lcs算法详解
ch4
CS&E CS&E提要CS&E参考资料CS&ECS&E Why?CS&E What?CS&E How?CS&ECS&E CS&E问题的定义CS&E Motivation CS&ECS&ECS&E•矩阵链乘法优化问题的解空间CS&E分析优化解的结构CS&E•子问题重叠性递归地定义最优解的代价CS&E CS&E•假设CS&E自底向上计算优化解的代价CS&Em[i, j]= min{ m[i, k] + m[k+1, j] + p p p}CS&E CS&E获取构造最优解的信息S[i,j]记录A A…ACS&E算法复杂性CS&E构造最优解记录A…ACS&E CS&E问题的定义CS&E CS&E最长公共子序列结构分析CS&E•优化子结构CS&E 证明:⑴.CS&E CS&ECS&E•子问题重叠性CS&E建立LCS长度的递归方程CS&E自底向上计算LCS的长度CS&ECS&ECS&ELCS m ←For CS&E构造优化解CS&ECS&E算法复杂性CS&ECS&E •多边形问题的定义CS&E•弦CS&E•设优化解结构的分析CS&E优化三角剖分的代价函数CS&E优化三角剖分动态编程算法CS&ECS&E问题的定义CS&E•CS&E优化解结构的分析CS&E建立优化解代价的递归方程CS&E CS&E自底向上计算优化解的代价计算需要•算法CS&E构造优化解CS&E问题的定义CS&E CS&E•二叉搜索树CS&E CS&E优化二叉搜索树结构的分析CS&ECS&E建立优化解的搜索代价递归方程•用优化子结构从子问题优化解构造优化解•计算CS&ECS&ECS&E自下而上计算优化解的搜索代价CS&E•W(i, iCS&E CS&ECS&E CS&E算法的复杂性。
diff 数据差分计算
diff 数据差分计算Diff数据差分计算是一种常用的算法，它可以比较两个不同版本的文件或数据集之间的差异。
通过对比两个版本的内容，我们可以找出新增、删除、修改的部分，并生成差异报告，以便更好地理解数据的变化。
在实际应用中，diff数据差分计算有着广泛的用途。
例如，在软件开发中，开发人员经常需要比较不同版本的代码文件，以了解代码的变动情况。
通过diff数据差分计算，开发人员可以清晰地看到哪些代码被添加、删除或修改，从而更好地进行版本控制和代码管理。
在文本处理中，diff数据差分计算也经常被用于比较不同版本的文档或文章。
通过对比两个版本的内容差异，我们可以轻松地找到新增、删除或修改的部分，从而进行文档的更新或修订。
diff数据差分计算的核心思想是通过比较两个版本的数据，找出它们之间的差异。
具体来说，diff算法会将数据分割成一系列的行或块，然后逐行或逐块进行比较。
通过比较，我们可以找到新增、删除或修改的行或块，并记录它们的位置和内容。
在实际操作中，diff算法通常使用最长公共子序列（LCS）算法来进行行或块的比较。
LCS算法可以找到两个序列之间的最长公共子序列，从而确定它们之间的差异。
通过对比最长公共子序列和原始序列，我们可以找到新增、删除或修改的部分。
除了最长公共子序列算法，diff算法还可以使用其他的比较算法，如最小编辑距离算法（Levenshtein距离）等。
这些算法都可以有效地进行数据差分计算，帮助我们更好地理解数据的变化。
总的来说，diff数据差分计算是一种重要的算法，它可以帮助我们比较不同版本的文件或数据集之间的差异。
通过对比数据的变动情况，我们可以更好地进行版本控制、代码管理和文档修订。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择适合的算法，并结合人工的思考和判断，来理解数据的变化，并做出相应的处理。
第3章-动态规划算法
算法复杂度分析：
算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r， i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重 循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界 为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。
22
3.1.4 构造最优解 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最 优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优 解。 s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在 矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为 (A[i:k])(A[k+1:j)。
21
m[2][5]
min
m[2][2] m[3][5] m[2][3] m[4][5]
p1 p2 p5 p1 p3 p5
0 2500 35 2625 1000
15 35 5
20 20
13000 7125
m[2][4] m[5][5] p1 p4 p5 4375 0 3510 20 11375
}
}
T(Apxq*Bqxr)=O(p*q*r)
10
A, B, C, D
A 5010 B 1040 C 4030 D 305
(A((BC)D)) (A(B(CD))) ((AB)(CD)) (((AB)C)D) ((A(BC))D)
