第1讲 函数的图象与性质(解析版)
第1讲函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
热点一函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.
常见结论：
(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝
1
f (x )
，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b
2
对称．
例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f (x )＝cos ???
?π
2－πx ＋(x ＋e )2x 2
＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2018的值为( ) A ．1B ．2C ．22018D ．32018 答案 A
解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ???
?π
2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2
＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2
＋1， 令g (x )＝sin πx ＋2e x
x 2＋e 2
，易知g (x )为奇函数，
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2018＝1，故选A.
(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2017)＋f (2018)＝________. 答案 1－e
解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1) 跟踪演练1 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝ ? ???? －x 2＋1，0≤x <1，2－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．－1 2 C ．－13 D.13 答案 C 解析 函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，函数为减函数，当x <0时，函数为增函数．若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，所以2(1＋m )x ≤(1＋m )(1－m )．当m ＋1>0时，x ≤1－m 2，所以m ＋1≤1－m 2，解得m ≤－1 3， 所以－1 3；当m ＋1＝0时，不等式成立；当m ＋1<0时，x ≥1－m 2，所以m ≥1－m 2， m ≥13，与m <－1矛盾，此时无解．故－1≤m ≤－13，m 的最大值为－1 3 . (2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故选C. 热点二函数图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e － x x 2 的图象大致为( ) 答案 B 解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1 e >0，排除D. 又e>2，∴1e <12，∴e －1e >3 2，排除C. 故选B. (2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f (x )＝e x ＋a e － x 与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可 能是( ) 答案 C 解析 因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a 2>0，所以a <0， 因为f ′(x )＝e x －a e －x ，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C. 思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 跟踪演练2 (1)(2018·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝sin ? ?? ??ln x －1x ＋1的图象大致为( ) 答案 B 解析 由于x ≠0，故排除A. f (－x )＝sin ? ?? ?? ln －x －1－x ＋1＝－f (x )， 又函数f (x )的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C. f (2)＝sin ????ln 1 3＝－sin(ln 3)<0， 排除D ，故选B. (2)(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝|x |＋a x (a ∈R )的图象不可能是( ) 答案 C 解析 对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x ≥2 a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x <0且a >0时，f (x )＝－x ＋a x 在(－∞，0)上为减 函数，故可能；对于D ，当x <0且a <0时，f (x )＝－x ＋a x ≥2 －x ·a x ＝2 －a ，当且仅当x ＝－ －a 时等号成立，当x >0且a <0时，f (x )＝x ＋a x 在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C. 热点三 基本初等函数的图象和性质 1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1 2，－1五种情况． 例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 答案 D 解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg2，同理，y ＝lg t lg3，z ＝lg t lg5 . ∴2x －3y ＝2lg t lg2－3lg t lg3＝lg t (2lg3－3lg2) lg2×lg3 ＝lg t (lg9－lg8) lg2×lg3>0， ∴2x >3y . 又∵2x －5z ＝2lg t lg2－5lg t lg5＝lg t (2lg5－5lg2) lg2×lg5 ＝lg t (lg25－lg32) lg2×lg5<0， ∴2x <5z ， ∴3y <2x <5z .故选D. (2)已知函数f (x )＝? ???? a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2<0成立，则a 的 取值范围是( ) A.????0，1 4 B ．(1,2] C ．(1,3) D.???? 12，1 答案 A 解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )是减函数， 即???? ? 0 得a ∈??? ?0，1 4，故选A. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 跟踪演练3 (1)(2018·天津)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 12 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D 解析 c ＝1 2 1 log 3 ＝log 23>log 2e ＝a ，即c >a . 又b ＝ln2＝1 log 2e <1 故选D. (2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝? ???? a ，a － b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋ 1Δ(1－x )，若函数f (x ) 与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3] 答案 C 解析 由题意得f (x )＝????? －x ＋1，x >0， 3x ＋1，x ≤0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数 f (x )与 g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则? ???? m ≥0， m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选 C. 真题体验 1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为________．(填序号 ) 答案 ④ 解析 方法一 f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为? ???－∞，－ 22∪??? ?0，2 2，此时f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为? ???－ 22，0∪??? ?22，＋∞，此时f (x )单调递减． 方法二 当x ＝1时，y ＝2，所以排除①②.当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋1 4＋2 ＝2 3 16>2， 所以排除③. 2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 b 解析 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1) ＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为f (x )在R 上是增函数，可设0 从而x 1f (x 1) 3．(2017·山东改编)设f (x )＝??? x ，0 若f (a )＝f (a ＋1)，则f ????1a ＝________. 答案 6 解析 若0 ∴a ＝1 4 ，∴f ????1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解． 综上，f ???? 1a ＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12 解析 方法一 令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2. ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测 1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( ) 押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D 解析 方法一 分a >1,0 当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ； 当01，而此时幂函数g (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错． 2．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且?x ∈R ，满足f ????x －32＝f ????x ＋1 2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1| 押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性． 答案 D 解析 由f ????x －32＝f ??? ?x ＋1 2， 可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时， x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3； 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]， f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D. 3．已知函数f (x )＝1 ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( ) 押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B 解析 方法一 由题意得????? x ＋1>0， x ≠0， ∴f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1 x ＋1－1＝－x x ＋1， 当－1 ∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 取特殊值，用排除法求解， f (2)＝1 ln3－2<0，排除A. f ??? ?－12＝1ln 12＋12＝1 ln e 2 <0， 排除C ，D ，故选B. 4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝????? －x 2 4，0 4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实 数t 的取值范围为________． 押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2) 解析 因为当x >0时，h (x )＝????? －x 2 4，0 4－2x ，x >4. 所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2， 所以????? t ≠0，|t |<2，即????? t ≠0， －2 解得－2 综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)． A 组 专题通关 1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝12 log x D ．y ＝x ＋1 x 答案 B 解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12 log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C. 又函数y ＝x ＋1 x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B. 2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝a －2x a ＋2x 是奇函数，则f (a )的值等于( ) A ．－13 B ．3 C ．－1 3或3 D.13 或3 答案 C 解析 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2x a ＋2x 在定义域内恒成立， 整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2x a ＋2x ， 即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1， 当a ＝1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－1 3， 当a ＝－1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝－1－2x －1＋2x ，f ()a ＝f () －1＝－1－2－1 －1＋2 －1＝3. 综上可得f ()a 的值为－1 3或3. 3．(2018·安庆模拟)函数f (x )＝ x ＋1 ||x ＋1log a ||x (0 ) 答案 C 解析 f (x )＝ x ＋1 || x ＋1log a ||x ＝???? ? －log a (－x )，x <－1，log a ()－x ，－1 x ，x >0. 故选C. 4．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝1－2x 1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下 列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2 答案 C 解析 由题意得f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x 2x ＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x ＋1)－21＋2x ＝－1＋2 1＋2x ， 故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C. 5．(2018·天津市十二重点中学联考)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15 (log 3)f ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a B ．c C ．b D ．c 答案 C 解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝15 (log 3)f ＝f () －log 53＝f ()log 53， ∵1 2 ＝log 55 55<12