圆的切线专题复习

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专题复习与圆的切线有关的证明

经过半径外端且垂直这条半径
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。有切点，连半径，证垂直（2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心，为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直于经过切点的半径．定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直于这条半径的直线是圆定理：经过半径的外端并且________ 的切线．证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线：连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

中考总复习圆的切线专题

题型专项（八）与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1. （2016梧州）如图，过O O上的两点A , B分别作切线，交于BO , AO的延长线于点C, D,连接CD ,交O O于点E, F,过圆心O作OM丄CD ,垂足为点M.求证：（1）△ ACO ◎△ BDO ;（2）CE = DF.证明：⑴•/ AC , BD分别是O O的切线，.•./ A = Z B= 90°.又••• AO = BO , / AOC =Z BOD ,•••△ ACO 也厶BDO.(2) •/△ ACO ◎△ BDO ,•••OC = OD.又••• OM 丄CD , • CM = DM.又••• OM丄EF,点O是圆心,•EM = FM.•CM —EM = DM —FM.•CE = DF.2. (2016玉林模拟)如图，AB是O O的直径，/ BAC = 60° , P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.(1)求证：△ CDQ是等腰三角形；⑵如果△ CDQ COB ,求BP : PO的值.解：⑴证明：由已知得/ ACB = 90° , / ABC = 30°•/ Q= 30° , / BCO =Z ABC = 30°.•/ CD是O O的切线，CO是半径，•CD 丄CO.•/ DCQ = Z BCO = 30°.•/ DCQ = Z Q.故厶CDQ是等腰三角形.(2)设O O 的半径为1 ,则AB = 2, OC= 1 , BC = .3.•••等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，•CQ = CB = ,3.二 AQ = AC + CQ = 1 +＜：,:: 3.••• AP = 2AQ = ^^.••• Bp =AB -AP =违严 •••PO =AP -AO =¥• BP : PO = 3.3. (2016柳州)如图，AB ABC 外接圆O O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点点E 在弧上且满足 PE 1 2= PA - PC ,连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D.(1) 求证：△ PAE s^ PEC ;⑵求证：PE 为O O 的切线；1⑶若/ B = 30° , AP = 2AC ,求证：DO = DP.证明： ⑴•/ PE 2=PA-PC ,• PE = PA…PC = PE .又•••/ APE = Z EPC ,• △ PAE s^ PEC.⑵•/△ PAEPEC ,PEA = Z PCE.1 •••/ PCE =孑/ AOE ,1 •••/ PEA = -Z AOE. v OA = OE , 2•••/ OAE = Z OEA.•••/ AOE + Z OEA + Z OAE = 180 ° ,•••/ AOE + 2/ OEA = 180° ,即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 ° .•••/ PEA + Z OEA = 90° .• PE 为O O 的切线.⑶设O O 的半径为r ,则AB = 2r.•••/ B = 30 ° , / PCB = 90 ° , • AC = r , BC =3r.过点O 作OF 丄AC 于点F , AP =匸 v PE 2= PA-PC , • PE =」r. 2' ~ ' 2 在厶ODF 与厶PDE 中， .•/ AP = ^AC ,/ ODF = Z PDE ,/ OFD = Z PED ,OF = PE ,•••△ ODF ◎△ PDE. ••• DO = DP.类型2与相似三角形有关针对训练4. (2016泰州)如图，在厶ABC 中，/ ACB = 90 °，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的O O 交BC 于点E ,连接AE 交CD 于点P ,交O O 于点F ，连接DF , / CAE = Z ADF.(1) 判断AB 与O O 的位置关系，并说明理由；⑵若 PF : PC = 1 : 2, AF = 5,求 CP 的长.解：(1)AB 是O O 切线.理由：•••/ ACB = 90° ,•••/ CAE + Z CEA = 90° .•••/ CAE = Z ADF , / CDF = Z CEA ,•••/ ADF + Z CDF = 90° .• AB 是O O 切线.⑵连接CF.•••/ ADF + Z CDF = 90° , / PCF +Z CDF = 90° ,•••/ ADF = Z PCF.•••/ PCF =Z PAC.又•••/ CPF =Z APC ,PC 2= PF PA.设 PF = a ,贝U PC = 2a. •- 4a 2 = a(a + 5).• a = 3.PC = 2a =隊5. (2015北海)如图，AB , CD 为O O 的直径，弦AE // CD ,连接BE 交CD 于点F ,过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点 P ,使/ PED = Z C.(1) 求证：PE 是O O 的切线；⑵求证：ED 平分/ BEP ;⑶若O O 的半径为5, CF = 2EF ,求PD 的长.PC • △ P — PAC. •矿 PF PC .解：⑴证明：连接0E.•「CD是圆0的直径，•••/ CED = 90° .•/ 0C = 0E ,•••/ C=Z OEC.又•••/ PED = Z C,•••/ PED = Z OEC.•••/ PED + Z OED = Z OEC + Z OED = 90° ,即/ OEP= 90° .•••OE 丄EP.又「•点E在圆上，•PE是O O的切线.(2) 证明：T AB , CD为O O的直径，•••/ AEB =Z CED = 90°.•••/ AEC = Z DEB(同角的余角相等).又•••/ PED = Z C, AE // CD,•••/ PED = Z DEB ,即ED平分/ BEP.⑶设EF= x,则CF= 2x.TO O的半径为5,•OF = 2x — 5.在Rt A OEF 中,OE2= EF2+ OF2,即52= x2+ (2x —5)2,解得x = 4,•EF = 4.•BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8.•DF = CD —CF= 10 —8= 2.•/ AB为O O的直径，•••/ AEB = 90° .•/AB = 10, BE = 8,•AE = 6.•••/ BEP = Z A , / EFP =Z AEB = 90° ,•△EFP s^ AEB.•在=圧即疋=4BE AE' 8 6'PF =16 10PD = PF—DF = —2 ='3 3'6. (2014桂林)如图，△ ABC为O O的内接三角形，P为BC延长线上一点，/ PAC=Z B, AD为O O的直径，过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交O O于点G.(1)判断直线PA与O O的位置关系，并说明理由；学习必备欢迎下载2 (2) 求证：AG = AF-AB ；(3) 若O O 的直径为10, AC = 2 5, AB = 4.5,求厶AFG 的面积.解：⑴PA 与O O 相切.理由：连接CD.•/ AD 为O O 的直径，•••/ ACD = 90° ••••/ D + Z CAD = 90°•••/ B =Z D , / PAC =Z B ,•••/ PAC =Z D.•••/ PAC +Z CAD = 90° ,即 DA 丄 PA.•••点A 在圆上，• PA 与O O 相切.⑵证明：连接BG.•/ AD 为O O 的直径，CG 丄AD ,• A C = AG . •••/ AGF = Z ABG.•/Z GAF = Z BAG , AGFABG.• AG : AB = AF : AG.「. AG 2= AF-AB.⑶连接BD.•/ AD 是直径，•••/ ABD = 90° .•/AG 2= AF-AB , AG = AC = 2 5, AB = 4 5,AB•/ CG 丄 AD , •••/ AEF = Z ABD = 90° /Z EAF = Z BAD , AEF ABD.