九年级数学：圆的切线的证明——拔高题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明一、综合题1．如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．2．如图，在⊙ O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙ O于点E，⊙BCD=⊙DBE.（1）求证：BD是⊙ O的切线.（2）过点E作EF⊙AB于F，交BC于G，已知DE= 2√10，EG=3，求BG的长.3．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= 34x+4，与x轴相交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．4．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）连接AE 并延长与BC 的延长线交于点G （如图②所示）．若AB= 4√5 ，CD=9，求线段BC 和EG 的长．5．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形．以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线； （2）AD=AQ ； （3）BC 2=CF•EG ．6．如图，D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点D 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点B 作BC⊙DE 交AD 的延长线于点C ，垂足为点F.（1）求证：AB=CB ；（2）若AB=18，sinA=13，求EF 的长.7．如图，已知⊙C 过菱形ABCD 的三个顶点B ，A ，D ，连结BD ，过点A 作AE⊙BD 交射线CB 于点E.（1）求证：AE是⊙C的切线.⌢围成的部分的面积.（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和AB（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使⊙DAF＝15°，求点F到直线AD的距离. 8．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接AE、DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2.若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值；（3）在（2）的条件下，若AE＝3 √2，求⊙O的半径长.9．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于点F.（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，求证：4FG2=FC⋅FB；（3）当BC=6，EF=4时，求AG的长.10．如图，⊙ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG⊙CD交BP于点G．（1）求证：直线GA是⊙O的切线．（2）求证：AG•AD＝GD•AB．（3）若tan⊙AGB＝√2，PG＝6，求sinP的值．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED.（1）求证：AC是⊙O的切线；⌢中点，AE与BC交于点F，（2）若点E是的BD①求证：CA=CF；②若⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长.12．在RtΔABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径作⊙O，交AB于点D，E为AC 的中点，连接OD、DE.（1）求证：DE为⊙O切线.（2）若BC=4，填空：①当DE=时，四边形DOCE为正方形；②当DE=时，ΔBOD为等边三角形.⌢的长为π，点P是BC上一动13．如图，A为⊙O外一点，AO⊙BC，直径BC＝12，AO＝10，BD点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线；（2）求AM 的最大长度．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC.（1）求证：⊙ADB⊙⊙BCA ；（2）若OD⊙AC ，AB ＝4，求弦AC 的长；（3）在（2）的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC.求证：PC 是⊙O 的切线.15．如图，在⊙ABC 中，⊙C ＝90°，⊙ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是⊙BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）过点E 作EH⊙AB ，垂足为H ，求证：CD ＝HF ； （3）若CD ＝1，EH ＝3，求BF 及AF 长．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC // OP 交⊙O 于点C ，点E 是 AB⌢ 的中点.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=6，求CE的长.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连接AD、OC，OC交AD于F．∵= ，∴OC⊙AD，∴AF=FD，∵OA=OB，∴OF⊙BD，即OC⊙BE，∵EC⊙EB，∴EC⊙OC，∴EC是⊙O的切线．（2）解：连接AC，作OH⊙AC于H．∵AB是直径，∴⊙ACB=90°，∴AC= = =6，∵OH⊙AC，∴AH=CH=3，OH= =4，∵S⊙AOC= •AC•OH= •CO•AF，∴AF= = ，∴DF=AF= ，∵⊙E=⊙ECF=⊙CFD=90°，∴四边形ECFD是矩形，∴EC=DF= ．2．【答案】（1）证明：如图，连接AE，则⊙BAE=⊙BCE，∵AB是直径，∴⊙AEB=90°，∴⊙BAE+⊙ABE=90°，∴⊙ABE+⊙BCE=90°，∵⊙BCE=⊙DBE，∴⊙ABE+⊙DBE=90°，即⊙ABD=90°，∴BD是⊙O的切线.（2）解：如图，延长EF交⊙O于H，∵EF⊙AB，AB是直径，∴BE⌢=BH⌢，∴⊙ECB=⊙BEH，∵⊙EBC=⊙GBE，∴⊙EBC⊙⊙GBE，∴BEBG=BCBE，∵BC=BD，∴⊙D=⊙BCE，∵⊙BCE=⊙DBE，∴⊙D=⊙DBE，∴BE=DE= 2√10，∵⊙AFE=⊙ABD=90°，∴BD⊙EF，∴⊙D=⊙CEF，∴⊙BCE=⊙CEF，∴CG=GE=3，∴BC=BG+CG=BG+3，∴2√10BG=BG+32√10，∴BG=-8（舍）或BG=5，即BG的长为5.3．【答案】（1）解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt⊙AOE中，由勾股定理得：OA= √AE2−OE2= √52−32=4，∵OC⊙AB，∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），∵抛物线的顶点为C，∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，将点B的坐标代入得：64a=﹣4，a=﹣116，∴y=﹣116（x﹣8）2，∴抛物线的解析式为：y=﹣116x2+x﹣4；（2）解：直线l与⊙E相切；理由是：在直线l的解析式y= 34x+4中，当y=0时，即34x+4=0，x=﹣163，∴D（﹣163，0），当x=0时，y=4，∴点A在直线l上，在Rt⊙AOE和Rt⊙DOA中，∵OEOA=34，OAOD=34，∴OEOA=OAOD，∵⊙AOE=⊙DOA=90°，∴⊙AOE⊙⊙DOA，∴⊙AEO=⊙DAO，∵⊙AEO+⊙EAO=90°，∴⊙DAO+⊙EAO=90°，即⊙DAE=90°，∴直线l与⊙E相切；（3）解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊙x轴，交直线l于点M，设M（m，34m+4），P（m，﹣116m2+m﹣4），则PM= 34m+4﹣（﹣116m2+m﹣4）= 116m2﹣14m+8=116(m−2)2+ 314，当m=2时，PM取最小值是31 4，此时，P（2，﹣9 4），对于⊙PQM，∵PM⊙x轴，∴⊙QMP=⊙DAO=⊙AEO，又⊙PQM=90°，∴⊙PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动过程中，⊙PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，PQ最小=PM最小•sin⊙QMP=PM最小•sin⊙AEO= 314×45= 315，∴当抛物线上的动点P（2，﹣94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315．4．【答案】（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB=CE，OB=OE，OC=OC∴⊙OEC⊙⊙OBC（SSS）∴⊙OBC=⊙OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴⊙OEC=90°∴⊙OBC=90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：解：如图2，过点D作DF⊙BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA=DE，CE=CB，在Rt⊙DFC中，CF= √92−(4√5)2=1，设AD=DE=BF=x，则x+x+1=9，x=4，∵AD⊙BG，∴⊙DAE=⊙EGC，∵DA=DE，∴⊙DAE=⊙AED；∵⊙AED=⊙CEG，∴⊙EGC=⊙CEG，∴CG=CE=CB=5，∴BG=10，在Rt⊙ABG中，AG= √AB2+BG2=6 √5，∵AD⊙CG，∴⊙CEG⊙⊙DEA,∴ADCG=AEEG=45，∴EG= 59×6 √5= 10√53．5．【答案】（1）证明：连接BD，∵四边形BCDE是正方形，∴⊙DBA=45°，⊙DCB=90°，即DC⊙AB，∵C为AB的中点，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴⊙DAB=⊙DBA=45°，∴⊙ADB=90°，即BD⊙AD，∵BD为半径，∴AD是⊙B的切线（2）证明：∵BD=BG，∴⊙BDG=⊙G，∵CD⊙BE，∴⊙CDG=⊙G，∴⊙G=⊙CDG=⊙BDG= 12⊙BCD=22.5°，∴⊙ADQ=90°﹣⊙BDG=67.5°，⊙AQB=⊙BQG=90°﹣⊙G=67.5°，∴⊙ADQ=⊙AQD，∴AD=AQ（3）证明：连接DF，在⊙BDF中，BD=BF，∴⊙BFD=⊙BDF，又∵⊙DBF=45°，∴⊙BFD=⊙BDF=67.5°，∵⊙GDB=22.5°，在Rt⊙DEF与Rt⊙GCD中，∵⊙GDE=⊙GDB+⊙BDE=67.5°=⊙DFE ，⊙DCF=⊙E=90°， ∴Rt⊙DCF⊙Rt⊙GED ， ∴CF ED =CD EG ， 又∵CD=DE=BC ， ∴BC 2=CF•EG ．6．【答案】（1）证明：连接OD ，如图1，∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊙DE. ∵BC⊙DE ， ∴OD⊙BC. ∴⊙ODA=⊙C. ∵OA=OD ， ∴⊙ODA=⊙A. ∴⊙A=⊙C. ∴AB=BC ；（2）解：连接BD ，则⊙ADB=90°，如图2，在Rt⊙ABD 中， ∵sinA=BD AB =13，AB=18，∴BD=6.∵OB=OD ， ∴⊙ODB=⊙OBD.∵⊙OBD+⊙A=⊙FDB+⊙ODB=90°， ∴⊙A=⊙FDB. ∴sin⊙A=sin⊙FDB. 在Rt⊙BDF 中， ∵sin⊙BDF=BF BD =13，∴BF=2.由（1）知：OD⊙BF ， ∴⊙EBF⊙⊙EOD. ∴BE OE =BF OD.即：BE BE+9=29. 解得：BE=187. ∴EF=√BE 2−BF 2=8√27.7．