计算量分别为：16000, 10500, 36000, 87500, 34500
矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种 计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩 阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘 积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个 矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
diff测试框架原理
diff测试框架原理Diff测试框架原理简介什么是Diff测试框架Diff测试框架是一种用于比较两个文本文件或数据结构之间差异性的工具。
它能够精确地找出两个文件或数据结构之间的变化，并生成相应的差异报告。
Diff测试框架常用于软件开发过程中的版本控制、代码审查以及测试用例的管理等场景。
Diff测试框架的工作原理Diff测试框架的核心原理是通过对比两个文件或数据结构之间的差异来确定变动的内容。
下面是Diff测试框架的工作流程：1.输入比较对象：首先，我们需要提供两个需要对比的文件或数据结构，通常分别称为”源文件”和”目标文件”。
2.生成差异比较结果：Diff测试框架会对源文件和目标文件进行比较，找出两者之间的差异。
这些差异通常被称为”补丁(patch)“。
3.合并差异补丁：将差异补丁应用到源文件上，可以生成目标文件。
4.生成差异报告：根据差异补丁生成详细的差异报告，并以易于理解的方式展示差异内容。
差异报告通常包括哪些行发生了变化以及变化的类型（增加、删除或修改）等信息。
Diff算法Diff测试框架需要借助特定的算法来比较两个文件或数据结构之间的差异。
常用的Diff算法有以下几种：1. 暴力比对算法暴力比对算法，也被称为穷举法，是最简单直观的Diff算法。
它的原理是逐个比较源文件和目标文件的每一个字符，找出不同之处。
这种算法的时间复杂度较高，在大规模文件或数据结构上的比较效率较低，不适用于大型项目的Diff比较。
2. LCS算法LCS算法（即最长公共子序列算法）是一种较为高效的Diff算法。
它能够找到两个文件或数据结构之间最长的公共子序列。
通过将源文件和目标文件都转化为其最长公共子序列，可以得到生成目标文件所需的最少变动操作。
3. 基于时间轴的Diff算法基于时间轴的Diff算法，基于文件或数据结构的变化存在一定的时间顺序。
它将源文件和目标文件在时间轴上进行比对，通过推测有关文件变动的时间线索，提高了Diff比较的准确性。
cgh常用算法
cgh常用算法常用的算法有很多，可以分为查找算法、排序算法、图算法、动态规划算法等等。
下面我将详细介绍一些常用的算法及其应用。
一、查找算法：1.线性查找：从头至尾逐个比较，找到目标元素则返回其位置，否则返回-1。
常用于无序数组或链表中的查找。
2.二分查找：将有序数组以二分的方式不断缩小范围，找到目标元素则返回其位置，否则返回-1。
时间复杂度为O(logN)，常用于有序数组或链表中的查找。
二、排序算法：1.冒泡排序：从头至尾不断比较相邻两个元素，如果顺序错误则交换，最大（最小）元素逐渐沉底，直到排序完成。
时间复杂度为O(N^2)。
2.插入排序：将数组分为已排序和未排序两部分，依次将未排序部分中的元素插入已排序部分的合适位置。
时间复杂度为O(N^2)，但对于小规模数据较为高效。
3.选择排序：将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分中选择最小（最大）的元素插入已排序部分的末尾。
时间复杂度为O(N^2)，与数据状况无关。
4.快速排序：通过分治的思想，选择一个元素作为基准，将数组划分为比基准小和比基准大的两部分，然后对两个部分递归排序。
时间复杂度为O(NlogN)，是一种高效的排序算法。
5.归并排序：通过分治的思想，将数组分成两个子数组，分别对两个子数组进行排序，然后将排序好的子数组合并成一个有序数组。
时间复杂度为O(NlogN)，稳定且效率高。
三、图算法：1.深度优先搜索（DFS）：从起点开始，沿着一条路径遍历完当前路径，再回溯到前一个节点继续遍历其他路径，直到遍历完整个图。
常用于求解连通分量、拓扑排序等问题。
2.广度优先搜索（BFS）：从起点开始，先遍历其所有相邻节点，再依次遍历下一层的节点，直到遍历完整个图。
常用于求解最短路径、连通性等问题。
3.最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法用于求解带权无向图的最小生成树，分别基于贪心和并查集思想。
4.最短路径算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法用于求解带权有向图的单源最短路径，分别基于贪心和动态规划思想。
文本比较算法ⅱneedlemanwunsch算法
文本比较算法Ⅱ——NeedlemanWunsch算法在“文本比较算法Ⅰ——LD算法”中介绍了基于编辑距离的文本比较算法——LD算法。
本文介绍基于最长公共子串的文本比较算法——Needleman/Wunsch算法。
还是以实例说明：字符串A=kitten，字符串B=sitting 那他们的最长公共子串为ittn（注：最长公共子串不需要连续出现，但一定是出现的顺序一致），最长公共子串长度为4。
