圆的切线专题
专题复习与圆的切线有关的证明
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
中考总复习圆的切线专题
题型专项（八）与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1. （2016梧州）如图，过O O上的两点A , B分别作切线，交于BO , AO的延长线于点C, D,连接CD ,交O O于点E, F,过圆心O作OM丄CD ,垂足为点M.求证：（1）△ ACO ◎△ BDO ;（2）CE = DF.证明：⑴•/ AC , BD分别是O O的切线，.•./ A = Z B= 90°.又••• AO = BO , / AOC =Z BOD ,•••△ ACO 也厶BDO.(2) •/△ ACO ◎△ BDO ,•••OC = OD.又••• OM 丄CD , • CM = DM.又••• OM丄EF,点O是圆心,•EM = FM.•CM —EM = DM —FM.•CE = DF.2. (2016玉林模拟)如图，AB是O O的直径，/ BAC = 60° , P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.(1)求证：△ CDQ是等腰三角形；⑵如果△ CDQ COB ,求BP : PO的值.解：⑴证明：由已知得/ ACB = 90° , / ABC = 30°•/ Q= 30° , / BCO =Z ABC = 30°.•/ CD是O O的切线，CO是半径，•CD 丄CO.•/ DCQ = Z BCO = 30°.•/ DCQ = Z Q.故厶CDQ是等腰三角形.(2)设O O 的半径为1 ,则AB = 2, OC= 1 , BC = .3.•••等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，•CQ = CB = ,3.二 AQ = AC + CQ = 1 +＜：,:: 3.••• AP = 2AQ = ^^.••• Bp =AB -AP =违严 •••PO =AP -AO =¥• BP : PO = 3.3. (2016柳州)如图，AB ABC 外接圆O O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点 点E 在弧上且满足 PE 1 2= PA - PC ,连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D.(1) 求证：△ PAE s^ PEC ;⑵求证：PE 为O O 的切线；1⑶若/ B = 30° , AP = 2AC ,求证：DO = DP.证明： ⑴•/ PE 2=PA-PC ,• PE = PA…PC = PE .又•••/ APE = Z EPC ,• △ PAE s^ PEC.⑵•/△ PAEPEC ,PEA = Z PCE.1 •••/ PCE =孑/ AOE ,1 •••/ PEA = -Z AOE. v OA = OE , 2•••/ OAE = Z OEA.•••/ AOE + Z OEA + Z OAE = 180 ° ,•••/ AOE + 2/ OEA = 180° ,即 2/ PEA + 2/ OEA = 180 ° .•••/ PEA + Z OEA = 90° .• PE 为O O 的切线.⑶设O O 的半径为r ,则AB = 2r.•••/ B = 30 ° , / PCB = 90 ° , • AC = r , BC =3r.过点O 作OF 丄AC 于点F , AP =匸 v PE 2= PA-PC , • PE =」r. 2' ~ ' 2 在厶ODF 与厶PDE 中， .•/ AP = ^AC ,/ ODF = Z PDE ,/ OFD = Z PED ,OF = PE ,•••△ ODF ◎△ PDE. ••• DO = DP.类型2与相似三角形有关 针对训练4. (2016泰州)如图，在厶ABC 中，/ ACB = 90 °，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的O O 交BC 于点E ,连接AE 交CD 于点P ,交O O 于点F ，连接DF , / CAE = Z ADF.(1) 判断AB 与O O 的位置关系，并说明理由；⑵若 PF : PC = 1 : 2, AF = 5,求 CP 的长.解：(1)AB 是O O 切线.理由：•••/ ACB = 90° ,•••/ CAE + Z CEA = 90° .•••/ CAE = Z ADF , / CDF = Z CEA ,•••/ ADF + Z CDF = 90° .• AB 是O O 切线.⑵连接CF.•••/ ADF + Z CDF = 90° , / PCF +Z CDF = 90° ,•••/ ADF = Z PCF.•••/ PCF =Z PAC.又•••/ CPF =Z APC ,PC 2= PF PA.设 PF = a ,贝U PC = 2a. •- 4a 2 = a(a + 5).• a = 3.PC = 2a =隊5. (2015北海)如图，AB , CD 为O O 的直径，弦AE // CD ,连接BE 交CD 于点F ,过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点 P ,使/ PED = Z C.(1) 求证：PE 是O O 的切线；⑵求证：ED 平分/ BEP ;⑶若O O 的半径为5, CF = 2EF ,求PD 的长.PC • △ P — PAC. •矿 PF PC .解：⑴证明：连接0E.•「CD是圆0的直径，•••/ CED = 90° .•/ 0C = 0E ,•••/ C=Z OEC.又•••/ PED = Z C,•••/ PED = Z OEC.•••/ PED + Z OED = Z OEC + Z OED = 90° ,即/ OEP= 90° .•••OE 丄EP.又「•点E在圆上，•PE是O O的切线.(2) 证明：T AB , CD为O O的直径，•••/ AEB =Z CED = 90°.•••/ AEC = Z DEB(同角的余角相等).又•••/ PED = Z C, AE // CD,•••/ PED = Z DEB ,即ED平分/ BEP.