【答案】（1）证明：如图1中，连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊙BD ， 又∵BD⊙AE ， ∴AC⊙AE ， ∴AE 是⊙O 的切线.（2）解：如图1中，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ， 又∵AC ＝BC ，∴⊙ABC 是等边三角形，∴⊙ACB＝60°，∵AC＝2，∴AE＝AC•tan60°＝2 √3，∴S阴＝S⊙AEC﹣S扇形ACB＝12×2×2 √3﹣60⋅π⋅22360＝2 √3﹣23π.（3）解：①如图2中，当点F在AD⌢上时，∵⊙DAF＝15°，∴⊙DCF＝30°，∵⊙ACD＝60°，∴⊙ACF＝⊙FCD，∴点F是弧AD的中点，∴CF⊙AD，∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣√3.②如图3中，当点F在优弧BD⌢上时，∵⊙DAF＝15°，∴⊙DCF＝30°，过点C作CG⊙AD于D，过点F作FH⊙CG于H，可得⊙AFH＝15°，⊙HFC＝30°，∴CH＝1，∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝√3﹣1.综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣√3或√3﹣1. 8．【答案】（1）证明：连接OD，∴OD＝OB∴⊙ODB＝⊙OBD.∵AB是直径，∴⊙ADB＝90°，∴⊙CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴⊙EDB＝⊙EBD，∴⊙ODB+⊙EDB＝⊙OBD+⊙EBD，即⊙EDO＝⊙EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊙BC，∴⊙EBO＝90°，∴⊙ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：∵S2＝5 S1∴S⊙ADB＝2S⊙CDB∴AD DC=21∵⊙BDC⊙⊙ADB∴⋅ADDB=DBDC∴DB2＝AD•DC∴DB AD =√22∴tan⊙BAC ＝＝ √22（3）解：∵tan⊙BAC ＝ DB AD =√22∴BC AB =√22 ，得BC ＝ √22AB ∵E 为BC 的中点∴BE ＝ √24AB∵AE ＝3 √2 ，∴在Rt⊙AEB 中，由勾股定理得 (3√2)2=(√24AB)2+AB 2 ，解得AB ＝4 故⊙O 的半径R ＝ 12AB ＝2.9．【答案】（1）证明：连接 EC ， OE ，∵BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BEC =90° ， ∴CE ⊥AB ， 又∵AC =BC ， ∴E 为 AB 中点， 又∵O 为 BC 中点， ∴OE⊙AC ， 又∵EG ⊥AC ， ∴OE ⊥EG ，又 OE 为 ⊙O 的半径， ∴FE 是 ⊙O 的切线. （2）证明：∵OE =OC ，∴∠OEC=∠OCE，∵EF为圆的切线，∴∠FEC+∠OEC=90°，∵∠BEC=90°∴∠B+∠BCE=90°，∴∠FEC=∠B，又∵∠F=∠F，∴△FEC∽△FBE，∴FEFB=FCFE，∴FE2=FC⋅FB，当∠F=30°时，∠FOE=60°，又OE=OC，∴△OEC为等边三角形，∴∠OEC=60°，∴∠FEC=30°=∠F，∴CE=CF，又CG⊥FE，∴FE=2FG，∴(2FG)2=FC⋅FB，即4FG2=FC⋅FB（3）解：由（2）得FE2=FC⋅FB，又BC=6，FE=4，FB=BC+FC=6+FC，∴42=FC⋅(FC+6)，因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，解得FC=2或FC=-8舍去，∵BC=6，∴OE=OC=12BC=3，AC=BC=6，∴FO=FC+CO=2+3=5，∵CG⊙OE，∴⊙GCF=⊙EOF，⊙FGC=⊙FEO，∴△FCG∽△FOE，∴FCFO=CGOE，即25=CG3，∴CG=6 5，∴AG=AC−CG=6−65=24510．【答案】（1）证明：∵将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，∴BC＝BD．∴点B在CD的垂直平分线上．同理得：点A在CD的垂直平分线上．∴AB⊙CD即OA⊙CD，∵AG∥CD．∴OA⊙GA．∵OA是⊙O的半径，∴直线GA是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°．∴⊙ABD+⊙BAD＝90°．∵⊙GAB＝90°，∴⊙GAD+⊙BAD＝90°．∴⊙ABD＝⊙GAD．∵⊙ADB＝⊙ADG＝90°，∴⊙BAD⊙⊙AGD．∴ABAG=ADGD．∴AG•AD＝GD•AB；（3）解：∵tan⊙AGB＝√2，⊙ADG＝90°，∴ADGD=√2．∴AD=√2GD．由（2）知，⊙BAD⊙⊙AGD，∴ADGD=BDAD，∴AD 2＝GD•BD ，∴BD ＝2GD ．∵AD⌢＝AD ⌢， ∴⊙GAD ＝⊙GBA ＝⊙PCD ．∵AG ∥CD ，∴⊙PAG ＝⊙PCD ．∴⊙PAG ＝⊙PBA ．∵⊙P ＝⊙P ，∴⊙PAG⊙⊙PBA ．∴PA 2＝PG•PB∵PG ＝6，BD ＝2GD ，∴PA 2＝6（6+3GD ）．∵⊙ADP ＝90°，∴PA 2＝AD 2+PD 2．∴6（6+3GD ）＝（√2GD ）2+（6+GD ）2．解得：GD ＝2或GD ＝0（舍去）．∴AD ＝2√2，AP ＝6√2，∴sinP ＝AD AP ＝2√26√2=13． 11．【答案】（1）证明：∵AB 是 ⊙O 的直径，∴⊙ADB=90°，∴⊙DBA+⊙DAB=90°，∵⊙DEA=⊙DBA ，⊙DAC=⊙DEA ，∴⊙DBA=⊙DAC ，∴⊙BAC=⊙DAC+⊙DAB=90°，∵AB 是 ⊙O 的直径，⊙BAC=90°，∴AC 是 ⊙O 的切线；（2）解：①∵点E 是 BD⌢ 的中点， ∴⊙BAE=⊙DAE ，∵⊙CFA=⊙DBA+⊙BAE ，⊙CAF=⊙DAC+⊙DAE ，⊙DBA=⊙DAC ，∴⊙CFA=⊙CAF ，∴CA=CF；②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，∵⊙O的半径为3，∴AB=6，在Rt⊙ABC中，CA2+AB2=BC2，即：x2+62=(x+2)2，解得：x=8，∴AC=8.12．【答案】（1）证明：如图，连接CD，OE.∵BC为⊙O直径∴∠BDC=∠CDA=90°∵DE为Rt△ADC斜边AC的中线∴DE=CE∵OD=OC，OE=OE∴△COE≌△DOE(SSS)∴∠OCE=∠ODE=90°∴DE为⊙O的切线.（2）2；DE=2√313．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE中，当sinA＝35，OA＝10，∴OE＝6∵直径BC＝12，∴OM＝6＝OE，∴点E与点M重合，OM⊙AM，∴AM是⊙O的切线．（2）解：如图②，当点P与点B重合时，AM取得最大值．AM的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO交⊙O于点F，作MG⊙AF于点G，连接OD、OM，DM，∵BD的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180，∴⊙BOD＝30°，∵⊙DBM＝90°，∴DM是⊙O的直径，即DM过点O，∴⊙COM＝30°，∵AO⊙BC，∴⊙MOG＝60°，在Rt⊙GOM中，⊙MOG＝60°，OM＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°，∵AB＝AB，∴⊙ADB⊙⊙BCA（HL）（2）解：如图，连接DC，∵OD⊙AC，⌢=DC⌢，∴AD∴AD＝DC，∵⊙ADB⊙⊙BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴⊙AOD＝⊙ABC＝60°，∵AB＝4，∴AC=AB⋅sin60°=4×√32=2√3（3）证明：如图，连接OC，由(1)和(2)可知BC= √AB2−AC2=2∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴⊙BCP＝⊙P，∵⊙ABC＝60°，∴⊙BCP＝30°，∵OC＝OB，⊙ABC＝60°，∴⊙OBC是等边三角形，∴⊙OCB＝60°，∴⊙OCP＝⊙OCB+⊙BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊙PC，∴PC是⊙O的切线.15．【答案】（1）证明：如图，连接OE．∵BE平分⊙ABC，∴⊙CBE=⊙OBE，∵OB=OE，∴⊙OBE=⊙OEB，∴⊙OEB=⊙CBE，∴OE⊙BC，∴⊙AEO=⊙C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：如图，连结DE．∵⊙CBE=⊙OBE，EC⊙BC于C，EH⊙AB于H，∴EC=EH．∵⊙CDE+⊙BDE=180°，⊙HFE+⊙BDE=180°，∴⊙CDE=⊙HFE．在⊙CDE与⊙HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=900EC=EH，∴⊙CDE⊙⊙HFE（AAS），∴CD=HF．（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1 ∴HF＝1在Rt⊙HFE中，EF= √32+12＝√10∵EF⊙BE∴⊙BEF=90°∴⊙EHF=⊙BEF=90°∵⊙EFH=⊙BFE∴⊙EHF⊙⊙BEF∴EFBF=HFEF，即√10BF=1√10∴BF=10∴OE=12BF=5, OH=5−1=4,∴在Rt⊙OHE中，cos∠EOA=4 5 ,∴在Rt⊙EOA中，cos∠EOA=OEOA=45,∴5OA=45∴OA=25 4∴AF=254−5=54.16．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，∵PA切⊙O于A∴∠PAO=90∘∵OP⊙BC∴⊙AOP=⊙OBC，⊙COP=⊙OCB∵OC=OB∴⊙OBC=⊙OCB∴⊙AOP=⊙COP又∵OA=OC，OP=OP∴⊙PAO⊙⊙PCO∴⊙PAO=⊙PCO=90 º又∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊙CE于点M∴⊙CMB=⊙EMB=⊙AEB=90º∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，BC=6∴AC=√AB2−BC2=8，∴cos∠CAB=ACAB=810=45又∵点E是AB⌢的中点∴⊙ECB=⊙CBM=⊙ABE=45º，∴BE=AB ×cos45 °=5√2CM=BC×cos45°=6×√22=3√2∵CB⌢=CB⌢∴∠CAB=∠CEB∴cos∠CEB=cos∠CAB=4 5∴EM= BE×cos∠CEB=5√2×45=4√2∴CE=CM+EM= 3√2+4√2=7√2∴CE的长为7√2.。
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠．在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长．(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F．(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长．11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F．(1)求证:AB与O相切．(2)若正方形ABCD1,求O的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N．当:1:4CM FM=时,求CN的长．12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=．随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径)． 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===． 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=．=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积．B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =． 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203． 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。
