研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
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矩阵论试题(2011 级硕士试题)
一、(10 分)设函数矩阵
sin t cos t At cos t sin t
求： 0 At dt 和( 0 At dt )'。
tຫໍສະໝຸດ Baidu
t2
t sin t dt 解： 0 At dt = 0t cos tdt 0
五、(15 分)求矩阵
2 1 0 1 A 1 2 1 1 2 2 2 1
的满秩分解： 解：
2 1 0 0 1 0 1 A E 1 2 1 1 0 1 0 2 2 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 0 行 0 2 0 3 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
0 1 k1 1 1 2 0 k 2 2 1 3 1 1 1 k 3
解之得： k1 10, k 2 4, k 3 9 所以 在 1 , 2 , 3 下坐标为 10,4,9T 。
1 0 0 P 1 1 0 1 1 1
可求得：
P 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1
1 0 1 0 1 2 B 1 1 ， C 0 2 0 3 2 1
0 c c 六、 设A c 0 c , 且 lim Ak O , 试确定实数c的取值范围。 k c c 0
（14 分）
七、证明:若线性空间 V 中向量组 1 , 2 , , m 线性无关, 且向量组 1 , 2 , , m , 线性 相关，则 可由 1 , 2 , , m 线性表出，且表出是唯一的。(10 分)
g a0 a1
由于 f e t ，且 f 1 g 1 ， f 2 g 2 ，故
e t a0 a1 2t e a0 2a1
于是解得： 从而：
a0 2e t e 2t
2t t a1 e e
2 1 2 3 1 四、已知 A 2 5 1 4 1 ， 1 3 1 2 1
求 A 的满秩分解。 （15 分）
0.2 0.5 0.1 五、设 A 0.1 0.5 0.3 ，证明矩阵幂级数 Ak 绝对收敛, 并求其和? (10 分) k 0 0.2 0.4 0.2
在 1 , 2 , 3 下坐标可得
y1 1 1 1 10 23 2 4 32 y2 1 1 y 0 1 1 9 13 3
解：求 E A 的初等因子组，由于
0 1 1 1 E A 4 3 0 3 1 0 0 2 1 0 0 0 12 1 0 1 0 0 0 2 0 22 1 0 1 3 4 0 1 2 0 2 1 0 0
1 0 1 四、(15 分)求矩阵 A 0 1 1 的奇异值分解。 0 0 0
1 0 1 解： B A A 0 1 1 的特征值是 1 3, 2 1, 3 0 对应的特征向量依次为 1 1 2
T
1 1 1 1 1 ， 2 1 ， 3 1 1 0 2
1 2 6 二、 求矩阵 A 1 0 3 1 1 4
的 Jordan 标准形。 （12 分）
三、 已知 A
3 2 H ，验证 A 是正规矩阵，且求酉矩阵 U ，使 U AU 为对角矩 2 0
阵。 （15 分）
题号 得分 一
姓名
考试方式 闭卷
班级
高等代数与矩阵分析
二 三 四 五
考试时间： 2010 年 1 月 8 日
六 七 八 九 十 总分
一、设 R[ x]4 是所有次数小于 4 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式 （12 分） p( x) 1 2 x3 在基 1, x 1,( x 1)2 ,( x 1)3 下的坐标。
t t2
1 cos t cos t dt = sin t sin tdt
t 0 t 0
sin t 1 cos t
( 0 At dt )'= At 2 2t 2t
sin t 2 cos t
2
2 2 1 2 3
3 3 1 2 2 3
因此 在 1 , 2 , 3 下矩阵表示为
1 1 1 A 1 1 2 0 1 1 k1 (2)设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3
1
0 0 2 三、(20 分)设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 0 3
解：容易算得
I A 12 2
m 1 2
由于 m 是 2 次多项式，且 1 1, 2 2 ，故 g 是 1 次多项式，设
2
1 0 0 1 0 0
2 2 1 0 0
因此，所求的初等因子组为 2, 12 ，于是有
2 0 0 A～J= 0 1 1 0 0 1
七、(10 分)设 V 是数域 F 上的线性空间， V1 ,V2 是 V 的子空间，则 V1 V2 也是 V 的 子空间。 证明：由 0 V1 ,0 V2 ，知 0 V1 V2 ，即说 V1 V2 非空，对于任意 , V1 V2 ，则
cos t 2 sin t 2
