( x 0) 2n 2n n 2 x

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高数一第一章复习题第一章函数及其图形复习提示本章重点：函数概念和基本初等函数。

难点：函数的复合。

典型例题分析与详解一、单项选择题1 下列集合中为空集的「」A ｛｝B ｛0｝C 0D ｛x｜x2+1=0，x∈R｝「答案」选D「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0是一个数，不是集合，故C 也不是空集。

在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集2 设A=｛x｜x2-x-60｝，B=｛x｜x-1≤1｝，则A∩B=「」A ｛x｜x3｝B ｛x｜x-2｝C ｛x｜-2「答案」选B「解析」由x2-x-60得x3或x-2，故A=｛x｜x3或x-2｝；由x-1≤1得x≤2，故B=｛x｜x≤2｝，所以A∩B=｛x｜x-2｝。

3 设A、B是集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且A∩B={1，3，7，9}，则A∪B是「」A {2，4，5，6，8}B {1，3，7，9}C {1，2，3，4，5，6，7，8，9}D {2，4，6，8}「答案」选A「解析」由A∪B=A∩B={1，3，7，9}，得A∪B={2，4，5，6，8}4 设M={0，1，2}，N={1，3，5}，R={2，4，6}，则下列式子中正确的是「」A M∪N={0，1}B M∩N={0，1}C M∪N∪R={1，2，3，4，5，6}D M∩N∩R= （空集）「答案」选D「解析」由条件得M∪N={0，1，2，3，5}，M∩N={1}，M∪N∪R={0，1，2，3，4，5，6}，M∩N∩R= .5 设A、B为非空集合，那么A∩B=A是A=B的「」A 充分但不是必要条件B 必要但不是充分条件C 充分必要条件D 既不是充分条件又不是必要条件「答案」选B「解析」若A=B，则任取x∈A有x∈B，于是x∈A∩B，从而A A∩B 又A∩B A，故A∩B=A反之不成立例A={1，2}，B={1，2，3}，显然A∩B=A，但A≠B6 设有集合E={x-1故所求反函数为y=－x，0≤x≤4，x+4，-431 设f（x）在（-∞，+∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」A y=f（x）B y=-f（x）C y=-f（-x）D y=f（x2）「答案」选D「解析」由偶函数定义，D中函数定义域（-∞，+∞）关于原点对称，且y（-x）=f［（-x）2］=f（x2）=y（x），故y=f（x2）是偶函数32 函数f（x）=loga（x+1+x2）（a0，a≠1）是「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数「答案」选A「解析」因该函数定义域为（-∞，+∞），它关于原点对称，且f（-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x=log31+x2-x21+x2+x=log31x+1+x2=-log3x+1+x2=-f（x）故f（x）=logax+1+x2为奇函数33 设函数f（x）=x（ex-1）ex+1，则该函数是「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 单调函数「答案」选B「解析」因为f（x）的定义域是（-∞，＋∞），且f（-x）=-x（e-x-1）e-x+1=-x1-exex1+exex=x（ex-1）ex+1=f（x）。

所以f（x）为偶函数。

34 设函数f（x）在（-∞，+∞）内有定义且为奇函数，若当x∈（－∞，0）时，f （x）=x（x-1），则当x∈（0，＋∞）时，f（x）=「」A -x（x+1）B x（x-1）C x（-x+1）D x（x+1）「答案」选A「解析」因为f（x）为奇函数，故当x0时，f（x）=-f（-x）=-［-x（-x-1）］=-x（x+1）。

35 设函数f（x）、g（x）在（－∞，＋∞）上有定义，若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则g［f（x）］为「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 有界函数「答案」选B「解析」因为g［f（-x）］=g［-f（x）］=g［f（x）］，故g ［f（x）］为偶函数。

