中考复习专题——圆切线证明
中考总复习圆的切线专题
题型专项（八）与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1. （2016梧州）如图，过O O上的两点A , B分别作切线，交于BO , AO的延长线于点C, D,连接CD ,交O O于点E, F,过圆心O作OM丄CD ,垂足为点M.求证：（1）△ ACO ◎△ BDO ;（2）CE = DF.证明：⑴•/ AC , BD分别是O O的切线，.•./ A = Z B= 90°.又••• AO = BO , / AOC =Z BOD ,•••△ ACO 也厶BDO.(2) •/△ ACO ◎△ BDO ,•••OC = OD.又••• OM 丄CD , • CM = DM.又••• OM丄EF,点O是圆心,•EM = FM.•CM —EM = DM —FM.•CE = DF.2. (2016玉林模拟)如图，AB是O O的直径，/ BAC = 60° , P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.(1)求证：△ CDQ是等腰三角形；⑵如果△ CDQ COB ,求BP : PO的值.解：⑴证明：由已知得/ ACB = 90° , / ABC = 30°•/ Q= 30° , / BCO =Z ABC = 30°.•/ CD是O O的切线，CO是半径，•CD 丄CO.•/ DCQ = Z BCO = 30°.•/ DCQ = Z Q.故厶CDQ是等腰三角形.(2)设O O 的半径为1 ,则AB = 2, OC= 1 , BC = .3.•••等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，•CQ = CB = ,3.二 AQ = AC + CQ = 1 +＜：,:: 3.••• AP = 2AQ = ^^.••• Bp =AB -AP =违严 •••PO =AP -AO =¥• BP : PO = 3.3. (2016柳州)如图，AB ABC 外接圆O O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点 点E 在弧上且满足 PE 1 2= PA - PC ,连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D.(1) 求证：△ PAE s^ PEC ;⑵求证：PE 为O O 的切线；1⑶若/ B = 30° , AP = 2AC ,求证：DO = DP.证明： ⑴•/ PE 2=PA-PC ,• PE = PA…PC = PE .又•••/ APE = Z EPC ,• △ PAE s^ PEC.⑵•/△ PAEPEC ,PEA = Z PCE.1 •••/ PCE =孑/ AOE ,1 •••/ PEA = -Z AOE. v OA = OE , 2•••/ OAE = Z OEA.•••/ AOE + Z OEA + Z OAE = 180 ° ,•••/ AOE + 2/ OEA = 180° ,即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 ° .•••/ PEA + Z OEA = 90° .• PE 为O O 的切线.⑶设O O 的半径为r ,则AB = 2r.•••/ B = 30 ° , / PCB = 90 ° , • AC = r , BC =3r.过点O 作OF 丄AC 于点F , AP =匸 v PE 2= PA-PC , • PE =」r. 2' ~ ' 2 在厶ODF 与厶PDE 中， .•/ AP = ^AC ,/ ODF = Z PDE ,/ OFD = Z PED ,OF = PE ,•••△ ODF ◎△ PDE. ••• DO = DP.类型2与相似三角形有关 针对训练4. (2016泰州)如图，在厶ABC 中，/ ACB = 90 °，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的O O 交BC 于点E ,连接AE 交CD 于点P ,交O O 于点F ，连接DF , / CAE = Z ADF.(1) 判断AB 与O O 的位置关系，并说明理由；⑵若 PF : PC = 1 : 2, AF = 5,求 CP 的长.解：(1)AB 是O O 切线.理由：•••/ ACB = 90° ,•••/ CAE + Z CEA = 90° .•••/ CAE = Z ADF , / CDF = Z CEA ,•••/ ADF + Z CDF = 90° .• AB 是O O 切线.⑵连接CF.•••/ ADF + Z CDF = 90° , / PCF +Z CDF = 90° ,•••/ ADF = Z PCF.•••/ PCF =Z PAC.又•••/ CPF =Z APC ,PC 2= PF PA.设 PF = a ,贝U PC = 2a. •- 4a 2 = a(a + 5).• a = 3.PC = 2a =隊5. (2015北海)如图，AB , CD 为O O 的直径，弦AE // CD ,连接BE 交CD 于点F ,过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点 P ,使/ PED = Z C.(1) 求证：PE 是O O 的切线；⑵求证：ED 平分/ BEP ;⑶若O O 的半径为5, CF = 2EF ,求PD 的长.PC • △ P — PAC. •矿 PF PC .解：⑴证明：连接0E.•「CD是圆0的直径，•••/ CED = 90° .•/ 0C = 0E ,•••/ C=Z OEC.又•••/ PED = Z C,•••/ PED = Z OEC.•••/ PED + Z OED = Z OEC + Z OED = 90° ,即/ OEP= 90° .•••OE 丄EP.又「•点E在圆上，•PE是O O的切线.(2) 证明：T AB , CD为O O的直径，•••/ AEB =Z CED = 90°.•••/ AEC = Z DEB(同角的余角相等).又•••/ PED = Z C, AE // CD,•••/ PED = Z DEB ,即ED平分/ BEP.⑶设EF= x,则CF= 2x.TO O的半径为5,•OF = 2x — 5.在Rt A OEF 中,OE2= EF2+ OF2,即52= x2+ (2x —5)2,解得x = 4,•EF = 4.•BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8.•DF = CD —CF= 10 —8= 2.•/ AB为O O的直径，•••/ AEB = 90° .•/AB = 10, BE = 8,•AE = 6.•••/ BEP = Z A , / EFP =Z AEB = 90° ,•△EFP s^ AEB.•在=圧即疋=4BE AE' 8 6'PF =16 10PD = PF—DF = —2 ='3 3'6. (2014桂林)如图，△ ABC为O O的内接三角形，P为BC延长线上一点，/ PAC=Z B, AD为O O的直径，过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交O O于点G.(1)判断直线PA与O O的位置关系，并说明理由；学习必备 欢迎下载2 (2) 求证：AG = AF-AB ；(3) 若O O 的直径为10, AC = 2 5, AB = 4.5,求厶AFG 的面积.解：⑴PA 与O O 相切.理由：连接CD.•/ AD 为O O 的直径，•••/ ACD = 90° ••••/ D + Z CAD = 90°•••/ B =Z D , / PAC =Z B ,•••/ PAC =Z D.•••/ PAC +Z CAD = 90° ,即 DA 丄 PA.