2023年中考数学高频考点专题训练--圆的切线的证明
2023年中考数学高频考点专题训练--圆的切线的证明1．如图，△ABC内接于△O，AB是直径，△O的切线PC交BA的延长线于点P，OF△BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与△O的位置关系并说明理由．（2）若△O的半径为4，AF=3，求AC的长．2．如图，以△ABC的边AC为直径的△O恰为△ABC的外接圆，△ABC的平分线交△O于点D，过点D作DE△AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是△O的切线；（2）若AB=25，BC= √5，求DE的长．3．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=．BC，AC=12OB（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．4．如图，已知AB是△O的直径，锐角△DAB的平分线AC交△O于点C，作CD△AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为△O的切线；（2）当AB=2BE，且CE= √3时，求AD的长．5．如图，OA是△M的直径，点B在x轴上，连接AB交△M于点C．（1）若点A的坐标为（0，2），△ABO=30°，求点B的坐标．（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是△O的切线．6．如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，与边AB相交于点F，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD.（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AE=2，⊙O的半径R=4，求DE的长.7．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作△O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.（1）求证：EF是△O的切线；（2）若△O的半径为3，△EAC＝60°，求AD的长.8．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OP//BC，∠P=∠BAC（1）求证：PA为圆O的切线（2）如果OP=AB=10，求AC的长．9．如图，△O是△ABC的外接圆，AC是O的直径，BD＝BA＝12，BC＝5，BE△DC，交D的延长线于点E，BD交直径AC于点F．（1）求证：△BCA＝△BAD．（2）求证：BE是△O的切线．（3）若BD平分△ABC，交△O于点D，求AD的长．10．如图，直线l与△ O相离，OA⊥l于点A，与△ O相交于点P，OA=5. C是直线l 上一点，连结CP并延长交△ O于另一点B，且AB=AC.（1）求证：AB是△ O的切线；（2）若△ O的半径为3，求线段BP的长.11．如图，△ABC是△O的内接三角形，AB是△O的直径，OF△AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且△ACE+△AFO＝180°.（1）求证：EM是△O的切线；（2）若△A＝△E，△O的半径为1，求阴影部分的面积.12．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作△O，交BD于点E，连接CE，过D作DF△AB于点F，△BCD=2△ABD．（1）求证：AB是△O的切线；（2）若△A=60°，DF= √3，求△O的直径BC的长．13．如图，在△ABC中，AB=AC，△C=30°，点D在BC边上，△D经过点A和点B且与BC边相交于点E.（1）求证：AC是△D的切线；（2）若CE=5，求△D的半径.14．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE//BO，CE的延长线交BD于点A.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=√2，求AO的长.15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE=BC，延长CE交AD于点D，AD=AC.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE=13，OE=3，求BC的长.16．如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是△BAC的平分线．（1）尺规作图：过点D作DE△AC于E；（2）求DE的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：证明：连接OC，如图所示：∵AB是△O直径，∴△BCA=90°，∵OF△BC，∴△AEO=90°，△1=△2，△B=△3，∴OF△AC，∵OC=OA，∴△B=△1，∴△3=△2，在△OAF和△OCF中，{OA=OC∠3=∠2 OF=OF，∴△OAF△△OCF（SAS），∴△OAF=△OCF，∵PC是△O的切线，∴△OCF=90°，∴△OAF=90°，∴FA△OA，∴AF是△O的切线；（2）解：∵△O的半径为4，AF=3，△OAF=90°，∴OF= √AF2+OA2= √32+42=5∵FA△OA，OF△AC，∴AC=2AE，△OAF的面积= 12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE= 12 5，∴AC=2AE= 24 5．2．【答案】（1）解：如图，连接OD，∵AC是△O的直径，∴△ABC=90°，∵BD平分△ABC，∴△ABD=45°，∴△AOD=90°，∵DE△AC，∴△ODE=△AOD=90°，∴DE是△O的切线（2）解：在Rt△ABC中，AB=2 √5，BC= √5，∴AC= √AB2+AC2=5，∴OD= 52，过点C作CG△DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD= 5 2，∵DE△AC，∴△CEG=△ACB，∴tan△CEG=tan△ACB，∴CGGE=ABBC，即52GE=2√5√5，解得：GE= 5 4，∴DE=DG+GE= 15 43．【答案】（1）证明：如图，连接OA；∵OC=BC,AC=12OB,∴OC=BC=AC=OA. ∴△ACO是等边三角形. ∴∠O=∠OCA=60∘，∵AC=BC，∴△CAB=△B，又△OCA为△ACB的外角，∴△OCA=△CAB+△B=2△B，∴∠B=30∘,又∠OAC=60∘，∴∠OAB=90∘，∴AB是⊙O的切线（2）解：作AE△CD于点E，∵∠O=60∘，∴∠D=30∘.∵∠ACD=45∘，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中, CE=AE=√2；∵∠D=30∘，∴AD=2√2，∴DE=√3AE=√6，∴CD=DE+CE=√6+√2.4．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵AC平分△DAB，∴△DAC=△CAB，∵OA=OC，∴△OCA=△CAB，∴△OCA=△DAC，∴AD△CO，∵CD△AD，∴OC△CD，∵OC是△O直径且C在半径外端，∴CD为△O的切线；（2）解：∵AB=2BO，AB=2BE，∴BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，∴OE=2x，在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC2+CE2=OE2，即x2+（√3）2=（2x）2∴x=1，∴AE=3，△E=30°，∴AD= 3 2．5．【答案】（1）解：∵A的坐标为（0，2）∴OA=2，∵△ABO=30°，△AOB=90°，∴AB=2OA=4，∴由勾股定理可知：OB=2 √3，∴B（2 √3，0）（2）解：连接OC，MC∵OA是△M的直径，∴△ACO=90°，∴△OCB=90°，在Rt△OCB中，D为OB的中点，∴CD= 12OB=OD，∴△DCO=△DOC，∵MC=MO，∴△OCM=△COM∵△MOC+△DOC=△AOB=90°，∴△MCO+△DCO=△MCD=90°即MC△CD∴直线CD是△M的切线．6．【答案】（1）证明：连接CD∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°∴CD⊥AB又∵BC=AC∴∠1=∠2∵OD=OC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OD//AC∴∠ODE=∠AED∵DE⊥AC∴∠AED=90°∴∠ODE=90°∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（2）解：过O作ON⊥CF于N，可得四边形ODEN是矩形，∴EN=OD=R=4，ON=DE又∵AE=2，AC=CB=4+4=8，∴CN=AC−AE−EN=AC−AE−OD=2，在Rt△ONC中，ON=√OC2−CN2∴ON=2√3，∴DE=2√37．【答案】（1）证明：如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO＝CO，∴OF△AB，∵AC是△O的直径，∴CE△AE，∵OF△AB，∴OF△CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC＝FE，OE＝OC，∴△FEC＝△FCE，△0EC＝△0CE，∵△ACB＝90°，即：△0CE+△FCE＝90°，∴△0EC+△FEC＝90°，即：△FEO＝90°，∴FE为△O的切线（2）解：如图2，∵△O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3，∵△EAC＝60°，OA＝OE，∴△EOA＝60°，∴△COD＝△EOA＝60°，∵在Rt△OCD中，△COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3√3，∵在Rt△ACD中，△ACD＝90°，CD＝3√3，AC＝6，∴AD＝3√78．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵OP//BC ，∴∠B=∠AOP，∵∠P=∠BAC ，∴∠OAP=180∘−∠AOP−∠P=180∘−∠B−∠BAC=∠ACB=90∘，∴所以PA为⊙O的切线（2）解：∵OP//BC ，∴∠B=∠AOP，由（1）证得∠OAP=∠ACB=90∘，∵OP=AB=10，∴ΔOAP≌ΔBCA（AAS），所以BC=OA=12×10=5，在Rt△ABC中，由勾股定理得：∴AC=√AB2−BC2=√102−52=5√3．9．【答案】（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD．∵∠BCA=∠BDA，∴∠BCA=∠BAD．（2）证明：连结OB，如图，∵∠BCA=∠BAD，又∵∠BCE=∠BAD，∴∠BCA=∠BCE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCE=∠CBO，∴OB//ED．∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线．（3）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13．∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴BDAC=DEAB，即1213=DE12，∴DE=14413，∴BE=√BD2−DE2=6013，∴CE=√BC2−BE2=2513，∴CD=DE−CE=119 13，∵BD平分△ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴AD=CD=119 13．10．【答案】（1）证明：如图，连结OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CPA，AB=AC∴∠ACB=∠ABC∵OA⊥l，即∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CPA=90°即∠ABP+∠OBP=90°∴∠ABO=90°∴OB⊥AB故AB是△ O的切线（2）解：由(1)知：∠ABO=90°而OA=5，OB=OP=3由勾股定理，得：AB=4∵AC=AB=4，AP=OA−OP=2∴PC=√AC2+AP2=2√5过O作OD⊥PB于D，则PD=DB在ΔODP和ΔCAP中∵∠OPD=∠CPA，∠ODP=∠CAP=90°∴ΔODP△ ΔCAP∴PDPA=OPCP∴PD=OP⋅PACP=35√5∴BP=2PD=6 5√511．【答案】（1）证明：连接OC，∵OF△AB，∴△AOF＝90°，∴△A+△AFO=90°，∵△ACE+△AFO＝180°，△ACE+△ACM＝180°∴.△AFO=△ACM∵OA＝OC，∴△A＝△ACO，∴△ACO+△ACM.＝90°，∴△OCM＝90°∴OC△ME，∴EM是△O的切线；（2）解：∵△EOC＝2△A=2△E又∵△EOC+△E=△COM=90°，∴△E+2△E=90°，∴△E＝30°，∴△EOC＝60°，∴CE=OCtan60°= √3，△OCB是等边三角形∴阴影部分的面积＝S扇形BOC −S△OCB=60π·12360−√34·1=π6−√34.12．【答案】（1）证明：∵CD=CB，∴△CBD=△CDB，∵AB是△O的直径，∴△CEB=90°，∴△CBD+△BCE=△CDB+△DCE，∴△BCE=△DCE，即△BCD=2△BCE，∵△BCD=2△ABD，∴△ABD=△BCE，∴△CBD+△ABD=△CBD+△BCE=90°，∴CB△AB，∵CB为直径，∴AB是△O的切线（2）解：∵△A=60°，DF= √3，∴在Rt△AFD中，AF=DFtan60°=√3√3=1，BF=DF•tan60°= √3× √3=3，∵DF△AB，CB△AB，∴DF△BC，∴△ADF=△ACB，∵△A=△A，∴△ADF△△ACB，∴AFAB=DFCB，∴14=√3CB，∴CB=4 √313．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB=AC，△C=30°，∴△B=△C=30° ，∵AD=BD，∴△BAD=△B=30° ，∴△ADC=60°，∴△DAC=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AC是△D的切线；（2）解：连接AE ，∵AD=DE，△ADE=60°，∴△ADE是等边三角形∴AE=DE，△AED=60° ，∴△EAC=△AED﹣△C=30° ，∴△EAC=△C，∴AE=CE=5，∴△D的半径AD=5.14．【答案】（1）证明：连接OD，∵DE//BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB与△COB中，{OD=OC∠1=∠2 OB=OB，∴△DOB≅△COB(SAS).∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线.（2）解：∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=√2，设OC=r，BC=√2r，由（1）证得△DOB≅△COB，∴BD=BC=√2r，∵DE//BO，∴ADBD=AEOE即AD√2r=2r∴AD=2√2，Rt△ADO中根据勾股定理可得：AD2+DO2=AE2即(2√2)2+r2=(2+r)2，解得：r=1，∴AO=AE+EO=3.15．【答案】（1）证明：∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵∠AED=∠BEC，∴∠BCE=∠AED，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠D+∠AED=∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACE，∴tanD=EADA=tan∠ACE=1 3，设AE=x，则AC=AD=3x，OB=OA=AE+OE=3+x，BC=BE=OE+OB=3+x+3=6+x，AB=2OA=2x+ 6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3x)2+(x+6)2=(2x+6)2，解得x1=2，x2=0（舍去），∴BC=x+6=8.16．【答案】（1）解：方法1，如图1所示，过点D作AC的垂线即可；方法2：运用角平分线的性质，以点D为圆心，BD的长为半径画圆，△D和AC相切于点E，连接DE即可．（2）解：方法一：设DE=x，则AC= √32+42=5．∵AD是△BAC的平分线，△ABC=90°，DE△AC，∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．∵S△ACD= AC⋅DE2= CD⋅AB 2，∴5x2= 3(4−x)2，解得x= 32，∴DE=x= 3 2．方法二：设DE=x，则AC= √32+42=5．∵AD是△BAC的平分线，△ABC=90°，DE△AC，∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．∵△DEC=△ABC=90°，△C=△C，∴△DEC△△ABC，∴DEAB=CDAC，∴x3=4−x5，解得x=32，∴DE=x= 3 2．方法三：设DE=x，则AC= √32+42=5．∵AD是△BAC的平分线，△ABC=90°，DE△AC，∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．∵在Rt△ABC中，sin△C= ABAC=35，在Rt△DEC中，sin△C= DECD=x4−x，∴35=x4−x，解得x=32，∴DE=x= 3 2．。
中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题(带答案)
中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，,AC BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC BD ⊥于点E BD ，平分ADC ∠．(1)求BAD ∠的度数；(2)点P 在DB 的延长线上，PA 是该圆的切线．①求证：PC 是该圆的切线；①若3PA AC ==，直接写出PD 的长．2．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BED ∠=︒，3PD =求PA 的长．(3)在（2）的条件下，将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．3．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD BD 、是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．4．如图1和图2，线段12AB =，点C 在AB 上．以AC 为直角边构造Rt ADC ，使70ACD ∠=︒．点O 是CB 上一点（包括端点），以点O 为圆心、OA 为半径作半圆，交DC 于点E ．(1)如图1，OF 平分AOE ∠，交AD 于点F ，连接FE ．求证：FE 是半圆所在圆的切线；(2)如图2，点G ，E 关于AB 对称，连接EG 交AB 于点H ，设OA r =．若60AOE =︒∠求EG 与r 的数量关系；(3)若CO CE =，AE 的长为76π，直接写出点B 与半圆所在圆的位置关系．5．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．6．如图，已知线段6BE =，点C 为BE 上一点，以点C 为圆心，分别以CB ，CE 为半径在BE 的上方作圆心角均为()90180αα︒<<︒的扇形BCD 和扇形ACE ．(1)求证：≌ACB ECD △△；(2)已知4BC =，若AD 是扇形ACE 所在圆的切线．①求AE 的长；①判断DE 和扇形ACE 所在圆的位置关系，并说明理由．7．如图，已知点A、B、C在①O上，且AC=6，BC=8，AB=10．点E在AC延长线上，连接BE，且BE2=AE•CE．(1)求证：BE为①O的切线；(2)若点F为①ABE外接圆的圆心求OF的长．8．如图，AC＝AD，在①ACD的外接圆中弦AB平分①DAC，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．(1)求证：CD//BE．(2)已知AC＝7，sin①CAB＝37求BE的长9．如图，圆O是①ABP的外接圆，①B＝①APC；（1）求证：PC是圆的切线；（2）若AP＝6，①B＝45°求劣弧AP的长．10．如图1，四边形ADBC 内接于O ，E 为BD 延长线上一点，AD 平分EDC ∠．（1）求证：AB AC =；（2）如图2，若CD 为直径，过A 点的圆的切线交BD 延长线于E ，若1DE =，2AE =求O 的半径．11．如图，已知以Rt ABC ∆的边AB 为直径作ABC ∆的外接圆的,O ABC ∠平分线BE 交AC 于D ，交O 于E ，过E 作//EF AC 交BA 的延长线于F ．（1）求证：EF 是O 切线；（2）若15,10,AB EF ==求AE 的长．12．如图，在①ABC中①ABC=45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD①OC，交BC 的延长线于点D．（1）求证：AD是①O的切线；（2）若①BAD=105°，①O的半径为2求劣弧AB的长．13．如图，△ABC是钝角三角形90A︒∠>，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ⊥，CF也为圆的直径.与BC的交点为D，CDO45︒∠=l为过点C圆的切线，作DE l∆∆；（1）证明：CFB~DCE（2）已知圆O的半径为3求22+的值.AD CD14．如图,AB是①O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且PDA PBD∠=∠,延长PD交圆的切线BE于点E.(1)求证:PD是①O的切线；(2)若60∠=︒,3BEDPD=求P A的长.15．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .(1)求证：EF ①BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2求BE 的长.参考答案1．【答案】(1)90BAD ∠=︒(2)①PD 的长为3．【详解】（1）解：BD 平分ADC ∠ADB CDB ∴∠=∠．BAC CDB ∠=∠ADB BAC ∴∠=∠．AC BD90ADB CAD ︒∴∠+∠=．90BAC CAD ∴∠+∠=︒．90BAD ∴∠=︒；（2）①证明：如图，取BD 的中点O ，连接OAOC ，．90BAD ∠=︒BD ∴是该圆的直径．∴点O 是该圆的圆心．PA 是O 的切线90OAP ∴∠=︒．OA OC AC BD =⊥，AOP COP ∴∠=∠．OP OP =AOP COP ∴△≌△．90OCP OAP ∴∠=∠=︒．PC ∴是O 的切线；①①PC 、PA 都是O 的切线①PA PC =①3PA AC ==①3PA PC AC ===①PAC △是等边三角形①1302APO APC ∠=∠=︒ 60AOP ∠=︒①PO 2OA =，BAO 是等边三角形①222PO OA PA =+①1OA =①1OA OD == 22PO OA ==①3PD =①PD 的长为3．2．