⑶设EF= x,则CF= 2x.TO O的半径为5,•OF = 2x — 5.在Rt A OEF 中,OE2= EF2+ OF2,即52= x2+ (2x —5)2,解得x = 4,•EF = 4.•BE = 2EF= 8, CF= 2EF= 8.•DF = CD —CF= 10 —8= 2.•/ AB为O O的直径，•••/ AEB = 90° .•/AB = 10, BE = 8,•AE = 6.•••/ BEP = Z A , / EFP =Z AEB = 90° ,•△EFP s^ AEB.•在=圧即疋=4BE AE' 8 6'PF =16 10PD = PF—DF = —2 ='3 3'6. (2014桂林)如图，△ ABC为O O的内接三角形，P为BC延长线上一点，/ PAC=Z B, AD为O O的直径，过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交O O于点G.(1)判断直线PA与O O的位置关系，并说明理由；学习必备 欢迎下载2 (2) 求证：AG = AF-AB ；(3) 若O O 的直径为10, AC = 2 5, AB = 4.5,求厶AFG 的面积.解：⑴PA 与O O 相切.理由：连接CD.•/ AD 为O O 的直径，•••/ ACD = 90° ••••/ D + Z CAD = 90°•••/ B =Z D , / PAC =Z B ,•••/ PAC =Z D.•••/ PAC +Z CAD = 90° ,即 DA 丄 PA.•••点A 在圆上，• PA 与O O 相切.⑵证明：连接BG.•/ AD 为O O 的直径，CG 丄AD ,• A C = AG . •••/ AGF = Z ABG.•/Z GAF = Z BAG , AGFABG.• AG : AB = AF : AG.「. AG 2= AF-AB.⑶连接BD.•/ AD 是直径，•••/ ABD = 90° .•/AG 2= AF-AB , AG = AC = 2 5, AB = 4 5,AB•/ CG 丄 AD , •••/ AEF = Z ABD = 90° /Z EAF = Z BAD , AEF ABD.• EF = AF 2 — AE 2= 1.•/ EG = AG 2— AE 2= 4,• FG = EG — EF = 4— 1 = 3.1 1 • AFG = ^FG -AE =2 X3 X 2= 3. 类型3与锐角三角函数有关针对训练7. (2014梧州)如图，已知O O 是以BC 为直径的厶ABC 的外接圆，OP // AC ,且与BC 的 垂线交于点P , OP 交AB 于点D , BC , PA 的延长线交于点 E.(1)求证：PA 是O O 的切线；3⑵若 sin Z E = 5, PA = 6,求 AC 的长.• Al =篇，即4V 才解得AE =2. • Al = AF AB = AD解：⑴证明：连接OA.•/ AC // OP , •••/ AOP = Z OAC , / BOP = Z OCA.•/ OA = OC , OCA = Z OAC. AOP = Z BOP.又••• OA = OB , OP = OP ,• △ AOP ◎△ BOP.A Z OAP = Z OBP.•/ BP 丄 CB , OAP = Z OBP = 90° .• OA 丄 PA.• PA 是O O 的切线.⑵•/ PB 丄CB , • PB 是O O 的切线.又••• PA 是O O 的切线，PA = PB = 6.在 Rt A OPB 中,OP = 62+ 32= 3 5.•/ BC 为O O 直径，CAB = 90° .•••/ CAB = Z OBP = 90° , / OCA =Z BOP.AC CB• △ ACB 亠 BOP .. BO =丽. CB ・BO = J8_= 6/5OP =3』5= 58. (2015来宾)已知O O 是以AB 为直径的厶ABC 的外接圆，OD // BC 交O O 于点 D ,交 AC 于点E ,连接AD , BD , BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分/ ABC ;⑵延长AC 到点P,使PF = PB ,求证：PB 是O O 的切线；3 亠(3) 如果 AB = 10, cos /ABC = 5,求 AD.解：（1）证明：T OD // BC ,ODB = / CBD.T OB = OD ,OBD = / ODB.CBD = / OBD.• BD 平分/ ABC. 又T sinE = PB _ EP = AO _ 3EO = 5， • • AO = 3.• AC(2) 证明：TO O是以AB为直径的厶ABC的外接圆，•••/ ACB = 90°. •••/ CFB + Z CBF = 90°.•/ PF = PB, PBF = Z CFB.由(1)知/ OBD =Z CBF ,•••/ PBF + Z OBD = 90° ••••/ OBP = 90°.•PB是O O的切线.(3) •••在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° , AB = 10,•cos/ ABC = BC = BC = 3AB 10 5'•BC = 6, AC = AB2—BC2= 8.•/ OD // BC ,•△AOEABC , / AED = / OEC = 180°—/ ACB = 90•AE_ OE _ AO AE _ OE _ _5_…AC =BC =AB，8 = 6 =10.•AE = 4, OE= 3.•DE = OD —OE= 5—3 = 2.•AD = AE2+ DE2= 42+ 22= 2 5.9. (2016柳州模拟)如图，已知：AC是O O的直径，PA丄AC,连接OP,弦CB // OP,直线PB 交直线AC于点D, BD = 2PA.(1) 证明：直线PB是O O的切线；(2) 探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明; ⑶求sin/ OPA的值.解：⑴证明：连接OB.•/ BC // OP, OB = OC,•/ BCO = / POA ,/ CBO =/ POB , / BCO = / CBO.•/ POA = / POB.