• EF = AF 2 — AE 2= 1.•/ EG = AG 2— AE 2= 4,• FG = EG — EF = 4— 1 = 3.1 1 • AFG = ^FG -AE =2 X3 X 2= 3. 类型3与锐角三角函数有关针对训练7. (2014梧州)如图，已知O O 是以BC 为直径的厶ABC 的外接圆，OP // AC ,且与BC 的垂线交于点P , OP 交AB 于点D , BC , PA 的延长线交于点 E.(1)求证：PA 是O O 的切线；3⑵若 sin Z E = 5, PA = 6,求 AC 的长.• Al =篇，即4V 才解得AE =2. • Al = AF AB = AD解：⑴证明：连接OA.•/ AC // OP , •••/ AOP = Z OAC , / BOP = Z OCA.•/ OA = OC , OCA = Z OAC. AOP = Z BOP.又••• OA = OB , OP = OP ,• △ AOP ◎△ BOP.A Z OAP = Z OBP.•/ BP 丄 CB , OAP = Z OBP = 90° .• OA 丄 PA.• PA 是O O 的切线.⑵•/ PB 丄CB , • PB 是O O 的切线.又••• PA 是O O 的切线，PA = PB = 6.在 Rt A OPB 中,OP = 62+ 32= 3 5.•/ BC 为O O 直径，CAB = 90° .•••/ CAB = Z OBP = 90° , / OCA =Z BOP.AC CB• △ ACB 亠 BOP .. BO =丽. CB ・BO = J8_= 6/5OP =3』5= 58. (2015来宾)已知O O 是以AB 为直径的厶ABC 的外接圆，OD // BC 交O O 于点 D ,交 AC 于点E ,连接AD , BD , BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分/ ABC ;⑵延长AC 到点P,使PF = PB ,求证：PB 是O O 的切线；3 亠(3) 如果 AB = 10, cos /ABC = 5,求 AD.解：（1）证明：T OD // BC ,ODB = / CBD.T OB = OD ,OBD = / ODB.CBD = / OBD.• BD 平分/ ABC. 又T sinE = PB _ EP = AO _ 3EO = 5， • • AO = 3.• AC(2) 证明：TO O是以AB为直径的厶ABC的外接圆，•••/ ACB = 90°. •••/ CFB + Z CBF = 90°.•/ PF = PB, PBF = Z CFB.由(1)知/ OBD =Z CBF ,•••/ PBF + Z OBD = 90° ••••/ OBP = 90°.•PB是O O的切线.(3) •••在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° , AB = 10,•cos/ ABC = BC = BC = 3AB 10 5'•BC = 6, AC = AB2—BC2= 8.•/ OD // BC ,•△AOEABC , / AED = / OEC = 180°—/ ACB = 90•AE_ OE _ AO AE _ OE _ _5_…AC =BC =AB，8 = 6 =10.•AE = 4, OE= 3.•DE = OD —OE= 5—3 = 2.•AD = AE2+ DE2= 42+ 22= 2 5.9. (2016柳州模拟)如图，已知：AC是O O的直径，PA丄AC,连接OP,弦CB // OP,直线PB 交直线AC于点D, BD = 2PA.(1) 证明：直线PB是O O的切线；(2) 探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明; ⑶求sin/ OPA的值.解：⑴证明：连接OB.•/ BC // OP, OB = OC,•/ BCO = / POA ,/ CBO =/ POB , / BCO = / CBO.•/ POA = / POB.又T PO= PO, OB = OA ,•△ POB◎△ POA. •/ PBO = / PAO = 90°•PB是O O的切线.(2)2PO = 3BC.(写PO = |B C亦可)证明：•••△ POB◎△ POA , • PB = PA.•/ BD = 2PA, • BD = 2PB.•/ BC // PO, •△ DBC DPO.• BC_ PO BD 2PD二.• 2PO= 3B C.DC BD 2 加 “2 DO = PD = 3，即 DC = 3OD.1 •••OC = 3OD. ••• DC = 2OC.设 OA = x , PA = y.则 OD = 3x , OB = x , BD = 2y.在 Rt A OBD 中,由勾股定理得(3X )2= x 2+ (2y)2,即 2x 2= y 2.10. （2016玉林）如图，AB 是O O 的直径，点C , D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作O O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E , F ，连接BF.(1)求证：BF 是O O 的切线；⑵已知圆的半径为1 ,求EF 的长.解：⑴证明：连接OD.•/ EF 为O O 的切线，•••/ ODF = 90° .•••四边形AOCD 为平行四边形，• AO = DC , AO // DC.又••• DO = OC = OA ,DO = OC = DC.• △ DOC 为等边三角形.•••/ DOC = Z ODC = 60° .•/ DC // AO ,• / AOD =Z ODC = 60° .• / BOF = 180° -Z COD -Z AOD = 60° 在厶DOF 和厶BCF 中，DO = BO ,Z DOF = Z BOF ,OF = OF ,• △ DOF ◎△ BOF.• Z ODF = Z OBF = 90° .• BF 是O O 的切线.⑵ T Z DOF = 60° , Z ODF = 90 ° ,• Z OFD = 30° .TZ BOF = 60° , Z BOF = Z CFD + Z E , ■/x > 0, y > 0, • y = 2x , OP = x 2+ y 2= 3x. • sin类型4 与特殊四边形有关•••/ E=Z OFD = 30°.•••OF = OE.又••• OD 丄EF,•DE = DF.在Rt A ODF 中，/ OFD = 30 ° .•OF = 2OD.•DF = OF2- OD2= 22- 12=. 3.EF = 2DF = 2 3.11. (2016宁波)如图，已知O O的直径AB = 10,弦AC = 6, / BAC的平分线交O O于点D , 过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O O的切线；⑵求DE的长.解：⑴证明：连接OD.•/ AD 平分/ BAC ,•/ DAE = Z DAB.•/ OA = OD ,•/ ODA =Z DAO.•/ ODA =Z DAE.•OD // AE.•/ DE 丄AC ,•OD 丄DE.•DE是O O切线.⑵过点O作OF丄AC于点F.•AF = CF = 3.•OF = OA2- AF2= 52- 32= 4.•••/ OFE = Z DEF = Z ODE = 90° ,•四边形OFED是矩形.•DE = OF = 4.12. （2015桂林）如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点.（1）如图1,求O O的半径；⑵如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；⑶如图2,若点M是BC边上任意一点（不含B , C），以点M为直角顶点，在BC的上方作/ AMN = 90° ,交直线CP于点N,求证：AM = MN.图I 图2解：⑴连接0D, OC.••• PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点，•••/ ODP = Z OCP= 90°.•••四边形ABCD是O O的内接正方形，•••/ DOC = 90° , OD = OC.•四边形DOCP是正方形.•/ AB = 4, / ODC =Z OCD = 45° ,DO = CO = DC- si n45°==2 2.⑵连接EO, OP.•••点E是BC的中点，•••OE 丄BC , / OCE= 45 ° ,则/ EOP= 90° .•EO = EC = 2, OP = 2CO = 4.•PE = OE2+ OP2= 2 5.⑶证明：在AB上截取BF = BM.•/ AB = BC , BF = BM ,•AF = MC , / BFM =Z BMF = 45°.•••/ AMN = 90° ,•/ AMF +Z NMC = 45° , / FAM +Z AMF = 45°.•/ FAM =Z NMC.•••由⑴得PD = PC , / DPC = 90° ,.•./ DCP = 45° .•/ MCN = 135° .•••/AFM = 180° -Z BFM = 135° ,Z FAM =Z CMN ,在厶AFM 和厶MCN 中，AF = MC ,.Z AFM =Z MCN ,•△ AFM 也厶MCN(ASA).•AM = MN.。

