中考总复习圆的切线专题
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理圆是几何学中非常重要的基本形状之一，而关于圆的切线和切圆定理是中考数学中的重点内容之一。
本文将详细介绍圆的切线以及切圆定理的概念和应用。
一、圆的切线1. 切线的定义在平面几何中，切线是一条与圆只有一个交点的直线。
2. 切线的性质（1）切线与半径的关系：切线与半径垂直相交。
（2）切线的方向：切线与半径的夹角为90度。
（3）切线的长度：从切点到圆心的部分是切线的长度。
二、切圆定理1. 切圆定理的表述在一个圆中，如果一条直线通过圆上的两个不同的点，并且这条直线的两端分别与圆相交，那么这条直线就被称为切线，并且它与圆的切点在同一条直径上。
2. 切圆定理的应用（1）切线与半径的关系：由切圆定理可知，切线与半径在切点处构成90度的夹角，因此可以利用这一性质求解有关圆的问题。
（2）求切线长度：利用切圆定理可以通过已知的半径长度和圆心和切点的距离求解切线的长度。
（3）求切点坐标：利用切圆定理可以通过已知的圆心坐标和切线方程求解切点的坐标。
三、例题解析题目：已知一个圆的半径为r，圆心的坐标为(h, k)，直线y = mx + c（m ≠ 0）经过与圆的两个交点，求切线的方程。
解析：根据题目中已知条件，直线y = mx + c与圆相交于两个不同的点。
由于直线是切线，因此切线与直径垂直相交，并且切点在同一条直径上。
设切点的坐标为(x1, y1)，则根据切圆定理，切点的横坐标为h - (km + c)/(m^2 + 1)，纵坐标为k + m(x1 - h)。
由于切线垂直于半径，可以得到切线的斜率为-1/m。
由切点坐标可以确定切线的方程为y - y1 = -(1/m)(x - x1)。
将切点的坐标代入切线方程，可以得到切线的具体方程为y - (k + m(x1 - h)) = -(1/m)(x - (h - (km + c)/(m^2 + 1)))。
至此，我们得到了关于切线的方程。
四、总结本文详细介绍了圆的切线和切圆定理的概念和应用。
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题型专项（八）与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1. （2016梧州）如图，过O O上的两点A , B分别作切线，交于BO , AO的延长线于点C, D,连接CD ,交O O于点E, F,过圆心O作OM丄CD ,垂足为点M.求证：（1）△ ACO ◎△ BDO ;（2）CE = DF.证明：⑴•/ AC , BD分别是O O的切线，.•./ A = Z B= 90°.又••• AO = BO , / AOC =Z BOD ,•••△ ACO 也厶BDO.(2) •/△ ACO ◎△ BDO ,•••OC = OD.又••• OM 丄CD , • CM = DM.又••• OM丄EF,点O是圆心,•EM = FM.•CM —EM = DM —FM.•CE = DF.2. (2016玉林模拟)如图，AB是O O的直径，/ BAC = 60° , P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.(1)求证：△ CDQ是等腰三角形；⑵如果△ CDQ COB ,求BP : PO的值.解：⑴证明：由已知得/ ACB = 90° , / ABC = 30°•/ Q= 30° , / BCO =Z ABC = 30°.•/ CD是O O的切线，CO是半径，•CD 丄CO.•/ DCQ = Z BCO = 30°.•/ DCQ = Z Q.故厶CDQ是等腰三角形.(2)设O O 的半径为1 ,则AB = 2, OC= 1 , BC = .3.•••等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，•CQ = CB = ,3.二 AQ = AC + CQ = 1 +＜：,:: 3.••• AP = 2AQ = ^^.••• Bp =AB -AP =违严 •••PO =AP -AO =¥• BP : PO = 3.3. (2016柳州)如图，AB ABC 外接圆O O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点 点E 在弧上且满足 PE 1 2= PA - PC ,连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D.(1) 求证：△ PAE s^ PEC ;⑵求证：PE 为O O 的切线；1⑶若/ B = 30° , AP = 2AC ,求证：DO = DP.证明： ⑴•/ PE 2=PA-PC ,• PE = PA…PC = PE .又•••/ APE = Z EPC ,• △ PAE s^ PEC.⑵•/△ PAEPEC ,PEA = Z PCE.1 •••/ PCE =孑/ AOE ,1 •••/ PEA = -Z AOE. v OA = OE , 2•••/ OAE = Z OEA.•••/ AOE + Z OEA + Z OAE = 180 ° ,•••/ AOE + 2/ OEA = 180° ,即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 ° .•••/ PEA + Z OEA = 90° .• PE 为O O 的切线.⑶设O O 的半径为r ,则AB = 2r.•••/ B = 30 ° , / PCB = 90 ° , • AC = r , BC =3r.过点O 作OF 丄AC 于点F , AP =匸 v PE 2= PA-PC , • PE =」r. 2' ~ ' 2 在厶ODF 与厶PDE 中， .•/ AP = ^AC ,/ ODF = Z PDE ,/ OFD = Z PED ,OF = PE ,•••△ ODF ◎△ PDE. ••• DO = DP.类型2与相似三角形有关 针对训练4. (2016泰州)如图，在厶ABC 中，/ ACB = 90 °，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的O O 交BC 于点E ,连接AE 交CD 于点P ,交O O 于点F ，连接DF , / CAE = Z ADF.(1) 判断AB 与O O 的位置关系，并说明理由；⑵若 PF : PC = 1 : 2, AF = 5,求 CP 的长.解：(1)AB 是O O 切线.理由：•••/ ACB = 90° ,•••/ CAE + Z CEA = 90° .•••/ CAE = Z ADF , / CDF = Z CEA ,•••/ ADF + Z CDF = 90° .• AB 是O O 切线.⑵连接CF.•••/ ADF + Z CDF = 90° , / PCF +Z CDF = 90° ,•••/ ADF = Z PCF.•••/ PCF =Z PAC.又•••/ CPF =Z APC ,PC 2= PF PA.设 PF = a ,贝U PC = 2a. •- 4a 2 = a(a + 5).• a = 3.PC = 2a =隊5. (2015北海)如图，AB , CD 为O O 的直径，弦AE // CD ,连接BE 交CD 于点F ,过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点 P ,使/ PED = Z C.(1) 求证：PE 是O O 的切线；⑵求证：ED 平分/ BEP ;⑶若O O 的半径为5, CF = 2EF ,求PD 的长.PC • △ P — PAC. •矿 PF PC .解：⑴证明：连接0E.•「CD是圆0的直径，•••/ CED = 90° .•/ 0C = 0E ,•••/ C=Z OEC.又•••/ PED = Z C,•••/ PED = Z OEC.•••/ PED + Z OED = Z OEC + Z OED = 90° ,即/ OEP= 90° .•••OE 丄EP.又「•点E在圆上，•PE是O O的切线.(2) 证明：T AB , CD为O O的直径，•••/ AEB =Z CED = 90°.•••/ AEC = Z DEB(同角的余角相等).又•••/ PED = Z C, AE // CD,•••/ PED = Z DEB ,即ED平分/ BEP.⑶设EF= x,则CF= 2x.TO O的半径为5,•OF = 2x — 5.在Rt A OEF 中,OE2= EF2+ OF2,即52= x2+ (2x —5)2,解得x = 4,•EF = 4.•BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8.•DF = CD —CF= 10 —8= 2.•/ AB为O O的直径，•••/ AEB = 90° .•/AB = 10, BE = 8,•AE = 6.•••/ BEP = Z A , / EFP =Z AEB = 90° ,•△EFP s^ AEB.•在=圧即疋=4BE AE' 8 6'PF =16 10PD = PF—DF = —2 ='3 3'6. (2014桂林)如图，△ ABC为O O的内接三角形，P为BC延长线上一点，/ PAC=Z B, AD为O O的直径，过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交O O于点G.(1)判断直线PA与O O的位置关系，并说明理由；学习必备 欢迎下载2 (2) 求证：AG = AF-AB ；(3) 若O O 的直径为10, AC = 2 5, AB = 4.5,求厶AFG 的面积.解：⑴PA 与O O 相切.理由：连接CD.•/ AD 为O O 的直径，•••/ ACD = 90° ••••/ D + Z CAD = 90°•••/ B =Z D , / PAC =Z B ,•••/ PAC =Z D.•••/ PAC +Z CAD = 90° ,即 DA 丄 PA.•••点A 在圆上，• PA 与O O 相切.⑵证明：连接BG.•/ AD 为O O 的直径，CG 丄AD ,• A C = AG . •••/ AGF = Z ABG.•/Z GAF = Z BAG , AGFABG.• AG : AB = AF : AG.「. AG 2= AF-AB.⑶连接BD.•/ AD 是直径，•••/ ABD = 90° .•/AG 2= AF-AB , AG = AC = 2 5, AB = 4 5,AB•/ CG 丄 AD , •••/ AEF = Z ABD = 90° /Z EAF = Z BAD , AEF ABD.• EF = AF 2 — AE 2= 1.•/ EG = AG 2— AE 2= 4,• FG = EG — EF = 4— 1 = 3.1 1 • AFG = ^FG -AE =2 X3 X 2= 3. 类型3与锐角三角函数有关针对训练7. (2014梧州)如图，已知O O 是以BC 为直径的厶ABC 的外接圆，OP // AC ,且与BC 的 垂线交于点P , OP 交AB 于点D , BC , PA 的延长线交于点 E.(1)求证：PA 是O O 的切线；3⑵若 sin Z E = 5, PA = 6,求 AC 的长.• Al =篇，即4V 才解得AE =2. • Al = AF AB = AD解：⑴证明：连接OA.