•••点A 在圆上，• PA 与O O 相切.⑵证明：连接BG.•/ AD 为O O 的直径，CG 丄AD ,• A C = AG . •••/ AGF = Z ABG.•/Z GAF = Z BAG , AGFABG.• AG : AB = AF : AG.「. AG 2= AF-AB.⑶连接BD.•/ AD 是直径，•••/ ABD = 90° .•/AG 2= AF-AB , AG = AC = 2 5, AB = 4 5,AB•/ CG 丄 AD , •••/ AEF = Z ABD = 90° /Z EAF = Z BAD , AEF ABD.• EF = AF 2 — AE 2= 1.•/ EG = AG 2— AE 2= 4,• FG = EG — EF = 4— 1 = 3.1 1 • AFG = ^FG -AE =2 X3 X 2= 3. 类型3与锐角三角函数有关针对训练7. (2014梧州)如图，已知O O 是以BC 为直径的厶ABC 的外接圆，OP // AC ,且与BC 的 垂线交于点P , OP 交AB 于点D , BC , PA 的延长线交于点 E.(1)求证：PA 是O O 的切线；3⑵若 sin Z E = 5, PA = 6,求 AC 的长.• Al =篇，即4V 才解得AE =2. • Al = AF AB = AD解：⑴证明：连接OA.•/ AC // OP , •••/ AOP = Z OAC , / BOP = Z OCA.•/ OA = OC , OCA = Z OAC. AOP = Z BOP.又••• OA = OB , OP = OP ,• △ AOP ◎△ BOP.A Z OAP = Z OBP.•/ BP 丄 CB , OAP = Z OBP = 90° .• OA 丄 PA.• PA 是O O 的切线.⑵•/ PB 丄CB , • PB 是O O 的切线.又••• PA 是O O 的切线，PA = PB = 6.在 Rt A OPB 中,OP = 62+ 32= 3 5.•/ BC 为O O 直径，CAB = 90° .•••/ CAB = Z OBP = 90° , / OCA =Z BOP.AC CB• △ ACB 亠 BOP .. BO =丽. CB ・BO = J8_= 6/5OP =3』5= 58. (2015来宾)已知O O 是以AB 为直径的厶ABC 的外接圆，OD // BC 交O O 于点 D ,交 AC 于点E ,连接AD , BD , BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分/ ABC ;⑵延长AC 到点P,使PF = PB ,求证：PB 是O O 的切线；3 亠(3) 如果 AB = 10, cos /ABC = 5,求 AD.解：（1）证明：T OD // BC ,ODB = / CBD.T OB = OD ,OBD = / ODB.CBD = / OBD.• BD 平分/ ABC. 又T sinE = PB _ EP = AO _ 3EO = 5， • • AO = 3.• AC(2) 证明：TO O是以AB为直径的厶ABC的外接圆，•••/ ACB = 90°. •••/ CFB + Z CBF = 90°.•/ PF = PB, PBF = Z CFB.由(1)知/ OBD =Z CBF ,•••/ PBF + Z OBD = 90° ••••/ OBP = 90°.•PB是O O的切线.(3) •••在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° , AB = 10,•cos/ ABC = BC = BC = 3AB 10 5'•BC = 6, AC = AB2—BC2= 8.•/ OD // BC ,•△AOEABC , / AED = / OEC = 180°—/ ACB = 90•AE_ OE _ AO AE _ OE _ _5_…AC =BC =AB，8 = 6 =10.•AE = 4, OE= 3.•DE = OD —OE= 5—3 = 2.•AD = AE2+ DE2= 42+ 22= 2 5.9. (2016柳州模拟)如图，已知：AC是O O的直径，PA丄AC,连接OP,弦CB // OP,直线PB 交直线AC于点D, BD = 2PA.(1) 证明：直线PB是O O的切线；(2) 探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明; ⑶求sin/ OPA的值.解：⑴证明：连接OB.•/ BC // OP, OB = OC,•/ BCO = / POA ,/ CBO =/ POB , / BCO = / CBO.•/ POA = / POB.又T PO= PO, OB = OA ,•△ POB◎△ POA. •/ PBO = / PAO = 90°•PB是O O的切线.(2)2PO = 3BC.(写PO = |B C亦可)证明：•••△ POB◎△ POA , • PB = PA.•/ BD = 2PA, • BD = 2PB.•/ BC // PO, •△ DBC DPO.• BC_ PO BD 2PD二.• 2PO= 3B C.DC BD 2 加 “2 DO = PD = 3，即 DC = 3OD.1 •••OC = 3OD. ••• DC = 2OC.设 OA = x , PA = y.则 OD = 3x , OB = x , BD = 2y.在 Rt A OBD 中,由勾股定理得(3X )2= x 2+ (2y)2,即 2x 2= y 2.10. （2016玉林）如图，AB 是O O 的直径，点C , D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形， 过点D 作O O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E , F ，连接BF.(1)求证：BF 是O O 的切线；⑵已知圆的半径为1 ,求EF 的长.解：⑴证明：连接OD.•/ EF 为O O 的切线，•••/ ODF = 90° .•••四边形AOCD 为平行四边形，• AO = DC , AO // DC.又••• DO = OC = OA ,DO = OC = DC.• △ DOC 为等边三角形.•••/ DOC = Z ODC = 60° .•/ DC // AO ,• / AOD =Z ODC = 60° .• / BOF = 180° -Z COD -Z AOD = 60° 在厶DOF 和厶BCF 中，DO = BO ,Z DOF = Z BOF ,OF = OF ,• △ DOF ◎△ BOF.• Z ODF = Z OBF = 90° .• BF 是O O 的切线.⑵ T Z DOF = 60° , Z ODF = 90 ° ,• Z OFD = 30° .TZ BOF = 60° , Z BOF = Z CFD + Z E , ■/x > 0, y > 0, • y = 2x , OP = x 2+ y 2= 3x. • sin类型4 与特殊四边形有关•••/ E=Z OFD = 30°.•••OF = OE.又••• OD 丄EF,•DE = DF.在Rt A ODF 中，/ OFD = 30 ° .•OF = 2OD.•DF = OF2- OD2= 22- 12=. 3.EF = 2DF = 2 3.11. (2016宁波)如图，已知O O的直径AB = 10,弦AC = 6, / BAC的平分线交O O于点D , 过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O O的切线；⑵求DE的长.解：⑴证明：连接OD.•/ AD 平分/ BAC ,•/ DAE = Z DAB.•/ OA = OD ,•/ ODA =Z DAO.•/ ODA =Z DAE.•OD // AE.