初中锐角三角函数总结应用
锐角三角函数的实际应用
解：(1)在Rt△BCD中，∠DBC＝15°，sin∠DBC＝ CD，
∴CD＝BDsin∠DBC≈20×0.26＝5.2 m，
BD
∴CD的值为5.2 m；
(2)如解图，作DH⊥AB，垂足为H. 则FH＝ED＝1.6 m， 在Rt△BCD中， ∵∴解∠c得oCsB1＝5C°9≈01＝°9.，4BBDCm∠＝，CBB2DC0 ＝≈01.59°7，，BD＝20 m， ∴EF＝BC≈19.4 m， 在Rt△AEF中， ∵∠AEF＝45°，∠AFE＝90∴AF＝EF＝BC≈19.4 m， ∴AB＝AF＋FH＋BH≈19.4＋1.6＋5.2＝26.2 m， 即楼房AB约为26.2 m．
满分技法 锐角三角函数的实际应用常见模型
抱 子 型
满分技法
锐角三角函数的实际应用常见模型
背靠背型
注：在“抱子型”及“背靠背型”中，若只知两个直角 三角形两条直角边之和或之差，则需要列方程求解.
m，
∴∠DCF＝∠EDC＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，
∴( 2 3 x＋ 4 3 解得x31＝4＋34
)2＋42＝( 2x)2， 3，x2＝4－4 3 (舍去)，
∴AB＝4＋4 3≈10.8 m.
∴电线杆的高AB约10.8 m．
练习1、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，
练习3、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已 知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、 CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝ 31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离 BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
锐角三角函数及应用
锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90度的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
在三角函数中，正弦函数是最基本的函数之一，它在三角形的计算中有着重要的作用。
例如，在测量高度时，可以利用正弦函数计算出物体的高度。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它在计算角度时有着重要的作用。
例如，在计算机图形学中，可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。
例如，在测量斜率时，可以利用正切函数计算出斜率的大小。
除了在三角形的计算中，锐角三角函数还有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动，例如声波和光波。
在工程学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化，例如电压和电流的变化。
在计算机科学中，正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。
锐角三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
掌握锐角三角函数的概念和应用，对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
锐角三角函数— 应用举例优质课件
二
十
八
第二十八章 锐角三角函数
章
锐 角 三 角 函 数
锐角三角函数专题— 应用举例 2012年6月16日18时37分21秒，神舟九号飞船在酒泉卫星发射中心
点火发射升空.2012年6月18日11时左右转入自主控制飞行，14时左右与 天宫一号实施自动交会对接，这是中国实施的首次 载人空间交会对接.并于2012年6月29日10点03分安 全返回.神舟九号飞船于2012年6月16日发射，这也 是载人航天飞船首次在夏季发射.
锐角三角函数专题— 应用举例
解：如图，在RtAPC中,
PC PA cos(90o 65o)=80 cos 25o 72.505.
在RtBPC中,B=34o,
Q sin B PC , PB
PB
PC sin B
72.505 sin 34o
13（ 0 n
mile）.
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
发奋忘食，乐以忘优，不知老之将至。Leabharlann 锐角三角函数专题— 应用举例
小结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: （1）先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）检验答案是否符合实际问题．
发奋忘食，乐以忘优，不知老之将至。
锐角三角函数专题— 应用举例
分析：（1）什么是仰角、俯角？
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角是仰角；视线在水平线下方的角是俯角.