•/ AC // OP , •••/ AOP = Z OAC , / BOP = Z OCA.•/ OA = OC , OCA = Z OAC. AOP = Z BOP.又••• OA = OB , OP = OP ,• △ AOP ◎△ BOP.A Z OAP = Z OBP.•/ BP 丄 CB , OAP = Z OBP = 90° .• OA 丄 PA.• PA 是O O 的切线.⑵•/ PB 丄CB , • PB 是O O 的切线.又••• PA 是O O 的切线，PA = PB = 6.在 Rt A OPB 中,OP = 62+ 32= 3 5.•/ BC 为O O 直径，CAB = 90° .•••/ CAB = Z OBP = 90° , / OCA =Z BOP.AC CB• △ ACB 亠 BOP .. BO =丽. CB ・BO = J8_= 6/5OP =3』5= 58. (2015来宾)已知O O 是以AB 为直径的厶ABC 的外接圆，OD // BC 交O O 于点 D ,交 AC 于点E ,连接AD , BD , BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分/ ABC ;⑵延长AC 到点P,使PF = PB ,求证：PB 是O O 的切线；3 亠(3) 如果 AB = 10, cos /ABC = 5,求 AD.解：（1）证明：T OD // BC ,ODB = / CBD.T OB = OD ,OBD = / ODB.CBD = / OBD.• BD 平分/ ABC. 又T sinE = PB _ EP = AO _ 3EO = 5， • • AO = 3.• AC(2) 证明：TO O是以AB为直径的厶ABC的外接圆，•••/ ACB = 90°. •••/ CFB + Z CBF = 90°.•/ PF = PB, PBF = Z CFB.由(1)知/ OBD =Z CBF ,•••/ PBF + Z OBD = 90° ••••/ OBP = 90°.•PB是O O的切线.(3) •••在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° , AB = 10,•cos/ ABC = BC = BC = 3AB 10 5'•BC = 6, AC = AB2—BC2= 8.•/ OD // BC ,•△AOEABC , / AED = / OEC = 180°—/ ACB = 90•AE_ OE _ AO AE _ OE _ _5_…AC =BC =AB，8 = 6 =10.•AE = 4, OE= 3.•DE = OD —OE= 5—3 = 2.•AD = AE2+ DE2= 42+ 22= 2 5.9. (2016柳州模拟)如图，已知：AC是O O的直径，PA丄AC,连接OP,弦CB // OP,直线PB 交直线AC于点D, BD = 2PA.(1) 证明：直线PB是O O的切线；(2) 探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明; ⑶求sin/ OPA的值.解：⑴证明：连接OB.•/ BC // OP, OB = OC,•/ BCO = / POA ,/ CBO =/ POB , / BCO = / CBO.•/ POA = / POB.又T PO= PO, OB = OA ,•△ POB◎△ POA. •/ PBO = / PAO = 90°•PB是O O的切线.(2)2PO = 3BC.(写PO = |B C亦可)证明：•••△ POB◎△ POA , • PB = PA.•/ BD = 2PA, • BD = 2PB.•/ BC // PO, •△ DBC DPO.• BC_ PO BD 2PD二.• 2PO= 3B C.DC BD 2 加 “2 DO = PD = 3，即 DC = 3OD.1 •••OC = 3OD. ••• DC = 2OC.设 OA = x , PA = y.则 OD = 3x , OB = x , BD = 2y.在 Rt A OBD 中,由勾股定理得(3X )2= x 2+ (2y)2,即 2x 2= y 2.10. （2016玉林）如图，AB 是O O 的直径，点C , D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形， 过点D 作O O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E , F ，连接BF.(1)求证：BF 是O O 的切线；⑵已知圆的半径为1 ,求EF 的长.解：⑴证明：连接OD.•/ EF 为O O 的切线，•••/ ODF = 90° .•••四边形AOCD 为平行四边形，• AO = DC , AO // DC.又••• DO = OC = OA ,DO = OC = DC.• △ DOC 为等边三角形.•••/ DOC = Z ODC = 60° .•/ DC // AO ,• / AOD =Z ODC = 60° .• / BOF = 180° -Z COD -Z AOD = 60° 在厶DOF 和厶BCF 中，DO = BO ,Z DOF = Z BOF ,OF = OF ,• △ DOF ◎△ BOF.• Z ODF = Z OBF = 90° .• BF 是O O 的切线.⑵ T Z DOF = 60° , Z ODF = 90 ° ,• Z OFD = 30° .TZ BOF = 60° , Z BOF = Z CFD + Z E , ■/x > 0, y > 0, • y = 2x , OP = x 2+ y 2= 3x. • sin类型4 与特殊四边形有关•••/ E=Z OFD = 30°.•••OF = OE.又••• OD 丄EF,•DE = DF.在Rt A ODF 中，/ OFD = 30 ° .•OF = 2OD.•DF = OF2- OD2= 22- 12=. 3.EF = 2DF = 2 3.11. (2016宁波)如图，已知O O的直径AB = 10,弦AC = 6, / BAC的平分线交O O于点D , 过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O O的切线；⑵求DE的长.解：⑴证明：连接OD.•/ AD 平分/ BAC ,•/ DAE = Z DAB.•/ OA = OD ,•/ ODA =Z DAO.•/ ODA =Z DAE.•OD // AE.•/ DE 丄AC ,•OD 丄DE.•DE是O O切线.⑵过点O作OF丄AC于点F.•AF = CF = 3.•OF = OA2- AF2= 52- 32= 4.•••/ OFE = Z DEF = Z ODE = 90° ,•四边形OFED是矩形.•DE = OF = 4.12. （2015桂林）如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点.（1）如图1,求O O的半径；⑵如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；⑶如图2,若点M是BC边上任意一点（不含B , C），以点M为直角顶点，在BC的上方作/ AMN = 90° ,交直线CP于点N,求证：AM = MN.图I 图2解：⑴连接0D, OC.••• PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点，•••/ ODP = Z OCP= 90°.•••四边形ABCD是O O的内接正方形，•••/ DOC = 90° , OD = OC.•四边形DOCP是正方形.•/ AB = 4, / ODC =Z OCD = 45° ,DO = CO = DC- si n45°==2 2.⑵连接EO, OP.•••点E是BC的中点，•••OE 丄BC , / OCE= 45 ° ,则/ EOP= 90° .•EO = EC = 2, OP = 2CO = 4.•PE = OE2+ OP2= 2 5.⑶证明：在AB上截取BF = BM.•/ AB = BC , BF = BM ,•AF = MC , / BFM =Z BMF = 45°.•••/ AMN = 90° ,•/ AMF +Z NMC = 45° , / FAM +Z AMF = 45°.•/ FAM =Z NMC.•••由⑴得PD = PC , / DPC = 90° ,.•./ DCP = 45° .•/ MCN = 135° .•••/AFM = 180° -Z BFM = 135° ,Z FAM =Z CMN ,在厶AFM 和厶MCN 中，AF = MC ,.Z AFM =Z MCN ,•△ AFM 也厶MCN(ASA).•AM = MN.。
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
中考总复习圆切线专题
题型专项( 八)与切线有关的证明与计算种类 1 与全等三角形相关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点连结 CD ，交⊙ O 于点 E ，F，过圆心A ，B 分别作切线，交于O 作 OM ⊥ CD ，垂足为点BO，AO M.的延伸线于点C， D ，求证：(1) △ ACO ≌△ BDO ；(2)CE ＝ DF.证明：(1) ∵ AC ， BD 分别是⊙O 的切线，∴∠ A＝∠ B ＝ 90° .又∵ AO ＝ BO ，∠ AOC ＝∠ BOD ，∴△ ACO ≌△ BDO.(2) ∵△ ACO ≌△ BDO ，∴OC ＝ OD.又∵ OM ⊥ CD ，∴ CM ＝ DM.又∵ OM ⊥EF ，点 O 是圆心，∴EM ＝ FM.∴CM － EM ＝ DM － FM.∴CE ＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与 AC 的延伸线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连结 OC.(1)求证：△ CDQ 是等腰三角形；(2)假如△ CDQ ≌△ COB ，求 BP∶ PO 的值．解： (1) 证明：由已知得∠ACB ＝ 90°，∠ ABC ＝ 30° .∴∠ Q＝ 30°，∠ BCO ＝∠ ABC ＝ 30 ° .∵CD 是⊙ O 的切线， CO 是半径，∴CD ⊥ CO.∴∠ DCQ ＝∠ BCO ＝ 30° .∴∠ DCQ ＝∠ Q.故△ CDQ 是等腰三角形．(2)设⊙ O 的半径为 1，则 AB ＝ 2， OC＝ 1， BC ＝ .∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝ CB ＝ .∴AQ ＝ AC ＋ CQ＝ 1＋ .∴AP ＝ AQ ＝ .∴B P ＝ AB － AP ＝ .∴PO ＝ AP－ AO ＝ .∴B P ∶ PO＝ .3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延伸线上一点，点 E 在弧上且知足 PE2＝ PA· PC，连结 CE ， AE ， OE 交 CA 于点 D.(1) 求证：△ PAE ∽△ PEC；(2) 求证： PE 为⊙ O 的切线；(3) 若∠ B＝ 30°， AP＝ AC ，求证： DO ＝DP.证明： (1) ∵ PE2＝ PA·PC ，∴＝ .又∵∠ APE ＝∠ EPC，∴△ PAE ∽△ PEC.