数字信号处理习题集(附答案)
数字信号处理习题及答案
数字信号处理习题及答案数字信号处理作业(1)1、画出离散信号的波形（1）)2(3)3(2)(1++-=n n n x δδ（2）)2()(2+-=n u n x（3）)5()()(3--=n u n u n x（4）)()()(214n u n x n ?= （5）)()25.0sin(3)(5n u n n x ??=π2、设x (n )、y (n )分别为系统的输⼊、输出变量，根据定义确定系统是否为：（1）线性，（2）稳定，（2）因果① )()]([ )(2n ax n x T n y == ② b n x n x T n y +==)()]([ )( ③ )0( )()]([ )(00>-==n n n x n x T n y④ ∑+-=>=0)0( )( )(0n n n n m n m x n y3、已知:描述系统的差分⽅程为)()1(5- )(n x n y n y =-且初始条件为： 0)1(=-y 求：系统的单位冲激响应h (n )4、已知：线性时不变系统的单位脉冲响应为10 , )( )(<求：该系统的单位阶跃响应。
数字信号处理作业(1)解答1、画出离散信号的波形（1）)2(3)3(2)(1++-=n n n x δδ（2）)2()(2+-=n u n x（3）)5()()(3--=n u n u n x（4）)()()(214n u n x n ?= （5）)()25.0sin(3)(5n u n n x ??=π2、设x (n )、y (n )分别为系统的输⼊、输出变量，根据定义确定系统是否为：（1）线性，（2）稳定，（3）因果因果：输出只取决于当前和之前的输⼊。
线性移不变系统的因果的充要条件：h (n )＝0 ， n < 0稳定系统：有界输⼊产⽣有界输出。
线性移不变系统稳定的充要条件：∞<=∑∞-∞=n n n x n x T n y （线性，稳定，因果）④ )0( )( )(0>=∑+-=n m x n y n n n n m （线性，稳定，⾮因果）注意：⾮线性系统的稳定、因果只能按定义判断，不能按线性、移不变系统的h (n )特点判断。
数字信号处理习题集(5-7章)
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题：1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）。
解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h∑-=-=1)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27c o s 225c o s 623c o s 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-所以)(ωj eH 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题：3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
数字信号处理习题及答案
==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=}23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4. 如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
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数字信号处理习题及答案3 .已知，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。
9．列出下图系统的差分⽅程,并按初始条件求输⼊为时的输出序列,并画图表⽰。
解：系统的等效信号流图为：解：根据奈奎斯特定理可知：6. 有⼀信号,它与另两个信号和的关系是:其中，已知，解：根据题⽬所给条件可得：⽽所以8. 若是因果稳定序列，求证：证明:∴9．求的傅⾥叶变换。
解：根据傅⾥叶变换的概念可得：13. 研究⼀个输⼊为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满⾜并已知系统是稳定的。
试求其单位抽样响应。
解：对给定的差分⽅程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括即可求得16. 下图是⼀个因果稳定系统的结构，试列出系统差分⽅程，求系统函数。
当时，求系统单位冲激响应, 画出系统零极点图和频率响应曲线。
由⽅框图可看出：差分⽅程应该是⼀阶的则有因为此系统是⼀个因果稳定系统; 所以其收敛17．设是⼀离散时间信号，其z 变换为，对下列信号利⽤求它们的z变换：(a) ，这⾥△记作⼀次差分算⼦，定义为：(b) {(c)解：(a)(b) ，1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅⽴叶级数的系数。
∑∑=-===56265)(~)(~)(X~:nnkjnknexWnxkπ解kj k j k j kj kj e e e e e 56 2462362262621068101214πππππ-----+++++=计算求得:。
339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==。
并作图表⽰试求设)(~),(~)(~ .))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x ==∑∑=-===56265)(~)(~)(~:n nkj nkn e n x W n x k X π解k j k j kj e e e πππ---+++=3231。
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数字信号处理习题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他2n 0n 3，h(n)其他3n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15} ③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=4. 如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
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第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。
（b ）采用同样的方法求得kHz 201=，整个系统的截止频率为Hz Tf c 1250161==二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1．设序列)(n x 的傅氏变换为)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。
（1）)2(n x （2）)(*n x （共轭） 解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞-∞=-==n nj j en x e X n x ωω)(()]([)可以得到DTFT 2)()2()]2([n j n n jn en x en x n x '-∞-∞='-∑∑'==ωω为偶数)()(21)(21)(21)(21)(21)]()1()([2122)2(2)2(22ωωπωωπωωωj j j j n j n n jn n j n n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞-∞=∞-∞=--∞-∞=∑∑∑（2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωωj n n jn jn e X e n x en x n x -∞-∞=∞-∞=-===∑∑2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n- （b ）]2[)41(+n u n（c ）]24[n -δ （d ）nn )21(解：（a ）∑∑-∞=--∞-∞==-=2][2)(n nj n nj n ne en u X ωωωωωj nn j e e 2111)21(0-==∑∞=（b ）∑∑∞-=--∞-∞==+=2)41(]2[41)(n n j n nj n n e e n u X ωωω）（ ωωωj j m m j m e e e -∞=---==∑41116)41(20)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n j nj n e e n en x X -∞-∞=--∞-∞==-==∑∑ （d ）]121112111[21)(ˆ--+-==--∞-∞=∑ωωωωj j n j n n e e e X）（ 利用频率微分特性，可得22)211(121)211(121)()(ωωωωωωωj j j j e ee e d X d jX ---+--=-=3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw e X ，求下列各序列的傅里叶变换。