【答案】(1)PD 是O 的切线，(2)1；【详解】（1）直线PD 为O 的切线，理由如下：如图1，连接OD①AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒90ADO BDO ∴∠+∠=︒①DO BO =BDO PBD ∴∠=∠PDA PBD ∠=∠BDO PDA ∴∠=∠①90ADO PDA ∠+∠=︒，即PD OD ⊥①OD 是O 的半径直线PD 为O 的切线；（2）BE 为O 切线90PBE ∴∠=︒60BED ∠=∠︒90906030P BED ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒在Rt PDO △中90PDO ∠=︒ 3PD =①3tan 30313OD PD =⨯︒=⨯=22PO OD ==①1OA OD ==①211PA PO OA =-=-=；（3）如图2，连接OD由题意得：ADF PDA∠=∠∠=∠APD AFD∴∠=∠PDA PBD①ADF ABF∠=∠PAD DAF∠=∠①ADF AFD BPD ABF∠=∠=∠=∠①APD ABF∠=∠①AD AF∥=BF PD∴⊥DF PBBE为切线∴⊥BE PB∴∥DF BE四边形DFBE为平行四边形①PE、BE为切线①BE DE=四边形DFBE为菱形．3．【答案】【详解】（1）解：直线PD为O的切线，理由如下：连接OD，如图所示：①AB是圆O的直径∴∠=︒ADB90∴∠+∠=︒ADO BDO90=又DO BO∴∠=∠BDO PBD∠=∠PDA PBDBDO PDA∴∠=∠∴∠+∠=︒90ADO PDA即PD OD ⊥点D 在O 上∴直线PD 为O 的切线．（2）证明：依题意得：ADF PDA ∠=∠ PAD DAF ∠=∠PDA PBD ADF ABF ∠=∠∠=∠，ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠AB 是圆O 的直径90ADB ∴∠=︒设PBD x ∠=，则902DAF PAD x DBF x ∠=∠=︒+∠=，四边形AFBD 内接于O180DAF DBF ︒∴∠+∠=即902180x x ︒++=︒，解得30x =︒30ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠=︒BE ED 、是O 的切线90DE BE EBA ∴=∠=︒，60DBE ∴∠=︒BDE ∴是等边三角形BD DE BE ∴==又903060260FDB ADB ADF DBF x ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠==︒， BDF ∴是等边三角形BD DF BF ∴==DE BE DF BF ∴===①四边形DFBE 为菱形．4．【答案】(2)3EG r =(3)点B 在半圆所在圆上【详解】（1）证明：OF 平分AOE ∠=EOF AOF ∴∠∠．又OE OA = OF OF =OFE OFA ∴△≌△．90OEF OAF ∴∠=∠=︒．FE ∴是半圆所在圆的切线．（2）解：点G ，E 关于AB 对称EG AB ∴⊥ 2EG EH =．又60AOE =︒∠ OE OA r ==3·sin 602EH OE r ∴=︒=． 3EG r ∴=．（3）解：点B 在半圆所在圆上．理由如下：①①ACD =70︒①①ECO =110︒①CO =CE①①COE =①CEO =()180110352︒-︒=︒ ①35723606AE r ππ=⨯= ①r =6①AB =12=2r①点B 在半圆所在的圆上．5．【答案】(1)3AC =【详解】（1）①AB 是圆O 的直径①90ACB ∠=︒①2223AC AB BC =-=，①3AC =（舍负值）．（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．①ED 与圆O 相切于D 点①OD ED ⊥①四边形ACDE 是平行四边形①ED AC ∥ CD EA ∥①OD AC ⊥ 90OFA ACB ∠=︒=∠①OD BC ∥①CD EB ∥ OD OB =①四边形OBCD 是菱形①BD 平分ABC ∠．6．【答案】(2)①43π；①相切 【详解】（1）（1）证明：由题意可知 ,,CB CD CA CE BCD ACE α==∠=∠= ①BCD ACD ACE ACD ∠-∠=∠-∠，即BCA DCE ∠=∠．在ACB △和ECD 中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CB CD BCA DCE CA CE ①()ACB ECD SAS ≌．（2）（2）解：①由题意，得4,642CD BC CA CE BE BC ====-=-=． ①AD 是扇形ACE 所在圆的切线①90CAD ∠=︒．在Rt①ACD 中2,4AC CD ==①30ADC ∠=︒①60ACD ∠=︒①,180BCA DCE BCA ACD DCE ∠=∠∠+∠+∠=︒①60BCA DCE ∠=∠=︒①120ACE ∠=︒①120421803AE ππ=⨯⨯=． ①DE 和扇形ACE 所在圆相切．理由如下：在BCA 和DCA △中 CB CD BCA DCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCA DCA SAS ≌①90CAB CAD ∠=∠=︒．由（1）得≌ACB ECD △△ ①90DEC BAC ∠=∠=︒，即CE DE ⊥． 又①点E 在扇形ACE 所在的圆上①DE 和扇形ACE 所在圆相切．7．【答案】(2)203OF = 【详解】（1）证明：①AC =6，BC =8，AB =10． ①AC 2+BC 2=AB 2①①ABC 为直角三角形且①ACB =90°①①ECB =90°①AB 为①O 的直径①BE 2=AE •CE①BE CE AE BE= 又①①E =①E①①ECB ①①EBA①①ECB =①EBA =90°①EB ①AB又①OB 为①O 的半径①BE 为①O 的切线；（2）解：如图，连接BF在Rt ①ABE 中tan①BAE =10BE BE AB = 在Rt ①ABC 中tan①BAE =86BC AC = ①8106BE = 解得BE =403①点F 为①ABE 外接圆的圆心①AF =BF =EF①点F 为直角三角形ABE 斜边AE 的中点 ①点O 为AB 的中点①OF 为①ABE 的中位线①OF =12BE =12×403=203． 8．【答案】(2)14740【详解】（1）证明：设AB 与CD 的交点为F ，连接BD①AC ＝AD ，AB 平分①DAC①AB ①CD ，DF ＝CF①AB是直径①BE是①ACD的外接圆的切线①BE①AB①CD//BE；（2）解：①AC＝7，sin①CAB＝3=7CFAC①CF＝3＝DF①AF＝222273210 AD DF-=-=①cos①DAB＝AD AF AB AD=①AB＝77491020 210⨯=①tan①DAB＝BE DF AB AF=①3 492101020BE=①BE＝147 40．9．（2）劣弧AP的长为322π．【详解】（1）证明：过点P作直径PQ，连接AQ①PQ为①O的直径①①P AQ=90°①PA=PA①①B=①Q①①B=①APC①①APC=①Q①①Q +①APQ =90°①①APQ +①APC =90°①①CPQ =90°．①PC 是圆O 的切线；（2）连接OP 、OA①PA =PA①①O =2①B =90°①OP =OA①①AOP 是等腰直角三角形①222OP OA AP +=①AP =6①OP =OA =32①劣弧AP 的长=9032321802ππ︒⨯=︒． 10．【详解】（1）证明：①四边形ADBC 内接于①O ①①EDA ＝①ACB由圆周角定理得，①CDA ＝①ABC①AD 平分①EDC①①EDA ＝①CDA①①ABC ＝①ACB①AB ＝AC ；（2）解：连接AO 并延长交BC 于H ，AM①CD 于M ①AB ＝AC ，四边形ADBC 内接于①O①AH①BC ，又AH①AE①AE①BC①CD 为①O 的直径①①DBC ＝90°①①E ＝①DBC ＝90°①四边形AEBH 为矩形①BH ＝AE ＝2①BC ＝4①AD 平分①EDC ，①E ＝90°，AM①CD ①DE ＝DM ＝1，AE ＝AM ＝2 在Rt △ABE 和Rt △ACM 中 AE AMAB AC ⎧⎨⎩＝＝①Rt △ABE①Rt △ACM （HL ） ①BE ＝CM设BE ＝x ，CD ＝x ＋2在Rt △BDC 中x 2＋42＝（x ＋2）2 解得，x ＝3①CD ＝5①①O 的半径为2.5．11．（2）35【详解】（1）连接OE①①B的平分线BE交AC于D①①CBE=①OBE①EF①AC①①CAE=①FEA①①OBE=①OEB，①CBE=①CAE①①FEA=①OEB①AB是O的直径①①AEB=90°①①FEO=90°①EF是O切线；（2）①①FEA=①OEB=①OBE，①F=①F ①∆FEA~∆FBE①EF AF BF EF=即：2EF AF BF=⋅①AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去）①51102 AE AFBE EF===①在Rt∆ABE中AE2+BE2=AB2①AE2+（2AE）2=152①AE=35．12．（2）53π．【详解】解：（1）连接AO．①①ABC=45°，①①AOC=2①B=90°．①OC①AD，①①OAD=90°①AD是①O的切线；（2）连接OB．①①BAD=105°，①OAD=90°①①OAB=15°．①OB=OA，①①ABO=15°①①AOB=150°①劣弧AB的长=15025 1803ππ⨯=．13．（2）22218AD CD AC+==【详解】（1）①CF为直径，l为切线①CF l⊥又①DE l⊥①CF//DE①①BCF=①CDE.又①CED=①CBF=90°①CFB~DCE∆∆；（2）连接AF由题意得：①CDP=①BDM=45°①M为弦AB的中点①OM垂直平分线段AB①①ADM=①BDM=45°①△ADB为等腰直角三角形①①ADB=①ADC=90°①222AD CD AC += ①①AFC=①ABC=45° ①AC=CF×sin45°=32 ①22218AD CD AC +==. 14．【详解】(1)证明:连接OD①AB 是①O 的直径 ①90ADB ∠=︒①90ADO BDO ∠+∠=︒ ①DO BO =①BDO PBD ∠=∠ ①PDA PBD ∠=∠ ①BDO PDA ∠=∠ ①90ADO PDA ∠+∠=︒ 即PD ①OD①直线PD 为①O 的切线；(2)解:①BE 是①O 的切线 ①90EBA ∠︒= ①60BED ∠=︒①30P ∠=︒①PD 为①O 的切线 ①90PDO ∠=︒设①O 的半径为R在Rt①PDO 中30P ∠=︒,则22PO OD R ==①222PO OD PD -= ①222(2)(3)R R -=解得1R = ①2PO = 1AO = ①211PA PO AO =-=-=； 15．【答案】(2) 233π【详解】(1)①EF ＝BD ①EF ＝BD①BE DF①①D ＝①DEF又BD ＝BC①①D ＝①C①①DEF=①CEF①BC(2)①AB 是直径，BC 为切线 ①AB①BC又EF①BC①AB①EF ，弧BF=弧BE GF ＝GE ＝12(HF+EH)=3，HG=1 DB 平分①EDF 又BF①CD①①FBD ＝①FDB ＝①BDE ＝①BFH ①HB ＝HF ＝2①cos①BHG ＝HGHB ＝12，①BHG ＝60°.①①FDB ＝①BDE ＝30°①①DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.①弧BE＝63π＝233π。
