浅析排列组合中的三类问题
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/ca3022085.html,
浅析排列组合中的三类问题
作者：董新青
来源：《中小企业管理与科技·下旬刊》2015年第08期
摘要：排列、组合问题的背景丰富，情景陌生，题型多彩，变化万千，方法多样，似乎
无特定的模式和规律可循，学生学习起来，大多无从下手，难度很大。本文从万千题型中，归纳总结出三类问题，这三类问题，虽远不能涵盖所有的排列组合问题，但掌握了它，通过“举一反三”，对于学好排列组合问题将大有裨益。
关键词：合并；取法数；模型
1 涂色问题
涂色问题是排列、组合问题中的一类，也是近年来高考的热点，下面就几例高考题浅谈一下这类题型的解法。
例1 将3种农作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种农作物且相邻的试验田不能种植同一农作物，不同的种植方法共有多少种。
解：第一步，根据题目要求，将5块[A＼&B＼&C＼&D＼&E＼&]试验田合并为3块，有如下7种方法：
①（A、C）、（B、D）、E；②（A、C）、（B、E）、D；③（A、D）、（B、E）、C；④（A、D）、（C、E）、B；⑤（A、E）、（B、D）、C；⑥（B、D）、（C、E）、A；⑦（A、C、E）、B、D
第二步，将3种农作物种在如上“3块”试验田里，有种方法。
根据乘法原理，故不同的种植方法种数为：7A=42。
例2 如图，一地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4种颜色供选择，则不同的着色方法共有多少种。
解：本题有二类涂法。
第一类：用3种颜色涂。
第一步，将5个区域合并为3个区域，只有一种方法：（2、4）、（3、5）、1；
第二步，选3种颜色，共有C种方法；
排列组合问题教师版
二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
排列组合专题复习与经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 （1）特殊元素优先安排的策略： （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点 综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法． 2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法． 特别提醒： 分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列. 4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示. 5．排列数公式：）、（+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒： 规定0!=1
浅谈排列组合问题的求解方法
浅谈排列组合问题的求解方法 摘要：排列组合问题是学生学习中的一个难点，它联系实际生动有趣，题型多样，思路灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，因此解题中要注 意方法与技巧，本文共介绍了九种解决排列组合问题的方法。 关键词：排列组合求解方法 排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样，思路灵活，解答排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题； 其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．本文将通过对若干问 题的分析，谈谈解答排列组合问题的一些常见方法。 解决排列组合问题常用的方法有：分类法与分步法；元素分析法与位置分析法； 插空法和捆绑法；机会均等法；转化法；隔板法等。 一、分类法与分步法 问题1：9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？ 【解析】有1人既懂英语又懂日语，按此人分类讨论：（1）若此人担任英 语翻译，选拔方法有C C 种；（2）若此人担任日语翻译，选拔方法有C C 种；（3）若此人不担任翻译，选拔方法有C C 种；根据分类计数原理：选拔方法共有 C C ＋C C ＋C C ＝90种。 问题2：植树节那一天，四位同学植树，现有三棵不同的树，则不同的植法结果有多少种？ 【解析】完成这件事分三步，第一步，植第一棵树，共四种不同的方法； 第二步，植第二棵树，共四种不同的方法；第三步，植第三棵树，共四种不同的 方法。由分步计数原理得不同的植法结果有4×4×4=64种。 二、元素分析法与位置分析法 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素。 问题3：用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？ 【解析】由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：(1）0排末尾时，有P 个，(2）0不排在末尾时，则有P P P 个，由分类计数 原理，共有偶数P + P P P =30个。 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置。 问题4：7人站成一排照相，甲、乙两人只能在两端，有多少种不同的排法？ 【解析】两端是特殊位置，先让甲乙在两端，有P 种，另外5人在中间5个 位置有P 种，故共有P P =240种。 三、插空法和捆绑法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻 的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。 问题5：马路上有9只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足 条件的关灯方法共有多少种？ 【解析】关掉第一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论， 情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法唯一对应着
排列组合问题的20种解法
排列组合问题的20种解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 复习巩固分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在 1 第2类办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同 2 的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做 1 第2步有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也 看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 4 4 3
