中考中圆的切线证明习题集锦
初三圆的切线试题及答案
初三圆的切线试题及答案
一、选择题
1. 下列说法正确的是（）
A. 圆的切线垂直于过切点的半径
B. 圆的切线与过切点的半径垂直
C. 圆的切线与过切点的直径垂直
D. 圆的切线与过切点的弦垂直
答案：B
2. 经过圆外一点作圆的切线，下列说法正确的是（）
A. 只能作一条
B. 能作两条
C. 能作无数条
D. 不能作
答案：B
二、填空题
3. 已知圆的半径为5，圆心到切线的距离为3，则切线的长度为______。
答案：4√2
4. 圆的直径为10，切线与直径的夹角为30°，则切线的长度为______。
答案：5√3
三、解答题
5. 已知圆O的半径为2，点A在圆外，OA=4，求经过点A的圆O的切
线长。
答案：首先，连接OA，设切点为B。
由题意知，OA=4，OB=2。
在直角
三角形OAB中，根据勾股定理，AB²=OA²-OB²=4²-2²=12，所以
AB=2√3。
由于切线与半径垂直，所以切线长为2√3。
6. 圆的半径为3，圆心到切线的距离为2，求切线与圆心的夹角。
答案：设切线与圆心的夹角为θ，根据切线的性质，圆心到切线的距
离等于半径乘以sinθ，即2=3sinθ。
解得sinθ=2/3。
由于θ在0°到90°之间，所以θ=arcsin(2/3)。
九年级数学圆的切线解答题专项练习
九年级数学圆的切线解答题专项练习 一，切线的判定：有切点，证垂直1、如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°。
BD 是角平分线点，O 在AB 上。
以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D,交BC 于点E 求证，AC 是圆O 的切线。
2、如图AB 为圆O 的直径。
CE ⊥AD 于E ，连接B ，弧CD=弧CB（1）求证，CE 为圆O 的切线。
（2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan ∠BEC 的值．3、如图，D 为圆O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD（1）图中∠ADB=___°，理由是___；（2）判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明；（3）过点B 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=6，tan ∠CDA=32,求线段BE 的长．4、如图，已知圆O的半径为1,AC是圆O的直径。
过点C作圆O的切线BC。
E为BC的中点，AB交圆O于点D。
（1）直接写出ED和EC的数量关系______________（2）DE是圆O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由（3）填空：当BC=_________时，四边形AOED是平行四边形，同时，以O,D,E,C 为顶点的四边形是__________4-1:如图，在三角形ABC中,∠ABC=90度，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D。
E是BC的中点。
连接DE，OE判断DE和圆O的位置关系，并说明理由。
4-2:如图，已知⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AC交⊙O于D点，四边形AOED是平行四边形．（1）求BC的长；（2）ED是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．4-3:如图，在直角三角形ABC中,∠ABC=90度。
以AB为直径作半圆O。
交AC 于点D。
E是BC中点,连接ED,求证，ED是半圆O的切线。
5、如图，圆O是三角形ABC的外接圆，AB为直径。
中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题(带答案)
中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，,AC BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC BD ⊥于点E BD ，平分ADC ∠．(1)求BAD ∠的度数；(2)点P 在DB 的延长线上，PA 是该圆的切线．①求证：PC 是该圆的切线；①若3PA AC ==，直接写出PD 的长．2．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BED ∠=︒，3PD =求PA 的长．(3)在（2）的条件下，将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．3．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD BD 、是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．4．如图1和图2，线段12AB =，点C 在AB 上．以AC 为直角边构造Rt ADC ，使70ACD ∠=︒．点O 是CB 上一点（包括端点），以点O 为圆心、OA 为半径作半圆，交DC 于点E ．(1)如图1，OF 平分AOE ∠，交AD 于点F ，连接FE ．求证：FE 是半圆所在圆的切线；(2)如图2，点G ，E 关于AB 对称，连接EG 交AB 于点H ，设OA r =．若60AOE =︒∠求EG 与r 的数量关系；(3)若CO CE =，AE 的长为76π，直接写出点B 与半圆所在圆的位置关系．5．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．6．如图，已知线段6BE =，点C 为BE 上一点，以点C 为圆心，分别以CB ，CE 为半径在BE 的上方作圆心角均为()90180αα︒<<︒的扇形BCD 和扇形ACE ．(1)求证：≌ACB ECD △△；(2)已知4BC =，若AD 是扇形ACE 所在圆的切线．①求AE 的长；①判断DE 和扇形ACE 所在圆的位置关系，并说明理由．7．如图，已知点A、B、C在①O上，且AC=6，BC=8，AB=10．点E在AC延长线上，连接BE，且BE2=AE•CE．(1)求证：BE为①O的切线；(2)若点F为①ABE外接圆的圆心求OF的长．8．如图，AC＝AD，在①ACD的外接圆中弦AB平分①DAC，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．(1)求证：CD//BE．(2)已知AC＝7，sin①CAB＝37求BE的长9．如图，圆O是①ABP的外接圆，①B＝①APC；（1）求证：PC是圆的切线；（2）若AP＝6，①B＝45°求劣弧AP的长．10．如图1，四边形ADBC 内接于O ，E 为BD 延长线上一点，AD 平分EDC ∠．（1）求证：AB AC =；（2）如图2，若CD 为直径，过A 点的圆的切线交BD 延长线于E ，若1DE =，2AE =求O 的半径．11．如图，已知以Rt ABC ∆的边AB 为直径作ABC ∆的外接圆的,O ABC ∠平分线BE 交AC 于D ，交O 于E ，过E 作//EF AC 交BA 的延长线于F ．（1）求证：EF 是O 切线；（2）若15,10,AB EF ==求AE 的长．12．如图，在①ABC中①ABC=45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD①OC，交BC 的延长线于点D．（1）求证：AD是①O的切线；（2）若①BAD=105°，①O的半径为2求劣弧AB的长．13．