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3. DC∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心. ∵OC=OG ， ∴∠3=∠G ， ∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF. ∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,O∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解. 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的切线的证明综合题(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的切线的证明综合题1．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan⊙CPO= 12，求PO的长．2．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG//BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，⊙A＝⊙D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分⊙ACB，BD＝12，求DE的长．3．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊙AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．4．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且点C是弧FB̀的中点，连接AC，AF，过点C作CD⊙AF，垂足为点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=8，求DC的长．5．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，点O在BC边上，⊙BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB·CP=BD·CD；（3）若tan∠ABC=2，AB=2√5，求线段DP的长.6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且⊙CAD＝⊙D，给出下列三个信息：①sin⊙CAB＝12；②BO＝BD；③DC是⊙O的切线.（1）请在信息①或②中选择一个作为条件，剩下的两个信息中选择一个作为结论，组成一个真命题．．．.你选择的条件是，结论是（只要填写序号）.（2）证明（1）中你写出的真命题.7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，且⊙BCD =⊙A.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC =2，AB =32CD，求⊙O半径.8．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB 交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE=BF，连接DE.（1）求证：ΔDAF≌ΔDCE.（2）求证：DE是⊙O的切线.（3）若BF=2，DH=√5，求四边形ABCD的面积.9．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD=DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．（1）求证：DE是⊙A的切线；（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求tan⊙FED．10．等腰三角形ABC，AB=AC，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE、CD交于点F，⊙O为⊙ADF的外接圆，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线：（2）若CF＝5，DF＝3，求⊙O的直径．11．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°,OA=OB=4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH,BH．设旋转角为α(0°<α<360°)．（1）当α=90°时，求证：BH是⊙O的切线；（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．12．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且OEEB=23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．13．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分⊙DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分⊙ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E.（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan⊙ABC＝43，求线段BE的长.14．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．（1）求m的值和该二次函数的表达式．P为线段AB上一个动点（点P不与A，B 两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．（2）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．15．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA=PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D.（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）连接OB、DP交于点E.若CD=2，CB=4，求PEDE的值.16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E 是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，⊙B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①PC=PD ，②⊙CPO=⊙DP ，③CD⊙BA ，④⊙CEP=90°，⑤PC 2=PA•PB（2）解：连接OC ∵PC 、PD 分别切⊙O 于点C 、D ∴PC=PD ，⊙CPO=⊙DPA∴CD⊙AB∵CD=12∴DE=CE= 12CD=6． ∵tan⊙CPO= 12， ∴在Rt⊙EPC 中，PE=12∴由勾股定理得CP=6 √5∵PC 切⊙O 于点C∴⊙OCP=90°在Rt⊙OPC 中，∵tan⊙CPO= 12， ∴OC PC =12∴OC=3 √5 ，∴OP= √OC 2+PC 2 =152．【答案】（1）证明：如图1，延长 DB 至 H ，∵DG//BC ，∴∠CBH =∠D ，∵∠A=∠D，∴∠A=∠CBH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABC=90°，∴∠ABD=90°，∴AB⊙BD，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴AF=BF，∴⊙AOF＝⊙BOF＝90°，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF//BD，∴△EFO∽△EDB，∴OFBD=OE BE，∵AE=OE，∴OEEB=1 3，∴OF12=13，∴OF=4，∴OA=OB=OF=4，∴BE =OE +OB =2+4=6 ，∴DE =√BD 2+BE 2=√122+62=6√5 ．3．【答案】（1）证明：如图：首先连接OD ．∵AC⊙AB ，∴⊙BAC=90°，即⊙OAE=90°．在⊙AOE 与⊙DOE 中，OA=OD ，ED=EA ，OE=OE ，∴⊙AOE⊙⊙DOE （SSS ），∴⊙OAE=⊙ODE=90°，即OD⊙ED ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在⊙OAE 中，⊙OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理求得OE=5．∵AB 是直径，∴⊙ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊙BC ．又∵OA=OD ，AE=DE ，∴OE 垂直平分AD （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∴OE⊙AD ，∴OE⊙BC ，∴OA AB =OE BC =12（平行线分线段成比例定理）． ∴BC=2OE=2×5=10，即BC 的长度是10．4．【答案】（1）解：如图1，连接OC ，∵C 是弧FB ̀的中点， ∴弧FC=弧BC ̀̀，∴⊙FAC=⊙BAC ，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙BAC ，∴⊙FAC=⊙OCA ，∴AD⊙OC ，∵CD⊙AF ，∴CD⊙OC ，即CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°，∴⊙D=⊙ACB ，又⊙DAC=⊙CAB ，∴⊙DAC⊙⊙CAB ，∴AD AC =AC AB， 解得，AD= AC 2AB=6.4， 在Rt⊙ADC 中，CD= √AC 2−AD 2 =4.8．5．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴⊙BAC=90°，∵AD 平分⊙BAC ，∴⊙BAC=2⊙BAD ，∵⊙BOD=2⊙BAD ，∴⊙BOD=⊙BAC=90°，∵DP⊙BC ，∴⊙ODP=⊙BOD=90°，∴PD⊙OD ，∵OD 是⊙O 半径，∴PD 是⊙O 的切线；（2）证明：∵PD⊙BC ，∴⊙ACB=⊙P ，∵⊙ACB=⊙ADB ，∴⊙ADB=⊙P ，∵⊙ABD+⊙ACD=180°，⊙ACD+⊙DCP=180°，∴⊙DCP=⊙ABD ，∴⊙ABD⊙⊙DCP ，∴AB CD =BD CP∴AB•CP=BD•CD.（3）解：在 RtΔABC 中，∵tan∠ABC =2 ， AB =2√5 ，∴AC =2AB =4√5 ，∴BC =√AB 2+AC 2=10 ，∴OD =5 ，过点 C 作 CG ⊥DP ，垂足为 G ，则四边形 ODGC 为正方形，∴DG =CG =OD =5 ，∵BC ∥PD ，∴∠CPG =∠ACB ，∴tan∠CPG =tan∠ACB ，∴CG GP =AB AC，即 5GP =2√54√5 ， 解得， GP =10 ，∴DP =DG +GP =15 .6．【答案】（1）①；②（或①，③；或②，①；或②，③；答案不唯一） （2）解：条件:①，结论:②；连接BC ，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵sin⊙CAB= 1 2，∴BC= 12AB=BO，⊙D=⊙CAB=30°，∴⊙ABC=60°，∴⊙BCD=⊙ABC-⊙D=30°=⊙D，∴BD=BC，∴BD=BO；条件:①，结论:③；连接CO，∵sin⊙CAB= 1 2，∴⊙D=⊙CAB=30°，∵OA=OC，∴⊙OCA=⊙CAB=30°，在⊙DCA中，⊙DCO =180°-⊙D-⊙CAB-⊙OCA =180°-30°-30°-30°=90°，∴OC⊙DC，∴DC是⊙O的切线；条件:②，结论:①；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA∠D=∠CAD DO=AB，∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴BC=CO= 12AB，∴sin⊙CAB= 1 2；条件:②，结论:③；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA ∠D=∠CAD DO=AB∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴⊙DCO=⊙ACB=90°，∴CO⊙DC，∴DC是⊙O的切线.7．【答案】（1）证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴⊙ACB=90°，即⊙ACO+⊙OCB=90°.∵OA=OC ，⊙BCD=⊙A ，∴⊙ACO=⊙A=⊙BCD ，∴⊙BCD+⊙OCB=90°，即⊙OCD=90°，∴CD 是⊙O 的切线.