高二上数学知识点总结

第二章 解析几何

直线的方程 基本知识：

1．直线方程与方程的直线（略）

2．直线的倾角：直线与x 轴正向所成的最小正角。 3．直线倾角α与斜率k ：

① 关系： 1

212tan x x y y k --=

=α (α≠900

) ② 表示： 当0≥k 时，;arctan k =α

当0

∈α；R k ∈

④对比：

4．直线方程的形式：

① 点斜式：)

(11x x k y y -=-；②斜截式：b kx y +=；

③ 两点式：121121x x x x y y y y --=--； ④截距式：1=+b

y a x ；

⑤ 一般式：

0=++C By Ax （B A 、不同时为0）

⑥ 特殊的直线方程：

垂直于x 轴且横截距为a 的直线方程是a x =，y 轴的方程是0=x

垂直于y 轴且横截距为b 的直线方程是b y =，x 轴的方程是0=y

5．特殊形式和一般形式之间的关系：

① 点斜式是四种特殊形式中最基本、最特殊的。

② 在一定条件下，特殊形式和一般形式之间可以互化。

6．直线方程的一般求法：

① 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出。 ② 待定系数法：设方程、求系数、定答案。

两直线的位置关系 基本知识：

1． 点与直线的位置：

点到直线的距离：①点）（00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

②两平行直线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 间的距离：2

2

21B

A C C d +-=

2．两直线的平行与垂直：

直线位置关系：设直线1l 和2l 分别有斜截式方程(此时，斜率存在)：111:b x k y l +=，

222:b x k y l +=.

①两线平行：1l ∥2

l ?=1k 2k 且21b b ≠； ②两线垂直：12121-=?⊥k k l l ；

3．两直线所成的角： ①1

2121tan k k k k +-=

θ)180,0((00∈θ；②

121

21tan k k k k +-=α ])90,0((0

0∈α

4．两直线的交点： 设直线0:,0:22221111=++=++C B x A l C y B x A l ，则

（1）???=++=++0

222111C y B x A C y B x A 无 解1l ?∥2l 212121C C B B A A ≠=?

.

（2）???=++=++0

222111C y B x A C y B x A 有唯一解相交与21l l ?2121B B A A ≠?

.

（3）

??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 有无穷解?

?重合与21l l 2

1

2121C C B B A A =

=.或212

1

21,C C B B A A ==且

5．巧设直线方程：

①过两点),(),,(2211y x y x 的任意直线：))(())((112121x x y y x x y y --=--； ②过点),(00y x P 的直线：)0(0)()(00≠?=-+-B A y y B x x A 或)(00x x k y y -=-； ③与直线0=++C By Ax 平行的直线：)(0C m m By Ax ≠=++或;m x B

A

y +-=（C m B ≠≠,0）

④与直线0=++C By Ax 垂直的直线：0=+-m Ay Bx 或m x A

B

y +=

（0≠A ） ⑤过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的直线：(111λ+++C y B x A 0)222=++C y B x A （不表后直线）；

简单的线性规划 基本知识：

1．平面区域的判断 设直线:l 0=++C By Ax

①若A>0,则0>++C By Ax 表示l 右半平面区域； 则0<++C By Ax 表示l 左半平面区域. （同正右方，否则左方）

②若B>0,则0>++C By Ax 表示l 上半平面区域； 则0<++C By Ax 表示l 下半平面区域. （同正上方，否则下方）

2．线性规划

①线性约束条件:对于变量x,y 的约束条件，都是关于x,y 的一次不等式； ②目标函数：欲达到最值所涉及的变量x,y 的解析式Z=f (x,y)称… ③线性目标函数：当解析式Z=f (x,y)是x,y 的一次式时… ④线性规划：求线性目标函数在约束条件的最值问题…

⑤可行解：满足约束条件的解(x,y)… ⑥可行域：由所有可行解构成的集合… ⑦最优解：使目标函数取得最值的解… ⑧整点的求法：

⑨目标函数的斜率为正、为负时的区别：

曲线与方程 基本知识：

1．曲线的方程，方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C （看着适合某条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下的关系：

（1） 曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解；（纯粹性） （2） 方程0),(=y x f 的解为坐标的点都是曲线上的点，（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）

2．若曲线C 的方程是0),(=y x f ，则点),(000y x P 在曲线C 上?),(00y x f =0.

3．求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M （y x ,）.