•/ DE 丄AC ,•OD 丄DE.•DE是O O切线.⑵过点O作OF丄AC于点F.•AF = CF = 3.•OF = OA2- AF2= 52- 32= 4.•••/ OFE = Z DEF = Z ODE = 90° ,•四边形OFED是矩形.•DE = OF = 4.12. （2015桂林）如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点.（1）如图1,求O O的半径；⑵如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；⑶如图2,若点M是BC边上任意一点（不含B , C），以点M为直角顶点，在BC的上方作/ AMN = 90° ,交直线CP于点N,求证：AM = MN.图I 图2解：⑴连接0D, OC.••• PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点，•••/ ODP = Z OCP= 90°.•••四边形ABCD是O O的内接正方形，•••/ DOC = 90° , OD = OC.•四边形DOCP是正方形.•/ AB = 4, / ODC =Z OCD = 45° ,DO = CO = DC- si n45°==2 2.⑵连接EO, OP.•••点E是BC的中点，•••OE 丄BC , / OCE= 45 ° ,则/ EOP= 90° .•EO = EC = 2, OP = 2CO = 4.•PE = OE2+ OP2= 2 5.⑶证明：在AB上截取BF = BM.•/ AB = BC , BF = BM ,•AF = MC , / BFM =Z BMF = 45°.•••/ AMN = 90° ,•/ AMF +Z NMC = 45° , / FAM +Z AMF = 45°.•/ FAM =Z NMC.•••由⑴得PD = PC , / DPC = 90° ,.•./ DCP = 45° .•/ MCN = 135° .•••/AFM = 180° -Z BFM = 135° ,Z FAM =Z CMN ,在厶AFM 和厶MCN 中，AF = MC ,.Z AFM =Z MCN ,•△ AFM 也厶MCN(ASA).•AM = MN.。
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法一、通过圆的性质证明圆的切线圆的切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
我们可以通过圆的性质来证明圆的切线。
1. 方法一：利用圆的切线垂直于半径的性质证明对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。
根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。
我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到三角形OAP。
根据直角三角形的性质可知，线段OP与线段AP垂直。
因此，直线l与线段OA垂直。
我们要证明直线l只与圆相交于点A。
假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。
根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。
由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。
然而，根据直线的性质可知，直线l是直线OB的切线。
因此，线段OA与线段OB的长度相等，与直线l只与圆相交于点A的性质相矛盾。
所以，直线l只与圆相交于点A，即直线l是圆的切线。
因此，我们通过圆的切线垂直于半径的性质证明了直线l是圆的切线。
2. 方法二：利用圆的切线与半径的斜率关系证明对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。
根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。
我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到直线l的方程。
设直线l的斜率为k，直线l的方程为y = kx + b。
我们要证明直线l的斜率与线段OA的斜率相等。
由于线段OA是圆的半径，所以线段OA的斜率等于0。
根据直线的性质可知，直线l 与线段OA垂直，即直线l的斜率与线段OA的斜率的乘积为-1。
因此，直线l的斜率等于0的倒数，即k = 0。
因此，直线l的方程为y = b。
接下来，我们要证明直线l只与圆相交于点A。
假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。
根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。
由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。
然而，根据直线的性质可知，直线l与线段OB平行，即线段OA与线段OB的长度相等。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。
中考总复习圆切线专题
题型专项( 八)与切线有关的证明与计算种类 1 与全等三角形相关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点连结 CD ，交⊙ O 于点 E ，F，过圆心A ，B 分别作切线，交于O 作 OM ⊥ CD ，垂足为点BO，AO M.的延伸线于点C， D ，求证：(1) △ ACO ≌△ BDO ；(2)CE ＝ DF.证明：(1) ∵ AC ， BD 分别是⊙O 的切线，∴∠ A＝∠ B ＝ 90° .又∵ AO ＝ BO ，∠ AOC ＝∠ BOD ，∴△ ACO ≌△ BDO.(2) ∵△ ACO ≌△ BDO ，∴OC ＝ OD.又∵ OM ⊥ CD ，∴ CM ＝ DM.又∵ OM ⊥EF ，点 O 是圆心，∴EM ＝ FM.∴CM － EM ＝ DM － FM.∴CE ＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与 AC 的延伸线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连结 OC.(1)求证：△ CDQ 是等腰三角形；(2)假如△ CDQ ≌△ COB ，求 BP∶ PO 的值．解： (1) 证明：由已知得∠ACB ＝ 90°，∠ ABC ＝ 30° .∴∠ Q＝ 30°，∠ BCO ＝∠ ABC ＝ 30 ° .∵CD 是⊙ O 的切线， CO 是半径，∴CD ⊥ CO.∴∠ DCQ ＝∠ BCO ＝ 30° .∴∠ DCQ ＝∠ Q.故△ CDQ 是等腰三角形．(2)设⊙ O 的半径为 1，则 AB ＝ 2， OC＝ 1， BC ＝ .∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝ CB ＝ .∴AQ ＝ AC ＋ CQ＝ 1＋ .∴AP ＝ AQ ＝ .∴B P ＝ AB － AP ＝ .∴PO ＝ AP－ AO ＝ .∴B P ∶ PO＝ .3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延伸线上一点，点 E 在弧上且知足 PE2＝ PA· PC，连结 CE ， AE ， OE 交 CA 于点 D.(1) 求证：△ PAE ∽△ PEC；(2) 求证： PE 为⊙ O 的切线；(3) 若∠ B＝ 30°， AP＝ AC ，求证： DO ＝DP.证明： (1) ∵ PE2＝ PA·PC ，∴＝ .又∵∠ APE ＝∠ EPC，∴△ PAE ∽△ PEC.