（2）如何根据题意构造几何图形？ （3）怎样求出BC的长？
发奋忘食，乐以忘优，不知老之将至。
锐角三角函数及其应用
锐角三角函数及其应用河南真题类型一背对背型1.[2016河南,19]如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升? (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)类型二母子型2.[2017河南,19]如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5n mile处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30n mile/h,B船的航速为25n mile/h,问C船至少要等待多长时间才能得到救援.(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,≈1.41)3.[2015河南,20]如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin48°≈0.74,cos 48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)4.[2014河南,19]如图,在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,≈1.7)5.[2013河南,19]我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米.参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48,≈1.73).6.[2012河南,20]某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图所示,一条幅从楼顶A处放下,在楼前点C处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度,他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°,再沿DB方向前进16米到达E处,测得点A的仰角为45°.已知点C到大厦的距离BC=7米,∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数.参考数据:tan31°≈0.60,sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86).7.[2011河南,19]如图所示,中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处,测得地面上点B的俯角α为45°,点D到AO的距离DG为10米;从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处,测得塔尖A的仰角β为60°.请你根据以上数据计算塔高AO,并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差.(参考数据:≈1.732,≈1.414,结果精确到0.1米)8.[2009河南,20]如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为1 m,矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为 1.78m,当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20m时,安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据:sin78°≈0.98,cos78°≈0.21,tan78°≈4.70)类型三其他类型9.[2018河南,20]“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,如图(1),运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图(2)所示,底座上A,B两点间的距离为90cm,低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH 的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.495,sin80.3°≈0.986,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)图(1)图(2)真题过关练考点1锐角三角函数的相关概念1.[2018天津]cos30°的值等于()A. B. C.1 D.2.[2018云南]在Rt∠ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为()A.3B.C.D.3.[2018贵州贵阳中考改编]如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则sin∠BAC的值为()A. B.1 C. D.考点2解直角三角形4.[2017黑龙江哈尔滨]在Rt∠ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为()A. B. C. D.5.[2016福建福州]如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,点P是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)6.[2017浙江嘉兴中考改编]如图,把4个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,则tan∠BA4C=.7.(8分)[2018贵州贵阳]如图(1),在Rt∠ABC中,小亮探究与之间关系的方法:∵sin A= ,sin B=,∵c=,c=,∵=.根据你掌握的三角函数知识.在图(2)的锐角三角形ABC中,探究,,之间的关系,并写出探究过程.考点3解直角三角形的实际应用之仰角、俯角问题8.(9分)[2018山东德州]如图,两座建筑物的水平距离BC为60m,从点C测得点A的仰角α为53°,从点A测得点D的俯角β为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan 37°≈,sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈).9.(9分)[2018云南昆明]小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国—南亚博览会”的竖直标语牌CD(如图).她在点A测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D三点在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的高度(结果保留到小数点后一位.参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)10.