（2）写出适合条件

p 的点M 的集合};)({M p M P =（可据情省略）

（3）用坐标表示条件

)(M p ，列出方程0),(=y x f ；

（4）化方程

0),(=y x f 为最简形式

（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（可省略）

圆的方程 基本知识：

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点就是

圆心（确定圆的位置），定长就是半径（确定圆的大小）

2．圆的方程：

① 圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心在C （b a ,），半径为r

② 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，

A ．化为标准方程 4

4)2()2(2222F

E D E y D x -+=+++

B ．圆心坐标为（2,2E D --

），半径F E D r 42

122-+=.0> C ．方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆????

??>-+≠==0400

22AF E D C A B

③ 圆的参数方程

A ．圆222r y x =+)0(>r 的参数方程为)(sin cos 是参数θθθ

?

??==r y r x

B ．圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的参数方程为)(sin cos 是参数θθθ

?

??+=+=r b y r a x

2．点、直线、圆的位置关系： ① 点在圆内、上、外； ② 直线与圆相离、切、交；

③ 圆与圆相离（内离和外离）、切（内切和外切）、交； 3．巧设与圆有关的方程：

若直线:l 0=++C By Ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x

圆1C ：011122=++++F y E x D y x ，圆2C ：022222=++++F y E x D y x （圆C 、1C 、2C 均存在）

① 过直线l 和圆C 交点的圆系方程为：(22λ+++++F Ey Dx y x 0)=++C By Ax ② 过圆1C 和圆2C 交点的圆系方程为：

(11122λ+++++F y E x D y x 0)22222=++++F y E x D y x （不含2C ）

过圆1C 和圆2C 交点的直线（公共弦）方程为：

0)()()(212121=-+-+-F F x E E x D D

第三章 圆锥曲线

椭 圆

基本知识： 椭圆的一般式： ),0,0(12

2

n m n m ny mx ≠>>=+

定义

1．平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于∣F 1F 2∣）的动点的轨迹叫椭圆.

2．平面内与一定点的距离和一定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是椭圆。（下设),(00y x M 是椭圆上任一点）

图 形

相 同 点

1． 长＝2a ，短轴长＝2b ，关系222

c b a +=,0,0>>>>c a b a ；

2．离心率 2

cos

2cos 1)e (0βαβα-+=<<=

a c e ；3． 椭圆面积a

b S π=；

4. 通径端点坐标),(2

a b c ±±，通径长=a

b

2

2=)(2ec a -；两准线间的距离c

a 2

2=

；

5．弦长21221221

111y y k

x x k a

k AB -?+

=

-?+=??

+=； 6．),(00y x P 在椭圆内?;122

02

2

<+b y a x ),(00y x P 在椭圆外?;122

022

0>+b

y

a x 7．若过焦点1F 的弦两端点为A 、B ，则a C ABF 42=?； 8．c a MF c a MF -=+=min max ,；

9．在焦点21MF F ?中，2

tan

22

1

θ

b S MF

F =?；

2

tan 2tan β

α?=+-c a c a 。

10．焦半径为直径的圆与长轴为直径的圆相内切，焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 11．椭圆上不同三点

),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 对同一焦点的三条焦半径成等差数列

?3122x x x +=或3122y y y +=

12．若焦点弦P 、Q 两端点在相应准线上的射影为'P 、'Q ，则''FQ P ∠是锐角。

不同点

方程1

)

(

)

(

;1

2

2

2

2

2

2

2

2

=

-

+

-

=

+

b

n

y

a

m

x

b

y

a

x

1

)

(

)

(

;1

2

2

2

2

2

2

2

2

=

-

+

-

=

+

b

m

x

a

n

y

b

x

a

y

焦点左：F1（－c，0）右：F2（c，0）下：F1（0，－c）上：F2（0，c）

顶点左：(-a,0)，右(a,0)，上：(0,b)，下(0,-b) 左：(-b,0)，右：(b,0)，上：(0,a)，下：(0,-a)

准线左：

c

a

x

2

-

=，右:

c

a

x

2

=下：

c

a

y

2

-

=，上：

c

a

y

2

=

焦半径

1

ex

a

MF+

=,

2

ex

a

MF-

=

1

ey

a

MF+

=,

2

ey

a

MF-

=

参数方程

?

?

?

+

=

+

=

θ

θ

sin

cos

b

n

y

a

m

x

（θ是参数）

?

?

?

+

=

+

=

θ

θ

sin

cos

a

n

y

b

m

x

（θ是参数）

双曲线

基本知识：双曲线（一般式：)0

(1

2

2<

=

+mn

ny

mx）

定义 1.平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于∣F1F2∣）的动点的轨迹叫双曲线.