(2) ∵△ PAE ∽△ PEC，∴∠ PEA ＝∠ PCE.∵∠ PCE＝∠ AOE ，∴∠ PEA ＝∠ AOE. ∵ OA ＝ OE，∴∠ OAE ＝∠ OEA.∵∠ AOE ＋∠ OEA ＋∠ OAE ＝ 180°，∴∠ AOE ＋ 2∠ OEA ＝ 180°，即2∠ PEA ＋ 2∠OEA ＝ 180 ° .∴∠ PEA ＋∠ OEA ＝90 ° .∴PE 为⊙ O 的切线．(3)设⊙ O 的半径为 r，则 AB ＝ 2r.∵∠ B ＝ 30 °，∠ PCB ＝ 90°，∴ AC ＝ r， BC ＝ r. 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F，∴O F ＝ r.∵ AP ＝ AC ，∴AP ＝ .∵ PE2＝ PA·PC，∴ PE＝ r.在△ ODF 与△ PDE 中，∴△ ODF ≌△ PDE. ∴ DO ＝ DP.种类 2与相像三角形相关4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB BC 于点 E，连结 AE 交 CD 于点 P，交⊙ O ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙ O 交于点 F ，连结 DF，∠ CAE ＝∠ ADF.(1)判断 AB 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)若 PF∶ PC＝ 1∶ 2， AF ＝ 5，求 CP 的长．解： (1)AB 是⊙ O 切线．原因：∵∠ ACB ＝ 90°，∴∠ CAE ＋∠ CEA ＝ 90 °.∵∠ CAE ＝∠ ADF ，∠ CDF ＝∠ CEA ，∴∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90° .∴ AB 是⊙ O 切线．(2) 连结 CF.∵∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90°，∠ PCF＋∠ CDF ＝ 90°，∴∠ ADF ＝∠ PCF.∴∠ PCF＝∠ PAC.又∵∠ CPF＝∠ APC ，∴△ PCF∽△ PAC. ∴＝ .∴P C 2＝ PF·PA. 设 PF＝ a，则 PC＝ 2a.∴4a2＝a(a＋ 5)．∴a＝ .∴P C ＝ 2a＝ .5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连结BE交CD于点F，过点E作直线 EP 与 CD 的延伸线交于点 P，使∠ PED＝∠ C.(1)求证： PE 是⊙ O 的切线；(2)求证： ED 均分∠ BEP；(3)若⊙ O 的半径为 5， CF＝ 2EF，求 PD 的长．解： (1) 证明：连结OE.∵CD 是圆 O 的直径，∴∠ CED ＝ 90 °.∵OC ＝ OE，∴∠ C＝∠ OEC.又∵∠ PED ＝∠ C，∴∠ PED ＝∠ OEC.∴∠ PED ＋∠ OED ＝∠ OEC ＋∠ OED ＝ 90°，即∠ OEP ＝ 90 ° .∴OE ⊥ EP.又∵点 E 在圆上，∴PE 是⊙ O 的切线．(2)证明：∵ AB ， CD 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝∠ CED ＝ 90 °.∴∠ AEC ＝∠ DEB( 同角的余角相等)．又∵∠ PED ＝∠ C， AE ∥ CD ，∴∠ PED ＝∠ DEB ，即ED 均分∠ BEP.(3) 设 EF＝ x ，则 CF＝ 2x.∵⊙ O 的半径为5，∴O F ＝2x － 5.在Rt△ OEF 中， OE 2＝ EF2＋ OF2，即 52＝ x2＋ (2x － 5) 2，解得 x＝4，∴EF ＝ 4.∴B E ＝ 2EF＝ 8， CF＝ 2EF ＝ 8.∴D F ＝ CD－ CF ＝ 10－ 8＝ 2.∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝ 90 °.∵AB ＝ 10， BE ＝8，∴ AE ＝ 6.∵∠ BEP ＝∠ A ，∠ EFP＝∠ AEB ＝ 90°，∴△ EFP∽△ AEB.∴＝，即＝ .∴P F＝ .∴P D ＝ PF－ DF ＝－ 2＝ .6．(2014·桂林)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延伸线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙ O 的直径，过点 C 作 CG⊥ AD 于点 E，交 AB 于点 F，交⊙ O 于点 G.(1)判断直线 PA 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)求证： AG 2＝ AF·AB ；(3)若⊙ O 的直径为 10 ， AC ＝ 2， AB ＝ 4，求△ AFG 的面积．解： (1)PA 与⊙ O 相切．原因：连结CD.∵AD 为⊙ O 的直径，∴∠ ACD ＝ 90 ° .∴∠ D ＋∠ CAD ＝ 90 °.∵∠ B ＝∠ D ，∠ PAC ＝∠ B ，∴∠ PAC ＝∠ D.∴∠ PAC ＋∠ CAD ＝ 90°，即 DA ⊥ PA.∵点 A 在圆上，∴ PA 与⊙ O 相切．(2)证明：连结 BG.∵AD 为⊙ O 的直径， CG⊥ AD ，∴＝ .∴∠ AGF ＝∠ ABG.∵∠ GAF ＝∠ BAG ，∴△ AGF ∽△ ABG.∴AG ∶ AB ＝ AF ∶ AG. ∴ AG 2＝ AF·AB.(3) 连结 BD.∵AD 是直径，∴∠ ABD ＝ 90° .∵AG 2＝ AF·AB ， AG ＝ AC ＝ 2， AB ＝ 4，∴AF ＝＝ .∵CG ⊥ AD ，∴∠ AEF ＝∠ ABD ＝ 90 ° .∵∠ EAF ＝∠ BAD ，∴△ AEF ∽△ ABD.∴＝，即＝，解得 AE ＝ 2.∴E F ＝＝ 1.∵EG ＝＝ 4，∴F G ＝EG － EF＝ 4－1＝ 3.∴S△AFG＝ FG·AE ＝× 3× 2＝ 3.种类 3与锐角三角函数相关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点 P， OP 交 AB 于点 D ， BC ， PA 的延伸线交于点 E.(1)求证： PA 是⊙ O 的切线；(2)若 sin∠ E＝， PA ＝ 6，求 AC 的长．解： (1) 证明：连结OA.∵AC ∥ OP，∴∠ AOP ＝∠ OAC ，∠ BOP ＝∠ OCA.∵OA ＝ OC ，∴∠ OCA ＝∠ OAC. ∴∠ AOP ＝∠ BOP.又∵ OA ＝ OB ， OP＝ OP，∴△ AOP ≌△ BOP. ∴∠ OAP ＝∠ OBP.∵B P ⊥ CB ，∴∠ OAP ＝∠ OBP ＝ 90° .∴ OA ⊥ PA.∴PA 是⊙ O 的切线．(2)∵ PB⊥ CB ，∴ PB 是⊙ O 的切线．又∵ PA 是⊙ O 的切线，∴PA ＝PB＝ 6.又∵ sin E＝＝＝，∴ AO ＝ 3.在Rt△ OPB 中， OP＝＝ 3.∵B C 为⊙ O 直径，∴∠ CAB ＝ 90° .∴∠ CAB ＝∠ OBP ＝ 90°，∠ OCA ＝∠ BOP.∴△ ACB ∽△ BOP. ∴＝ .∴AC ＝＝＝ .8．(2015·贵宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连结 AD ， BD ， BD 交 AC 于点 F.(1)求证： BD 均分∠ ABC ；(2)延伸 AC 到点 P，使 PF＝ PB，求证： PB 是⊙ O 的切线；(3)假如 AB ＝10 ， cos∠ ABC ＝，求 AD.解： (1) 证明：∵ OD ∥ BC ，∴∠ ODB ＝∠ CBD.∵OB ＝ OD ，∴∠ OBD ＝∠ ODB.∴∠ CBD ＝∠ OBD.