(2) ∵△ PAE ∽△ PEC，∴∠ PEA ＝∠ PCE.∵∠ PCE＝∠ AOE ，∴∠ PEA ＝∠ AOE. ∵ OA ＝ OE，∴∠ OAE ＝∠ OEA.∵∠ AOE ＋∠ OEA ＋∠ OAE ＝ 180°，∴∠ AOE ＋ 2∠ OEA ＝ 180°，即2∠ PEA ＋ 2∠OEA ＝ 180 ° .∴∠ PEA ＋∠ OEA ＝90 ° .∴PE 为⊙ O 的切线．(3)设⊙ O 的半径为 r，则 AB ＝ 2r.∵∠ B ＝ 30 °，∠ PCB ＝ 90°，∴ AC ＝ r， BC ＝ r. 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F，∴O F ＝ r.∵ AP ＝ AC ，∴AP ＝ .∵ PE2＝ PA·PC，∴ PE＝ r.在△ ODF 与△ PDE 中，∴△ ODF ≌△ PDE. ∴ DO ＝ DP.种类 2与相像三角形相关4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB BC 于点 E，连结 AE 交 CD 于点 P，交⊙ O ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙ O 交于点 F ，连结 DF，∠ CAE ＝∠ ADF.(1)判断 AB 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)若 PF∶ PC＝ 1∶ 2， AF ＝ 5，求 CP 的长．解： (1)AB 是⊙ O 切线．原因：∵∠ ACB ＝ 90°，∴∠ CAE ＋∠ CEA ＝ 90 °.∵∠ CAE ＝∠ ADF ，∠ CDF ＝∠ CEA ，∴∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90° .∴ AB 是⊙ O 切线．(2) 连结 CF.∵∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90°，∠ PCF＋∠ CDF ＝ 90°，∴∠ ADF ＝∠ PCF.∴∠ PCF＝∠ PAC.又∵∠ CPF＝∠ APC ，∴△ PCF∽△ PAC. ∴＝ .∴P C 2＝ PF·PA. 设 PF＝ a，则 PC＝ 2a.∴4a2＝a(a＋ 5)．∴a＝ .∴P C ＝ 2a＝ .5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连结BE交CD于点F，过点E作直线 EP 与 CD 的延伸线交于点 P，使∠ PED＝∠ C.(1)求证： PE 是⊙ O 的切线；(2)求证： ED 均分∠ BEP；(3)若⊙ O 的半径为 5， CF＝ 2EF，求 PD 的长．解： (1) 证明：连结OE.∵CD 是圆 O 的直径，∴∠ CED ＝ 90 °.∵OC ＝ OE，∴∠ C＝∠ OEC.又∵∠ PED ＝∠ C，∴∠ PED ＝∠ OEC.∴∠ PED ＋∠ OED ＝∠ OEC ＋∠ OED ＝ 90°，即∠ OEP ＝ 90 ° .∴OE ⊥ EP.又∵点 E 在圆上，∴PE 是⊙ O 的切线．(2)证明：∵ AB ， CD 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝∠ CED ＝ 90 °.∴∠ AEC ＝∠ DEB( 同角的余角相等)．又∵∠ PED ＝∠ C， AE ∥ CD ，∴∠ PED ＝∠ DEB ，即ED 均分∠ BEP.(3) 设 EF＝ x ，则 CF＝ 2x.∵⊙ O 的半径为5，∴O F ＝2x － 5.在Rt△ OEF 中， OE 2＝ EF2＋ OF2，即 52＝ x2＋ (2x － 5) 2，解得 x＝4，∴EF ＝ 4.∴B E ＝ 2EF＝ 8， CF＝ 2EF ＝ 8.∴D F ＝ CD－ CF ＝ 10－ 8＝ 2.∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝ 90 °.∵AB ＝ 10， BE ＝8，∴ AE ＝ 6.∵∠ BEP ＝∠ A ，∠ EFP＝∠ AEB ＝ 90°，∴△ EFP∽△ AEB.∴＝，即＝ .∴P F＝ .∴P D ＝ PF－ DF ＝－ 2＝ .6．(2014·桂林)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延伸线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙ O 的直径，过点 C 作 CG⊥ AD 于点 E，交 AB 于点 F，交⊙ O 于点 G.(1)判断直线 PA 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)求证： AG 2＝ AF·AB ；(3)若⊙ O 的直径为 10 ， AC ＝ 2， AB ＝ 4，求△ AFG 的面积．解： (1)PA 与⊙ O 相切．原因：连结CD.∵AD 为⊙ O 的直径，∴∠ ACD ＝ 90 ° .∴∠ D ＋∠ CAD ＝ 90 °.∵∠ B ＝∠ D ，∠ PAC ＝∠ B ，∴∠ PAC ＝∠ D.∴∠ PAC ＋∠ CAD ＝ 90°，即 DA ⊥ PA.∵点 A 在圆上，∴ PA 与⊙ O 相切．(2)证明：连结 BG.∵AD 为⊙ O 的直径， CG⊥ AD ，∴＝ .∴∠ AGF ＝∠ ABG.∵∠ GAF ＝∠ BAG ，∴△ AGF ∽△ ABG.∴AG ∶ AB ＝ AF ∶ AG. ∴ AG 2＝ AF·AB.(3) 连结 BD.∵AD 是直径，∴∠ ABD ＝ 90° .∵AG 2＝ AF·AB ， AG ＝ AC ＝ 2， AB ＝ 4，∴AF ＝＝ .∵CG ⊥ AD ，∴∠ AEF ＝∠ ABD ＝ 90 ° .∵∠ EAF ＝∠ BAD ，∴△ AEF ∽△ ABD.∴＝，即＝，解得 AE ＝ 2.∴E F ＝＝ 1.∵EG ＝＝ 4，∴F G ＝EG － EF＝ 4－1＝ 3.∴S△AFG＝ FG·AE ＝× 3× 2＝ 3.种类 3与锐角三角函数相关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点 P， OP 交 AB 于点 D ， BC ， PA 的延伸线交于点 E.(1)求证： PA 是⊙ O 的切线；(2)若 sin∠ E＝， PA ＝ 6，求 AC 的长．解： (1) 证明：连结OA.∵AC ∥ OP，∴∠ AOP ＝∠ OAC ，∠ BOP ＝∠ OCA.∵OA ＝ OC ，∴∠ OCA ＝∠ OAC. ∴∠ AOP ＝∠ BOP.又∵ OA ＝ OB ， OP＝ OP，∴△ AOP ≌△ BOP. ∴∠ OAP ＝∠ OBP.∵B P ⊥ CB ，∴∠ OAP ＝∠ OBP ＝ 90° .∴ OA ⊥ PA.∴PA 是⊙ O 的切线．(2)∵ PB⊥ CB ，∴ PB 是⊙ O 的切线．又∵ PA 是⊙ O 的切线，∴PA ＝PB＝ 6.又∵ sin E＝＝＝，∴ AO ＝ 3.在Rt△ OPB 中， OP＝＝ 3.∵B C 为⊙ O 直径，∴∠ CAB ＝ 90° .∴∠ CAB ＝∠ OBP ＝ 90°，∠ OCA ＝∠ BOP.∴△ ACB ∽△ BOP. ∴＝ .∴AC ＝＝＝ .8．(2015·贵宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连结 AD ， BD ， BD 交 AC 于点 F.(1)求证： BD 均分∠ ABC ；(2)延伸 AC 到点 P，使 PF＝ PB，求证： PB 是⊙ O 的切线；(3)假如 AB ＝10 ， cos∠ ABC ＝，求 AD.解： (1) 证明：∵ OD ∥ BC ，∴∠ ODB ＝∠ CBD.∵OB ＝ OD ，∴∠ OBD ＝∠ ODB.∴∠ CBD ＝∠ OBD.∴B D 均分∠ ABC.(2)证明：∵⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC 的外接圆，∴∠ ACB ＝ 90° .∴∠ CFB ＋∠ CBF ＝ 90° .∵P F＝ PB，∴∠ PBF＝∠ CFB.由(1) 知∠ OBD ＝∠ CBF ，∴∠ PBF ＋∠ OBD ＝ 90° .∴∠ OBP ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(3)∵在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB ＝10，∴cos∠ ABC ＝＝＝ .∴B C ＝ 6， AC ＝＝ 8.∵OD ∥ BC ，∴△ AOE ∽△ ABC ，∠ AED ＝∠ OEC ＝ 180 °－∠ ACB ＝ 90 °.∴＝＝，＝＝ .∴AE ＝ 4， OE＝ 3.∴D E ＝ OD － OE＝ 5－ 3＝ 2.∴AD ＝＝＝ 2.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB 交直线 AC 于点 D ， BD ＝ 2PA.(1)证明：直线 PB 是⊙ O 的切线；(2)研究线段 PO 与线段 BC 之间的数目关系，并加以证明；(3)求 sin∠ OPA 的值．解： (1) 证明：连结OB.∵B C ∥ OP， OB ＝OC ，∴∠ BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠ POB ，∠ BCO ＝∠ CBO.∴∠ POA ＝∠ POB. 又∵ PO ＝ PO， OB ＝ OA ，∴△ POB ≌△ POA. ∴∠ PBO ＝∠ PAO ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(2)2PO ＝ 3BC.( 写 PO＝ BC 亦可 )证明：∵△ POB ≌△ POA ，∴ PB＝ PA.∵B D ＝ 2PA ，∴ BD ＝ 2PB.∵B C ∥ PO，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝ .∴ 2PO＝ 3BC.(3) ∵ CB ∥ OP，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝，即 DC ＝ OD.∴OC ＝ OD. ∴ DC＝ 2OC.设OA ＝ x， PA ＝ y.则 OD＝ 3x， OB ＝ x ， BD ＝ 2y.在Rt△ OBD 中，由勾股定理得 (3x) 2＝ x2＋ (2y) 2，即 2x2＝ y2.∵x＞ 0， y＞ 0，∴ y＝ x，OP ＝＝ x.∴s in ∠ OPA ＝＝＝＝ .种类 4与特别四边形相关10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D 作⊙ O 的切线，分别交 OA 延伸线与 OC 延伸线于点 E， F，连结 BF.(1)求证： BF 是⊙ O 的切线；(2)已知圆的半径为 1，求 EF 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵E F 为⊙ O 的切线，∴∠ ODF ＝ 90 °.∵四边形AOCD 为平行四边形，∴AO ＝ DC ， AO ∥ DC.又∵ DO ＝ OC ＝ OA ，∴DO ＝ OC ＝ DC.∴△ DOC 为等边三角形．