期末复习专题---圆的切线

期末考试专题复习--------圆的切线一、切线性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

二、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；口诀：有切点，连切点证垂直；无切点，做垂直证半径三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，BE是△DEC外接圆的切线．（1）求∠C．（2）若CD=2，求BE．2.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BDE=60°，PD=，求PA的长．3. 如图，AB、CD 为⊙O 的直径，弦A E∥CD，连接BE 交C D 于点F，过点E作直线E P 与C D 的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）求证：ED 平分∠BEP．4.如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．5.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．期末考试专题复习--------圆的切线课下练习1.如图，△内接于，弦于，是直径，为的中点，求证：平分．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．（1）判断BE与△DCE的外接圆⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=，BD=1，求△DCE的外接圆⊙O的直径．3.如图，已知△ABC内接于⊙O，A B为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线．（2）若AC=3，CD=1，求图中阴影部分的面积．4.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．（1）求AC与BD的长；（2）求四边形ADBC的面积．5. 如图，D为半圆上一点，，CE⊥BD于点E.（1）求证：C是CE与半圆O的切点；（2）已知AB=10，BC=8，求EC的长.。

专题切线与切点弦问题-高考数学大一轮复习

专题36 切线与切点弦问题【方法技巧与总结】1、点()00 M x y ，在圆222x y r +=上，过点M 作圆的切线方程为200x x y y r +=．2、点()00 M x y ，在圆222x y r +=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为200x x y y r +=．3、点()00 M x y ，在圆222x y r +=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y r +=．4、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=上，过点M 作圆的切线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．5、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．6、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．7、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b +=1(0)a b >>上，过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=．8、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b +=1(0)a b >>外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=． 9、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过A B ，作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线02x x a +021y yb=． 10、点()00 M x y ，在双曲线2222x y a b -=1(0 0)a b >>，上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．11、点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=． 12、点()00 M x y ，在双曲线22x a -221(0 0)y a b b =>>，内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过 A B ，作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00221x x y ya b-=． 13、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >上，过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+．14、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+．15、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过 A B ，作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()00y y p x x =+．【题型归纳目录】题型一：切线问题题型二：切点弦过定点问题题型三：利用切点弦结论解决定值问题题型四：利用切点弦结论解决最值问题题型五：利用切点弦结论解决范围问题【典例例题】题型一：切线问题例1．已知平面直角坐标系中，点(4,0)到抛物线21:2(0)C y px p =>准线的距离等于5，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点．（1）求1C ，2C 的方程；（2）如图，过点(E m ，0)(2)m >作椭圆2C 的切线交1C 于A ，B 两点，在x 轴上取点G ，使得AGE BGE ∠=∠，试解决以下问题：①证明：点G 与点E 关于原点中心对称；②若已知ABG ∆的面积是椭圆2C 四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB 的方程．【解析】（1）解：因为点(4,0)到抛物线1C 的准线2px =-的距离等于5，所以452p +=，解得2p =，所以抛物线1C 的方程为24y x =；因为椭圆2C，且过点，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=；（2）①证明：因为2m >，且直线AB 与椭圆2C 相切，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-，联立22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(41)8440k x k mx k m +-+-=，因为直线AB 与椭圆2C 相切，所以△42222644(41)(44)0k m k k m =-+-=，即2214k m =-，联立2()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩，得2440ky y km --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12124,4y y y y m k+==-；设(,0)G t ，因为AGE BGE ∠=∠，所以0AG BG k k +=，则12120y yx t x t+=--，即211212()0x y x y t y y +-+=，即121212()()04y y y y t y y +-+=，又120y y +≠，所以124y y t m ==-，即(,0)G m -，即点G 与点E 关于原点中心对称；②解：椭圆2C 四个顶点所围成菱形面积为122242S a b ab =⨯⨯==，所以ABG ∆的面积为16464⨯=，则1211||||222ABG S GE y y ∆=-=⨯==，令64，即22(4)256m m m -+=，即42342560m m m -+-=，即42(256)(4)0m m m -+-=，即22(4)[(16)(4)]0m m m m -+++=，即32(4)(51664)0m m m m -+++=，因为2m >，所以4m =，2211412k m ==-，k =所以直线AB 的方程为4)y x =-．例2．某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>在任意一点0(M x ，0)y 处的切线方程为00221xx yy a b+=．现给定椭圆22:143x y C +=，过C 的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作C 的两条切线，两切线相交于点G ．（1）求点G 的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于M ，N 两点，证明：11||||PQ MN +为定值．【解析】（1）解：设直线PQ 为1x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，易得在P 点处切线为11143x x y y +=，在Q 点处切线为22143x x y y+=，由11221,431,43x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2112214()y y x x y x y -=-，又111x ty =+，221x ty =+，可得4x =，故点G 的轨迹方程4x =．（2）证明：联立l 的方程与C 的方程221,1,43x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690t y ty ++-=．由韦达定理，得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，所以2212(1)||34t PQ t +==+，因为PQ MN ⊥，将t 用1t -代，得222112(1)12(1)||13434t t MN t t ++==+⋅+，所以22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++．例3．已知圆222:(0)O x y r r +=>．（1）求证：过圆O 上点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=．类比前面的结论，写出过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点0(N x ，0)y 的切线方程（不用证明）．（2）已知椭圆22:143x y C +=，Q 为直线4x =上任一点，过点Q 作椭圆C 的切线，切点分别为A 、B ，求证：直线AB 恒过定点．【解析】（1）证明：因为圆222:O x y r +=，故圆心(0,0)O ，半径为r ，又0(M x ，0)y ，所以0OM y k x =，因为0(M x ，0)y 在圆上，所以过M 的圆的切线斜率0x k y =-，所以过M 的圆的切线方程为0000()x y y x x y -=--，① 又因为22200x y r +=，② 由①②整理得，为200x x y y r +=．