二、(15 分)在 R 3 中线性变换 将基
0 1 1 1 1 ， 2 2 ， 3 0 1 1 1
变为基
0 0 1 1 1 ， 2 1 ， 3 3 2 1 0
(3) 在基 1 , 2 , 3 下坐标为
10 1 0 1 10 1 A 4 1 1 1 4 15 9 1 1 0 9 6
, V1且 , V2 。因为 V1 ,V2 是子空间，所以 V1 , V2 ，故 V1 V2 。
对任意 k F ，有 k V1 ，且 k V2 ，因此知 k V1 V2 ，故知 V1 ,V2 为 V 的子空 间。
(1)求 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵表示 A； (2)求向量 1,2,3T 及 在基 1 , 2 , 3 下的坐标； (3)求向量 1,2,3T 及 在基 1 , 2 , 3 下的坐标。
解：(1)不难求得：
1 1 1 2
于是有
1 0 1 0 1 2 A 1 1 BC 2 1 0 2 0 3
A C H CC H
B B
1 H
1
BH
或
A C H B H AC H
1
BH
1 1 0 六、(10 分)求矩阵 A 4 3 0 的 Jordan 标准形。 1 0 2
f A e At g A a 0 E a1 A 2e t e 2t E e 2t e t A 2e t e 2t 0 e 2t e t 0 et 0 2e t 2e 2t 0 2e 2t e t
八、设 S 和 T 都是半正定实对称方阵，证明：det（S＋T）≥det S 。 （12 分）
于是可得
3 0 rankA 2 ， 0 1
V
1 6 1 6 2 6
1 2 1 2 0
1 2 1 2 0
1 3 1 3 1 3
1 2 1 2 0
1
在基 1 , 2 , 3 下坐标为
23 1 0 1 23 10 A 32 1 1 1 32 4 13 1 1 0 13 9
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1
3
由 Hamilton-Cayley 定理知 g A 0 因此 An An2 A2 E
中国石油大学研究生考卷（B 卷）
学号 考试课程名称
计算：
U 1 AV1
1
构造
0 U 2 0 ，则 1
V U 1 U 2
1 2 1 2 0
1 2 1 0 2
0 0 1
则 A 的奇异值分解为：
3 0 0 A U 0 1 0 V T 0 0 0
1 0 0 八、(5 分)设 A 1 0 1 ， 0 1 0
求证 An An2 A2 E
n 3 。
证明：矩阵 A 的特征多项式为 f 2 1 1 令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
一、(10 分)设函数矩阵
sin t cos t At cos t sin t
求： 0 At dt 和( 0 At dt )'。
tຫໍສະໝຸດ Baidu
t2
t sin t dt 解： 0 At dt = 0t cos tdt 0
五、(15 分)求矩阵
2 1 0 1 A 1 2 1 1 2 2 2 1
的满秩分解： 解：
2 1 0 0 1 0 1 A E 1 2 1 1 0 1 0 2 2 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 0 行 0 2 0 3 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1
0 1 k1 1 1 2 0 k 2 2 1 3 1 1 1 k 3
解之得： k1 10, k 2 4, k 3 9 所以 在 1 , 2 , 3 下坐标为 10,4,9T 。
1 0 0 P 1 1 0 1 1 1
可求得：
P 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1
1 0 1 0 1 2 B 1 1 ， C 0 2 0 3 2 1
0 c c 六、 设A c 0 c , 且 lim Ak O , 试确定实数c的取值范围。 k c c 0
（14 分）
七、证明:若线性空间 V 中向量组 1 , 2 , , m 线性无关, 且向量组 1 , 2 , , m , 线性 相关，则 可由 1 , 2 , , m 线性表出，且表出是唯一的。(10 分)
g a0 a1
由于 f e t ，且 f 1 g 1 ， f 2 g 2 ，故
e t a0 a1 2t e a0 2a1
于是解得： 从而：
a0 2e t e 2t
2t t a1 e e
2 1 2 3 1 四、已知 A 2 5 1 4 1 ， 1 3 1 2 1
求 A 的满秩分解。 （15 分）
0.2 0.5 0.1 五、设 A 0.1 0.5 0.3 ，证明矩阵幂级数 Ak 绝对收敛, 并求其和? (10 分) k 0 0.2 0.4 0.2
在 1 , 2 , 3 下坐标可得
y1 1 1 1 10 23 2 4 32 y2 1 1 y 0 1 1 9 13 3
解：求 E A 的初等因子组，由于
0 1 1 1 E A 4 3 0 3 1 0 0 2 1 0 0 0 12 1 0 1 0 0 0 2 0 22 1 0 1 3 4 0 1 2 0 2 1 0 0