∴B D 均分∠ ABC.(2)证明：∵⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC 的外接圆，∴∠ ACB ＝ 90° .∴∠ CFB ＋∠ CBF ＝ 90° .∵P F＝ PB，∴∠ PBF＝∠ CFB.由(1) 知∠ OBD ＝∠ CBF ，∴∠ PBF ＋∠ OBD ＝ 90° .∴∠ OBP ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(3)∵在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB ＝10，∴cos∠ ABC ＝＝＝ .∴B C ＝ 6， AC ＝＝ 8.∵OD ∥ BC ，∴△ AOE ∽△ ABC ，∠ AED ＝∠ OEC ＝ 180 °－∠ ACB ＝ 90 °.∴＝＝，＝＝ .∴AE ＝ 4， OE＝ 3.∴D E ＝ OD － OE＝ 5－ 3＝ 2.∴AD ＝＝＝ 2.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB 交直线 AC 于点 D ， BD ＝ 2PA.(1)证明：直线 PB 是⊙ O 的切线；(2)研究线段 PO 与线段 BC 之间的数目关系，并加以证明；(3)求 sin∠ OPA 的值．解： (1) 证明：连结OB.∵B C ∥ OP， OB ＝OC ，∴∠ BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠ POB ，∠ BCO ＝∠ CBO.∴∠ POA ＝∠ POB. 又∵ PO ＝ PO， OB ＝ OA ，∴△ POB ≌△ POA. ∴∠ PBO ＝∠ PAO ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(2)2PO ＝ 3BC.( 写 PO＝ BC 亦可 )证明：∵△ POB ≌△ POA ，∴ PB＝ PA.∵B D ＝ 2PA ，∴ BD ＝ 2PB.∵B C ∥ PO，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝ .∴ 2PO＝ 3BC.(3) ∵ CB ∥ OP，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝，即 DC ＝ OD.∴OC ＝ OD. ∴ DC＝ 2OC.设OA ＝ x， PA ＝ y.则 OD＝ 3x， OB ＝ x ， BD ＝ 2y.在Rt△ OBD 中，由勾股定理得 (3x) 2＝ x2＋ (2y) 2，即 2x2＝ y2.∵x＞ 0， y＞ 0，∴ y＝ x，OP ＝＝ x.∴s in ∠ OPA ＝＝＝＝ .种类 4与特别四边形相关10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D 作⊙ O 的切线，分别交 OA 延伸线与 OC 延伸线于点 E， F，连结 BF.(1)求证： BF 是⊙ O 的切线；(2)已知圆的半径为 1，求 EF 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵E F 为⊙ O 的切线，∴∠ ODF ＝ 90 °.∵四边形AOCD 为平行四边形，∴AO ＝ DC ， AO ∥ DC.又∵ DO ＝ OC ＝ OA ，∴DO ＝ OC ＝ DC.∴△ DOC 为等边三角形．∴∠ DOC ＝∠ ODC ＝ 60° .∵DC ∥ AO ，∴∠ AOD ＝∠ ODC ＝60 ° .∴∠ BOF ＝ 180°－∠ COD －∠ AOD ＝ 60° .在△ DOF 和△ BCF 中，∴△ DOF ≌△ BOF.∴∠ ODF ＝∠ OBF ＝ 90° .∴BF 是⊙ O 的切线．(2)∵∠ DOF ＝ 60°，∠ ODF ＝90°，∴∠ OFD ＝ 30 °.∵∠ BOF ＝ 60°，∠ BOF ＝∠ CFD ＋∠ E，∴∠ E ＝∠ OFD ＝30 ° .∴O F ＝OE.又∵ OD ⊥ EF，∴D E ＝ DF.在Rt△ ODF 中，∠ OFD ＝ 30 °.∴O F ＝2OD.∴D F ＝＝＝ .∴E F ＝ 2DF ＝2.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB ＝ 10，弦 AC ＝ 6，∠ BAC 的均分线交⊙O 于点 D ，过点D 作 DE ⊥ AC 交 AC 的延伸线于点 E.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)求 DE 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAB.∵OA ＝ OD ，∴∠ ODA ＝∠ DAO.∴∠ ODA ＝∠ DAE.∴OD ∥ AE.∵DE ⊥ AC ，∴OD ⊥ DE.∴DE 是⊙ O 切线．(2) 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F.∴AF ＝ CF＝ 3.∴O F ＝＝＝ 4.∵∠ OFE ＝∠ DEF ＝∠ ODE ＝ 90°，∴四边形OFED 是矩形．∴D E ＝ OF ＝ 4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C， D 为切点．(1)如图 1，求⊙ O 的半径；(2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连结 PE，求 PE 的长度；(3)如图 2，若点 M 是 BC 边上随意一点 (不含 B ，C)，以点 M 为直角极点，在 BC 的上方作∠ AMN＝90 °，交直线 CP 于点 N ，求证： AM ＝ MN.解： (1) 连结 OD ， OC.∵P C ， PD 是⊙ O 的两条切线， C， D 为切点，∴∠ ODP ＝∠ OCP ＝ 90° .∵四边形ABCD 是⊙ O 的内接正方形，∴∠ DOC ＝ 90°， OD ＝ OC.∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝ 4，∠ ODC ＝∠ OCD ＝ 45°，∴DO ＝ CO ＝ DC·sin45°＝ 4×＝ 2.(2) 连结 EO， OP.∵点 E 是 BC 的中点，∴OE ⊥ BC ，∠ OCE ＝ 45 °，则∠ EOP ＝ 90° .∴EO ＝ EC ＝ 2， OP＝ CO＝ 4.∴P E＝＝ 2.(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.∵AB ＝ BC ， BF ＝ BM ，∴AF ＝MC ，∠ BFM ＝∠ BMF ＝ 45° .∵∠ AMN ＝ 90°，∴∠ AMF ＋∠ NMC ＝ 45°，∠ FAM ＋∠ AMF ＝ 45° .∴∠ FAM ＝∠ NMC.∵由 (1) 得 PD ＝ PC，∠ DPC ＝ 90°，∴∠ DCP ＝ 45° .∴∠ MCN ＝ 135° .∵∠ AFM ＝ 180 °－∠ BFM ＝ 135 °，在△ AFM 和△ MCN 中，∴△ AFM ≌△ MCN( ASA)．∴AM ＝ MN.。
2022年中考数学大题圆证明切线的两种常用方法及专项练习题汇总