所以过圆O 上点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点0(N x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=；（2）设(4,)Q t ，()t R ∈，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由（1），则直线QA 的方程11143x x y y +=，因为Q 在QA 上，所以1113ty x +=，① 同理可得2213ty x +=，② 由①②可得直线AB 的方程为13tx y +=，令0y =，得1x =，所以直线AB 恒过点(1,0)．变式1．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||4PA PB +=，P 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知圆222x y R +=上任意一点0(P x ，0)y 处的切线方程为：200x x y y R +=，类比可知椭圆：22221x y a b+=上任意一点0(P x ，0)y 处的切线方程为：00221x x y ya b+=．记1l 为曲线C 在任意一点P 处的切线，过点B 作BP 的垂线2l ，设1l 与2l 交于Q ，试问动点Q 是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的定义知P 点的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为2222:1x y a b +=，则241a c =⎧⎨=⎩，∴2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩曲线C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设0(P x ，0)y ，由题知直线1l 的方程为00:143x x y y+=，当01x ≠时，001PB y k x =-，2l ∴的斜率为0201x k y -=，0201:(1)x l y x y -=-，1l 与2l 的方程联立00001(1)143x y x y x x y y -⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得000034(1)(1)120(4)4(4)x x x x x x x +---=⇒-=-， 4x ∴=．动点Q 在定直线4x =上，当01x =时，032y =±，1:142x yl ±=， 2:0l y =，(4,0)Q ，Q 在直线4x =．综上所述，动点Q 在定直线4x =上.变式2．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．（1）圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为．理由如下：．（2）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点0(x ，0)y 处的切线方程为；（3）(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB的方程是．这是因为在1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x xy y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；（4）问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得△0=得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点0(x ，0)y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．【解析】解：（1）圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为200y y x x r +=．理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则001OM OM k k y k x⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以0x k y =-，又过点0(M x ，0)y ，由点斜式可得，0000()x y y x x y -=--，化简可得，220000y y x x x y +=+，又22200x y r +=，所以切线的方程为200y y x x r +=； ②若切线的斜率不存在，则(,0)M r ±，此时切线方程为x r =±．综上所述，圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为200y y x x r +=．（3）在1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x xy y +=，因为两切线都过P 点(,)m n ，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程为13mxny +=；（4）问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，可得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，由△0=，可得222(3)210(*)m k mnk n -++-=，因为PA PB ⊥，则1PA PB k k ⋅=-，所以(*)式中关于k 的二次方程有两个解且其乘积为1-，则2122113n k k m-⋅==--，可得224m n +=，所以圆的半径为2，且过原点，其方程为224x y +=．故答案为：（1）200y y x x r +=，理由见解析；（3）13mxny +=；（4）224x y +=．题型二：切点弦过定点问题例4．定义：若点0(P x ，0)y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，则以P 为切点的切线方程为：00221x x y ya b+=．已知椭圆22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点( ) A ．11(,)23-B ．11(,)23-C ．12(,)23-D ．12(,)23-【解析】解：因为M 在直线260x y --=上，则可设点M 的坐标为(26,)t t +，t R ∈，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以直线MA ，MB 的方程分别为： 11221,13232x x y y x x y y +=+=，显然点M 的坐标适合两个方程，代入可得：1122(26)132(26)132x t y tx t y t +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，则直线AB 的方程为：(26)132x t yt++=，即2(26)360t x yt ++-=，即(43)612x y t x +=-，令4306120x y x +=⎧⎨-=⎩，解得12,23x y ==-，所以直线AB 过定点12(,)23-，故选：C ．例5．已知经过圆2221:C x y r +=上点0(x ，0)y 的切线方程是200x x y y r +=．（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点0(x ，0)y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A 、B ，①求证：直线AB 过定点． ②当点P 到直线AB时，求三角形PAB 的外接圆方程．【解析】解：（1）切线方程为：00221x x y ya b+=．（2）设切点为1(A x ，2)y ，2(B x ，2)y ，点(3,)P t ，由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=，通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩，A ∴，B 满足方程：12x ty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩即直线AB 恒过点(2,0)．又已知点(3,)P t 到直线AB．∴22|354t t t-=+ 425410t t ⇒--=，22(51)(1)0t t +-=，1t ∴=±．当1t =时，点(3,1)P ，直线AB 的方程为：220x y +-=． 2222066x y x y +-=⎧⎨+=⎩求得交点121(0,1),(,),(3,1)55A B P -．设PAB ∆的外接圆方程为：220x y Dx Ey F ++++=，代入得131012529E F D E F D E F +=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，解得：PAB ∆的外接圆方程为223210x y x y +--+= 即PAB ∆的外接圆方程为：2239()(1)24x y -+-=．例6．已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，抛物线上一点(A m ，2)(0)m >到F 的距离为3．（1）求抛物线C 的方程和点A 的坐标；（2）设直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为1l ，2l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，证明：直线l 恒过定点．【解析】（1）解：由题意知232p +=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =．将点(A m ，2)(0)m >代入24xy =，得m =，所以点A 的坐标为．（2）证明：设221212(,),(,)44x x D x E x ，由题意知．直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx n =+，联立方程24y kx nx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx n --=，所以△216160k n =+>，124x x k +=，124x x n =-，24x y =，即24x y =，则2xy '=，所以抛物线C 在点D 处的切线1l 的方程为2111()24x x y x x =-+，化简得21124x x y x =-，同理直线2l 的方程为22224x x y x =-，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1224x x =-，即128x x =-．所以1248x x n =-=-．解得2n =．故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点(0,2)．题型三：利用切点弦结论解决定值问题例7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n+为定值【解析】解：（1）由题意得：1c =，所以221a b =+，又因为点P 在椭圆C 上，所以223314a b+=，可解得24a =，23b =，所以椭圆标准方程为22143x y +=．