1 0 1 四、(15 分)求矩阵 A 0 1 1 的奇异值分解。 0 0 0
1 0 1 解： B A A 0 1 1 的特征值是 1 3, 2 1, 3 0 对应的特征向量依次为 1 1 2
T
1 1 1 1 1 ， 2 1 ， 3 1 1 0 2
1 2 6 二、 求矩阵 A 1 0 3 1 1 4
的 Jordan 标准形。 （12 分）
三、 已知 A
3 2 H ，验证 A 是正规矩阵，且求酉矩阵 U ，使 U AU 为对角矩 2 0
阵。 （15 分）
题号 得分 一
姓名
考试方式 闭卷
班级
高等代数与矩阵分析
二 三 四 五
考试时间： 2010 年 1 月 8 日
六 七 八 九 十 总分
一、设 R[ x]4 是所有次数小于 4 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式 （12 分） p( x) 1 2 x3 在基 1, x 1,( x 1)2 ,( x 1)3 下的坐标。
t t2
1 cos t cos t dt = sin t sin tdt
t 0 t 0
sin t 1 cos t
( 0 At dt )'= At 2 2t 2t
sin t 2 cos t
2
2 2 1 2 3
3 3 1 2 2 3
因此 在 1 , 2 , 3 下矩阵表示为
1 1 1 A 1 1 2 0 1 1 k1 (2)设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3
1
0 0 2 三、(20 分)设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 0 3
解：容易算得
I A 12 2
m 1 2
由于 m 是 2 次多项式，且 1 1, 2 2 ，故 g 是 1 次多项式，设
2
1 0 0 1 0 0
2 2 1 0 0
因此，所求的初等因子组为 2, 12 ，于是有
2 0 0 A～J= 0 1 1 0 0 1
七、(10 分)设 V 是数域 F 上的线性空间， V1 ,V2 是 V 的子空间，则 V1 V2 也是 V 的 子空间。 证明：由 0 V1 ,0 V2 ，知 0 V1 V2 ，即说 V1 V2 非空，对于任意 , V1 V2 ，则
cos t 2 sin t 2
二、(15 分)在 R 3 中线性变换 将基
0 1 1 1 1 ， 2 2 ， 3 0 1 1 1
变为基
0 0 1 1 1 ， 2 1 ， 3 3 2 1 0
(3) 在基 1 , 2 , 3 下坐标为
10 1 0 1 10 1 A 4 1 1 1 4 15 9 1 1 0 9 6
, V1且 , V2 。因为 V1 ,V2 是子空间，所以 V1 , V2 ，故 V1 V2 。
对任意 k F ，有 k V1 ，且 k V2 ，因此知 k V1 V2 ，故知 V1 ,V2 为 V 的子空 间。
(1)求 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵表示 A； (2)求向量 1,2,3T 及 在基 1 , 2 , 3 下的坐标； (3)求向量 1,2,3T 及 在基 1 , 2 , 3 下的坐标。
解：(1)不难求得：
1 1 1 2
于是有
1 0 1 0 1 2 A 1 1 BC 2 1 0 2 0 3
A C H CC H
B B
1 H
1
BH
或
A C H B H AC H
1
BH
1 1 0 六、(10 分)求矩阵 A 4 3 0 的 Jordan 标准形。 1 0 2
f A e At g A a 0 E a1 A 2e t e 2t E e 2t e t A 2e t e 2t 0 e 2t e t 0 et 0 2e t 2e 2t 0 2e 2t e t
八、设 S 和 T 都是半正定实对称方阵，证明：det（S＋T）≥det S 。 （12 分）
于是可得
3 0 rankA 2 ， 0 1
V
1 6 1 6 2 6
1 2 1 2 0
1 2 1 2 0
1 3 1 3 1 3
1 2 1 2 0
1
在基 1 , 2 , 3 下坐标为
23 1 0 1 23 10 A 32 1 1 1 32 4 13 1 1 0 13 9
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1
3
由 Hamilton-Cayley 定理知 g A 0 因此 An An2 A2 E
中国石油大学研究生考卷（B 卷）
学号 考试课程名称
计算：
U 1 AV1
1
构造
0 U 2 0 ，则 1
V U 1 U 2
1 2 1 2 0
1 2 1 0 2
0 0 1
则 A 的奇异值分解为：
3 0 0 A U 0 1 0 V T 0 0 0
1 0 0 八、(5 分)设 A 1 0 1 ， 0 1 0
求证 An An2 A2 E
n 3 。
证明：矩阵 A 的特征多项式为 f 2 1 1 令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1