如图，△ABC是钝角三角形90A︒∠>，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ⊥，CF也为圆的直径.与BC的交点为D，CDO45︒∠=l为过点C圆的切线，作DE l∆∆；（1）证明：CFB~DCE（2）已知圆O的半径为3求22+的值.AD CD14．如图,AB是①O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且PDA PBD∠=∠,延长PD交圆的切线BE于点E.(1)求证:PD是①O的切线；(2)若60∠=︒,3BEDPD=求P A的长.15．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .(1)求证：EF ①BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2求BE 的长.参考答案1．【答案】(1)90BAD ∠=︒(2)①PD 的长为3．【详解】（1）解：BD 平分ADC ∠ADB CDB ∴∠=∠．BAC CDB ∠=∠ADB BAC ∴∠=∠．AC BD90ADB CAD ︒∴∠+∠=．90BAC CAD ∴∠+∠=︒．90BAD ∴∠=︒；（2）①证明：如图，取BD 的中点O ，连接OAOC ，．90BAD ∠=︒BD ∴是该圆的直径．∴点O 是该圆的圆心．PA 是O 的切线90OAP ∴∠=︒．OA OC AC BD =⊥，AOP COP ∴∠=∠．OP OP =AOP COP ∴△≌△．90OCP OAP ∴∠=∠=︒．PC ∴是O 的切线；①①PC 、PA 都是O 的切线①PA PC =①3PA AC ==①3PA PC AC ===①PAC △是等边三角形①1302APO APC ∠=∠=︒ 60AOP ∠=︒①PO 2OA =，BAO 是等边三角形①222PO OA PA =+①1OA =①1OA OD == 22PO OA ==①3PD =①PD 的长为3．2．【答案】(1)PD 是O 的切线，(2)1；【详解】（1）直线PD 为O 的切线，理由如下：如图1，连接OD①AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒90ADO BDO ∴∠+∠=︒①DO BO =BDO PBD ∴∠=∠PDA PBD ∠=∠BDO PDA ∴∠=∠①90ADO PDA ∠+∠=︒，即PD OD ⊥①OD 是O 的半径直线PD 为O 的切线；（2）BE 为O 切线90PBE ∴∠=︒60BED ∠=∠︒90906030P BED ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒在Rt PDO △中90PDO ∠=︒ 3PD =①3tan 30313OD PD =⨯︒=⨯=22PO OD ==①1OA OD ==①211PA PO OA =-=-=；（3）如图2，连接OD由题意得：ADF PDA∠=∠∠=∠APD AFD∴∠=∠PDA PBD①ADF ABF∠=∠PAD DAF∠=∠①ADF AFD BPD ABF∠=∠=∠=∠①APD ABF∠=∠①AD AF∥=BF PD∴⊥DF PBBE为切线∴⊥BE PB∴∥DF BE四边形DFBE为平行四边形①PE、BE为切线①BE DE=四边形DFBE为菱形．3．【答案】【详解】（1）解：直线PD为O的切线，理由如下：连接OD，如图所示：①AB是圆O的直径∴∠=︒ADB90∴∠+∠=︒ADO BDO90=又DO BO∴∠=∠BDO PBD∠=∠PDA PBDBDO PDA∴∠=∠∴∠+∠=︒90ADO PDA即PD OD ⊥点D 在O 上∴直线PD 为O 的切线．（2）证明：依题意得：ADF PDA ∠=∠ PAD DAF ∠=∠PDA PBD ADF ABF ∠=∠∠=∠，ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠AB 是圆O 的直径90ADB ∴∠=︒设PBD x ∠=，则902DAF PAD x DBF x ∠=∠=︒+∠=，四边形AFBD 内接于O180DAF DBF ︒∴∠+∠=即902180x x ︒++=︒，解得30x =︒30ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠=︒BE ED 、是O 的切线90DE BE EBA ∴=∠=︒，60DBE ∴∠=︒BDE ∴是等边三角形BD DE BE ∴==又903060260FDB ADB ADF DBF x ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠==︒， BDF ∴是等边三角形BD DF BF ∴==DE BE DF BF ∴===①四边形DFBE 为菱形．4．【答案】(2)3EG r =(3)点B 在半圆所在圆上【详解】（1）证明：OF 平分AOE ∠=EOF AOF ∴∠∠．又OE OA = OF OF =OFE OFA ∴△≌△．90OEF OAF ∴∠=∠=︒．FE ∴是半圆所在圆的切线．（2）解：点G ，E 关于AB 对称EG AB ∴⊥ 2EG EH =．又60AOE =︒∠ OE OA r ==3·sin 602EH OE r ∴=︒=． 3EG r ∴=．（3）解：点B 在半圆所在圆上．理由如下：①①ACD =70︒①①ECO =110︒①CO =CE①①COE =①CEO =()180110352︒-︒=︒ ①35723606AE r ππ=⨯= ①r =6①AB =12=2r①点B 在半圆所在的圆上．5．【答案】(1)3AC =【详解】（1）①AB 是圆O 的直径①90ACB ∠=︒①2223AC AB BC =-=，①3AC =（舍负值）．（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．①ED 与圆O 相切于D 点①OD ED ⊥①四边形ACDE 是平行四边形①ED AC ∥ CD EA ∥①OD AC ⊥ 90OFA ACB ∠=︒=∠①OD BC ∥①CD EB ∥ OD OB =①四边形OBCD 是菱形①BD 平分ABC ∠．6．【答案】(2)①43π；①相切 【详解】（1）（1）证明：由题意可知 ,,CB CD CA CE BCD ACE α==∠=∠= ①BCD ACD ACE ACD ∠-∠=∠-∠，即BCA DCE ∠=∠．在ACB △和ECD 中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CB CD BCA DCE CA CE ①()ACB ECD SAS ≌．（2）（2）解：①由题意，得4,642CD BC CA CE BE BC ====-=-=． ①AD 是扇形ACE 所在圆的切线①90CAD ∠=︒．在Rt①ACD 中2,4AC CD ==①30ADC ∠=︒①60ACD ∠=︒①,180BCA DCE BCA ACD DCE ∠=∠∠+∠+∠=︒①60BCA DCE ∠=∠=︒①120ACE ∠=︒①120421803AE ππ=⨯⨯=． ①DE 和扇形ACE 所在圆相切．理由如下：在BCA 和DCA △中 CB CD BCA DCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCA DCA SAS ≌①90CAB CAD ∠=∠=︒．由（1）得≌ACB ECD △△ ①90DEC BAC ∠=∠=︒，即CE DE ⊥． 又①点E 在扇形ACE 所在的圆上①DE 和扇形ACE 所在圆相切．7．