（2）证明：由题意：2213:144x y C +=，设点1(Q x ，1)y ，2(M x ，2)y ，3(N x ，3)y ，因为M ，N 不在坐标轴上，所以1QM OMk k =-，直线QM 的方程为2222()x y y x x y -=-，化简得：2243x x y y +=，① 同理可得直线QN 的方程为3343x x y y +=，② 把Q 点的坐标代入①、②得212131314343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线MN 的方程为1143x x y y +=---------------③，令0y =，得143m x =，令0x =得143n y =，所以143x m=，143y n =，又点Q 在椭圆1C 上，所以2244()3()433m n+=，即22113m n+为定值．例8．已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，且||AB =l 的方程；（3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点Q ，作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，那么2212m n +是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】解：（1）椭圆C 的右焦点2F 的坐标为(1,0)，∴椭圆C 的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=，2a ∴=a ∴=，22a =由题意可得1c =，即2221b a c =-=，即椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）直线l 与椭圆C 的两个交点坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， ①当直线l 垂直x轴时，易得||AB = ②当直线l 不垂直x 轴时，设直线:(1)l y k x =-联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得，2222(12)4220k x k x k +-+-=，①则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，222222222121222224228(1)||(1)[()4](1)[()24]2121(21)k k k AB k x x x x k k k k -+∴=++-=+-⨯==+++，解得1k =±，∴直线方程l 的方程为10x y --=或10x y +-=（Ⅲ）设点0(Q x ，0)y ，3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，连接OM ，ON ， 0M MQ ⊥，ON NQ ⊥，M ，N 不在坐标轴上，303M y k x ∴=，404N y k x =-， ∴直线MQ 的方程为3333()y y y x x x -=-，即331xx yy +=，⋯① 同理直线NQ 的方程为441xx yy +=，⋯②，将点Q 代入①②，得0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，显然3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y 满足方程001xx yy +=，∴直线MN 的方程为001xx yy +=，分别令0x =，0y =，得到01n x =，01m y =． 01y m ∴=，01x n=， 0(Q x ，0)y 满足2212x y +=；∴221112m n+=，即22122m n +=题型四：利用切点弦结论解决最值问题例9．已知抛物线22x py =上一点0(M x ，1)到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．【解析】解：（1）由||122pMF =+=，得2p =，所以抛物线的方程为24x y =．（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由12y x '=可得在P 处的切线方程为2111()42x x y x x -=-，整理可得112()x x y y =+，同理在Q 处的切线方程为222()x x y y =+，又因为两切线都过(,2)A t -，∴11222(2)2(2)tx y tx y =-⎧⎨=-⎩，即可得直线PQ 的方程为2(2)tx y =-，所以直线过点(0,2)，即(0,2)N ，又1(2x B ，0)，2(2xC ，0)， ∴四边形ABNC 的面积122||||ABC NBC S S S BC x x ∆∆=+==-，联立122()4tx y y x y =+⎧⎨=⎩，可得2280x tx --=，122x x t ∴+=，128x x =-所以12||3242S x x =-．（当0t =时取等号），∴四边形ABNC 面积的最小值为例10．已知(,1)T m 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，且||2TF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过圆22:(2)1E x y ++=上任意一点G ，作抛物线C 的两条切线1l ，2l ，与抛物线相切于点M ，N ，与x 轴分别交于点A ，B ，求四边形ABNM 面积的最大值．【解析】解：（1）||2TF =，由抛物线定义知，122p +=，2p ∴=，24x y ∴=．（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，0(G x ，0)y ，0[3y ∈-，1]-，切线11:2()AM x x y y =+，因此：11122A y x x x ==，切线22:2()AN x x y y =+，因此：22222B y x x x ==，另一方面，点0(G x ，0)y 在两切线上，从而满足：011020202()2()x x y y x x y y =+⎧⎨=+⎩，因此切点弦MN 的方程为：002()x x y y =+，直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立：200240x x x y -+=，从而1202x x x +=，1204x x y =，且||MN ==， ABMN GMN GAB S S S ∆∆=-212011||||2222x x y =⋅-33222220001200111[(4)||](4)242x y y x x x y =---=-2200000(4)(73)x y y y y =-+=---，当0[3y ∈-，1]-1323=， 2200073773[()]924y y y ---=-++，∴93ABMN S ，当且仅当03y =-时，取到最大值．题型五：利用切点弦结论解决范围问题例11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，C 上一点M 关于原点O 的对称点为N ，F 为C 的右焦点，若MF NF ⊥，设MNF α∠=，且3sin()44πα+=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过圆22:10O x y+=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，求AOB ∆面积的取值范围．【解析】解：（1）由26a =，即3a =，又22122cos 2sin )4c c e a c c πααα====++所以c =2221b a c =-=，则椭圆的方程为2219x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线PA 的方程为1119x x y y +=，直线PB 的方程为2219x xy y +=，因为0(P x ，0)y 在直线PA ，PB 上，所以101019x x y y +=，202019x x y y +=，所以直线AB 的方程为0019x xy y +=，由00221999x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去y ，结合220010x y +=，和220010x y =-，可得22200(810)1881810y x x x y +-+-=， △242018(8)y y =+，120|||AB x x -=0=202018108y y +=+，又点O 到直线AB的距离为d ==，2020018119||922108y S AB d y +=⋅=⋅=+，又2010y，记[1t ，9]，所以9[6t t +∈，10]，所以9[10S ∈，3]2．例12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(F 0)，点Q 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点．（ⅰ）求证：0OM ON +=；（ⅱ）求OAB ∆的面积的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得c =221314a b+=，222a b c =+，解得24a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；（Ⅱ）()i 证明：设0(P x ，0)y ，①当直线PA ，PB 的斜率都存在时，设过P 与椭圆相切的直线方程为00()y k x x y =-+，联立直线与椭圆的方程0022()440y k x x y x y =-+⎧⎨+-=⎩，整理可得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，△2222000064()4(14)[4()4]k y kx k y kx =--+--，由题意可得△0=，整理可得222000(4)210x k x y k y -++-=，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以20122014y k k x -=-，又2205x y +=，所以220022001(5)4144x x x x ---==---，所以PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径，所以0OM ON +=； ②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设(2,1)P ，则直线PA 的方程为2x =，所以(2,1)M -，(2,1)N -，也满足0OM ON +=； ()ii 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为：111()y k x x y =-+，联立直线PA 与椭圆的方程11122()440y k x x y x y =-+⎧⎨+-=⎩，消y 可得2221111111(14)8()4()40k x k y k x x y k x ++-+--=，△22221111111164()4(14)[4()4]k y k x k y k x =--+--，由题意△0=，整理可得222111111(4)210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y -=-==--，所以直线PA 的方程为：1111()4x y x x y y =--+，化简可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=，经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=，同理可得直线PB 的方程2214x xy y +=，因为0(P x ，0)y 在直线PA ，PB 上，所以101020201414x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以可得直线AB 的方程为0014x x y y +=，而P 在圆225x y +=上，所以22005x y +=，联立直线AB 与椭圆的方程为00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，整理可得22200(35)816160y x x x y +-+-=， 020853A B x x x y +=+，2020161653A B y x x y -=+，所以O 到直线AB的距离d =，弦长0|||A B AB x x - 又点O 到直线AB的距离d ==，令t ，[1t ∈，4]，则2144||424OAB t S d AB t t t∆=⋅==++，而4[4t t+∈，5]，所以OAB ∆的面积的取值范围是4[5，1]．