2022中考数学圆综合大题证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC 相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．参考答案【例1】 证明：法一：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠B.∴∠BDO ＝∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切．法二：连接OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DM ⊥AC ，∴∠CAD ＋∠ADM ＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA.∴∠ODA ＋∠ADM ＝90°.即OD ⊥DM ，∴DM 是⊙O 的切线．1.(1)连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBC.∵OA ⊥OD ，∴∠AOC ＝90°.∴∠OAC ＋∠OCA ＝90°.∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠DBC.∵∠DCB ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠DBC.∴∠DBC ＋∠OBC ＝90°.∴∠OBD ＝90°.∵点B 是半径OB 的外端，∴BD 与⊙O 相切．(2)设BD ＝x ，则CD ＝x ，OD ＝x ＋1，OB ＝OA ＝3，由勾股定理得：32＋x 2＝(x ＋1)2.解得x ＝4.∴BD ＝4.2.(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2.(2)BC 是⊙O 的切线，理由如下：连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD.∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD.∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．3.(1)连接OA ，OD ，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝52＋22＝29.【例2】法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．5.(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴EB＝FC.∵AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC，∴AC＝5＋3＝8.2022年中考数学复习专题---圆中阴影面积计算班级：___________姓名：___________学号：___________1．如图，直线y kx b=+经过点M(1，√3)和点N(1−，3√3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积．2．如图，AAAA是⊙OO的直径，CC,DD是圆上两点，且有BD�=CCDD�，连结AADD,AACC，作DDDD⊥AACC的延长线于点DD．(1)求证：DDDD是⊙OO的切线；(2)若AADD=2√3,∠AADDDD=60∘，求阴影部分的面积．（结果保留ππ）3．如图，AAAA是圆OO的直径，AACC⊥AAAA，DD为圆OO上的一点，AACC=DDCC，延长CCDD交AAAA的延长线于点DD.(1)求证：CCDD为圆OO的切线.(2)若OOFF⊥AADD，OOFF=1，30∠=o，求圆中阴影部分的面积.(结果保留ππ)OAF4．如图，⊙OO是等边ΔAAAACC的外接圆，连接AAOO并延长至点PP，且AAAA=AAPP．（1）求证：PPAA是⊙OO的切线；（2）若AAAA=2√3，求图中阴影部分的面积．（结果保留ππ和根号）5．如图，OO为等边△AAAACC的外接圆，DD为直径CCDD延长线上的一点，连接AADD，AADD=AACC．（1）求证：AADD是⊙O的切线；（2）若CCDD=6，求阴影部分的面积．6．如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= 4√3，BC=4.（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积.7．已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．8．如图，AAAA为⊙OO的直径，弦CCDD⊥AAAA，垂足为DD，CCDD=4√5，连接OOCC,OODD=2DDAA,FF为圆上一点，过点FF作圆的切线交AAAA的延长线于点GG，连接AAFF,AAFF=AAGG．（1）求⊙OO的半径；（2）求证：AAFF=FFGG；（3）求阴影部分的面积．9．如图，△ABC中，∠C=90º，∠ABC=2∠A，点O在AC上，OA=OB,以O为圆心，OC为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BC=3，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，∠CC=60∘，⊙OO是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．(1)求证：PA是⊙OO的切线；(2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积.(结果保留ππ和根号)11．如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积12．如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD于G,OG:OC=3:5,AB=8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点,∠ECD=15º,将弧CE沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.13．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）.14．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．（1）求点O到AB的距离；（2）求阴影部分的面积．15．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA 的延长线交于点E，连接CE，求阴影部分的面积．16．如图，∠APB的平分线过点O，以O点为圆心的圆与PA相切于点C，DE为⊙O的直径．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠CPO＝50°，∠E＝25°，求∠POD；（3）若⊙O的半径为2，CE＝2√3，求阴影部分的面积．17．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A 关于直线PO对称，已知OA=4，∠POA=60°求：（1）弦AB的长；（2）阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA⊥AB。
由于AB是切线，所以AB⊥OB。
综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。
由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。
根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。
所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。
方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA=OB=r。
根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。