∴∠ DOC ＝∠ ODC ＝ 60° .∵DC ∥ AO ，∴∠ AOD ＝∠ ODC ＝60 ° .∴∠ BOF ＝ 180°－∠ COD －∠ AOD ＝ 60° .在△ DOF 和△ BCF 中，∴△ DOF ≌△ BOF.∴∠ ODF ＝∠ OBF ＝ 90° .∴BF 是⊙ O 的切线．(2)∵∠ DOF ＝ 60°，∠ ODF ＝90°，∴∠ OFD ＝ 30 °.∵∠ BOF ＝ 60°，∠ BOF ＝∠ CFD ＋∠ E，∴∠ E ＝∠ OFD ＝30 ° .∴O F ＝OE.又∵ OD ⊥ EF，∴D E ＝ DF.在Rt△ ODF 中，∠ OFD ＝ 30 °.∴O F ＝2OD.∴D F ＝＝＝ .∴E F ＝ 2DF ＝2.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB ＝ 10，弦 AC ＝ 6，∠ BAC 的均分线交⊙O 于点 D ，过点D 作 DE ⊥ AC 交 AC 的延伸线于点 E.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)求 DE 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAB.∵OA ＝ OD ，∴∠ ODA ＝∠ DAO.∴∠ ODA ＝∠ DAE.∴OD ∥ AE.∵DE ⊥ AC ，∴OD ⊥ DE.∴DE 是⊙ O 切线．(2) 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F.∴AF ＝ CF＝ 3.∴O F ＝＝＝ 4.∵∠ OFE ＝∠ DEF ＝∠ ODE ＝ 90°，∴四边形OFED 是矩形．∴D E ＝ OF ＝ 4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C， D 为切点．(1)如图 1，求⊙ O 的半径；(2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连结 PE，求 PE 的长度；(3)如图 2，若点 M 是 BC 边上随意一点 (不含 B ，C)，以点 M 为直角极点，在 BC 的上方作∠ AMN＝90 °，交直线 CP 于点 N ，求证： AM ＝ MN.解： (1) 连结 OD ， OC.∵P C ， PD 是⊙ O 的两条切线， C， D 为切点，∴∠ ODP ＝∠ OCP ＝ 90° .∵四边形ABCD 是⊙ O 的内接正方形，∴∠ DOC ＝ 90°， OD ＝ OC.∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝ 4，∠ ODC ＝∠ OCD ＝ 45°，∴DO ＝ CO ＝ DC·sin45°＝ 4×＝ 2.(2) 连结 EO， OP.∵点 E 是 BC 的中点，∴OE ⊥ BC ，∠ OCE ＝ 45 °，则∠ EOP ＝ 90° .∴EO ＝ EC ＝ 2， OP＝ CO＝ 4.∴P E＝＝ 2.(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.∵AB ＝ BC ， BF ＝ BM ，∴AF ＝MC ，∠ BFM ＝∠ BMF ＝ 45° .∵∠ AMN ＝ 90°，∴∠ AMF ＋∠ NMC ＝ 45°，∠ FAM ＋∠ AMF ＝ 45° .∴∠ FAM ＝∠ NMC.∵由 (1) 得 PD ＝ PC，∠ DPC ＝ 90°，∴∠ DCP ＝ 45° .∴∠ MCN ＝ 135° .∵∠ AFM ＝ 180 °－∠ BFM ＝ 135 °，在△ AFM 和△ MCN 中，∴△ AFM ≌△ MCN( ASA)．∴AM ＝ MN.。
初中数学中考专题复习之圆专题01切线长定理
专题01切线长定理切线长定理（Theorem of length of tangent），是初等平面几何的一个定理。
它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB=AC。
1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3 C．2D．3解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，∵△PCD的周长等于2，∴PA+PB＝2，∴PA＝PB＝，连接PA和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB＝．选A．2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10解析：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PB＝PA＝4，∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∴CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝8，选C．3．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（）A．7 B．14 C．10.5 D．10解析：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+CD+PB＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝14，选B．4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O 的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．解析：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA＝CF，DF＝DB，PA＝PB，∴PC+CF+DF+PD＝PA＝PB＝2PA＝3r，∴PA＝r，则的值是：＝．选D．5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．8 B．18 C．16 D．14解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB＝PA＝8，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝16．选C．6．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P解析：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∴∠COD＝90°﹣∠P．选C．7．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，则△PDE的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．不能确定解析：根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD＝DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC＝EB，又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA＝PB＝4，则△PDE的周长C＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．选B．8．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD＝20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50解析：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝AD+AE＝2AD＝40．选C．9．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC ＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°解析：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．选D．10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．解析：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，PA⊥OA，∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．11．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④解析：∵BA，BE是圆的切线．∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径，∴DE⊥AE，∴DE∥OF，故①正确；∵CD＝CE，AB＝BE，∴AB+CD＝BC，故②正确；∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了，故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴，即：OA•OD＝AB•CD∴AD2＝4AB•DC，故④正确．故正确的是：①②④．选C．12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．解析：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD 的周长为．解析：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．14．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝cm．解析：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB＝5cm，故答案为：5．15．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC 以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．解析：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14，故答案为：14．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC 分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．解析：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AF＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，∵r＝2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BE＝3，∴由勾股定理得，（x+2）2+52＝（x+3）2，解得，x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30，故答案为30．