【答案】(2)203OF = 【详解】（1）证明：①AC =6，BC =8，AB =10． ①AC 2+BC 2=AB 2①①ABC 为直角三角形且①ACB =90°①①ECB =90°①AB 为①O 的直径①BE 2=AE •CE①BE CE AE BE= 又①①E =①E①①ECB ①①EBA①①ECB =①EBA =90°①EB ①AB又①OB 为①O 的半径①BE 为①O 的切线；（2）解：如图，连接BF在Rt ①ABE 中tan①BAE =10BE BE AB = 在Rt ①ABC 中tan①BAE =86BC AC = ①8106BE = 解得BE =403①点F 为①ABE 外接圆的圆心①AF =BF =EF①点F 为直角三角形ABE 斜边AE 的中点 ①点O 为AB 的中点①OF 为①ABE 的中位线①OF =12BE =12×403=203． 8．【答案】(2)14740【详解】（1）证明：设AB 与CD 的交点为F ，连接BD①AC ＝AD ，AB 平分①DAC①AB ①CD ，DF ＝CF①AB是直径①BE是①ACD的外接圆的切线①BE①AB①CD//BE；（2）解：①AC＝7，sin①CAB＝3=7CFAC①CF＝3＝DF①AF＝222273210 AD DF-=-=①cos①DAB＝AD AF AB AD=①AB＝77491020 210⨯=①tan①DAB＝BE DF AB AF=①3 492101020BE=①BE＝147 40．9．（2）劣弧AP的长为322π．【详解】（1）证明：过点P作直径PQ，连接AQ①PQ为①O的直径①①P AQ=90°①PA=PA①①B=①Q①①B=①APC①①APC=①Q①①Q +①APQ =90°①①APQ +①APC =90°①①CPQ =90°．①PC 是圆O 的切线；（2）连接OP 、OA①PA =PA①①O =2①B =90°①OP =OA①①AOP 是等腰直角三角形①222OP OA AP +=①AP =6①OP =OA =32①劣弧AP 的长=9032321802ππ︒⨯=︒． 10．【详解】（1）证明：①四边形ADBC 内接于①O ①①EDA ＝①ACB由圆周角定理得，①CDA ＝①ABC①AD 平分①EDC①①EDA ＝①CDA①①ABC ＝①ACB①AB ＝AC ；（2）解：连接AO 并延长交BC 于H ，AM①CD 于M ①AB ＝AC ，四边形ADBC 内接于①O①AH①BC ，又AH①AE①AE①BC①CD 为①O 的直径①①DBC ＝90°①①E ＝①DBC ＝90°①四边形AEBH 为矩形①BH ＝AE ＝2①BC ＝4①AD 平分①EDC ，①E ＝90°，AM①CD ①DE ＝DM ＝1，AE ＝AM ＝2 在Rt △ABE 和Rt △ACM 中 AE AMAB AC ⎧⎨⎩＝＝①Rt △ABE①Rt △ACM （HL ） ①BE ＝CM设BE ＝x ，CD ＝x ＋2在Rt △BDC 中x 2＋42＝（x ＋2）2 解得，x ＝3①CD ＝5①①O 的半径为2.5．11．（2）35【详解】（1）连接OE①①B的平分线BE交AC于D①①CBE=①OBE①EF①AC①①CAE=①FEA①①OBE=①OEB，①CBE=①CAE①①FEA=①OEB①AB是O的直径①①AEB=90°①①FEO=90°①EF是O切线；（2）①①FEA=①OEB=①OBE，①F=①F ①∆FEA~∆FBE①EF AF BF EF=即：2EF AF BF=⋅①AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去）①51102 AE AFBE EF===①在Rt∆ABE中AE2+BE2=AB2①AE2+（2AE）2=152①AE=35．12．（2）53π．【详解】解：（1）连接AO．①①ABC=45°，①①AOC=2①B=90°．①OC①AD，①①OAD=90°①AD是①O的切线；（2）连接OB．①①BAD=105°，①OAD=90°①①OAB=15°．①OB=OA，①①ABO=15°①①AOB=150°①劣弧AB的长=15025 1803ππ⨯=．13．（2）22218AD CD AC+==【详解】（1）①CF为直径，l为切线①CF l⊥又①DE l⊥①CF//DE①①BCF=①CDE.又①CED=①CBF=90°①CFB~DCE∆∆；（2）连接AF由题意得：①CDP=①BDM=45°①M为弦AB的中点①OM垂直平分线段AB①①ADM=①BDM=45°①△ADB为等腰直角三角形①①ADB=①ADC=90°①222AD CD AC += ①①AFC=①ABC=45° ①AC=CF×sin45°=32 ①22218AD CD AC +==. 14．【详解】(1)证明:连接OD①AB 是①O 的直径 ①90ADB ∠=︒①90ADO BDO ∠+∠=︒ ①DO BO =①BDO PBD ∠=∠ ①PDA PBD ∠=∠ ①BDO PDA ∠=∠ ①90ADO PDA ∠+∠=︒ 即PD ①OD①直线PD 为①O 的切线；(2)解:①BE 是①O 的切线 ①90EBA ∠︒= ①60BED ∠=︒①30P ∠=︒①PD 为①O 的切线 ①90PDO ∠=︒设①O 的半径为R在Rt①PDO 中30P ∠=︒,则22PO OD R ==①222PO OD PD -= ①222(2)(3)R R -=解得1R = ①2PO = 1AO = ①211PA PO AO =-=-=； 15．【答案】(2) 233π【详解】(1)①EF ＝BD ①EF ＝BD①BE DF①①D ＝①DEF又BD ＝BC①①D ＝①C①①DEF=①CEF①BC(2)①AB 是直径，BC 为切线 ①AB①BC又EF①BC①AB①EF ，弧BF=弧BE GF ＝GE ＝12(HF+EH)=3，HG=1 DB 平分①EDF 又BF①CD①①FBD ＝①FDB ＝①BDE ＝①BFH ①HB ＝HF ＝2①cos①BHG ＝HGHB ＝12，①BHG ＝60°.①①FDB ＝①BDE ＝30°①①DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.①弧BE＝63π＝233π。
初中圆切线试题及答案
初中圆切线试题及答案一、选择题1. 圆的切线与过切点的半径垂直，这是圆的切线性质中的哪一条？A. 切线与半径垂直B. 切线与直径垂直C. 切线与切点垂直D. 切线与圆心垂直答案：A2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定答案：C3. 圆的切线与圆的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B二、填空题4. 圆的切线与过切点的半径垂直，因此圆的切线与_________垂直。
答案：过切点的半径5. 如果圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么直线与圆相切的条件是_________。
答案：d = r三、解答题6. 已知圆O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，求证：直线l是圆O的切线。
证明：由题意知，圆心O到直线l的距离d=3，圆的半径r=4。
因为d=r，所以直线l与圆O相切。
7. 已知圆的半径为6，圆心到直线的距离为5，求圆与直线的交点个数。
解：由于圆心到直线的距离d=5小于圆的半径r=6，所以直线与圆相交，交点个数为2个。
四、计算题8. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，直线方程为3x + 4y - 15 = 0，求直线与圆的切线方程。
解：首先求圆心坐标，圆心为(2, 3)。
计算圆心到直线的距离d，利用点到直线距离公式：\[ d = \frac{|3*2 + 4*3 - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 - 15|}{5} = 1 \]由于d=1，直线与圆相切。
设切线方程为3x + 4y + c = 0，将圆心坐标代入得：\[ 3*2 + 4*3 + c = 0 \]\[ 6 + 12 + c = 0 \]\[ c = -18 \]所以切线方程为3x + 4y - 18 = 0。