因为AB是切线，所以∠OAB=90°。
又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。
所以，三角形OAB是直角三角形。
由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。
代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。
化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。
所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。
综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题——圆切线证明中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运⽤，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常⽤以下两种⽅法：⼀是连半径证垂直，⼆是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运⽤，掌握三⾓形和多边形的内切圆，三⾓形的内⼼。
精典例题：⼀、若直线l过⊙O上某⼀点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就⾏了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上⼀点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正⽅形，G是BC延长线上⼀点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.⼆、若直线l与⊙O没有已知的公共点，⼜要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂⾜，证明OA 是⊙O的半径就⾏了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB 是⊙O 的弦（⾮直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ．例2已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，求证：△DEC 为等腰三⾓形．例3如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°⾓，CD 与⊙O 切于C ，交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ．例4如图20-12，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，AB AF ，BF 和AD 交于E ，求证：AE=BE ．例5如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 2的弦相交于D ，DE ⊥OC ，垂⾜为E ．（1）求证：AD=DC ．（2）求证：DE 是⊙O 1的切线．B 例6如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN上是否存在⼀点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆⼼O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(2OG DE ?=，求⊙O 的⾯积。
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中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，»»AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．例7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切AB CDEF G O19.如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(22)OG DE ⋅=，求⊙O 的面积。
12、如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为⋂BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD 。
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果AB ＝2，AD ＝4，EG ＝2，求⊙O 的半径。
••第11题图QC OB•第12题图DEF G CBA•第13题图ODECBA13、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1，求BCD S ∆。
1如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求CF :CE 的值。
2如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若35AC AB =，求AFDF的值。
BA(第22题图)3如图，ABC △中，90ABC ∠=°，以为直径作交边于点，是边的中点，连接． （1）求证：直线是的切线；（2）连接交于点，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．4．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1） （2）CEBAO F D DCOAE如图18，四边形ABCD 内接于，是的直径，AE CD ⊥，垂足为，平分BDE ∠． （1）求证：是的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==o，，求的长．如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=o ，以AB 为直径的O e 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ．（1）求证：DE 与O e 相切；（2）若O e，3DE =，求AE ．24、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.（第24题）图18【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
证明：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值； （3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
•例1图 321M FO E D CBA 例2图E O D C B A•例3图321OD CBA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。
（1）求∠G 的余弦值；（2）求AE 的长。
【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
