概率论与数理统计教案

（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。
解：（1）共有5+2+3+2=12名学生，在其中任选4名共有 =495种选法，其中每年级各选1名的选法有 =60种选法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。
（2）在12名学生中任选5名的选法共有 =792种，在每个年级中有一个年级取2名，而其它3个年级各取1名的取法共有 + + +
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i=1，2，…，n)，则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn)（全概率公式）
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0（i=1，2，…^，n)，则
1.1随机试验
具有如下特点的试验称为随机试验：
①可以在相同的条件下重复地进行。
②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
1.2样本空间、随机事件
（1）样本空间
我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。
概率的性质：
性质1：
性质2（有限可加性）：若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
性质3：设A，B是两个事件，若 ，则有P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)≥P(A)。
性质4：对于任一事件A，P(A)≤1。
性质5（逆事件的概率）：对于任一事件A，有 。
（3）全概率公式和贝叶斯公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若
①BiBj= ，i≠j，i，j=1,2，…，n
②
则称B1，B2，…，Bn是样本空间S的一个划分。
若B1，B2，…，Bn是样本空间S的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个发生。
上课时间
第三周
上课节次
3节
课 型
理论
课 题
概率论基本概念习题解析
教学目的
使学生巩固概率论基本概念所学内容
教学方法
讲授
重点、难点
古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用
时间分配
教学内容
板书或课件版面设计
1.一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。
（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。
（贝叶斯(Bayes)公式）
1.6独立性
定义：设A，B是两事件，若满足等式
P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。
定理：设A，B是两事件，且P(A)>0。若A，B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。
定理：若事件A与B相互独立，则下列各式也相互独立：A与 ， 与B， 与 。
设离散型随机变量X所有可能去的值为xk（k=1,2，…），X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为P{X=xk}=pk，k=1,2，…。（离散型随机变量X的分布律）
由概率的定义，pk满足如下两个条件：
①pk≥0，k=1,2，…
②
（1）（0-1）分布
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是P{X=k}=pk(1-p)1-k，k=0,1 （0＜p＜1），则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布。
（3）事件间的关系与事件的运算
设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k=1，2，……）是S的子集：
①若 ，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。
若 且 ，即A=B，则称事件A与事件B相等。
②事件 称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件 发生。
③事件 称为事件A与事件B的积事件。
因为 两两互不相容，且
所以 。
当已知最后一位数是奇数时，所求概率为
P=1/5+1/5+1/5=3/5。
3.有两种花籽，发芽率分别为0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：
（1）这两颗花籽都能发芽的概率。
（2）至少有一颗能发芽的概率。
（3）恰有一颗能发芽的概率。
解：以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有P(A)=0.8，P(B)=0.9。
（2）伯努利试验、二项分布
设试验E只有两个可能结果：A及 ，则称E为伯努利（Bernoulli）试验。
将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
在n次试验中A发生k次的概率为 ，记q=1-p，即有 ，k=0,1,2，…，n。
注意到 刚好是二项式(p+q)n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，并记为X～b(n,p)。
当且仅当A，B同时发生时，事件 发生。 也记作AB。
④事件 称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生。
⑤若 ，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。
基本事件是两两互不相容的。
⑥若 ，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。
A的对立事件记为 。 。
设A，B，C为事件，则有：
③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有
概率的性质都适用于条件概率。
（2）乘法定理
乘法定理：设P(A)>0，则有
P(AB)=P(B|A)P(A) （乘法公式）
一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且P(A1A2…An)>0，则有
P(A1A2…An)=P(An|A1A2…An-1)P(An-1|A1A2…An-2)…P(A2|A1)P(A1)
交换律：
结合律：
分配率率
定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。
频率具有如下基本性质：
①0≤fn(A)≤1
②fn(S)=1
③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则fn(A1∪A2∪…∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(Ak)。
教学方法
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重点、难点
全概率公式与贝叶斯公式
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1.5条件概率
（1）条件概率
定义：设A，B是两个事件，且P(A)>0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率P(·|A)满足：
①非负性：对于每一事件B，有P(B|A)≥0。
②规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1。
=240种，因此所求概率为
P=240/792=12/33。
2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：以Ai表示事件“第i次拨号拨通电话”，i=1,2,3，以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有 。
上述定理表明，当n很大，p很小（）时有以下近似式 （其中λ=np）。
2.3随机变量的分布函数
定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}，-∞＜x＜∞称为X的分布函数。
对于任意实数x1，x2（x1＜x2），有
P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}
=F(x2)-F(x1)。
随机变量及其分布函数
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2.1随机变量
定义：设随机试验的样本空间为S={e}。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。
2.2离散型随机变量及其分布律
有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。
（2）随机事件
我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。
空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件。
推论：
①若事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的。
②若n个事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
教学后记
本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。
（2）概率
定义：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件：
①非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0。
②规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。
③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj= ，i≠j，i，j=1，2，…，有P(A1∪A2∪…∪)=P(A1)+P(A2)+…
性质6（加法公式）：对于任意两个事件A，B有 。
1.4等可能概型（古典概型）
具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：