简单的排列组合 案例分析
《简单的排列组合》案例分析 乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力；
新|课|标|第|一|网 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程 【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体课件、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 1、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门口设置了?，?上有密码。这个密码盒的密码是由数字1、2组成的一个两位数，想不想进去呢？ 师：谁来告诉老师密码，帮老师打开这个密码盒？（生尝试说出组成的数） 生：12、21
数量关系中排列组合问题的七大解题策略
中公教育研究与辅导专家邹继阳 排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。 一、排列和组合的概念 排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。 二、七大解题策略 1.特殊优先法 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（） （A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种 正确答案：【B】 解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。 2．科学分类法 问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。 例：某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有（）种。 A.84 B.98 C.112 D.140 正确答案【D】 解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类： a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种；
几类经典排列组合问题
一、小球放盒子问题（分组问题） （1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。 解析：分步乘法计数原理， 每个小球都有六种放法 答案：66 。 （2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。 解析：思路一：分步乘法计数原理， 第一个小球有6种放法 第二个小球有5种放法 …… 第六个小球有1种放法 即6*5*4*3*2*1； 思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A 6 6。 答案：720。 （3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。 解析：平均分组的问题 因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出2个，为C 2 6； 然后从剩下的4个球中选出2个，为C 2 4； 最后剩下2个球，为C 2 2； 但是：C 2 6取出AB 球、C 2 4取出CD 球、剩EF 球； C 2 6取出AB 球、C 2 4取出EF 球、剩CD 球； C 2 6取出C D 球、C 2 4取出AB 球、剩EF 球； C 2 6取出C D 球、C 2 4取出EF 球、剩AB 球； C 2 6取出EF 球、C 2 4取出AB 球、剩CD 球； C 2 6取出EF 球、C 2 4取出CD 球、剩AB 球； 得到的结果是一样的，故按照C 2 6C 2 4C 2 2组合完成后还应除去A 3 3， 答案：C 2 6C 2 4C 2 2/A 3 3 （4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。 解析：平均分组后再分配的问题 平均分组得到的结果为C 2 6C 2 4C 2 2/A 3 3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒 子里，即再进行一个A 3 3的排列 答案：C 2 6C 2 4C 2 2 （5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。 解析：非平均分组的问题 因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆， 首先从6个球中选出1个，为C 1 6； 然后从剩下的5个球中选出2个，为C 2 5； 最后剩下3个球，为C 3 3； 注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，
浅谈排列组合应用问题中解题思考方法
浅谈排列组合应用问题中解题思考方法 排列组合应用问题是高中数学中一块较为抽象的问题，因而学生对这一块内容始终觉得头疼，并且很难能够找出错误的原因，因而高考得分率较低．笔者根据本人的教学经验，谈一些排列组合应用问题的思考方法． 1.总的原则 ⑴深入弄清问题的情景 要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可A或m n c乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，分析不透就用m n A；反之用m n c．其次，要弄清目标的实现，是分如果有“顺序”的要求，用m n 步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理． ⑵两个方向的解题途径 对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去． ⑶要特别强调一题多解 原因有二．第一，一题多解几乎是解排列组合应用问题最主要的检验方法；第二，一题多解，可以从不同角度对题目进行剖析，是训练这类问题的分析能力的有效手段． 2.对常见问题分类总结 ⑴有相邻要求的排列问题 例１７人站成一排照相，其中王、张、李三个朋友要挨在一起．求有多少种站法？ 分析：解决这个问题，当然有许多方法，可以让其余的人排好，把王、张、李逐次放入，也可以７人全排列后，把王、张、李不全相邻的情况去掉．但最简单的方法是：第一步，把王、张、李看成一个人，去和其他的４人做５人的全排列，第二步，在上面的每种站位里，让王、张、李再做３人全排列．这好像先把有相邻要求的人捆起，以后在放开。我们不妨称之为“捆绑法”． ⑵分配问题 把一些元素分给另一些元素来接受．这是排列组合应用问题中难度较大的一
排列组合问题的解题策略
排列组合问题的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.