(9分)[2018四川泸州]如图,甲建筑物AD,乙建筑物BC的水平距离AB为90m,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从点E(A,E,B在同一水平线上)测得点D的仰角为30°,点C的仰角为60°,求这两座建筑物顶端C,D间的距离(计算结果用根号表示,不取近似值).考点4解直角三角形的实际应用之坡度、坡角问题11.[2017山东济南]如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出杆长1m处的点D离地面的高度DE=0.6m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为()A. B.3 C. D.412.(9分)[2018贵州安顺中考改编]如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面AC的倾斜角∠CAB=45°,在距点A10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠BDC=28°,若新坡面D处与建筑物之间需留下至少 1.5米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除.(参考数据:≈1.414,sin 28°≈0.469,cos28°≈0.883,tan28°≈0.532)考点5解直角三角形的实际应用之方位角问题13.(9分)[2018四川成都]由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80n mile,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)14.(9分)[2018广西贺州]如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20n mile/h的速度向正东方向航行2h到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少.(结果精确到1n mile,参考数据:≈1.41,≈1.73)考点6解直角三角形的实际应用之其他类型15.(9分)[2017内蒙古赤峰]王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图所示.已知AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内?请说明理由.(参考数据:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2)16.(9分)[2017广西桂林]“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中AB∠CD,AM∠BN∠ED,AE∠DE,请根据图中数据,求出线段BE和CD的长.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,结果保留到小数点后一位)1.(9分)[2017洛阳三模]为改善洛阳的公共交通状况,洛阳市开始建设地铁系统.如图为某地地铁出站口的横截面示意图,为提高某一段台阶的安全性,决定进行改善,把坡角由45°减至30°,已知原台阶坡面AB的长为5m.(1)改善后的台阶坡面会加长多少?(2)求BD的长.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,≈1.73)2.(9分)[2018濮阳二模]如图,小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°,在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为30°,已知旗杆CD的高度为12m,根据测得的数据,计算楼AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin42°≈0.7,cos42°≈0.7,tan 42°≈0.9,≈1.7)3.(9分)[2018开封二模)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行B地,已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数,参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.73)4.(9分)[2018新乡一模]如图,为探测某座山的高度AB,某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°,此时飞机的飞行高度CH=4km;保持飞行高度与方向不变,继续向前飞行2km到达D 处,测得山顶A处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据:tan31°≈0.6,tan50°≈1.2)5.(9分)[2018平顶山三模]某商场将一广告牌(AB)放置在商场大楼的顶部(如图所示).小明在商场大楼的广场上的点D处,用1m高的测角仪从点C测得广告牌的底部B的仰角为37°,然后向商场大楼的方向走了4m到达点F处,又从点E测得广告牌的顶部A的仰角为45°.已知商场大楼高BM=17m,且点A,B,M在同一直线上,求广告牌AB高度(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).6.(9分)[2018南阳一模]图(1)是太阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能,玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直).请完成以下计算:如图(2),AB∠BC,垂足为点B,CD∠AB,FG∠DE,垂足为点G.若θ=37°50',FG=30cm,CD=10cm,求CF的长.(结果取整数,参考数据:sin37°50'≈0.61,cos 37°50'≈0.79,tan37°50'≈0.78)图(1)图(2)考点强化练1.[2018湖南邵阳]某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1m.温馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)2.[2018安徽]为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米.(结果保留整数,参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)3.[2018山东青岛]某区域平面示意图如图所示,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,且AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距离.参考数据:sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈.解析河南真题1.过点C作CD∠AB,垂足为点D,则DB=9米.在Rt∠CBD中,∠BCD=45°,∵CD==9(米).