定义：LCS(A,B)表示字符串A和字符串B的最长公共子串的长度。
很显然，LSC(A,B)=0表示两个字符串没有公共部分。
Rev(A)表示反转字符串A Len(A)表示字符串A的长度A+B表示连接字符串A和字符串B 性质：LCS(A,A)=Len(A) LCS(A,"")=0LCS(A,B)=LCS(B,A) 0≤LCS(A,B)≤Min(Len(A),Len(B)) LCS(A,B)=LCS(Rev(A),Rev(B))LCS(A+C,B+C)=LCS(A,B)+Len(C)LCS(A+B,A+C)=Len(A)+LCS(B,C)LCS(A,B)≥LCS(A,C)+LCS(B,C)LCS(A+C,B)≥LCS(A,B)+LCS(B,C) 为了讲解计算LCS(A,B)，特给予以下几个定义A=a1a2……aN，表示A是由a1a2……aN这N个字符组成，Len(A)=NB=b1b2……bM，表示B是由b1b2……bM这M个字符组成，Len(B)=M 定义LCS(i,j)=LCS(a1a2……ai,b1b2……bj)，其中0≤i≤N，0≤j≤M 故：LCS(N,M)=LCS(A,B) LCS(0,0)=0 LCS(0,j)=0 LCS(i,0)=0 对于1≤i≤N，1≤j≤M，有公式一若ai=bj，则LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1 若ai≠bj，则LCS(i,j)=Max(LCS(i-1,j-1),LCS(i-1,j),LCS(i,j-1)) 计算LCS(A,B)的算法有很多，下面介绍的Needleman/Wunsch算法是其中的一种。
svn差异比较算法
svn差异比较算法
SVN（Subversion）是一个版本控制系统，用于管理和跟踪文件和目录的变化。
在SVN中，差异比较算法是用于比较两个不同版本之间的差异，并生成相应的差异文件。
SVN差异比较算法主要包括以下几个步骤：
1. 对比两个版本的文件：首先，算法会比较两个版本的文件内容，并标记两个版本中不同的部分。
2. 分析差异：算法会进一步分析两个版本之间的差异，并确定哪些部分是新增、删除、修改或移动的。
3. 生成差异文件：根据分析结果，算法会生成一个差异文件，记录两个版本之间的变化。
4. 应用差异文件：当需要合并两个版本的文件时，算法会使用差异文件来应用变化，使得目标文件与最新版本保持一致。
SVN差异比较算法的核心是利用最长公共子序列（LCS）算法进行文件内容的比较。
LCS算法用于寻找两个序列中最长的相同子序列。
在SVN中，这个相同子序列就代表两个版本中相同的部分。
通过比较两个版本的文件内容，SVN差异比较算法能够高效地找到新增、删除、修改或移动的内容，并生成相应的差异文
件。
这样，用户可以很方便地查看文件变化和合并不同版本的文件。
C语言程序设计的常用算法
C语言程序设计的常用算法1.排序算法-冒泡排序：通过多次比较和交换来将最大（小）的数移到最后（前），时间复杂度为O(n^2)。
适用于数据较少、数据基本有序的情况。
- 快速排序：通过一趟排序将待排序序列分隔成独立的两部分，其中一部分的所有元素都比另一部分的所有元素小。
然后递归地对两部分进行排序，时间复杂度为O(nlogn)。
适用于大规模数据的排序。
-插入排序：将待排序序列分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分取一个元素插入到已排序部分的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。
适用于数据量较小的排序场景。
- 归并排序：将待排序序列分为若干个子序列，分别进行排序，然后再将排好序的子序列合并成整体有序的序列，时间复杂度为O(nlogn)。
适用于需要稳定排序且对内存空间要求不高的情况。
2.查找算法-顺序查找：从头到尾依次对每个元素进行比较，直到找到目标元素或者遍历完整个序列。
时间复杂度为O(n)。
- 二分查找：对于有序序列，将序列的中间元素与目标元素进行比较，根据比较结果缩小查找范围，直到找到目标元素或者查找范围为空。
时间复杂度为O(logn)。
3.图算法-广度优先（BFS）：从给定的起始顶点开始，按照“先访问当前顶点的所有邻接顶点，再依次访问这些邻接顶点的所有未访问过的邻接顶点”的顺序逐层访问图中的所有顶点。
适用于寻找最短路径、连通性等问题。
-深度优先（DFS）：从给定的起始顶点开始，按照“先递归访问当前顶点的一个邻接顶点，再递归访问这个邻接顶点的一个邻接顶点，直到无法再继续递归”的方式遍历图中的所有顶点。
适用于寻找路径、判断连通性等问题。
4.动态规划算法-背包问题：给定一个背包容量和一组物品的重量和价值，选择一些物品装入背包，使得装入的物品总重量不超过背包容量，且总价值最大。
利用动态规划的思想可以通过构建二维数组来解决该问题。
-最长公共子序列（LCS）：给定两个序列，找出一个最长的子序列，且该子序列在两个原序列中的顺序保持一致。
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程序员编程艺术第十一章：最长公共子序列(LCS)问题0、前言程序员编程艺术系列重新开始创作了（前十章，请参考程序员编程艺术第一~十章集锦与总结）。
回顾之前的前十章，有些代码是值得商榷的，因当时的代码只顾阐述算法的原理或思想，所以，很多的与代码规范相关的问题都未能做到完美。
日后，会着力修缮之。