（2）解：设CD 为x ，则AB= 32 x ，OC=OB= 34x ， ∵⊙OCD=90°，∴OD= √OC 2+CD 2=√(34x)2+x 2 = 54 x ， ∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x ， ∵⊙BCD ＝⊙A ，⊙BDC ＝⊙CDA ，∴⊙ADC⊙⊙CDB ，∴AC CB =CD BD， 即 2CB =x 12， 解得CB=1，∴AB= √AC 2+BC 2 =√5∴⊙O 半径是 √52. 8．【答案】（1）证明：如图1，连接 DF ，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB =BC =CD =DA ， AD//BC ， ∠DAB =∠C ，∵BF=BE，∴AB−BF=BC−BE，即AF=CE，∴ΔDAF≌ΔDCE（2）解：∵ΔDAF≌ΔDCE∴∠DFA=∠DEC.∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°，∴∠DEC=90°.∵AD//BC，∴∠ADE=∠DEC=90°，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线（3）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°，∴∠DFB=90°，∵AD=AB，DH=√5，∴DB=2DH=2√5，在RtΔADF和RtΔBDF中，∵DF2=AD2−AF2，DF2=BD2−BF2，∴AD2−AF2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−BF)2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−2)2=(2√5)2−22，∴AD=5．∴AF=3∴DF=√AD2−AF2=4∴四边形ABCD的面积=AB⋅DF=5×4=20．9．【答案】（1）证明：过点A作AG⊙DE，∴⊙AGD=90°在矩形ABCD 中，AD⊙BC ，⊙C=90°，∴⊙AGD=⊙C ，⊙ADG=⊙DEC∵AD=DE ，∴⊙ADG⊙⊙DEC∴AG=DC ，DG=EC ，∵AB=DC ，∴AG=AB ，即AG 为⊙A 的半径∴DE 是⊙A 的切线（2）解：连接AE ，由（1）可知，AG=AB ，⊙ABE=⊙AGE=90°，AE=AE ，∴⊙ABE⊙⊙AGE （HL ），∴BE=EG ，设DG=EC=x ，∵AB=2，BE=1，∴DE=x+1，DC=AB=2，在Rt⊙DEC 中，由勾股定理可得，x 2+22=(x +1)2解得，x =32， ∴AD=DE=52（3）解：过点F 作FH⊙DE ，∵AD =52，AF =AB =2， ∴DF =AD −AF =52−2=12， ∵FH⊙DE ，AG ⊥DE ，∴FH ∥AG ，∴⊙DFH⊙⊙DAG ，∴DF AD =FH AG ，即1252=FH 2， 解得FH =25， ∵DH =√(12)2−(25)2=310，DE =√(32)2−22=52， ∴EH =52−310=115∴tan⊙FED =FH EH =211， 10．【答案】（1）证明：如下图所示，连接OD ．∵AB ＝AC ，AE⊙BC ，∴CE ＝EB ，⊙DCE ＋⊙CFE ＝90°．∴CE =12BC ． ∵CD⊙AB ，∴DE =12BC ，⊙ADF=90°． ∴DE=CE ，⊙FAD ＋⊙AFD ＝90°，⊙ODA ＋⊙ODF ＝90°．∴∠DCE =∠CDE ．∵⊙AFD 和⊙CFE 是对顶角，∴⊙AFD ＝⊙CFE ．∴⊙FAD ＝⊙DCE ．∴⊙FAD=⊙CDE ．∵OA ＝OD ，∴⊙FAD ＝⊙ODA ．∴⊙ODA ＝⊙CDE ．∴⊙ODE=⊙ODF ＋⊙CDE ＝⊙ODF+⊙ODA=90°．∴OD⊙DE ．∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：如下图所示，连接BF ．∵CE ＝BE ，AE⊙BC ，CF=5，∴BF ＝CF ＝5．∵DF=3，∴DB =√BF 2−DF 2=4，CD =CF +DF =8．∵CD⊙AB ，∴⊙ADF=⊙CDB=90°．∴AF 是⊙O 直径．∵⊙FAD=⊙DCE ，即⊙FAD=⊙BCD ，∴⊙ADF⊙⊙CDB ．∴AD CD =DF DB． ∴AD 8=34． ∴AD ＝6．∴AF =√AD 2+DF 2=√62+32=3√5．11．【答案】（1）解： ∵α=90°=∠AOB ，∴∠AOP =∠BOH ，又 ∵OP =OH, OA =OB ，∴△AOP ≌△BOH ，∴∠OPA =∠OHB ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OPA =90° ，∴∠OHB =90° ，即 OH ⊥BH 于点H ，∴BH是⊙O的切线；（2）解：如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有OC⊥BC,OD⊥BD，∵OC=2,OB=4，∴cos∠BOC=OCOB=24=12，∴∠BOC=60°，同理∠BOD=60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α=90°，∴∠OHB=90°，∵OP=2，∴PH的长为90π×2180=π；当点H与点D重合时，α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°，∴PH的长为210π×2180=73π，∴当BH与⊙O相切时，旋转角α=90°或210°，点H运动路径的长为π或73π．（3）2+2√212．【答案】（1）解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，∴⊙AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是⊙ABD是中位线，∴OC⊙BD，∴⊙ABD ＝⊙AOC ＝90°，∴AB⊙BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，OC⊙BD ，∴⊙OCE⊙⊙BFE ，∴OC BF =OE EB， ∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4， OE EB =23， ∴2BF =23， ∴BF ＝3，在Rt⊙ABF 中，⊙ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5， ∵S ⊙ABF ＝ 12 AB•BF ＝ 12AF•BH ， ∴AB•BF ＝AF•BH ，∴4×3＝5BH ，∴BH ＝ 125． 13．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 平分⊙DAB ，∴⊙DAC ＝⊙CAB ，∵OA ＝OC ，∴⊙OCA ＝⊙CAB ，∴⊙DAC ＝⊙OCA ，∴OC⊙AD ，又AD⊙PD ，∴OC⊙PD ，∴PC 与⊙O 相切（2）证明：∵CE 平分⊙ACB ，∴⊙ACE ＝⊙BCE ，∴AE =BE ，∴⊙ABE ＝⊙ECB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙OBC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB ＝90°，∴⊙CAB+⊙ABC ＝90°，∵⊙BCP+⊙OCB ＝90°，∴⊙BCP ＝⊙BAC ，∵⊙BAC ＝⊙BEC ，∴⊙BCP ＝⊙BEC ，∵⊙PFC ＝⊙BEC+⊙ABE ，⊙PCF ＝⊙ECB+⊙BCP ，∴⊙PFC ＝⊙PCF ，∴PC ＝PF（3）解：连接AE ，在Rt⊙ACB 中，tan⊙ABC ＝ 43，AC ＝8， ∴BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝ √AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵AE =BE ，∴AE ＝BE ，则⊙AEB 为等腰直角三角形，∴BE ＝ √22AB ＝5 √2 . 14．【答案】（1）解： A 的坐标为（5，8）在直线y=x+m 上，∴8=5+m ，∴m=3，∴直线AB 解析式为y=x+3，∴B （0，3），设抛物线解析式为y=a （x ﹣2）2+k ，∵点A ，B 在抛物线上，∴{9a +k =8a +k =0， ∴{a =1k =−1， ∴抛物线解析式为y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3，顶点C （2，﹣1）①∵点P在线段AB上，∴P（x，x+3）（0≤x≤5），∵PE⊙x轴，交抛物线与E，P （x，x+3），∴E（x，x2﹣4x+3），∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，∴D（2，5），∴DC=6，∵四边形DCEP是平行四边形，∴PE=DC=6，∵PE=|﹣x2+5x|，⊙、当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6，∴x1=2（舍），x2=3，∴P（3，6），⊙、当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6，∴x3=﹣1，x4=6，∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）即：点P的坐标为（3，6）（2）解：∵点P（x，y）为直线AB上的一个动点，∴P（x，x+3），∴点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，∵点B（0，3），∴BP= √x2+(x+3−3)2=√2 |x|，∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，∴|x|= √22|x|，∴x=0（舍），②以PB为直径的圆能与x轴相切，∴|x+3|= √22|x|，∴x=﹣6﹣3 √2或x=﹣6+3 √2，∴P（﹣6﹣3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3√2，﹣3﹣3 √2）．故存在点P，坐标为P（﹣6+3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3 √2，﹣3﹣3 √2）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切15．【答案】（1）证明：连接OB，OP，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∠OAP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴∠OBP=∠OAP=90°∴OB⊥PB∴PB为⊙O切线；（2）解：设OB=OD=r，在Rt△OBC中，BC2+OB2=OC2∴r2+42=(2+r)2，∴r=3，∴OB=OD=3，AC=OA+OD+CD=3，设PB=PA=x，在Rt△PAC中，AC2+PA2=PC2∴x2+82=(x+4)2，解得x=6，∴PB=PA=6，在Rt△PAO中，OP=√OA2+AP2=3√5，连接AB与OP交于G，连接BD，∵OA=OB，PA=PB，∴AB⊙OP，AG=BG，∴S△AOP=12AG⋅OP=12OA⋅AP，即S△AOP=12AG⋅3√5=12×3×6，∴AG=65√5，在Rt△OAG中，OG=√OA2−AG2=35√5，∵OA=OD，AG=BG，∴BD=2OG=65√5，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴OP//BD，∴∠BDP=∠OPD，∠DBO=∠POE，∴PEDE=OPDB=52.16．【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊙AC，∴⊙OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE⊙BC，∴⊙1＝⊙B，⊙2＝⊙3，∵OB＝OD，∴⊙B＝⊙3，∴⊙1＝⊙2，在⊙AOE和⊙DOE中{OA=OD∠1=∠2 OE=OE，∴⊙AOE⊙⊙DOE，∴⊙ODE＝⊙OAE＝90°，∴OA⊙AE，∴DE为⊙O的切线（2）解：∵点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝2.4，∵⊙AOD＝2⊙B＝2×50°＝100°，∴图中阴影部分的面积＝2• 12×2×2.4﹣100⋅π⋅22360＝4.8﹣109π。
