九年级数学证明圆的切线专题之欧阳光明创编

证明

圆的切线专题

欧阳光明（2021.03.07）

证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：

2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2.

1. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒

∠=，点D 是AC 的中点，且

90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点

E ．

（1）求证：直线BD 与O 相切；

（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径．

2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。

（1）（4分）求证：O 相切

（2）（4分）当，∠CAD=30º时，求AD 的长。

3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线；

(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。

5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，

以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）

求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC ． （

1

）

求

证

：

CD

是

⊙

O

的

切

线

；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．

7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂

AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．

（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若25

24sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE=EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E EG ⊥BC 于G ，延长GE

交AD 于H ．

（1）求证：AH=HD ；

（2）若cos ∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O 的半径

9.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AB 是⊙O 的直

O

P

第22题图①

C

B

A

第22题图②

O

P

C

B

A

径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．

10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；

（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

11.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）求证：△ACM∽△DCN；

（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41

，求

BN 的长．

12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ． （1）求证：PB 与⊙O 相切；

（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=12，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值．