17．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，（1）求证：AB∥CD；（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．解析：（1）∵∠BOC＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，又BE与BF为圆O的切线，∴BO为∠EBF的平分线，∴∠OBC＝∠OBF，同理可得∠OCB＝∠OCG，∴∠OBF+∠OCG＝90°，∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，即∠ABF+∠DCF＝180°，∴AB∥CD；（2）连接OE，OF，OG，如图所示：由BE和BF为圆的切线，可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，∴BE＝BF，又OB＝OB，∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，∴S扇形OEM＝S扇形OFM，∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，即S阴影BEM＝S阴影BFM，同理S阴影NFC＝S阴影NCG，由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，根据勾股定理得：BC＝5，∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，∴OB•OC＝BC•OF，即OF＝，∴S△BOC＝OB•OC＝6，S扇形OMN＝＝，则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12﹣18．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．解析：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴．19．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）．解析：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°；∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∵c o s∠BAC＝，∴AC＝AB•c o s∠BAC＝2c o s30°＝．∵△PAC为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝．20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．解析：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC，即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8（2）存在符合条件的P点设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况①△ADP∽△BCP时，∴y＝②△ADP∽△BPC时，∴y＝4故存在符合条件的点P，此时AP＝或4。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA⊥AB。
由于AB是切线，所以AB⊥OB。
综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。
由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。
根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。
所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。
方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA=OB=r。
根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。
因为AB是切线，所以∠OAB=90°。
又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。
所以，三角形OAB是直角三角形。
由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。
代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。
化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。
所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。
综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的∠O经过点D．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若∠C＝30°，且CD＝2．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A．D的∠O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=8，sin B≈513，求∠O的半径；(3)求证：AD2=AB•AF．3．如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，点E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2DE =，30BDE ∠=︒，求OC 的长．4．如图，∠O 的弦AB 、CD 交于点E ，点A 是CD 的中点，连接AC 、BC ，延长DC 到点P ，连接PB ．(1)若PB ＝PE ，判断PB 与∠O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC 2＝2AE 2，求证：点E 是AB 的中点．5．如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ，且AB =BE ．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=3，BC=7，求∠O的半径．⊥于点C，交O于点E，CD与BA的延长线交于点6．如图，AB为O直径，D为O上一点，BC CDF，BD平分ABC∠．(1)求证：CD是O的切线；BC=，求BD的长．(2)若3AB=，27．如图，四边形ABCD内接于∠O，AB是∠O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．(1)若AB＝8，求图中阴影部分的面积；(2)若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是∠O的切线．8．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE∠AC，垂足为E，∠O经过A，B，D三点．(1)证明：AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系，并说明理由；(3)若DE的长为3，∠BAC＝60°，求∠O的半径．9．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的∠O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若CD＝3cm，5cm2DE ，求∠O直径的长．10．如图，点D在∠O的直径AB的延长线上，点C在∠O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．(1)求证：CD是∠O的切线；(2)若∠O的半径为2，求图中阴影部分的面积．11．如图，在∠ABC中，AB=AC，以AB为直径的∠O与BC相交于点D，DE∠AC于E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若∠O的半径为5，BC=16，求DE的长．12．如图，AB是∠O的直径，C、D是∠O上的点，BD平分∠ABC，DE∠BE，DE交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)如果CE＝1，AC＝∠O的半径r．13．如图，AB是O的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线AG，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：DC 与O 相切；(2)求证：PC PF =；(3)若1tan 3E =，BE =PF 的长．14．如图，∠O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是∠O 的直径，BE ∠DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．(1)求证：BE 是∠O 的切线．(2)若AC ＝4，CE ＝1，求tan∠BAD ．15．如图，AB 为∠O 的直径，射线AD 交∠O 于点F ，C 为BF 的中点，过点C 作CE ∠AD ，连接AC ．(1)求证：CE是∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．16．如图，∠O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与∠O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∠∠ADE；(2)求证：AD是∠O的切线．．以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE∠AC于点17．已知：如图，在∠ABC中，AB ACE．(1)求证：DE与O相切；AB ，sin B，求线段AF的长．(2)延长DE交BA的延长线于点F，若618．如图，Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是半圆∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．19．如图，AB是∠O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DEBE平分∠ABD，BE与AD交于点F．(1)求证：BP是∠O的切线；(2)若tan∠DBE EF的长；(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求∠O的半径．