九年级数学证明圆的切线专题(可编辑修改word版)
12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线 PO 交⊙O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D， 交⊙O 与点 B，延长 BO 与⊙O 交与点 C，连接 AC，BF． （1）求证：PB 与⊙O 相切； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ACB 的值．
10 如图，已知在△ABP 中，C 是 BP 边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的 直径，且交 BP 于点 E． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AG•AB=12，求 AC 的长； （3）在满足（2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及 sin∠ACE 的值．
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90º，O、D 分别为 AB、BC 上的点，经过 A、D 两点的⊙O 分别交
AB、AC 于点 E、F，且 D 为 EA F 的中点。
（1）（4 分）求证：BC 与⊙O 相切
（2）（4 分）当 AD=2 3 ，∠CAD=30º 时，求 AAD 的长。
3. 如图，已知 CD 是 O 的直径，AC⊥CD，垂足为 C，弦 DE∥OA，直线 AE、CD 相交于点 B．
9.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E ，BE 交⊙O 于点 F，连接 AF，AF 的延长线交 DE 于点 P． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求 tan∠ABE 的值； （3）若 OA=2，求线段 AP 的长．
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交 AB 于点 O，以 O 为圆心的⊙O 与 AC 相切于点 D．
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九年级数学：圆的切线的证明——拔高题圆的切线证明拔高题训练1.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．求证：直线与相切；若，，求的长．2.如图，已知，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接．若，，求边的长；取的中点，连接，试证明与相切．3.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，于点，交的延长线于点．1 / 25求证：直线是的切线；若，，求的长．4.如图，的边为的直径，与圆交于点，为的中点，过作于．求证：；求证：为的切线；若，，求的长．5.在中，直角边为直径的半圆，与斜边交于，点是边的中点，连接，① 与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．②若、的长是方程的根，求直角边的长．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题6.如图，是的直径，．求证：是的切线；若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．7.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．求证：是的切线；求证：；3 / 25点是的中点，交于点，若，求的值．8.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．求证：是的切线；若，，求的半径．9.如图，是的外接圆，，弦，，，交的延长线于点．求证：；求的长；求证：是的切线．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题10.如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若．求证：是的一条切线；若，，求的长．11.如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半圆于点，的延长线交于点．求证：为半圆的切线；若，，求的长．12.如图，是的直径，点是上的一点，．5 / 25求证：是的切线；已知，，求的长．13.如图，已知，为的外接圆，为直径，点在上，过点作，点在的延长线上，且．求证：与相切．若，，，求线段的长．14.如图，已知内接于，是的直径，是的中点，过点作直线的垂线，分别交、的延长线、．求证：是的切线；若，，求的半径．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题15.如图，为半圆的直径，点在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．求证：是半圆的切线；若，，求的长．16.如图，已知是的直径，为外一点，且，．求证：为的切线；若，，求的长．17.在中，，是边上的一点，以为直径作交于点，连结并延长，与的延长线交于点．且．7 / 25求证：与相切．若，，求的面积．18.如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：是的切线；若，，求的长．19.如图，为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，且平分．求证：为的切线；若的半径为，，求的长．20.已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经九年级数学：圆的切线的证明——拔高题过，两点的交于点，交于点，恰为的直径．求证：与相切；当，时，求的半径．21.如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过、两点，且分别交、于点、．求证：是的切线；已知，，求的半径．答案1.证明：如图，9 / 25连接．∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵点在上，∴直线与相切；解：∵四边形是的内接四边形，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴，∵ ，，∴，又∵ ，∴，∴ ，∴ ．2.解：∵ 为直径，∴ ，即．在中，∵ ，，∴由勾股定理得．∵ ，，∴ ，∴，即，∴；证明：连接，∵ ，∴ ；九年级数学：圆的切线的证明——拔高题又∵ 是的中点，，∴ ，∴ ．∴ ，即，∴ ．∴ 与相切．3.证明：如图，连接，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 是的半径，∴直线是的切线．解：如图，11 / 25∵ ，是的直径，∴ ，由，可得，，∴ ，，在和中，∴ ，∴，∵，∴，∴，∴ ，∴，解得，∴ ，即的长是．4.证明：连接，∵ 是的直径，∴∴ ，又是的中点，∴ ；九年级数学：圆的切线的证明——拔高题证明：连接，∵ 、分别是、的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是的切线；解：∵ ，，∴，∴ ，∴由勾股定理得，∴ ，∵ ，∴，∴，∴根据勾股定理得．5.解：与半圆相切．证明：连接、．∵ 、分别是、的中点，∴ ，∴ ，，∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，，∴ ．∴ ．∴ 与半圆相切．∵ ，的长是方程的两个根，∴解方程得：，．13 / 25∵ ，∴ ，，∴．6.解： ∵ 是的直径，∴ ，∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是的切线． ∵ ，，∴ ，∵ （已证），∴，即，解得：，在中，，∵ ，∴ ，∴ ，在中，．7.证明：∵ ，∴ ．又∵ ，，∴ ．又∵ 是的直径，∴ ．∴ ．即，∵ 是的半径．∴ 是的切线．证明：∵ ，∴ ，∴ ．又∵ ，，九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∴ ，∴ ．∴．解：连接，，∵点是的中点，∴，∴ ．∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴．∴ ．又∵ 是的直径，，∴ ，．∵ ，∴．∴ ．8.证明：连接．∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．即．∵ 在上，为的半径，∴ 是的切线．15 / 25解：∵ ，，，∴．连接．∵ 是的直径，∴ ．∵ ，∴ ．∴．∴．则．∴ 的半径是．9.证明：∵ ，∴ ，∵ （圆周角定理），∴ ．解：∵ （圆周角定理）且，∴ ，∴，即，解得：．证明：连结，，在和中，，九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 是的切线．10.证明：∵ ，，∴ ，∴ （同位角相等，两直线平行），∵ ，∴ ，∴ 是的一条切线；解：∵ ，，，∴ ，，∴ ，∵ ，∴ ，∴，∴，解得：．11.证明：连接，如图，∵ 为半圆的直径，为的中点，∴ 为的中位线，∴ ，∵ ���∴ ，又∵点在圆上，17 / 25∴ 为半圆的切线；解：∵ 为半圆的直径，∴ ，而，∴ ，∵ ，∴∴，∴∵ ，，∴，在中，．12.证明：∵ 是的切直径，∴ ，又∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是的切线；解：∵ ，，∴ ，∴，即，∴．13.证明：如图，连接，∵ ，∴ ，九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∵ ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，即与相切．解：∵ 为直径，∴ ，，，∴ ，∵ ，，∴ ，∴∴ ，，∴ ，∴．14.证明：连接交于于点．∵ 是的中点，为半径，∴ ．∵ ，∴ 是的中位线．∴ ，即．又∵ ，∴ ，∴ 是的切线．解：在中，，，∴ ．设半径，则，∵ ，∴ ，∴，19 / 25∴，∴ ，即：的半径为．15.证明：∵ 为半圆的直径，∴ ．又∵ ，∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ 是半圆的切线．解：∵ ，∴ ，∵ ，∴，又，∴．在中，，∵ ，，∴ ．∴即．∴．16.证明：∵ 是的直径，∴ ，∴ ．又∵ ，∴ ，∴ ．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题∵ ．∴ ，∴由三角形内角和定理知，即．又∵ 是的的半径，∴ 为的切线；解：由知，．∵ ，∴ ．又∵ ，∴在直角中，根据勾股定理知，由知，．∵ ，∴ ，∴．∴，解得．即的长度为．17.证明：连接，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，21 / 25∴ ，∴ ，∴ ，∴ 与相切；解：由知，又，∴ ，∴，设的半径为，则，解得：，∴ 的面积．18.证明：连接，∵ 平分，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．∵ ，∴ ．∴ 是的切线．解：设是的半径，在中，，即，解得．∵ ，∴ ，∴，即．解得．∴．九年级数学：圆的切线的证明——拔高题19.证明：连接∵∴∵ 平分∴∴∴∵ ∴∴直线与相切于点；解：连接，则．∵ ，，∴ ，∴，∴ ，∵ 的半径为，，∴ ，∴．20.证明：连接，则∴∵ 平分∴∴∴∴在中，，是角平分线∴∴∴∴∵点在圆上，∴ 与相切；23 / 25解：在中，，是角平分线∴，∵ ，∴ ，在中，∴设的半径为，则∵∴∴∴解得∴ 的半径为．21.证明：连接．∵ ，∴ （等角对等边）；∵ 平分，∴ ，∴ （等量代换），∴ （内错角相等，两直线平行）；又∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等），∴ ，即是的切线；九年级数学：圆的切线的证明——拔高题解：由知，，∴（平行线截线段成比例），∴，解得，即的半径为．25 / 25。