又T PO= PO, OB = OA ,•△ POB◎△ POA. •/ PBO = / PAO = 90°•PB是O O的切线.(2)2PO = 3BC.(写PO = |B C亦可)证明：•••△ POB◎△ POA , • PB = PA.•/ BD = 2PA, • BD = 2PB.•/ BC // PO, •△ DBC DPO.• BC_ PO BD 2PD二.• 2PO= 3B C.DC BD 2 加 “2 DO = PD = 3，即 DC = 3OD.1 •••OC = 3OD. ••• DC = 2OC.设 OA = x , PA = y.则 OD = 3x , OB = x , BD = 2y.在 Rt A OBD 中,由勾股定理得(3X )2= x 2+ (2y)2,即 2x 2= y 2.10. （2016玉林）如图，AB 是O O 的直径，点C , D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形， 过点D 作O O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E , F ，连接BF.(1)求证：BF 是O O 的切线；⑵已知圆的半径为1 ,求EF 的长.解：⑴证明：连接OD.•/ EF 为O O 的切线，•••/ ODF = 90° .•••四边形AOCD 为平行四边形，• AO = DC , AO // DC.又••• DO = OC = OA ,DO = OC = DC.• △ DOC 为等边三角形.•••/ DOC = Z ODC = 60° .•/ DC // AO ,• / AOD =Z ODC = 60° .• / BOF = 180° -Z COD -Z AOD = 60° 在厶DOF 和厶BCF 中，DO = BO ,Z DOF = Z BOF ,OF = OF ,• △ DOF ◎△ BOF.• Z ODF = Z OBF = 90° .• BF 是O O 的切线.⑵ T Z DOF = 60° , Z ODF = 90 ° ,• Z OFD = 30° .TZ BOF = 60° , Z BOF = Z CFD + Z E , ■/x > 0, y > 0, • y = 2x , OP = x 2+ y 2= 3x. • sin类型4 与特殊四边形有关•••/ E=Z OFD = 30°.•••OF = OE.又••• OD 丄EF,•DE = DF.在Rt A ODF 中，/ OFD = 30 ° .•OF = 2OD.•DF = OF2- OD2= 22- 12=. 3.EF = 2DF = 2 3.11. (2016宁波)如图，已知O O的直径AB = 10,弦AC = 6, / BAC的平分线交O O于点D , 过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O O的切线；⑵求DE的长.解：⑴证明：连接OD.•/ AD 平分/ BAC ,•/ DAE = Z DAB.•/ OA = OD ,•/ ODA =Z DAO.•/ ODA =Z DAE.•OD // AE.•/ DE 丄AC ,•OD 丄DE.•DE是O O切线.⑵过点O作OF丄AC于点F.•AF = CF = 3.•OF = OA2- AF2= 52- 32= 4.•••/ OFE = Z DEF = Z ODE = 90° ,•四边形OFED是矩形.•DE = OF = 4.12. （2015桂林）如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点.（1）如图1,求O O的半径；⑵如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；⑶如图2,若点M是BC边上任意一点（不含B , C），以点M为直角顶点，在BC的上方作/ AMN = 90° ,交直线CP于点N,求证：AM = MN.图I 图2解：⑴连接0D, OC.••• PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点，•••/ ODP = Z OCP= 90°.•••四边形ABCD是O O的内接正方形，•••/ DOC = 90° , OD = OC.•四边形DOCP是正方形.•/ AB = 4, / ODC =Z OCD = 45° ,DO = CO = DC- si n45°==2 2.⑵连接EO, OP.•••点E是BC的中点，•••OE 丄BC , / OCE= 45 ° ,则/ EOP= 90° .•EO = EC = 2, OP = 2CO = 4.•PE = OE2+ OP2= 2 5.⑶证明：在AB上截取BF = BM.•/ AB = BC , BF = BM ,•AF = MC , / BFM =Z BMF = 45°.•••/ AMN = 90° ,•/ AMF +Z NMC = 45° , / FAM +Z AMF = 45°.•/ FAM =Z NMC.•••由⑴得PD = PC , / DPC = 90° ,.•./ DCP = 45° .•/ MCN = 135° .•••/AFM = 180° -Z BFM = 135° ,Z FAM =Z CMN ,在厶AFM 和厶MCN 中，AF = MC ,.Z AFM =Z MCN ,•△ AFM 也厶MCN(ASA).•AM = MN.。
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
专题 切线与切点弦问题-高考数学大一轮复习