圆切线练习题(含答案)
圆切线练习题(含答案)XXX∠OAD，又∠OAD＝90°，∴∠XXX°。
又因为CD与半径OD重合，∴CD垂直于过切点D的半径，即CD是⊙O的切线。
例5.证明：由点悟可知，须证OD＝OA。
XXX是⊙O的直径，∴∠OAB＝90°，又∠XXX°，因此O、B、D三点共线。
OBD是直角三角形，∴OD＝OB×sin∠OBD＝r×sin∠OAB＝OA。
又因为OD是⊙O的半径，∴OD＝r。
OA＝r，即AC与⊙O相切。
例6.证明：如图所示。
OA⊥OB，∴∠XXX°，又∠OAD＝∠DPB，∴∠DPB＝90°。
CD是⊙O的切线，∴PC＝CD。
例7.解：如图所示。
O是内心，∴∠BOC＝2∠A＝140°。
答案：∠BOC＝140°。
题目：证明在一个圆中，若一条直径的一端点与圆上一点相连，且与该点相连的两条切线分别与直径所在直线交于不同点，则这两个交点和圆上的该点构成一个等腰三角形。
证明：连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。
由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。
又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。
由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。
在证明中，我们先利用“切线的性质定理”和“全等三角形”的基本图形，构造辅助线OD。
然后利用切线的判定定理，得到CD是圆的切线。
这样就证明了∠COB=∠COD和CD是圆的切线。
接下来，我们连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。
由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。
又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。
由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。
圆的切线专题证明题
1、.已知：如图，CB是⊙O的直径，BP是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm，求AC．2、⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E.求证：DE为⊙O的切线3、、如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E。
（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30°.AB=8，求DG的长4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O的切线；6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的OABPC延长线上，且求证：直线是⊙0的切线；7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP 上，连接DB，且AD=DB。
（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。
（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。
9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且E．求证：CD是小圆的切线．11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；FECPMBDCO NODE AB CF··B ACD EF O(2)若DE=3，⊙O 的半径为5，求BF 的长.12如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠．（1）求证：PC 是O ⊙的切线；（2） 求证：12BC AB =；13如图，A 是⊙O 的直径EF 上的一点，半径OB ⊥EF ，BA 的延长线与⊙O 相交于另一点C ，若=51。
(完整版)证明圆的切线经典例题(最新整理)
证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.又∵AB=BC ，∴∠3=∠4.∴BD=DE ，∠1=∠2.又∵OB=OE ，OF=OF ，∴△BOF ≌△EOF （SAS ）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF 与⊙O 相切，∴OB ⊥BF.∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的⌒⌒例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD ，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB ，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E ，∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径，∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE ，∴∠E=∠1.∵PA=PD ，∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,⌒⌒∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.D即OD ⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD ，∴OB=BC=BD.∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP，.OCOP OD OC 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900.∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △∵O 是FG 的中点，∴O 是Rt △CFG 的外心.∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A 为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴.OD OCOB AC= ∵OA=OB ，∴.OD OCOA AC= 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC ∽△ODC ，∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,O∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF ∥AC ，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴.CF CD OF ==21∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练