四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．3 0 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相
浅析排列组合中的重复计算问题-无锡洛社高级中学
例析排列组合中的重复计算的产生及对策 无锡市洛社高级中学 戎钢 学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。这样对于学生解题能力的提高大有好处。 一、分步引起的重复计算 例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？ 【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有1 5C 种取法；第三步从剩下的七台机 子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ??=种取法。 【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子 ，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。 究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。 【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ?种取法；第二类：两台乙型 机，有1245C C ?种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ?+?=种取法。 二、涉及到平均分组中的重复计算 例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？ 【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他两种颜色的球。先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。分步完成，先选出一种颜色，被取到三次，有12C 种可能，然后这种颜色在前四次中被取到有34C 中情况，共有13 24C C ?种情况；第 二类，类似第一类，共有1224C C ?种情况，由分步原理共有1121332424()60C C C C C ??+?=种不同的取法。 【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
排列组合问题经典题型(含解析)
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
浅谈排列组合中的分组问题
浅谈排列组合中的分组问题 广东石油化工学院高州师范学院309数学（2）班张艳 【摘要】排列组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛应用，一直是高考的热点之一，考题一般都以实际生活为背景，以应用题的形式出现。文章简单阐述了排列组合的基本定义、分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列组合数公式，重点论述介绍了排列组合题的解题方法及其解题思路。 【关键词】排列与组合加法原理乘法原理 排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特 殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步 学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此学好排列与组合至关重要。 排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活， 不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运 用，下面就介绍几类典型排列组合题的解答策略。 一、对“排列组合”的概述 1、基本定义及公式 排列：从n个不同的元素中取出ｍ个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同的元素中取出ｍ个元素的一个排列。 组合：从n个不同的元素中取出ｍ个元素合成一组，叫做从ｎ个不同的元素中取出ｍ个元素的一个组合。 m =n(n-1)……(n-m+1)=n!/(n-m)！ 排列数与组合数公式：A n =n(n-1)……(n-m+1)/1·2……m=n!/m!(n-m)! C m n
2、排列组合题的解题依据及方法 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第一类中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ＋n 种不同的方法。 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法。 ①分类法：问题分成互斥各类，根据加法原理，可用分类法； ②位置法：问题考虑先后次序，根据乘法原理，可用位置法； ③问题反面简单明了，可用排除法. ④转化法：复杂排列用转化法，选取后排，转化为组合问题，利用转化公式P m n =C m n ·p m n ; ⑤粘合法：某些元素必须在一起的紧密排列用“粘合法”,紧密结合的粘成小组，组内外分别排列； ⑥某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法，无需分离的站好实位，在空位上进行排列。 例1.有6本不同的书 ⑴甲乙丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？ ⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？ ⑷分给甲乙丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？ ⑸分成3堆，有两堆各1本，另外一堆4本，有多少种不同的分法？ 解析：对于问题⑴，首先从6本不同的书选出2本来给甲，选出的2本之间无顺序，为C 62,其次，从剩下的4本书中选出2本书来给乙，为C 42，最后剩下的2本给丙，为C 22 ，整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为C 62 C 42 C 22。 对于问题⑵，与问题⑴的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即分成的3组之间，一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题⑵的解决可以在问题⑴解决的基础上对3组进行消序，即C 62 C 42 C 22／A 33
立体几何中的排列组合问题解法举隅(优.选)
1 / 4word. 立体几何中的排列组合问题解法举隅 立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解 例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ） A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对 解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧 棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1 6C 种; 第二步, 从底面6 条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B. 二．分类求解 例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种 解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033 5 C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B. 例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.
排列组合基础知识及习题分析
排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！ C53＝（5×4×3）/（3×2×1） C62＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出 n C m n公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作 为分母 p53＝5×4×3 p66＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 p m n＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法。. ***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习
排列组合问题的基本类型及解题方法
排列组合问题的基本类型及解题方法 解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合 (无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两 个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个 条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步 解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决 排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结 合，可以是类中有步，也可以是步中有类。 以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类， 用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题 多解，检验真伪。 （一）特殊元素的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。 在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有2 4A 种，0在十位有1123A A 种； 第二类，不含0，有1 223A A 种。 故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有2 4A 种；第二类，0不在个位，先从两 个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有1 11233A A A 种。 故共有2 1114233A +A A A =30 （二）总体淘汰法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既 不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列 为3 5A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法 要除去，故有30个偶数． （三）合理分类与准确分步 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续 过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏． 例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论： （1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有4 4A 种方法； （2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有1 13333A A A 种站法； 再根据分类计数原理，不同的站法共有：2113 4333A A A A 78+=种． （四）相邻问题：捆绑法 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有6363A A 种。 （五）不相邻问题用“插空法”
[超全]排列组合二十种经典解法!
[超全]排列组合二十种经典解法!
超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同1 的方法，…，在第n类办法中有 m种不同的方 n 法，那么完成这件事共有： 第 2 页共 22 页
种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方1 法，…，做第n步有 m种不同的方法，那么完 n 成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 第 3 页共 22 页
排列与组合典型问题及方法(含答案)
排列与组合——四类典型问题 一、摸球问题 1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球 （1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90 （2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95 （3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？25 2、从0，1，2，…，9这十个数字中任取五个不同数字 （1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100 （2）至多有两个奇数的取法有多少种？126 （3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70 二、排队问题 1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐 （1）共有多少种不同就坐方法？210 （2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30 （3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？60 2、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只 （1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920 （2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641 （3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600 （4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？6655 3、由0,1,2,3,4,5, （1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52 （2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90 （3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60 三、分房问题（n个人生日问题、投信问题） 1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？810 2、从4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时得几个称号，则不同的评选方案共有多少种？43 四、分组问题 1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务 （1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？ C C C （2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？225 975