20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作∠O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是∠O的切线；(2)当BH与∠O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；(3)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．参考答案：1．(1)连接OD，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAB＝∠DAO，∠OD＝OA，∠∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∠DO∠AB，而∠B＝90°，∠∠ODB＝90°，∠BC是∠O的切线；(2)连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∠∠C＝30°，CD＝∠OD＝CD•tan30°＝3，∠∠DAB＝∠DAE＝30°，∠DE＝DF，∠∠DOE＝60°，∠∠DOF＝60°，∠∠FOA＝60°，∠∠OFD、△OF A是等边三角形，∠DF∠AC，∠S阴影＝S扇形DFO＝2603360π⨯⨯＝32π．2．(1)证明： 如图，连接OD ，∠OA =OD ，∠∠ODA =∠OAD ，∠AD 平分∠BAC ，∠∠OAD =∠CAD ，∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥，∠∠C =90°，∠ ∠ODB =∠C =90°，又∠OD 是∠O 的半径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：90BDO ∠=︒，∴在Rt∠BDO 中，5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++， 解得5OD =，故∠O 的半径为5；(3)证明：如图：连接EF ，∠AE 是直径，∠90AFE ACB ∠=︒=∠，∠EF BC ∥，∠AEF B ∠=∠，又∠AEF ADF ∠=∠，∠B ADF ∠=∠，又∠OAD CAD ∠=∠，∠∠DAB ∠∠F AD ， ∠AD AF AB AD=， ∠2AD AB AF =⋅．3．(1)解：连接OD ，∠OD OB =，∠B ODB ∠=∠，又∠B CDA ∠=∠，∠ODB CDA ∠=∠，∠AB 是圆O 的直径，∠∠ADB =90°，∠90ODB ODA ∠+∠=︒，∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒， ∠CD 是O 的切线；(2)解：连接BE 、OE∠E 是BD 的中点，∠2BE DE ==，OE BD ⊥，260BOE BDE ∠=∠=︒， ∠OBE △是等边三角形，∠2OB BE ==，60BOE ∠=︒∠OB OD =，OE BD ⊥，∠60BOE DOE ∠=∠=︒，∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ，60DOC ∠=︒，∠∠C =30°，∠24OC OD ==．4．(1)PB 与∠O 相切，理由是：连接OA 、OB ，OA 交CD 于F ，∠点A 是CD 的中点，∠OA ∠CD ，∠∠AFE ＝90°，∠∠OAE ＋∠AED ＝90°，∠OA＝OB，PB＝PE，∠∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE，∠∠AED＝∠PEB，∠∠OBA＋∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，∠OB∠PB，∠PB与∠O相切；(2)∠AC＝AD，∠∠ACE＝∠ABC，∠∠CAE＝∠BAC，∠∠ACE∠∠ABC，∠ACAE＝ABAC，∠AC2＝AE•AB，∠AC2＝2AE2，∠AE•AB＝2AE2，∠AB＝2AE，∠E为AB的中点．5．(1)证明：连接OB，OE，如图所示，在ABO和EBO△中，AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()SSS ABO EBO △△≌， ∠90BEO BAO ∠=∠=︒，即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线；(2)解：∠3BE =，7BC =，∠3AB BE ==，4CE =，∠AC == ∠OE BC ⊥，∠222OE EC OC +=，即()2224OE OE +=，解得：OE = ∠O6．(1)连接OD ，如图，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠OB OD =，∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠，∠∥OD BC ，∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥，∠90C ∠=︒，∠90ODF C ∠=∠=︒，即OD DC ⊥，∠CD 是O 的切线(2)连接AD ，如图，∠AB 为O 直径，∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒，∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =，即23BD BD =， ∠BD =∠BD ．7．(1)解：如图，连接OC ，OD ，∠∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∠∠COD＝90°，∠AB＝8，∠OC＝12AB＝4，∠S扇形COD＝2904360π⨯⨯＝4π，S△OCD＝12×OC×OD＝12×4×4＝8，∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．(2)证明：∠BC＝AD，∠BC AD=，∠∠BOC＝∠AOD，∠∠COD＝90°，∠∠AOD＝45°，∠OA＝OD，∠∠ODA＝∠OAD，∠∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠∠ODA＝67.5°，∠AD＝AP，∠∠ADP＝∠APD，∠∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∠∠ADP＝12∠CAD＝22.5°，∠∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∠PD是∠O的切线．8．(1)解：如图所示，连接AD∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC即∠ADB＝90°，∠AB是∠O的直径．(2)解：DE与∠O相切，理由如下：如图所示，连接OD，∠OB＝OA，BD＝DC，∠OD是∠ABC的中位线，∥．∠OD AC∠DE∠AC，∠DE∠OD即∠ODE＝90°，∠DE与∠O相切．(3)解：∠AB＝AC，AD∠BC，∠BAC＝60°，∠∠BAD＝∠DAE＝30°．∠DE∠AC，AD∠BD，∠AD＝2DE＝6，AB＝2BD．在∠ABD 中，222BD AD AB +=， ∠()22262BD BD +=，解得BD =∠2AB BD ==，∠∠O 的半径为9．(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC ＝90°∠OD ＝OC∠∠ODC ＝∠OCD在Rt ∠BCD 中，∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC ＝∠ECD∠∠ODC ＋∠EDC ＝∠OCD ＋ECD ＝90° 即∠ODE ＝90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中，∠E为BC中点∠BC＝2DE＝5∠CD＝3∠BD=4∠AC为直径，∠∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，又∠∠B＝∠B∠∠ABC∠∠CBD，∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10．(1)证明：如图，连接OC，∠CD＝AC，∠∠CAD＝∠D，又∠∠ACD＝120°，∠∠CAD＝∠D＝12（180°﹣∠ACD）＝30°，∠OC＝OA，∠∠A＝∠2＝30°，∠∠COD＝60°，又∠∠D＝30°，∠∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线；(2)解：∠∠A ＝30°，∠∠1＝2∠A ＝60°． ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ，在Rt ∠OCD 中，tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△．∠图中阴影部分的面积为23π．11．(1)证明：如图：连接OD ．∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，又∠OD =OB ，∠∠ODB =∠OBD ．∠∠ODB =∠ACB ．∠OD AC ∥，∠DE ∠AC ．∠OD ∠DE ．∠OD 是圆的半径，∠DE 是∠O 的切线；(2)解：如图：连接AD ，∠AB为∠O的直径，∠∠ADB=90°，即AD∠BC，又∠AB=AC，BC=16，∠BD=CD=8，∠∠O的半径为5，∠AC=AB=10，∠6 AD=，∠S△ADC11••22AC DE CD AD ＝＝，∠10DE=8×6，∠DE=4.8．12．(1)解：连接OD，如下图所示：∠OB=OD，∠∠OBD=∠ODB，∠BD平分∠ABC，∠∠OBD=∠DBE，∠∠ODB=∠DBE，∠OD∥BE，∠DE∠BE于点E，∠∠E=90°，∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°，∠OD∠DE；∠DE是∠O的切线．(2)解：设OD交AC于点M，如下图：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB=∠ACE=90°，由(1)知，∠ODE=90°，∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°，∠四边形DECM为矩形，∠EC=DM=1，∠MO∥CB，O为AC的中点，∠MO为∠ABC的中位线，且∠AMO=∠ACB=90°，AC∠AM=MC=12设圆的半径为r，则MO=DO-DM=r-1，在Rt∠AMO中，由勾股定理可知：AO²=AM²+MO²，代入数据：222=+-，r r(1)解出：4r=，故圆∠O的半径为4．13．