人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的∠O经过点D．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若∠C＝30°，且CD＝2．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A．D的∠O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=8，sin B≈513，求∠O的半径；(3)求证：AD2=AB•AF．3．如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，点E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2DE =，30BDE ∠=︒，求OC 的长．4．如图，∠O 的弦AB 、CD 交于点E ，点A 是CD 的中点，连接AC 、BC ，延长DC 到点P ，连接PB ．(1)若PB ＝PE ，判断PB 与∠O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC 2＝2AE 2，求证：点E 是AB 的中点．5．如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ，且AB =BE ．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=3，BC=7，求∠O的半径．⊥于点C，交O于点E，CD与BA的延长线交于点6．如图，AB为O直径，D为O上一点，BC CDF，BD平分ABC∠．(1)求证：CD是O的切线；BC=，求BD的长．(2)若3AB=，27．如图，四边形ABCD内接于∠O，AB是∠O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．(1)若AB＝8，求图中阴影部分的面积；(2)若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是∠O的切线．8．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE∠AC，垂足为E，∠O经过A，B，D三点．(1)证明：AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系，并说明理由；(3)若DE的长为3，∠BAC＝60°，求∠O的半径．9．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的∠O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若CD＝3cm，5cm2DE ，求∠O直径的长．10．如图，点D在∠O的直径AB的延长线上，点C在∠O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．(1)求证：CD是∠O的切线；(2)若∠O的半径为2，求图中阴影部分的面积．11．如图，在∠ABC中，AB=AC，以AB为直径的∠O与BC相交于点D，DE∠AC于E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若∠O的半径为5，BC=16，求DE的长．12．如图，AB是∠O的直径，C、D是∠O上的点，BD平分∠ABC，DE∠BE，DE交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)如果CE＝1，AC＝∠O的半径r．13．如图，AB是O的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线AG，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：DC 与O 相切；(2)求证：PC PF =；(3)若1tan 3E =，BE =PF 的长．14．如图，∠O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是∠O 的直径，BE ∠DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．(1)求证：BE 是∠O 的切线．(2)若AC ＝4，CE ＝1，求tan∠BAD ．15．如图，AB 为∠O 的直径，射线AD 交∠O 于点F ，C 为BF 的中点，过点C 作CE ∠AD ，连接AC ．(1)求证：CE是∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．16．如图，∠O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与∠O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∠∠ADE；(2)求证：AD是∠O的切线．．以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE∠AC于点17．已知：如图，在∠ABC中，AB ACE．(1)求证：DE与O相切；AB ，sin B，求线段AF的长．(2)延长DE交BA的延长线于点F，若618．如图，Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是半圆∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．19．如图，AB是∠O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DEBE平分∠ABD，BE与AD交于点F．(1)求证：BP是∠O的切线；(2)若tan∠DBE EF的长；(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求∠O的半径．20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作∠O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是∠O的切线；(2)当BH与∠O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；(3)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．参考答案：1．(1)连接OD，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAB＝∠DAO，∠OD＝OA，∠∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∠DO∠AB，而∠B＝90°，∠∠ODB＝90°，∠BC是∠O的切线；(2)连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∠∠C＝30°，CD＝∠OD＝CD•tan30°＝3，∠∠DAB＝∠DAE＝30°，∠DE＝DF，∠∠DOE＝60°，∠∠DOF＝60°，∠∠FOA＝60°，∠∠OFD、△OF A是等边三角形，∠DF∠AC，∠S阴影＝S扇形DFO＝2603360π⨯⨯＝32π．2．(1)证明： 如图，连接OD ，∠OA =OD ，∠∠ODA =∠OAD ，∠AD 平分∠BAC ，∠∠OAD =∠CAD ，∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥，∠∠C =90°，∠ ∠ODB =∠C =90°，又∠OD 是∠O 的半径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：90BDO ∠=︒，∴在Rt∠BDO 中，5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++， 解得5OD =，故∠O 的半径为5；(3)证明：如图：连接EF ，∠AE 是直径，∠90AFE ACB ∠=︒=∠，∠EF BC ∥，∠AEF B ∠=∠，又∠AEF ADF ∠=∠，∠B ADF ∠=∠，又∠OAD CAD ∠=∠，∠∠DAB ∠∠F AD ， ∠AD AF AB AD=， ∠2AD AB AF =⋅．