2.平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹是双曲线。

图形

相同点1．实轴长＝2a，虚轴长＝2b，关系2

2

2b

a

c+

=，0

,0>

>

>

>b

c

a

c；2．离心率1)

(e>

=

a

c

e；

3．弦长公式、通径端点坐标、通径长公式、两准线间距离公式同椭圆；4.焦点弦为直径的圆与相应准线相交。

5．过焦点

1

F的弦两端点为A、B，若,m

AB=则m

a

C

ABF

2

4

2

+

=

?

；

6．在焦点

2

1

MF

F

?中，

2

cot

2

2

1

θ

b

S

MF

F

=

?

；

2

cot

2

tan

β

α

?

=

+

-

c

a

c

a

；

不同点方程1

)

(

)

(

;1

2

2

2

2

2

2

2

2

=

-

-

-

=

-

b

n

y

a

m

x

b

y

a

x

1

)

(

)

(

;1

2

2

2

2

2

2

2

2

=

-

-

-

=

-

b

n

x

a

m

y

b

x

a

y

焦点左：F1（－c，0）右：F2（c，0）下：F1（0，－c）上：F2（0，c）顶点左：(a

-,0) ，右：（0,a）下：(0, a

-)，上：（0，a）

准线左：

c

a

x

2

-

=，右：

c

a

x

2

=下：

c

a

y

2

-

=，上：

c

a

y

2

=

焦半径

1

ex

a

MF+

=,

2

ex

a

MF-

=

1

ey

a

MF+

=,

2

ey

a

MF-

=

渐 进 线

x a

b y ±

=

求法：①代入公式x a

b y ±=求得

②令02

222

=-b y a x ，得0=±b y a x

x b

a y ±

= 求法：①代入公式x b

a y ±=求得

②令02

2

22=-b x a y ，得0=±b

x a y

巧 设

1．同渐进线x a b y ±=的双曲线方程设为：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或λ=-2222b y a x

2．同渐进线x b a y ±=的双曲线方程设为：)0(1)

()(2222>±=-k kb x ka y 或λ=-2222b x a y 3．同渐进线

kx y =的双曲线方程设为：

)0(122

2≠=-λλk

y x 4．等轴双曲线方程设为：)0(22

≠=-λλy x

5．与椭圆)0(12

2

22>>=+b a b

y a x 有公共焦点的圆锥曲线设为：

12

2

2=++λλ

y c x

抛物线

基本知识：

（一）定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的动点（即比值为离心率1=e ）的轨迹叫做抛物线 （二）相同点：

1.①p 越大的开口越大；②没有渐进线；

③开口向右时，通径坐标),2

(p p

±，通径长=p 2；

④弦长公式同椭圆；⑤直线和抛物线只有一个交点时，不一定相切；

2.过焦点的直线AB 与抛物线相交，且与x 轴、y 轴均不平行时，设直线AB 的斜率为k ，

由??

???-==)

2(22p x k y px y 消去y 得04

)2(2

22

2

2

=++-p k x p p k x k ， 消去x 得0222=--

p y k

p

y ，有 ①4

2

21p x x =?（定值）； 2

22

12k p

p k x x +=

+；②2

21p y y -=?（定值）； k

p y y 22

1=

+；

③焦点弦长=p

x x ++21α

2sin 2p

=

（若直线AB 的倾角为α），090=α时为

通径；④焦点弦为直径的圆与准线相切

⑤抛物线的焦点弦中通径最短； ⑥若焦点弦被焦点分成n m ,两部分，则

p

n m 211=+（定值）；

⑦焦点弦为直径的圆与准线相切；焦半径为直径的圆与y 轴相切； ⑧F B F A ''⊥；

⑨若M 为''B A 中点，则AB MF ⊥

⑩梯形B B AA ''中，两对角线'AB 与'BA 交于抛物线顶点。 3．巧设：顶点在原点，焦点在x 轴上时可设为)0(2≠=a ax y ；

顶点在原点，焦点在y 轴上时可设为)0(2≠=a ay x

（三）不同点：

标准方程 ()022>=p px y )0(22>-=p px y

)0(22>-=p py x )0(22>=p py x

图形

焦点 ??

?

??0,2p ??

?

??-0,2p ?

?? ??2,0p ?

?? ?

?

-2,0p

准线 2

p

x -

=

2

p

x =

2

p y -

=

2

p y =

焦半径长 02x p

PF +=

02

x p

PF -=

02

y p

PF +=

02

y p

PF -=

焦点弦长 21x x p d ++=

)(21x x p d +-=

21y y p d ++=

)(21y y p d +-=

参数方程 顶点（n m ,）

??

?+=+=pt

n y pt m x 222

??

?+=-=pt

n y pt m x 222

???+=+=2

22pt

n y pt

m x ???-=+=2

22pt

n y pt

m x