36 函数f（x）=x（1+cos2x）的图形对称于「」A ox轴B 直线y=xC 坐标原点D oy轴「答案」选C「解析」因f（x）的定义域为（-∞，+∞），它关于原点对称，又f（-x）=-x（1+cos2（-x））=-x（1+cos2x）=-f（x），故f（x）=x（1+cos2x）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称37 函数y=sinx的周期是「」A πB π2C 2πD 4π「答案」选A「解析」因为sin（x+π）=-sinx=sinx，故y=sinx的周期（最小正周期）为π38 下列函数中为周期函数的是「」A y=sinx2B y=arcsin2xC y=x｜sinx｜D y=tan（3x-2）「答案」选D「解析」因为tan［3（x+π3）－2］=tan（3x+π-2）=tan ［（3x-2）+π］=tan（3x-2），所以y=tan（3x-2）是以π3为周期的周期函数。

39 设f（x）是以3为周期的奇函数，且f（-1）=-1，则f（7）=「」A 1B -1C 2D -2「答案」选A「解析」因为f（7）=f（1+2.3）=f（1）=-f（-1）=1.40 已知偶函数f（x）在［0，4］上是单调增函数，那么f（-π）和f（log128）的大小关系是「」A f（-π）C f（-π）f（log128）D 不能确定「答案」选C「解析」因为f（x）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f （x）在［－4，0］上是单调减函数又log128=log12（12）－3=-3－π，所以f（-π）f（log128）。

41 在R上，下列函数中为有界函数的是y=「」A exC lnxD tanx「答案」选B「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B中函数y=1+sinx其定义域为R，且对任意x∈R，有1+sinx≤1+sinx≤2成立，故y=1+sinx 在R上是有界函数基础训练题单项选择题1 设A={x-3≤x≤3}，B={x0≤x≤5}，则A A BB A BC （A∩B） BD （A∩B） B「」2 下列集合为空集的是A {xx+5=5}B {xx∈R且x2+10=0}C {xx≥3且x≤3}D {xx+5≤0}「」3 若集合M={0，1，2}，则下列写法中正确的是A {1}∈MB 1 MC 1 MD {1} M「」4 函数y=1-x+arccosx+12的定义域是A -3≤x≤1B x1C （-3，1）D {xx1}∩{x-3≤x≤1}「」5 函数f（x）=（x+1）2x+12x2-x-1的定义域是B x-12C x≠-12且x≠1D x-12且x≠1「」6 若0≤a≤12及函数y=f（x）的定义域是［0，1］，则f（x+a）+f（x-a）的定义域是A ［-a，1-a］B ［-a，1+a］C ［a，1-a］D ［a，1+a］7 设函数f（x+a）的定义域为［0，a］，则f（x）的定义域为A ［a，2a］B ［-a，0］C ［-2a，-a］D ［0，a］「」8 函数f（x）=x｜x｜≤1sinx1｜x｜≤4，则f（x2）的定义域为A ［－4，4］B ［－1，1］C ［1，4］D ［－2，2］「」9 设g（x）=sinx，则g-sinπ2=A -1B 1C sin1D -sin1「」10 设f（x）是定义在实数域上的一个函数，且f（x-1）=x2+x+1，则f1x-1=A 1（x-1）2+3x-1+3B 1（x-1）2+1x-1+1C 1x2+x+1D 1x2+1x+1「」11 设f1x=xx-1，则f（2x）=A 21-xB 11-2xC 2（x-1）2xD 2（x-1）x「」12 设f（x-2）=x2+1，则f（x+1）=A x2+2x+2B x2-2x+2C x2+6x+10D x2-6x+10「」13 函数y=4-x2的值域是A ［0，1］B （0，1］C （0，+∞）D （-∞，+∞）「」14 下列函数中与y=x为同一函数的是y=A x2B lnexC elnxD （x）2「」15 函数y=sin1x是其定义域内的A 周期函数B 单调函数C 有界函数D 无界函数「」16 下列函数中在（0，+∞）内为单调减少的是A y=logxa，0C y=arctanxD y=lnx「」17 下列函数中为奇函数的是A y=ex-1ex+1B y=x2+sinxC y=cos3xD y=ln（x2+x4）「」18 函数y=1-x1+x的反函数是A y=x-1x+1B y=1+x1-xC y=1-x1+xD y=-x1+x「」提高训练题单项选择题1 如果集合A B，则下列正确的是A A∪B=AB A∩B=BC A∪B=BD A∩B= 「」2 设集合E={x-5≤x1}，F={x0。