例13．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y轴正半轴交于点Q ，122QF F S =．（1）求曲线C 的方程；（2）过椭圆C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，直线CD 与椭圆C 交于E 、G 两点，O 为坐标原点，求OEG ∆的面积S 的取值范围．【解析】解：（1）椭圆与y轴正半轴交于点Q ，122QF F S=．可得121222QF F b Sc b bc ==⨯⨯==，∴2c a ==， ∴椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(P x ，0)y ，线段OP 的中点为00(,)22x y ，22222000001,2(1)24242x y x x y +==-=-，2004x <，以OP以OP 为直径的圆的方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=，即00()()0x x x y y y -+-=，又圆22:1O x y +=，两式相减00:1CD x x y y +=，由0022124x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得22220000(2)4240x y x x x y +-+-=， ∴22222220000000164(2)(24)8(412)x x y y y x y =-+-=-+22222000008[41(4)]24(1)y x x y x =-+-=+，0000||EG ==O EG d -=∴200000001||2222S EG d x =⋅====+-=由于2004x <，所以20115x +<，2011x +<对于函数211()3(15),()30h t t t h t tt '=+<=->，()h t在上递增.(1)4,h h ===所以20431x +<1114<，62<，∴62S <．S ∈．变式3．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得01290F PF ∠=的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F的距离的最大值为2+（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||ABCD的取值范围．【解析】解：（1）动点P 在椭圆上，且使得01290F PF ∠=的点P 恰有两个，b c ∴=，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+∴2a c +=+可得2a =，b c =所以椭圆1C 的方程为：22142x y +=；（2）圆2C 的方程为224x y +=，设直线x =-T 的坐标为)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AT 的方程为114x x y y +=，直线BT 的方程为224x x y y +=，又)T t 在直线AT 和BT上，即112244ty ty ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，故直线AB 的方程为4ty -+=．由原点O 到直线AB的距离d =得||AB =联立224142ty x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(16)8160t y yt +--=，设3(C x ，3)y ，4(D x，4)y ，则343422816,1616t y y y y t t -+==++，从而222(8)16t CD t +==+记28(8)t m m +=，则||AB CD =11(0)8y y m =<，则||AB CD =11(0)8y y m =<，所以||AB CD3()112256f y y y =+-，所以由2()127680f y y y '=-=得18y =，所以3()112256f y y y =+-在1(0,]8上单调递增，()(1f y ∴∈，2]即||ABCD∈．变式4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．【解析】解：()I 由使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个可得,b c a ==；动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+2a c +=2,a c ==所以椭圆1C 的方程是22142x y +=⋯（4分）()II 圆2C 的方程为224x y +=，设直线x =-T 的坐标为()t -设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AT的方程为114x x y y+=，直线BT的方程为224x x y y+=，又()t-在直线AT和BT上，即112244tyty⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，故直线AB的方程为4ty-+=⋯（6分）联立224142tyx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得22(16)8160t y yt+--=，设3(C x，3)y，4(D x，4)y．则343422816,1616ty y y yt t-+==++，⋯（8分）从而21224(8)|||(16)tCD y yt+=-=⋯+（10分）232416t-=++，又21616t +，从而2322016t--<+，所以||[2CD∈，4)⋯（12分）变式5．已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，且直线1:1x yla b+=被椭圆1C截得的弦长为．()I求椭圆1C的方程；()II以椭圆1C的长轴为直径作圆2C，过直线2:4l y=上的动点M作圆2C的两条切线，设切点为A，B，若直线AB与椭圆1C 交于不同的两点C，D，求||||CD AB的取值范围．【解析】解：()I线1:1x yla b+=，经过点(,0)a，(0,)b，被椭圆1C227a b+=．又12ca=，222a b c=+，解得：24a=，23b=，1c=．∴椭圆1C的方程为22143x y+=．()II由()I可得：圆2C的方程为：224x y+=．设(2,4)M t，则以OM为直径的圆的方程为：222()(2)4x t y t-+-=+．与224x y+=联立可得：直线AB的方程为：2440tx y+-=，设1(C x，1)y，2(D x，2)y，联立222440143tx yx y+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22(3)480t x tx+--=，则12243tx xt+=+，12283x xt-=+，2236||43tCDt+==+．又圆心O到直线AB的距离d==||AB∴===，22222364||||243t tAB CD tt t+∴=+⨯=+令233t m+=，则||||8AB CD=3m，可得3233m-<，可得：2||||83AB CD<变式6．如图，已知点P在半圆22:(2)4(2)Q x y y++=-上一点，过点P作抛物线2:2(0)C x py p=>的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记TNB∆的面积为1S，TMA∆的面积为2S．（Ⅰ）若抛物线C的焦点坐标为(0,2)，求p的值和抛物线C的准线方程；（Ⅱ）若存在点P，使得128SS=，求p的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）22p=，4p=．准线方程为直线2y=-．（Ⅱ）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，过点A的切线方程11:()Al x x p y y=+，于是1(,0)2xM；过点B的切线方程22:()Bl x x p y y=+，于是2(,0)2xN；点(P x，)y在两条切线上，所以10012002()()x x p y yx x p y y=+⎧⎨=+⎩，可得点P坐标为1212(,)22x x x xPp+．1212:()22ABx x x xl x p yp+=+，于是12112112121212()(,0).||||||22()x x x x x x x xT TMx x x x x x-=-=+++，2222121212()||||||22()x x x x x x TN x x x x -=-=++，而23122111||||2||81||||2TN y S x S x TM y ⋅===⋅，所以212x x =-．于是点211(,)2x x P p --，点P 的轨迹方程为24px y =-，问题转化为抛物线24p x y =-与半圆22:(2)4(2)Q x y y ++=-有交点．记24()f x x p =-，则4(2)42f p=-⨯-，又因为0p >，解得：08p <．所以p 的取值范围为(0，8]．变式7．如图，设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，且直线PA 、PB 分别交y 轴于点M 、N ．（Ⅰ）证明：FM PA ⊥；（Ⅱ）求||||FM FN ⋅的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设点P 的坐标为0(x ，0)y ，直线PA 方程为00()(0)x m y y x m =-+≠．令0x =，可知点M 的坐标为00(0,)x y m-．由，消去x 得2004440y my my mx -+-=．因为直线与抛物线只有一个交点，故△0=，即2000m y m x -+=．因为点F 的坐标为(1,0)，故00(1,)x FM y m =--，00(,)xPM x m=--．则20002()0x FM PM m y m x m⋅=-+=．因此FM PM ⊥，亦即FM PA ⊥．（Ⅱ）设直线PB 的方程为00()(0)x n y y x n =-+≠．由（1）可知，n 满足方程2000n y n x -+=．故m ，n 是关于t 的方程2000t y t x -+=的两个不同的实根．所以．由（1）可知：FM PA ⊥，同理可得FN PB ⊥．故||FM ||FN =．则||||FM FN ⋅= 因为22001(0)4y x x +=<．因此，||||FM FN ⋅的取值范围是．。