专题36 切线与切点弦问题【方法技巧与总结】1、点()00 M x y ，在圆222x y r +=上，过点M 作圆的切线方程为200x x y y r +=．2、点()00 M x y ，在圆222x y r +=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为200x x y y r +=．3、点()00 M x y ，在圆222x y r +=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y r +=．4、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=上，过点M 作圆的切线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．5、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．6、点()00 M x y ，在圆222()()x a y b r -+-=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为()()200()()x a x a y b y b r --+--=．7、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b +=1(0)a b >>上，过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=．8、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b +=1(0)a b >>外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=． 9、点()00 M x y ，在椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过A B ，作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线02x x a +021y yb=． 10、点()00 M x y ，在双曲线2222x y a b -=1(0 0)a b >>，上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．11、点()00 M x y ，在双曲线22x a-221(0 0)y a b b =>>，外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A B ，，则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=． 12、点()00 M x y ，在双曲线22x a -221(0 0)y a b b =>>，内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过 A B ，作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00221x x y ya b-=． 13、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >上，过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+．14、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+．15、点()00 M x y ，在抛物线2y =2(0)px p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过 A B ，作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()00y y p x x =+．【题型归纳目录】 题型一：切线问题 题型二：切点弦过定点问题题型三：利用切点弦结论解决定值问题 题型四：利用切点弦结论解决最值问题 题型五：利用切点弦结论解决范围问题 【典例例题】 题型一：切线问题例1．已知平面直角坐标系中，点(4,0)到抛物线21:2(0)C y px p =>准线的距离等于5，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点． （1）求1C ，2C 的方程；（2）如图，过点(E m ，0)(2)m >作椭圆2C 的切线交1C 于A ，B 两点，在x 轴上取点G ，使得AGE BGE ∠=∠，试解决以下问题：①证明：点G 与点E 关于原点中心对称；②若已知ABG ∆的面积是椭圆2C 四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB 的方程．【解析】（1）解：因为点(4,0)到抛物线1C 的准线2px =-的距离等于5， 所以452p +=，解得2p =，所以抛物线1C 的方程为24y x =； 因为椭圆2C，且过点，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=；（2）①证明：因为2m >，且直线AB 与椭圆2C 相切， 所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-， 联立22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(41)8440k x k mx k m +-+-=， 因为直线AB 与椭圆2C 相切，所以△42222644(41)(44)0k m k k m =-+-=，即2214k m =-，联立2()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩，得2440ky y km --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12124,4y y y y m k+==-；设(,0)G t ，因为AGE BGE ∠=∠，所以0AG BG k k +=， 则12120y yx t x t+=--，即211212()0x y x y t y y +-+=， 即121212()()04y y y y t y y +-+=，又120y y +≠，所以124y y t m ==-，即(,0)G m -， 即点G 与点E 关于原点中心对称；②解：椭圆2C 四个顶点所围成菱形面积为122242S a b ab =⨯⨯==，所以ABG ∆的面积为16464⨯=，则1211||||222ABG S GE y y ∆=-=⨯==，令64，即22(4)256m m m -+=， 即42342560m m m -+-=，即42(256)(4)0m m m -+-=， 即22(4)[(16)(4)]0m m m m -+++=， 即32(4)(51664)0m m m m -+++=，因为2m >，所以4m =，2211412k m ==-，k =所以直线AB 的方程为4)y x =-． 