S3Z23。
搜遍网上，讲解这个LCS问题的文章不计其数，但大多给读者一种并不友好的感觉，稍感晦涩，且代码也不够清晰。
本文力图避免此些情况。
力保通俗，阐述详尽。
同时，经典算法研究系列的第三章（三、dynamic programming）也论述了此LCS问题。
有任何问题，欢迎不吝赐教。
i6C1E。
第一节、问题描述什么是最长公共子序列呢?好比一个数列S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。
PyiEk。
举个例子，如：有两条随机序列，如1 3 4 5 5 ，and 2 4 5 5 7 6，则它们的最长公共子序列便是：4 5 5。
eLUdt。
注意最长公共子串（Longest CommonSubstring）和最长公共子序列（LongestCommon Subsequence, LCS）的区别：子串（Substring）是串的一个连续的部分，子序列（Subsequence）则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得的新序列；更简略地说，前者（子串）的字符的位置必须连续，后者（子序列LCS）则不必。
比如字符串acdfg同akdfc的最长公共子串为df，而他们的最长公共子序列是adf。
LCS可以使用动态规划法解决。
下文具体描述。
0xrQc。
第二节、LCS问题的解决思路•穷举法解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是穷举搜索法，即对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列。
X和Y的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。
X的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列，因此，X共有2m个不同子序列（Y亦如此，如为2^n），从而穷举搜索法需要指数时间（2^m * 2^n）。
AmfhS。
•动态规划算法事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质。
记:Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符(1≤i≤m)（前缀）Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符(1≤j≤n)（前缀）假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。
若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。
此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
CA4GJ。
若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。
由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。
此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS 及X与Yn-1的LCS。
LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
g2hUh。
由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。
另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。
srS7N。
om8Gr。
行文至此，其实对这个LCS的动态规划解法已叙述殆尽，不过，为了成书的某种必要性，下面，我试着再多加详细阐述这个问题。
kMeUn。
第三节、动态规划算法解LCS问题3.1、最长公共子序列的结构最长公共子序列的结构有如下表示：设序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, z k>，则：w7Dqp。
1. 若x m=y n，则z k=x m=y n且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列；2. 若x m≠y n且z k≠x m ，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列；3. 若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y n-1的最长公共子序列。
其中X m-1=<x1, x2, …, x m-1>，Y n-1=<y1, y2, …, y n-1>，Z k-1=<z1, z2, …, z k-1>。
ytRAP。
3、2.子问题的递归结构由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当x m=y n时，找出X m-1和Y n-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上x m(=y n)即可得X和Y的一个最长公共子序列。
当x m≠y n时，必须解两个子问题，即找出X m-1和Y的一个最长公共子序列及X和Y n-1的一个最长公共子序列。