圆的切线(复习课七星中学)

3 4
D
C
∟
E
B
一题多议
3、如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点， D AD⊥CD，AC平分∠DAB. C 4 求证: CD是⊙O的切线 1
A
2
3
O
B
有点连半径
一题多议
变式1
如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点， AC平分 ∠DAB ,CD是⊙O的切线. D 求证: AD⊥CD 证明: 连结OC 4 ∵CD是⊙O的切线 ∴OC⊥CD , ∠3+∠4=90° ∵ AC平分∠DAB ∴ ∠1=∠2 又∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 则∠1+∠4=90° 即∠D=90° ∴ AD⊥CD
C
E
A
O
D
C
O A D B
F
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C E D A O B
• 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
二、过三点的圆及外接圆
E 弧AE＝弧BF C O
A
D B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
B
9cm练习如图有一圆锥形粮堆其正视图为边长是6m的正三角形abc粮堆的母线ac的中点p处有一老鼠正在偷吃粮食此时小猫正在b处它要沿圆锥侧面到达p处捕捉老鼠则小猫所经过的最短路程是

初中数学中考专题复习之圆专题01切线长定理

专题01切线长定理切线长定理（Theorem of length of tangent），是初等平面几何的一个定理。

它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB=AC。

1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3 C．2D．3解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，∵△PCD的周长等于2，∴PA+PB＝2，∴PA＝PB＝，连接PA和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB＝．选A．2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10解析：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PB＝PA＝4，∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∴CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝8，选C．3．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（）A．7 B．14 C．10.5 D．10解析：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+CD+PB＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝14，选B．4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O 的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．解析：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA＝CF，DF＝DB，PA＝PB，∴PC+CF+DF+PD＝PA＝PB＝2PA＝3r，∴PA＝r，则的值是：＝．选D．5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．8 B．18 C．16 D．14解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB＝PA＝8，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝16．选C．6．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P解析：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∴∠COD＝90°﹣∠P．选C．7．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，则△PDE的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．不能确定解析：根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD＝DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC＝EB，又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA＝PB＝4，则△PDE的周长C＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．选B．8．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD＝20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50解析：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝AD+AE＝2AD＝40．选C．9．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC ＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°解析：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．选D．10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．解析：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，PA⊥OA，∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．11．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④解析：∵BA，BE是圆的切线．∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径，∴DE⊥AE，∴DE∥OF，故①正确；∵CD＝CE，AB＝BE，∴AB+CD＝BC，故②正确；∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了，故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴，即：OA•OD＝AB•CD∴AD2＝4AB•DC，故④正确．故正确的是：①②④．选C．12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．解析：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD 的周长为．解析：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．14．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝cm．解析：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB＝5cm，故答案为：5．15．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC 以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．解析：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14，故答案为：14．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC 分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．解析：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AF＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，∵r＝2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BE＝3，∴由勾股定理得，（x+2）2+52＝（x+3）2，解得，x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30，故答案为30．17．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，（1）求证：AB∥CD；（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．解析：（1）∵∠BOC＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，又BE与BF为圆O的切线，∴BO为∠EBF的平分线，∴∠OBC＝∠OBF，同理可得∠OCB＝∠OCG，∴∠OBF+∠OCG＝90°，∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，即∠ABF+∠DCF＝180°，∴AB∥CD；（2）连接OE，OF，OG，如图所示：由BE和BF为圆的切线，可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，∴BE＝BF，又OB＝OB，∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，∴S扇形OEM＝S扇形OFM，∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，即S阴影BEM＝S阴影BFM，同理S阴影NFC＝S阴影NCG，由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，根据勾股定理得：BC＝5，∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，∴OB•OC＝BC•OF，即OF＝，∴S△BOC＝OB•OC＝6，S扇形OMN＝＝，则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12﹣18．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．解析：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴．19．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）．解析：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°；∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∵c o s∠BAC＝，∴AC＝AB•c o s∠BAC＝2c o s30°＝．∵△PAC为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝．20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．解析：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC，即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8（2）存在符合条件的P点设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况①△ADP∽△BCP时，∴y＝②△ADP∽△BPC时，∴y＝4故存在符合条件的点P，此时AP＝或4。

初中考数学专题总复习《圆》切线判定的常见方法

第1题解图
2. 如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝ ∠BAC. 求证：CD是O的切线．
证明：如解图，连接OC，
∵AB是O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
第2题图
∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠BCD＋∠OCB＝∠BAC＋∠ABC＝90°， ∴OC⊥CD. ∵OC是O的半径， ∴CD是O的切线．
第4题解图
∴△BOE ≌△BOC(AAS)． ∴EO＝CO， ∵CO是O的半径， ∴EO是O的半径． ∴AB为O的切线．
第4题解图
切线判定的常见方法
微专题切线判定的常见方法
方法1 连半径，证垂直
方法解读当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径与直线垂直，简记：“连半径，证垂直”； (1)图中没有90°角需构造构造一：若图中已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角．构造二：若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角． (2)图中有90°角：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线性质证得垂直；③利用三角形全等证得垂直．
方法应用
1. (2020云南省卷节选)如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD⊥CE，垂足为D， AC平分∠DAB. 求证： CE是O的切线．
证明：如解图，连接OC.
∵AD⊥CE， ∴∠ADC＝90°.
第1题图
∵OA＝OC，AC平分∠DAB， ∴∠CAO＝∠ACO，∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴OC∥AD， ∴∠OCE＝∠ADC＝90°. 又∵OC是O的半径， ∴CE是O的切线．
第2题解图
方法2 作垂直，证半径

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2、如图，AB 是O O 的直径，/ A = 30°，延长 OE 到D,使BD= OB (OCB
是否是等边三角形？说明你的理由；
圆与特殊角度
1.已知，如图，在△ ADC 中，长线
上，连接BF,交AD 于点E
(1)求证：BF 是eO 的切线；
ADC 90，以DC 为直径作半圆eO ，交边AC 于点F ,点B 在CD 的延 BED 2 C .
(2)若BF FC , AE 3，求eO 的半径.
3 .如图，AB 是O O 的直径，点 D 在O O 上,OC/ AD 交O O 于E ,
(1)求证：
；
2)求证：CD 是O O 的切线• 证明：
点F 在CD 延长线上，且 BOC ADf =90 .
4.如图，在O O 中，弦 AE BC 于 D, BC 6 , AD 7 , BAC 45
(1) 求O O 的半径。