（1）)(*n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx解： （1）)(*])([)(*)(*jw n n jw n jwne X en x en x =-=-∑∑∞-∞=--∞-∞=-（2）∑∑∞-∞=-*-*∞-∞=-+=+=n jw jw jwn n jwne X e X e n xn x en x )]()([21)]()([21)](Re[（3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j en nx jw n jwnn jwn n jwn)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jwe X ，求下列各序列的傅里叶变换。
（1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3) )(2n x解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwne X e n x en x en x -**∞-∞=--∞-∞=*---∞-∞=-*===∑∑∑（2）[])()(21)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jwn n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**∞-∞=--∞-∞=∞-∞=-*--∞-∞=*-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--∑∑∑∑（3）)()(21)()(21)()(21)()()(2jw j w j j n n n w j j n jwne X e X d e X e X e n x d e X en x *==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∑⎰∑∑--∞-∞=-∞-∞=--∞-∞=-θππθθππθθπθπθπ5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用)(jwe X 表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）)2()(n x n g = （2）()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 02)(解：（1）∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-===为偶数k k w k j n jnwn jnwjwek x en x en g e G 2)()2()()([]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+=-+=-∞-∞=--∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-∑∑∑∑)()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wj w j wj w j k wjk w j k wjk j k w jk k w kj ke X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ（2）)()()2()()(222w j r wjr r rwj n jnwjwe X er x er g en g e G ====∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-6．设序列)(n x 傅立叶变换为)(jwe X ，求下列序列的傅立叶变换。
（1）)(0n n x - 0n 为任意实整数 （2）()⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 02)(（3）)2(n x解：（1）0)(jwn jw e e X -⋅（2） )2(n x n 为偶数=)(n g ↔)(2w j e X 0 n 为奇数 （3）)()2(2jw e X n x ↔7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）{})2()3()21(--+n u n u n（2）)2sin()718cos(n n +π（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它－041)3cos()(n n n x π【解】（1）{}∑∞-∞=---+=n kn N j n e n u n u k X π2)2()3()21()(∑∑∞=-∞-=--=2232)21()21(n knN j n n kn N j n ee ππ k Nj k N j k Nj k N j e ee eππππ222223211412118------=k Nj kN j kN j e e e πππ225523211)21(18----= （2）假定)718cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2k X ，则∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=k k k N k k Nk X )27182()27182()(1πππδπππδπ∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--=k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ所以 )()()(21k X k X k X +=∑∞-∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ（3）∑-=-=4423cos )(n k Njnnek X ππ∑-=--+=44233)(21n k N jn n j nj e ee πππ∑∑=++=--+=90)23()32(490)23()32(42121n nN j k N j n n k N j k N j e e e e ππππππππ)23()23()32(4)23()23()32(41121112199k Nj k N j k N j k Nj k N j k N j ee e ee eππππππππππππ+++---+-++-=8．求下列序列的时域离散傅里叶变换)(n x -*， [])(Re n x ， )(0n x解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **∞∞---∞∞-*=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑[]()())()()(21)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞∞--*∞∞-∑∑ ()[])(Im )()(21)(0ωωωj n j j e X j e n x n x en x =--=∑∑∞∞--*∞∞--三、离散时间系统系统函数填空题：1．设)(z H 是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中的3个零点分别为1，0.8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。