(1)解：（1）CD AD ⊥，90D ∴∠=︒，∠∠DAC +∠DCA =90°，点c 是弧BG 的中点，∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，OCA DAC ∠=∠∴，//∴AD OC ，∠∠D =∠OCP =90°， OC 是圆O 的半径，DC ∴与O 相切，(2) AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90PCB ACD ∴∠+∠=︒，由（1）得：90DAC DCA ∠+∠=︒，PCB DAC ∴∠=∠，DAC BAC ∠=∠，PCB BAC ∴∠=∠， CE 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ，∠PCF =∠PCB +∠BCF ，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=；(3)连接AE ，CE 平分ACB ∠，∴AE BE =，AE BE ∴=， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，AEB ∴∆为等腰直角三角形，∠AB ，∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠， ∠∠PCB =∠BAC ，∠P =∠P ，∠△PCB ∠△P AC ， ∠13BC PB AC PC ==， ∴设PB x =，3=PC x ，在Rt OCP ∆中，222OC PC OP +=，∠222(3))x x +=，∠x =x =0(舍去)，∠PC∠PF 14．(1)证明：如图，连接OB，∠CB平分∠ACE．∠∠ACB＝∠ECB，∠OB＝OC，∠∠BCO＝∠CBO，∠∠BCE＝∠CBO，∠OB∠ED．∠BE∠ED，∠EB∠BO．∠BE是∠O的切线；(2)解：∠AC是∠O的直径，∠∠ABC＝90°，∠BE∠ED，∠∠E＝90°，∠∠E＝∠ABC，∠∠BCE＝∠ACB，∠∠BCE∠∠ACB，∠BC CE AC BC=，∠AC＝4，CE＝1，∠2BC==，∠BE，∠∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∠∠BCE＝∠BAD，∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15．(1) 解：（1）连接BF ，OC ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠AFB ＝90°，即BF ∠AD ，∠CE ∠AD ，∠BF ∠CE ，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠OC ∠BF ，又BF ∠CE ，∠OC ∠CE ，∠OC 是∠O 的半径，∠CE 是∠O 的切线；(2)解：连接OF ，CF ，∠OA ＝OC ，∴∠OCA =∠BAC ＝30°，∠∠BOC ＝60°，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠FC BC =，∠∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∠OF ＝OC ，∴△FOC为等边三角形，∠∠OCF＝∠COB=60°，∠CF∠AB，∠S△ACF＝S△OCF，∠阴影部分的面积等于S扇形COF，∠AB＝4，∠FO＝OC＝OB＝2，∠S扇形FOC＝260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为23π．16．(1)解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠B＝∠D．∠四边形ABCE为∠O的内接四边形，∠∠B+∠AEC＝180°．∠∠AED+∠AEC＝180°．∠∠B＝∠AED．∠AB＝AC，∠AB＝∠ACB∠∠ACB＝∠AED．∠∠ABC∠∠ADE．(2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∠AB＝AC，OB＝OC，∠AM垂直平分BC．∠∠AMC＝90°．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC．∠∠DAO＝90°．∠点A在∠O上，∠AD是∠O的切线．17．(1)证明：连接OD，∠AB=AC，∠=∠，∠B C=，又∠OB OD∠1∠=∠，B∠C1∠=∠，∥，∠OD AC∠DE∠AC于E，∠DE∠OD，∠OD是O的半径，∠DE与O相切；(2)解：如图：连接AD，∠AB为O的直径，∠∠ADB=90°，∠AB =6，sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒， ∠13∠=∠，∠3B ∠=∠，在∠AED 中，∠AED =90°，∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥， ∠∠FAE ∠∠FOD ， ∠FA AE FO OD=， ∠6AB =，∠3OD AO ==， ∠235FA FA =+， ∠2AF =．18．(1)连接OD ，BD ，如图，AB 是直径，90ADB ∴∠=︒， 90BDC ∴∠=︒，E 是BC 的中点，12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=，OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径，∴DE 是半圆∠O 的切线．(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=．19．(1) 证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB ＝90︒，∠∠DAB +∠ABD ＝90︒，∠∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∠∠DAB ＝∠PBD ，∠∠PBD +∠ABD ＝90︒，∠∠ABP ＝90︒，∠AB ∠PB ，∠BP 是∠O 的切线；(2)解：连接AE ，∠AB 是直径∠∠AEB ＝90︒，∠BE 平分∠ABD ，∠∠ABE ＝∠DBE ，∠AE DE =，∠AE ＝DE∠∠ABE ＝∠DBE ＝∠DAE ，∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠==＝＝，∠EF (3)解：连接OE ，∠OE =OB ，∠∠ABE =∠OEB ，∠∠ABE =∠DBE ，∠∠DBE =∠OEB ，∠//OE BD ∠CE OC DE OB=， ∠CA =AO ，设CA =AO =BO =R ， ∠22CE R DE R==，2=， ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ，∠C =∠C ，∠CAD CEB △∽△， ∠CD AC CB CE=，= ∠R，∠∠O20．(1)证明：∠α＝90°，∠AOB ＝90°，∠∠AOP ＝∠BOH ，在∠AOP 和∠BOH 中，OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH （SAS ），∠∠OP A＝∠OHB，∠AP是∠O的切线，∠∠OP A＝90°，∠OHB＝90°，即OH∠BH于点H，∠BH是∠O的切线；(2)如图，过点B作∠O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC∠BC，OD∠BD，∠OC＝2，OB＝4，∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∠∠OHB＝90°．∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=，∠当BH与∠O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或73π；(3)设h表示点H到直线AB的距离，作ON∠AB于点N，H在圆O上，在Rt∠ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∠ON＝4cos45°＝∠h的最小值为＝ON﹣r＝2∠当∠AHB面积最小时，点H到AB的距离为2。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
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题型专项(八)与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝ 3.∴AP＝AQ＝.∴BP＝AB－AP＝.∴PO＝AP－AO＝3－1(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.∴＝.∵∠PCE＝∠AOE，∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE，∴OF＝3r.∵AP＝AC，∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r.∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3.11＋3223－322.∴BP∶PO＝ 3.3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.(1)求证：△PAE∽△PEC；(2)求证：PE为⊙O的切线；12证明：(1)∵PE2＝PA·PC，PE PAPC PE又∵∠APE＝∠EPC，∴△PAE∽△PEC.(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.1212∴∠OAE＝∠OEA.∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.∴∠PEA＋∠OEA＝90°.∴PE为⊙O的切线．(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r.过点O作OF⊥AC于点F，122r322在△ODF与△PDE中，∴△PCF ∽△PAC.∴ ＝ . ∴a ＝ .∴PC ＝2a ＝ .⎧∠ODF ＝∠PDE ，⎨∠OFD ＝∠PED ， ⎩OF ＝PE ，∴△ODF ≌△PDE.∴DO ＝DP . 类型 2 与相似三角形有关4．(2016· 泰州)如图△，在 ABC 中，∠ACB ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E ，连接 AE 交 CD 于点 P ，交⊙O 于点 F ，连接 DF ，∠CAE ＝∠ADF.(1)判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若 PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求 CP 的长．解：(1)AB 是⊙O 切线．理由：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠CEA ＝90°.∵∠CAE ＝∠ADF ，∠CDF ＝∠CEA ，∴∠ADF ＋∠CDF ＝90°.∴AB 是⊙O 切线．(2)连接 CF.∵∠ADF ＋∠CDF ＝90°，∠PCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠ADF ＝∠PCF.∴∠PCF ＝∠PAC.又∵∠CPF ＝∠APC ，PC PFPA PC ∴PC 2＝PF·PA.