3．(1)解：连接OD ，∠OD OB =，∠B ODB ∠=∠，又∠B CDA ∠=∠，∠ODB CDA ∠=∠，∠AB 是圆O 的直径，∠∠ADB =90°，∠90ODB ODA ∠+∠=︒，∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒， ∠CD 是O 的切线；(2)解：连接BE 、OE∠E 是BD 的中点，∠2BE DE ==，OE BD ⊥，260BOE BDE ∠=∠=︒， ∠OBE △是等边三角形，∠2OB BE ==，60BOE ∠=︒∠OB OD =，OE BD ⊥，∠60BOE DOE ∠=∠=︒，∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ，60DOC ∠=︒，∠∠C =30°，∠24OC OD ==．4．(1)PB 与∠O 相切，理由是：连接OA 、OB ，OA 交CD 于F ，∠点A 是CD 的中点，∠OA ∠CD ，∠∠AFE ＝90°，∠∠OAE ＋∠AED ＝90°，∠OA＝OB，PB＝PE，∠∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE，∠∠AED＝∠PEB，∠∠OBA＋∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，∠OB∠PB，∠PB与∠O相切；(2)∠AC＝AD，∠∠ACE＝∠ABC，∠∠CAE＝∠BAC，∠∠ACE∠∠ABC，∠ACAE＝ABAC，∠AC2＝AE•AB，∠AC2＝2AE2，∠AE•AB＝2AE2，∠AB＝2AE，∠E为AB的中点．5．(1)证明：连接OB，OE，如图所示，在ABO和EBO△中，AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()SSS ABO EBO △△≌， ∠90BEO BAO ∠=∠=︒，即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线；(2)解：∠3BE =，7BC =，∠3AB BE ==，4CE =，∠AC == ∠OE BC ⊥，∠222OE EC OC +=，即()2224OE OE +=，解得：OE = ∠O6．(1)连接OD ，如图，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠OB OD =，∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠，∠∥OD BC ，∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥，∠90C ∠=︒，∠90ODF C ∠=∠=︒，即OD DC ⊥，∠CD 是O 的切线(2)连接AD ，如图，∠AB 为O 直径，∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒，∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =，即23BD BD =， ∠BD =∠BD ．7．(1)解：如图，连接OC ，OD ，∠∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∠∠COD＝90°，∠AB＝8，∠OC＝12AB＝4，∠S扇形COD＝2904360π⨯⨯＝4π，S△OCD＝12×OC×OD＝12×4×4＝8，∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．(2)证明：∠BC＝AD，∠BC AD=，∠∠BOC＝∠AOD，∠∠COD＝90°，∠∠AOD＝45°，∠OA＝OD，∠∠ODA＝∠OAD，∠∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠∠ODA＝67.5°，∠AD＝AP，∠∠ADP＝∠APD，∠∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∠∠ADP＝12∠CAD＝22.5°，∠∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∠PD是∠O的切线．8．(1)解：如图所示，连接AD∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC即∠ADB＝90°，∠AB是∠O的直径．(2)解：DE与∠O相切，理由如下：如图所示，连接OD，∠OB＝OA，BD＝DC，∠OD是∠ABC的中位线，∥．∠OD AC∠DE∠AC，∠DE∠OD即∠ODE＝90°，∠DE与∠O相切．(3)解：∠AB＝AC，AD∠BC，∠BAC＝60°，∠∠BAD＝∠DAE＝30°．∠DE∠AC，AD∠BD，∠AD＝2DE＝6，AB＝2BD．在∠ABD 中，222BD AD AB +=， ∠()22262BD BD +=，解得BD =∠2AB BD ==，∠∠O 的半径为9．(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC ＝90°∠OD ＝OC∠∠ODC ＝∠OCD在Rt ∠BCD 中，∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC ＝∠ECD∠∠ODC ＋∠EDC ＝∠OCD ＋ECD ＝90° 即∠ODE ＝90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中，∠E为BC中点∠BC＝2DE＝5∠CD＝3∠BD=4∠AC为直径，∠∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，又∠∠B＝∠B∠∠ABC∠∠CBD，∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10．(1)证明：如图，连接OC，∠CD＝AC，∠∠CAD＝∠D，又∠∠ACD＝120°，∠∠CAD＝∠D＝12（180°﹣∠ACD）＝30°，∠OC＝OA，∠∠A＝∠2＝30°，∠∠COD＝60°，又∠∠D＝30°，∠∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线；(2)解：∠∠A ＝30°，∠∠1＝2∠A ＝60°． ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ，在Rt ∠OCD 中，tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△．∠图中阴影部分的面积为23π．11．(1)证明：如图：连接OD ．∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，又∠OD =OB ，∠∠ODB =∠OBD ．∠∠ODB =∠ACB ．∠OD AC ∥，∠DE ∠AC ．∠OD ∠DE ．∠OD 是圆的半径，∠DE 是∠O 的切线；(2)解：如图：连接AD ，∠AB为∠O的直径，∠∠ADB=90°，即AD∠BC，又∠AB=AC，BC=16，∠BD=CD=8，∠∠O的半径为5，∠AC=AB=10，∠6 AD=，∠S△ADC11••22AC DE CD AD ＝＝，∠10DE=8×6，∠DE=4.8．