在Rt∠ACD中,∠ACD=37°,∵AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75(米),∵AB=AD+BD=6.75+9=15.75(米).(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒),故国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.2.过点C作CD∠AB,交AB的延长线于点D,则∠CDA=90°.已知∠CAD=45°,设CD=x n mile,则AD=CD=x n mile,∵BD=AD-AB=(x-5)n mile.在Rt∠BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∵x=≈=20,∵BC==≈=25(n mile),∵B船到达C船处约需25÷25=1(h).在Rt∠ADC中,AC=x≈1.41×20=28.2(n mile),∵A船到达C船处约需28.2÷30=0.94(h).∵0.94<1,∵C船至少要等待约0.94h才能得到救援.3.延长BD交AE于点G,过点D作DH∠AE于点H.由题意知∠BGA=∠DAE=30°,DA=6,∵GD=DA=6,∵GH=AH=DA·cos30°=6×=3,∵GA=6.设BC的长为x米.在Rt∠GBC中,GC===x.在Rt∠ABC中,AC==.∵GC-AC=GA,∵x-=6,∵x≈13,即大树的高度约为13米.4.过点C作CD∠AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度.根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x.在Rt∠ACD中,CD===x,在Rt∠BCD中,BD=CD·tan68°,∵1000+x=x·tan68°,∵x=≈≈308,∵潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.5.在Rt∠BAE中,∠BAE=68°,BE=162米,∵AE=≈≈65.32(米).在Rt∠DCE中,∠DCE=60°,DE=176.6米,∵CE=≈≈102.08(米),∵AC=CE-AE=102.08-65.32=36.76≈36.8(米).即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为36.8米.6.设AB=x米.∵∠AEB=45°,∠ABE=90°,∵BE=AB=x米.在Rt∠ABD中,tan∠D=,即tan31°=,∵x=≈=24,即AB≈24米.在Rt∠ABC中,AC===25(米),即条幅的长度约为25米.7.∵DE∠BO,α=45°,∵∠DBF=α=45°,∵在Rt∠DBF中,BF=DF=268.∵BC=50,∵CF=BF-BC=268-50=218.由题意知,四边形DFOG是矩形,∵FO=DG=10,∵CO=CF+FO=218+10=228.在Rt∠ACO中,β=60°,∵AO=CO·tan60°≈228×1.732≈394.9.394.9-388=6.9,即塔高AO约为394.9米,计算结果与实际塔高388米之间的误差为6.9米.8.如图,过点A作AE∠BC于点E,过点D作DF∠BC于点F.∵AB=AC,∵CE=BC=0.5.在Rt∠AEC中,∵tan78°=,∵AE=EC·tan78°≈0.5×4.70=2.35.又∵sinα==,∵DF=·AE=·AE≈1.007,∵李师傅站在第三级踏板上时,头顶距地面的距离约为1.007+1.78=2.787,∵头顶与天花板的距离约为2.90-2.787≈0.11.∵0.05<0.11<0.20,∵此时他安装比较方便.9.在Rt∠CAE中,AE==≈≈20.7(cm).在Rt∠DBF中,BF==≈=40(cm).故EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151(cm).易知四边形CEFH为矩形,∵CH=EF=151cm,即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm.解析真题过关练1.B2.A在Rt∠ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,∵tan A===3,故选A.3.C连接BC,由题可得AB=BC=,AC=,∵AB2+BC2=AC2,∵∠ABC为等腰直角三角形,∵∠BAC=45°,∵sin∠BAC=,故选C.4.A由勾股定理,得BC===.根据余弦的定义,得cos B==.5.C过点P作PC∠OB于点C.在Rt∠POC中,PC=sinα·OP=sinα,OC=cosα·OP=cosα,故点P的坐标为(cosα,sinα).6.过点C作CH∠BA4于点H,由勾股定理,得BA4==,A4C=,∵=×1×1=,∵××CH=,解得CH=,则A4H==,∵tan∠BA4C==.7.如图,过点A作AD∠BC于点D,过点B作BE∠AC于点E,在Rt∠ABD中,sin∠ABD=,∵AD=csin∠ABD.在Rt∠ADC中,sin C=,∵AD=bsin C,∵csin∠ABD=bsin C,即=.(6分)同理可得=,则==.(8分)8.如图,过点D作DE∠AB于点E,则DE=BC=60.在Rt∠ABC中,tan53°=,∵≈,∵AB=80.(4分)在Rt∠ADE中,tan37°=,∵≈,∵AE=45,∵CD=BE=AB-AE=35.答:两座建筑物的高度分别约为80m和35m.(9分)9.如图,过点A作AE∠BD于点E.在Rt∠AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,∵BE=5m,AE=5m.在Rt∠ADE中,DE=AE·tan42°≈7.79(m),∵BD=DE+BE=12.79m,∵CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3(m).答:标语牌CD的高度约为6.3m.(9分)10.由题意知:BC=6AD,AE+BE=AB=90m.在Rt∠ADE中,tan30°=,sin30°=,∵AE==AD,DE=2AD.在Rt∠BCE中,tan60°=,sin60°=,∵BE==2AD,CE==4AD.∵AE+BE=AB=90m,∵AD+2AD=90,∵AD=10,∵DE=20m,CE=120m.∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,∠DEA=30°,∠CEB=60°,∵∠DEC=90°,∵CD===20(m).答:这两座建筑物顶端C,D间的距离为20m.(9分)11.B如图,过点C作CF∠AB,垂足为点F,则DE∠CF,∵=,即=,解得CF=3,∵AF= =4,又∵AB=3,∵BF=4-3=1,故石坝的坡度为==3,故选B.12.由题意知,AH=10米,BC=10米,在Rt∠ABC中,∵∠CAB=45°,∵AB=BC=10米.在Rt∠DBC中,∵∠CDB=28°,∵DB==≈18.80(米),∵DH=AH+AB-DB=10+10-18.80=1.2(米),故该建筑物需要拆除.(9分)13.由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80n mile.在Rt∠ACD中,cos∠ACD=,∵0.34≈,∵CD=27.2.在Rt∠BCD中,tan∠BCD=,∵0.75≈,∵BD=20.4.答:还需航行的距离BD的长约为20.4n mile.