设 PF ＝a ，则 PC ＝2a.∴4a 2＝a(a ＋5)．531035．(2015· 北海)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，弦 AE ∥CD ，连接 BE 交 CD 于点 F ，过点 E作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P ，使∠PED ＝∠C.(1)求证：PE 是⊙O 的切线；(2)求证：ED 平分∠BEP ；(3)若⊙O 的半径为 5，CF ＝2EF ，求 PD 的长．∴PF ＝ 16 ∴PD ＝PF －DF ＝ －2＝ .解：(1)证明：连接 OE.∵CD 是圆 O 的直径，∴∠CED ＝90°.∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠OEC.又∵∠PED ＝∠C ，∴∠PED ＝∠OEC.∴∠PED ＋∠OED ＝∠OEC ＋∠OED ＝90°，即∠OEP ＝90°.∴OE ⊥EP .又∵点 E 在圆上，∴PE 是⊙O 的切线．(2)证明：∵AB ，CD 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝∠CED ＝90°.∴∠AEC ＝∠DEB(同角的余角相等)．又∵∠PED ＝∠C ，AE ∥CD ，∴∠PED ＝∠DEB ，即 ED 平分∠BEP .(3)设 EF ＝x ，则 CF ＝2x.∵⊙O 的半径为 5，∴OF ＝2x －5.在 △R t OEF 中，OE 2＝EF 2＋OF 2，即 52＝x 2＋(2x －5)2，解得 x ＝4，∴EF ＝4.∴BE ＝2EF ＝8，CF ＝2EF ＝8.∴DF ＝CD －CF ＝10－8＝2.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∵AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝6.∵∠BEP ＝∠A ，∠EFP ＝∠AEB ＝90°，∴△EFP ∽△AEB.PF EF PF 4 ∴BE ＝AE ，即 8 ＝6.3 . 16 10 3 36．(2014· 桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ， AD 为⊙O 的直径，过点 C 作 CG ⊥AD 于点 E ，交 AB 于点 F ，交⊙O 于点 G.(1)判断直线 PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；∴AF＝＝ 5.∴AEAB AD4510，解得AE＝2.(2)若sin∠E＝，PA＝6，求AC的长．(2)求证：AG2＝AF·AB；(3)若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45△，求AFG的面积．解：(1)PA与⊙O相切．理由：连接CD.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠D.∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．(2)证明：连接BG.∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，︵︵∴AC＝AG.∴∠AGF＝∠ABG.∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.(3)连接BD.∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝25，AB＝45，AG2AB∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∵∠EAF＝∠BAD△，∴AEF∽△ABD.AF AE5＝，即＝∴EF＝AF2－AE2＝1.∵EG＝AG2－AE2＝4，∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.11∴S△AFG＝2FG·AE＝2×3×2＝3.类型3与锐角三角函数有关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC，PA的延长线交于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线；35又∵sinE＝＝＝，∴AO＝3.∴△ACB∽△BOP.∴＝.∴AC＝＝＝.(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD.解：(1)证明：连接OA.∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.∴PA是⊙O的切线．(2)∵PB⊥CB，∴PB是⊙O的切线．又∵PA是⊙O的切线，∴PA＝PB＝6.PB AO3EP EO5在△Rt OPB中，OP＝62＋32＝3 5.∵BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°.∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.AC CBBO OPCB·BO1865OP3558．(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，BD交AC于点F.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；35解：(1)证明：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠CBD＝∠OBD.∴BD平分∠ABC.∴cos∠ABC＝＝＝.∴AE OE AO AE OE5＝＝(2)2PO＝3BC.(写PO＝BC亦可)∴＝＝.∴2PO＝3BC.(2)证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.由(1)知∠OBD＝∠CBF，∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.∴PB是⊙O的切线．(3)∵在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC BC3AB105∴BC＝6，AC＝AB2－BC2＝8.∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.AC BC AB，8＝6＝10.∴AE＝4，OE＝3.∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.∴AD＝AE2＋DE2＝42＋22＝2 5.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D，BD＝2PA.(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OP A的值．解：(1)证明：连接OB.∵BC∥OP，OB＝OC，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠P AO＝90°.∴PB是⊙O的切线．32证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.∵BD＝2P A，∴BD＝2PB.∵BC∥PO△，∴DBC∽△DPO.BC BD2PO PD3(3)∵CB∥OP△，∴DBC∽△DPO.∴DC BD22＝＝，即DC＝OD.∴OC＝OD.∴DC＝2OC.OP3x33DO PD3313设OA＝x，PA＝y.则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.在△Rt OBD中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即2x2＝y2.∵x＞0，y＞0，∴y＝2x，OP＝x2＋y2＝3x.OA x13∴sin∠OP A＝＝＝＝.类型4与特殊四边形有关10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF的长．解：(1)证明：连接OD.∵EF为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°.∵四边形AOCD为平行四边形，∴AO＝DC，AO∥DC.又∵DO＝OC＝OA，∴DO＝OC＝DC.∴△DOC为等边三角形．∴∠DOC＝∠ODC＝60°.∵DC∥AO，∴∠AOD＝∠ODC＝60°.∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.在△DOF和△BCF中，⎧DO＝BO，⎨∠DOF＝∠BOF，⎩OF＝OF，∴△DOF≌△BOF.∴∠ODF＝∠OBF＝90°.∴BF是⊙O的切线．(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，∴∠OFD＝30°.∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，∴∠E＝∠OFD＝30°.∴OF＝OE.又∵OD⊥EF，∴DE＝DF.在△R t ODF中，∠OFD＝30°.∴OF＝2OD.∴DF＝OF2－OD2＝22－12＝ 3.∴EF＝2DF＝2 3.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切线．(2)过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝OA2－AF2＝52－32＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．(1)如图1，求⊙O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.＝2 2.解：(1)连接 OD ，OC.∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC.∴四边形 DOCP 是正方形．∵AB ＝4，∠ODC ＝∠OCD ＝45°，∴DO ＝CO ＝DC· s in45°＝4× 22 (2)连接 EO ，OP .∵点 E 是 BC 的中点，∴OE ⊥BC ，∠OCE ＝45°，则∠EOP ＝90°.∴EO ＝EC ＝2，OP ＝ 2CO ＝4.∴PE ＝ OE 2＋OP 2＝2 5.(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.∵AB ＝BC ，BF ＝BM ，∴AF ＝MC ，∠BFM ＝∠BMF ＝45°.∵∠AMN ＝90°，∴∠AMF ＋∠NMC ＝45°，∠FAM ＋∠AMF ＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.∵由(1)得 PD ＝PC ，∠DPC ＝90°，∴∠DCP ＝45°.∴∠MCN ＝135°.∵∠AFM ＝180°－∠BFM ＝135°，⎧∠FAM ＝∠CMN ， 在△AFM 和△MCN 中，⎨AF ＝MC ，⎩∠AFM ＝∠MCN ，∴△AFM ≌△MCN(ASA)．∴AM ＝MN.。