12．(1)解：连接OD，如下图所示：∠OB=OD，∠∠OBD=∠ODB，∠BD平分∠ABC，∠∠OBD=∠DBE，∠∠ODB=∠DBE，∠OD∥BE，∠DE∠BE于点E，∠∠E=90°，∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°，∠OD∠DE；∠DE是∠O的切线．(2)解：设OD交AC于点M，如下图：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB=∠ACE=90°，由(1)知，∠ODE=90°，∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°，∠四边形DECM为矩形，∠EC=DM=1，∠MO∥CB，O为AC的中点，∠MO为∠ABC的中位线，且∠AMO=∠ACB=90°，AC∠AM=MC=12设圆的半径为r，则MO=DO-DM=r-1，在Rt∠AMO中，由勾股定理可知：AO²=AM²+MO²，代入数据：222=+-，r r(1)解出：4r=，故圆∠O的半径为4．13．(1)解：（1）CD AD ⊥，90D ∴∠=︒，∠∠DAC +∠DCA =90°，点c 是弧BG 的中点，∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，OCA DAC ∠=∠∴，//∴AD OC ，∠∠D =∠OCP =90°， OC 是圆O 的半径，DC ∴与O 相切，(2) AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90PCB ACD ∴∠+∠=︒，由（1）得：90DAC DCA ∠+∠=︒，PCB DAC ∴∠=∠，DAC BAC ∠=∠，PCB BAC ∴∠=∠， CE 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ，∠PCF =∠PCB +∠BCF ，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=；(3)连接AE ，CE 平分ACB ∠，∴AE BE =，AE BE ∴=， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，AEB ∴∆为等腰直角三角形，∠AB ，∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠， ∠∠PCB =∠BAC ，∠P =∠P ，∠△PCB ∠△P AC ， ∠13BC PB AC PC ==， ∴设PB x =，3=PC x ，在Rt OCP ∆中，222OC PC OP +=，∠222(3))x x +=，∠x =x =0(舍去)，∠PC∠PF 14．(1)证明：如图，连接OB，∠CB平分∠ACE．∠∠ACB＝∠ECB，∠OB＝OC，∠∠BCO＝∠CBO，∠∠BCE＝∠CBO，∠OB∠ED．∠BE∠ED，∠EB∠BO．∠BE是∠O的切线；(2)解：∠AC是∠O的直径，∠∠ABC＝90°，∠BE∠ED，∠∠E＝90°，∠∠E＝∠ABC，∠∠BCE＝∠ACB，∠∠BCE∠∠ACB，∠BC CE AC BC=，∠AC＝4，CE＝1，∠2BC==，∠BE，∠∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∠∠BCE＝∠BAD，∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15．(1) 解：（1）连接BF ，OC ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠AFB ＝90°，即BF ∠AD ，∠CE ∠AD ，∠BF ∠CE ，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠OC ∠BF ，又BF ∠CE ，∠OC ∠CE ，∠OC 是∠O 的半径，∠CE 是∠O 的切线；(2)解：连接OF ，CF ，∠OA ＝OC ，∴∠OCA =∠BAC ＝30°，∠∠BOC ＝60°，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠FC BC =，∠∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∠OF ＝OC ，∴△FOC为等边三角形，∠∠OCF＝∠COB=60°，∠CF∠AB，∠S△ACF＝S△OCF，∠阴影部分的面积等于S扇形COF，∠AB＝4，∠FO＝OC＝OB＝2，∠S扇形FOC＝260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为23π．16．(1)解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠B＝∠D．∠四边形ABCE为∠O的内接四边形，∠∠B+∠AEC＝180°．∠∠AED+∠AEC＝180°．∠∠B＝∠AED．∠AB＝AC，∠AB＝∠ACB∠∠ACB＝∠AED．∠∠ABC∠∠ADE．(2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∠AB＝AC，OB＝OC，∠AM垂直平分BC．∠∠AMC＝90°．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC．∠∠DAO＝90°．∠点A在∠O上，∠AD是∠O的切线．17．(1)证明：连接OD，∠AB=AC，∠=∠，∠B C=，又∠OB OD∠1∠=∠，B∠C1∠=∠，∥，∠OD AC∠DE∠AC于E，∠DE∠OD，∠OD是O的半径，∠DE与O相切；(2)解：如图：连接AD，∠AB为O的直径，∠∠ADB=90°，∠AB =6，sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒， ∠13∠=∠，∠3B ∠=∠，在∠AED 中，∠AED =90°，∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥， ∠∠FAE ∠∠FOD ， ∠FA AE FO OD=， ∠6AB =，∠3OD AO ==， ∠235FA FA =+， ∠2AF =．18．(1)连接OD ，BD ，如图，AB 是直径，90ADB ∴∠=︒， 90BDC ∴∠=︒，E 是BC 的中点，12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=，OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径，∴DE 是半圆∠O 的切线．(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=．19．(1) 证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB ＝90︒，∠∠DAB +∠ABD ＝90︒，∠∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∠∠DAB ＝∠PBD ，∠∠PBD +∠ABD ＝90︒，∠∠ABP ＝90︒，∠AB ∠PB ，∠BP 是∠O 的切线；(2)解：连接AE ，∠AB 是直径∠∠AEB ＝90︒，∠BE 平分∠ABD ，∠∠ABE ＝∠DBE ，∠AE DE =，∠AE ＝DE∠∠ABE ＝∠DBE ＝∠DAE ，∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠==＝＝，∠EF (3)解：连接OE ，∠OE =OB ，∠∠ABE =∠OEB ，∠∠ABE =∠DBE ，∠∠DBE =∠OEB ，∠//OE BD ∠CE OC DE OB=， ∠CA =AO ，设CA =AO =BO =R ， ∠22CE R DE R==，2=， ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ，∠C =∠C ，∠CAD CEB △∽△， ∠CD AC CB CE=，= ∠R，∠∠O20．