(9分) 14.过点C作CM∠AB,垂足为M,在Rt∠ACM中,∠MAC=90°-45°=45°,则∠MCA=45°,∵AM=MC,由勾股定理得AM2+MC2=AC2=(20×2)2,解得AM=CM=40.∵∠ECB=15°,∵∠BCF=90°-15°=75°,∵∠B=∠BCF-∠MAC=75°-45°=30°,在Rt∠BCM中,tan B=tan30°=,即=,∵BM=40,∵AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109(n mile).答:A处与灯塔B约相距109n mile.(9分)15.王浩同学能将手机放入卡槽AB内.(1分)理由:如图,过点A作AD∠BC于点D,∵∠C=50°,AC=20cm,∵AD=AC·sin50°≈20×0.8=16(cm),CD=AC·cos50°≈20×0.6=12(cm).∵BC=18cm,∵DB=BC-CD=18-12=6(cm),∵AB===(cm).∵17<,∵王浩同学能将手机放入卡槽AB内.(9分)16.∵BN∠ED,∵∠BDE=∠NBD=37°,∵AE∠DE,∵∠E=90°,∵BE=DE·tan∠BDE≈18.8(cm).(3分)过点C作CF∠AE于点F,∵∠FCA=∠CAM=45°,∵AF=FC=25cm.∵CD∠AE,∵四边形CDEF为矩形,∵CD=EF.∵AE=AB+EB=17+18.8=35.8(cm),∵CD=EF=AE-AF=35.8-25=10.8(cm).答:线段BE的长约为18.8cm,线段CD的长约为10.8cm.(9分)模拟提升练1.(1)在Rt∠ABC中,∠ABC=45°,AB=5,∵BC=AC=AB·sin∠ABC=5×=.∵∠ADC=30°,∵AD=2AC=5,∵AD-AB=5-5≈2.1.答:改善后的台阶坡面会加长约2.1m.(4分)(2)∵∠ADC=30°,∵CD===,∵BD=CD-BC=-=××(-1)≈2.6.答:BD的长约为2.6m.(9分)2.在Rt∠CBD中,∠CBD=30°,CD=12m,∵DB==12(m).过点C作CE∠AB于点E,则CE=DB=12m.由题可知,∠ACE=42°,则AE=CE·tan42°≈12×0.9≈18.4(m),∵AB=BE+AE=CD+AE=12+18.4≈30(m).答:楼AB的高度约为30m.(9分)3.过点B作BD∠AC于点D.根据题意可知∠ABD=67°,∵AD=AB·sin67°≈520×=480(km),(2分)BD=AB·cos67°≈520×=200(km).(4分)由题意可知∠CBD=30°,∵CD=BD·tan30°=200km,(6分)∵AC=AD+CD=480+200≈595(km).答:A地到C地之间高铁线路的长约为595km.(9分)4.延长BA交直线CD于点E.由题意知BE=CH=4km.设AE=x km.在Rt∠ADE中,∠ADE=50°,∵DE=≈=x(km),∵CE=(x+2)km.在Rt∠ACE中,∠ACE=31°,∵AE=CE·tan31°,即x≈0.6(x+2),解得x=2.4,∵AB=BE-AE=4-2.4=1.6(km).答:此山的高度AB约为1.6km.(9分)5.过点C作CN∠AM于点N,则点C,E,N在同一直线上.设AB=x m,则AN=x+(17-1)=(x+16)(m).在Rt∠AEN中,∠AEN=45°,∵EN=AN=(x+16)m.(3分)在Rt∠BCN中,∠BCN=37°,∵BN=CN·tan37°,(6分)∵17-1≈0.75(x+16+4),解得x≈1.3.答:宣传牌AB的高度约为1.3m.(9分)6.如图,延长ED,BC交于点K,过点E作EM∠AB,交BC于点M.由题意可知∠1+θ=90°,且∠1=∠2,∠2+∠K=90°,∵∠K=θ=37°50'.(2分)在Rt∠CDK中,CK=≈≈12.82(cm).(4分)在Rt∠KGF中,KF=≈≈49.18(cm),(7分)∵CF=KF-KC=49.18-12.82≈36(cm),(8分)答:CF的长约为36cm.(9分)解析考点强化练1.在Rt∠ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∵AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5(m),在Rt∠ACD中,∠ACD=15°,sin∠ACD=,∵AC==≈≈19.2(m).答:改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2m.2.如图,过点F作FG∠AB于点G,则AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.由题意知:∠ABE和∠FDE均为等腰直角三角形,∵AB=BE,DE=FD=1.8,∵FG=DB=DE+BE=AB+1.8.在Rt∠AFG中,AG=FG·tan∠AFG,∵AB-1.8≈0.82(AB+1.8),解得AB=18.2≈18.答:旗杆AB的高度约为18米.3.如图,过点O分别作OM∠BC于点M,ON∠AC于点N,则四边形ONCM为矩形,∵ON=MC,OM=NC.设OM=x m,则NC=x m,AN=(840-x)m.在Rt∠ANO中,∠OAN=45°,∵ON=AN=(840-x)m,∵MC=ON=(840-x)m.在Rt∠BOM中,BM=≈x m,∵840-x+x=500,解得x=480.答:点O到BC的距离约为480m.。
锐角三角函数的应用举例
03 锐角三角函数在物理问题 中应用
力学中角度与力关系问题
斜面问题
在斜面问题中，锐角三角函数可以用 来描述物体在斜面上的重力分量、摩 擦力等，从而解决物体在斜面上的运 动问题。
矢量合成与分解
在力学中，锐角三角函数可以用来进 行矢量的合成与分解，例如求解两个 力的合力或分力。
运动学中速度与加速度关系问题
运动轨迹计算
研究星体的运动轨迹是天文学的重要任务之一。利用锐角三角函数和相关物理原理，可 以计算出星体的运动速度、方向以及轨迹形状等信息，有助于深入了解宇宙的运行规律
和星体的性质。
06 总结与展望
回顾本次课程重点内容
锐角三角函数的基本概念
本次课程详细讲解了锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、 性质以及基本关系式，为后续应用打下了坚实基础。
锐角三角函数的应用举例
目 录
• 锐角三角函数基本概念 • 锐角三角函数在几何问题中应用 • 锐角三角函数在物理问题中应用 • 锐角三角函数在优化问题中应用 • 锐角三角函数在实际问题中应用举例 • 总结与展望
01 锐角三角函数基本概念
锐角三角函数定义
正弦函数（sine）
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边长 度除以斜边长度。
已知两边和夹角求第三边
利用余弦定理或正弦定理可以求出第三边。
面积与体积计算问题
三角形面积计算
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出面 积。
多边形面积计算
将多边形划分为多个三角形，分别求出每个三角形的 面积后相加。
立体几何体积计算
在立体几何中，锐角三角函数可以用于计算一些特殊 几何体的体积，如圆锥、式进行求解，避 免了计算二阶导数的复杂性。
05 锐角三角函数在实际问题 中应用举例
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。