这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
uBXQB。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。
例如，在计算X和Y 的最长公共子序列时，可能要计算出X和Y n-1及X m-1和Y的最长公共子序列。
而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
GpagY。
与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。
用c[i,j]记录序列X i和Y j的最长公共子序列的长度。
其中X i=<x1, x2, …, x i>，Y j=<y1, y2, …, y j>。
当i=0或j=0时，空序列是X i和Y j的最长公共子序列，故c[i,j]=0。
其他情况下，由定理可建立递归关系如下：wvu1K。
3、3.计算最优值直接利用上节节末的递归式，我们将很容易就能写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。
由于在所考虑的子问题空间中，总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
HbbQk。
计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>作为输入。
输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。
其中c[i,j]存储X i与Y j的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。
最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
mwrv1。
1.Procedure LCS_LENGTH(X,Y);2.begin3. m:=length[X];4. n:=length[Y];5.for i:=1 to m do c[i,0]:=0;6.for j:=1 to n do c[0,j]:=0;7.for i:=1 to m do8.for j:=1 to n do9.if x[i]=y[j] then10. begin11. c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1;12. b[i,j]:="↖";13. end14.else if c[i-1,j]≥c[i,j-1] then15. begin16. c[i,j]:=c[i-1,j];17. b[i,j]:="↑";18. end19.else20. begin21. c[i,j]:=c[i,j-1];22. b[i,j]:="←"23. end;24.return(c,b);25.end;由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于快速构造序列X=<x1, x2, …, x m>和Y=<y1, y2, …, y n>的最长公共子序列。
首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。
eDqOF。
当b[i,j]中遇到"↖"时（意味着xi=yi是LCS的一个元素），表示X i与Y j的最长公共子序列是由X i-1与Y j-1的最长公共子序列在尾部加上x i得到的子序列；iFQ4k。
•当b[i,j]中遇到"↑"时，表示X i与Y j的最长公共子序列和X i-1与Y j的最长公共子序列相同；•当b[i,j]中遇到"←"时，表示X i与Y j的最长公共子序列和X i与Y j-1的最长公共子序列相同。
这种方法是按照反序来找LCS的每一个元素的。
由于每个数组单元的计算耗费Ο(1)时间，算法LCS_LENGTH耗时Ο(mn)。
nsXLv。
3、4.构造最长公共子序列下面的算法LCS(b,X,i,j)实现根据b的内容打印出X i与Y j的最长公共子序列。
通过算法的调用LCS(b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最长公共子序列。
BWA3s。
1.Procedure LCS(b,X,i,j);2.begin3.if i=0 or j=0 then return;4.if b[i,j]="↖" then5. begin6. LCS(b,X,i-1,j-1);7. print(x[i]); {打印x[i]}8. end9.else if b[i,j]="↑" then LCS(b,X,i-1,j)10.else LCS(b,X,i,j-1);11.end;在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。
例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。
由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：vNHc7。
我来说明下此图（参考算法导论）。
在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH计算出的表c和b。