(1)证明：∠α＝90°，∠AOB ＝90°，∠∠AOP ＝∠BOH ，在∠AOP 和∠BOH 中，OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH （SAS ），∠∠OP A＝∠OHB，∠AP是∠O的切线，∠∠OP A＝90°，∠OHB＝90°，即OH∠BH于点H，∠BH是∠O的切线；(2)如图，过点B作∠O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC∠BC，OD∠BD，∠OC＝2，OB＝4，∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∠∠OHB＝90°．∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=，∠当BH与∠O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或73π；(3)设h表示点H到直线AB的距离，作ON∠AB于点N，H在圆O上，在Rt∠ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∠ON＝4cos45°＝∠h的最小值为＝ON﹣r＝2∠当∠AHB面积最小时，点H到AB的距离为2。
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中考中圆切线证明习题
1、如图， PA 为⊙ O 的切线， A 为切点，过 A 作OP 的垂线 AB ，垂足为点 C,交⊙O 于点 B,延长 BO 与⊙ O 交于点 D ，与 PA 的延长线交于点 E, 求证： PB 为⊙ O 的切线；
2、如图，AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于 M
求证：DM 与⊙O 相切.
3、如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=300
，BD=OB ，D 在 AB 的延
长线上 .
求证：DC 是⊙O 的切线
4、已知：如图， A 是e O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 1 AC OB ．
2
（1）求证： AB 是e O 的切线；
2）若 ACD 45°， OC 2，求弦 CD 的长．
P
D
BC ，
A
5、已知：如图，在Rt△ABC中， C 90o，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E ，且CBD A．
1）判断直线BD与e O的位置关系，并证明你的结论；
2）若AD:AO 8:5 ，BC 2，求BD的长．
B
6、已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙ O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O的直径. （1）求证：AE 与⊙ O 相切；
1
（2）当BC=4,cosC=1时，求⊙ O的半径.
3
7、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2
ACD=90 。
求证：CD 是⊙O 的切线.
10、如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
以 BC 为直径作⊙ O 交AB 于点 D ，
交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E (1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；
(2)求 CF:CE 的值。
11、如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D ，DE ⊥AC ，交 AC 的
延 长线于点 E ，OE 交AD 于点 F ．⑴求证：
12、如图， Rt △ ABC 中， ABC 90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点 D ，E 是边BC 的中
点，连接 DE ．
(1)求证：直线 DE 是⊙O 的切线；
2)连接 OC 交DE 于点 F ，若OF CF ，求 tan ACO 的值．
13、如图，点 O 在∠APB 的平分线上，⊙ O 与PA 相切于点 C ．
(1) 求证：直线 PB 与⊙O 相切；
F G
E
O
E
B
（2） PO的延长线与⊙ O 交于点E．若⊙ O 的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
14、如图所示，AB是⊙O直径，OD ⊥弦BC于点 F ，且交⊙O于点E，若AEC ODB．（1）判断直线BD 和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB 10，BC 8时，求BD 的长．
15、如图，已知AB是⊙O的直径，点 C 在⊙O上，过点 C 的直线与AB的延长线交于点P，AC PC ，COB 2 PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
1
（2）求证：BC AB ；
3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB于点N，若AB 4 ，求MN gMC的值．
16、如图，AB是⊙ O的直径，∠ BAC=30°，M是OA上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N，交BC 的延长线于点 E ，直线CF 交EN 于点F，且∠ ECF=∠E．
（1）证明CF 是⊙O 的切线；
（2）设⊙ O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．
17 、如图，已知的直径
于点，过点
垂直于
弦
于点，过点
作交的延
并延长交
于点，且
（1）试问：是圆O 的切线吗？说明理
2）请证明
的中点；
（3）
若的长．，求
18、如图，已知 CD 是△ ABC 中 AB 边上的高，以 CD 为直径的⊙ O 分别交 CA 、CB 于点 E 、F ，点 G 是 AD 的中点 .
求证： GE 是⊙ O 的切线 .
19、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙ O 交 x 轴于 A 、B 两点，直线 FA ⊥x 轴于点 A ，点 D 在 FA 上，且 DO 平行⊙ O 的弦 MB ，连 DM 并延长交 x 轴于点 C.
（1）判断直线 DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明；
（2）设点 D 的坐标为（ -2，4），试求 MC 的长及直线 DC 的解析式.
20、如图，在△ ABC 中, AB=AC, 以AB 为直径作⊙ O 交BC 于点 D, 过点 D 作DE ⊥AC 于E.
判断 DE 与⊙ O 的位置关系 ,
并证明．
A
21、如图，四边形ABCD 内接于⊙ O，BD是⊙O的直径，AE CD ，垂足为E，DA 平分∠ BDE （1）求证：AE 是⊙O的切线；
2）若DBC 30o，DE 1cm，求BD 的长．。