例2．某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>在任意一点0(M x ，0)y 处的切线方程为00221xx yy a b+=．现给定椭圆22:143x y C +=，过C 的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作C 的两条切线，两切线相交于点G ． （1）求点G 的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于M ，N 两点，证明：11||||PQ MN +为定值．【解析】（1）解：设直线PQ 为1x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 易得在P 点处切线为11143x x y y +=，在Q 点处切线为22143x x y y+=， 由11221,431,43x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2112214()y y x x y x y -=-，又111x ty =+，221x ty =+，可得4x =，故点G 的轨迹方程4x =．（2）证明：联立l 的方程与C 的方程221,1,43x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690t y ty ++-=．由韦达定理，得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，所以2212(1)||34t PQ t +==+， 因为PQ MN ⊥，将t 用1t -代，得222112(1)12(1)||13434t t MN t t ++==+⋅+， 所以22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++． 例3．已知圆222:(0)O x y r r +=>．（1）求证：过圆O 上点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=．类比前面的结论，写出过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点0(N x ，0)y 的切线方程（不用证明）． （2）已知椭圆22:143x y C +=，Q 为直线4x =上任一点，过点Q 作椭圆C 的切线，切点分别为A 、B ，求证：直线AB 恒过定点．【解析】（1）证明：因为圆222:O x y r +=， 故圆心(0,0)O ，半径为r ， 又0(M x ，0)y ， 所以0OM y k x =， 因为0(M x ，0)y 在圆上， 所以过M 的圆的切线斜率0x k y =-，所以过M 的圆的切线方程为0000()x y y x x y -=--，① 又因为22200x y r +=，② 由①②整理得，为200x x y y r +=．所以过圆O 上点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点0(N x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=；（2）设(4,)Q t ，()t R ∈，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由（1），则直线QA 的方程11143x x y y +=， 因为Q 在QA 上，所以1113ty x +=，① 同理可得2213ty x +=，② 由①②可得直线AB 的方程为13tx y +=，令0y =，得1x =， 所以直线AB 恒过点(1,0)．变式1．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||4PA PB +=，P 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知圆222x y R +=上任意一点0(P x ，0)y 处的切线方程为：200x x y y R +=，类比可知椭圆：22221x y a b+=上任意一点0(P x ，0)y 处的切线方程为：00221x x y ya b+=．记1l 为曲线C 在任意一点P 处的切线，过点B 作BP 的垂线2l ，设1l 与2l 交于Q ，试问动点Q 是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）由椭圆的定义知P 点的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为2222:1x y a b +=，则241a c =⎧⎨=⎩，∴2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩曲线C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设0(P x ，0)y ，由题知直线1l 的方程为00:143x x y y+=， 当01x ≠时，001PB y k x =-，2l ∴的斜率为0201x k y -=，0201:(1)x l y x y -=-，1l 与2l 的方程联立00001(1)143x y x y x x y y -⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得000034(1)(1)120(4)4(4)x x x x x x x +---=⇒-=-， 4x ∴=．动点Q 在定直线4x =上， 当01x =时，032y =±，1:142x yl ±=， 2:0l y =，(4,0)Q ，Q 在直线4x =．综上所述，动点Q 在定直线4x =上.变式2．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．（1）圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为 ．