(2)
求DE 的长。

19.如图，已知直线 PA 交O O 于A 、B 两点，AE 是O O 的直径，C 为O O 上一点，
且AC 平分/ PAE 过点C 作CDL PA 于D. (1) 求证：CD 是O O 的切线；
(2)
若 AD DG 1： 3, AB=8，求O O 的半径.
C
B
O
P ZI C
O
D A
32•已知：如图，AB 是O O 的直径，BD 是O O 的弦，延长BD 到点C,使DGBR 连结AC 过点D 作D 巳 AC,垂足为E .
21•如图，已知 △ ABC ，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点
M , AD ABC 勺角平分线，且 AD BE ,垂足为点H . (1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3, BC 4，求 BE 的长.
圆与三角函数
22.如图，在△ ABC 中，/ 0=90° , AD 是/ BAC 的平分线,
(1) 求证：B0是O O 切线； (2) 若 BB 5, DO3,求 AC 的长. 解：
O 是AB 上一点，以OA 为半径的O O 经过点D
(1)求证：ABAC
⑵求证：DE 为O O 的切线;
A A
A
19 •如图，AB BF 分别是O O 的直径和弦，弦 CD 与AB BF 分别相交于点 E 、G,过点F 的切线HF 与DC 的
延长线相交于点 H,且HF = HG
(1) 求证：AB 丄CD
3
(2) 若sin / HG 三 ,BF = 3，求O O 的半径长.
4
20.如图，在△ ABC 中，点D 在AC 上, D A=DB / C =Z DBC 以AB 为直径•的O O 交AC 于点E , F 是O O 上的
点，且 AF = BF. ■■-
(1)求证：B C 是O O 的切线；
3
!—
(2)若 sin C = -， AE=3 2，求sin F 的值和AF 的长.
5
20.已知：如图，点 A B 在O O 上，直线 AC 是O O 的切线，联结 AB 交O C 于点D, AOCD
(1)求证：OCL OB
20 .如图，AC BC 是O O 的弦，BC / AO AO 的延长线与过点C 的射线交于点D 且D=90 -2 A
(1)求证：直线CD 是O O 的切线；
1
(2)若BC 磔,tanD ，求CD 和AD 的长.
2
(2)如果 ODd , tan / OCA
求AC 的长.
B
A
D
20、如图，△ ABC内接于O O, AD是O O直径，E是CB延长线上一点，且/ BAE=/ C.
(1) 求证：直线AE是O O的切线；
4
(2) 若EB=AB cosE - , AE=24,求EB的长及O O的半径.
5
20.已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的O O与BC边相切于点D, 联结AD.
(1) 求证：AD是/ BAC的平分线；
3
(2) 若A(= 3 , tan B=—，求O O的半径.
4
19.(本题满分5分)
已知：如图，在△ ABC中，AB=BC D是AC中点, 过B、E两点，交BD于点G,交AB于点F.
(1)求证：AC与O O相切；
3
(2)当BD=6 sinC=兰时，求O O的半径.
5 BE平分/ ABD交AC于点E,点O是AB上一点，O O
O
C
B
O
21.已知：如图， AB 是O 0的直径，AC 是弦，/ BAC 的平分线与 O 0的交点为 D, DEL AC 与AC 的延长线交于点E
(1)求证：直线DE 是O O 的切线；
4 DF
(2)若0E 与AD 交于点F , cos BAC 工，求的值.
5 AF
圆与相似:
21.如图，以△ ABC 的边AB 为直径的O O 与边BC 交于点D,过点D 作DEL AC 垂足为E ,延长AB ED 交于点F ,
AD 平分/ BAC
(1) 求证：EF 是O O 的切线；
(2) 若O O 的半径为2, AE=3,求BF 的长.
20•如图，四边形 ABC 呐接于eO , BD 是eO 的直径，AE CD 于点E , DA 平分 BDE . (1) 求证：AE 是e O 的切线；
E
B
(2) 如果AB=4 , AE=2,求eO的半径.
A
O
5
⑵ 延长DE 交BA 的延长线于点F .若AB
sin B
求线段AF 的长.
/)
20.已知，如图，AB 是O O 的直径，点E 是心的中点，连结 BE 交AC 于点G BG 的垂直平分线 CF 交BG 于 H 交AB 于F 点. (1) 求证：BC 是O O 的切线； (2) 若 AB=8, BC=6，求 BE 的长.
22.如图，AB 为O O 的直径，BC 切O O 于点B, AC 交O O 于点D, E 为BC 中点•
求证：(1)
DE 为O O 的切线；(2)延长ED 交BA 的延长线于
F ,若DF=4, AF =2,求BC 的长.
圆，三角函数，相似
20.已知：如图，在△ ABC 中，AB AC •以AB 为直径的O O 交BC 于点D ，过点D 作DE 丄AC 于
点E .
(1)求证：DE 与O O 相切
;
D
E
G
A
O F
20.如图，O 0是厶ABC 是的外接圆，BC 为O 0直径，作/ CAD / B,且点□在 BC 的延长线上. ⑴求证：直线AD 是O
0的切线；
20 •如图，在△ ABC 中, AB=AC 以AC 为直径作O O 交BC 于点D,过点D 作FE ± AB 于点E ,交AC 的延长
线于点F .
(1) 求证：EF 与O O 相切；
3
(2)
若 AE=6, sin / CFD=，求 EB 的长.
5
21.如图，△ ABC 中，以BC 为直径的O O 交AB 于点D, CA 是O O 的切线，AE 平分/ BAC 交BC 于点E ,交
CD 于点F.
(1) 求证：CE=CF ;
3
(2) 若 sin B =3，求 DF : CF 的值.
5
20.如图，在△ ABC 中，AB=AC 以AB 为直径的OO 分别交
1 且.CBF CAB
2
⑴求证：直线BF 是eO 的切线；
■ ----
<5 ⑵ 若AB=5 sin CBF ，求BC 和BF 的长. 5
⑵若 sin / CAD= O 0的半径为 8,求CD 长.
AC BC 于点D 、E ,点F 在AC 的延长线上,
20.已知：如图，AB是O O的直径，C是O O上一点，OD丄BC于点D，过点C作O O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE .
(1)求证：BE与O O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB 9 , sin ABC
20 .如图，AB是O O的直径，PA PC分别与O O相切于点A, C, PC交AB的延长线于点D,
DEL PO交PO
的延长线于点E。

(1)求证：/ EPD=/ EDO
3
(2)若PC=6 tan / PDA二，求OE的长。

4。