•问题一图 GFE O DC B A 问题二图 N Q P EO D C BA圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型1、已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若33sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径．2、已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ． （1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝5，AB ＝8，求OF 的长．3、如图，ABC ∆是等腰三角形，AC AB =，以AC 为 直径的⊙O 与BC 交于点D ，AB DE ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；OF EDC B AE O B HC AD F A BFCDEOA（2）若⊙O 的半径为2，1=BE ，求A cos 的值．4、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，BC 切O e 于B ，AC 交O ⊙于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O ⊙的切线； (2) 若3cos 5A =， O ⊙的半径为5， 求DP 的长.5、如图，在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B M ，两点的O ⊙交点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O ⊙的直径． （1）求证：AE 与O ⊙相切；（2）当14cos 3BC C ==，时，求O ⊙的半径．6、如图，AB 是O ⊙的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N,交BC 的延长线于点E,直线CF 交EN 于点F,且.ECF E ∠=∠（1）证明CF 是O ⊙的切线(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.BBCAACFOFOEDCB A（9题图）7、如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F. 求证：△DFC 是等腰三角形.8、在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长．9、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．10、如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．11、已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ． （1）求证：AD ＝DC ；（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．12、如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，AC 交AC DE ⊥的延长线于点E ，B B F A ⊥交AD 的延长线于点F ，（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若,3=DE ⊙O 的半径为5，求BF 的长．13、如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin ∠E 的值．F EDCBAO14、如图，为半圆的直径，点C 在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且BAC D ∠=∠. （1）求证：是半圆O 的切线； （2）若2=BC ，2=CE ，求的长.15、已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=2，sinC=12时，求⊙O 的半径．16、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，M 是 BC ⌒ 的中点，OM 交⊙O 的 切线BP 于点P ．（1）判断直线PC 和⊙O 的位置关系，并证明你的结论．（2）若sin ∠BAC ＝，⊙O 的半径为2， 求线段PC 的长．17、如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = ，求BC 的长．18、已知，如图，直线MN 交⊙O 于A,B 两点，AC 是直径， AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；O B AC EDAFD OEBG COBCEA（2）若6DE =cm ，3AE =cm ，求⊙O 的半径.19、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦OD AC //,BD 切⊙O 于B ,联结CD ． （1）判断CD 是否为⊙O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若2=AC ,6=OD ,求⊙O 的半径．20、如图，⊙O 的直径AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D 的直线EF ∥AC ，交BA 、BC 的延长线于点E 、F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求DE 的长．21、已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.22、已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =，OB AC 21=． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若︒=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．OF ED C BAA A第19题23、如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝32，求EF 的长．24、如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.25、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠FAE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长．26、已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ．（1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长．ABCDP E ．O（第26题）A27、已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=o ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB于点E ，过B 、D 、E 三点作⊙O ． （1）求证:AC 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，若BC =9， CA =12.求EF AC的值.28、在Rt △ABC 中，∠C=90ο， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线; （2）联结EF ，求EFAC的值14、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。