2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。
3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。
- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。
- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。
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用锐角三角函数解决问题（1） 知识梳理：
1、 斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离；
斜坡坡角：坡面与水平面的夹角； 坡度与坡角的关系： i=atan； 2、用三角函数的知识解决生活中有关坡度和坡角的问题。
一、利用三角函数和解直角三角形知识解决工程设计与建设中的坡度问题 【例1】我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方.( 要求保留一位小数字.)
总结：1、用三角函数解决此类问题，常常要添加的辅助线是垂线或者水平线，以此来构造直角三角形。
二、利用三角函数和解直角三角形知识解决在工程传送带中坡角问题 【例2】如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米. （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP
是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)
三、利用三角函数和解直角三角形知识解决旋转中的问题 【例3】如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°。求 （1）秋千摆动时最高位置与最低位置的高度差。 （2）则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
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α i=1:m i=1:2i=1:1
1.6mEDC
BAF2．某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m） （1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m （2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
四、仰俯角问题 1．如图，在办公楼AB和实验楼CD之间有一旗杆EF，从办公楼AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到实验楼CD的底部D点，且俯角为45°，从实验楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到办公楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
2．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°． （1）求AB段山坡的高度EF； （2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米） 3．在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基顶端B（和
A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为80m．她先测得∠BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°，求塔高AE．（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）
4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点
C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
五．实际生活应用（转化在直角三角形中） 1．小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）
2．太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
3．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米） 4．如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．
5．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
6．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全，现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92） （1）求点D与点C的高度差DH； （2）求所有不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1米） 7、某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度(如CD)均为30cm，高度(如BE)均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)
20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．
8．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）． （结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）
B A C D E A B C
六．坡度坡角 1．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）
2、如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，引桥的水平距离BC的长是________________米（精确到0.1米）．
3、如图，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度.
4、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
i=1: α A． 4米 B． 6米 C． 12米 D． 24米 【变式题】如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
七．码头海岸线触礁问题 1．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km． （1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
A B C D