理由如下： ．（2）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点0(x ，0)y 处的切线方程为 ；（3）(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB的方程是 ．这是因为在1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x xy y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；（4）问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=， 化简得△0=得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ． （5）抛物线22(0)y px p =>上一点0(x ，0)y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上． 【解析】解：（1）圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为200y y x x r +=． 理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则001OM OM k k y k x⋅=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以0x k y =-， 又过点0(M x ，0)y ， 由点斜式可得，0000()x y y x x y -=--， 化简可得，220000y y x x x y +=+， 又22200x y r +=，所以切线的方程为200y y x x r +=； ②若切线的斜率不存在，则(,0)M r ±， 此时切线方程为x r =±．综上所述，圆222:O x y r +=上点0(M x ，0)y 处的切线方程为200y y x x r +=． （3）在1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x xy y +=， 因为两切线都过P 点(,)m n ， 所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=， 由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程为13mxny +=； （4）问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-， 由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，可得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=， 由△0=，可得222(3)210(*)m k mnk n -++-=， 因为PA PB ⊥， 则1PA PB k k ⋅=-，所以(*)式中关于k 的二次方程有两个解且其乘积为1-，则2122113n k k m-⋅==--， 可得224m n +=，所以圆的半径为2，且过原点，其方程为224x y +=． 故答案为：（1）200y y x x r +=，理由见解析； （3）13mxny +=； （4）224x y +=．题型二：切点弦过定点问题例4．定义：若点0(P x ，0)y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，则以P 为切点的切线方程为：00221x x y ya b+=．已知椭圆22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点( ) A ．11(,)23-B ．11(,)23-C ．12(,)23-D ．12(,)23-【解析】解：因为M 在直线260x y --=上，则可设点M 的坐标为(26,)t t +，t R ∈， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以直线MA ，MB 的方程分别为： 11221,13232x x y y x x y y +=+=，显然点M 的坐标适合两个方程， 代入可得：1122(26)132(26)132x t y tx t y t +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，则直线AB 的方程为：(26)132x t yt++=，即2(26)360t x yt ++-=， 即(43)612x y t x +=-，令4306120x y x +=⎧⎨-=⎩，解得12,23x y ==-，所以直线AB 过定点12(,)23-，故选：C ．例5．已知经过圆2221:C x y r +=上点0(x ，0)y 的切线方程是200x x y y r +=．（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点0(x ，0)y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A 、B ，①求证：直线AB 过定点． ②当点P 到直线AB时，求三角形PAB 的外接圆方程． 【解析】解：（1）切线方程为：00221x x y ya b+=． （2）设切点为1(A x ，2)y ，2(B x ，2)y ，点(3,)P t ，由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩，A ∴，B 满足方程：12x ty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩即直线AB 恒过点(2,0)．又已知点(3,)P t 到直线AB．∴22|354t t t-=+ 425410t t ⇒--=，22(51)(1)0t t +-=，1t ∴=±．当1t =时，点(3,1)P ，直线AB 的方程为：220x y +-=． 2222066x y x y +-=⎧⎨+=⎩求得交点121(0,1),(,),(3,1)55A B P -． 设PAB ∆的外接圆方程为：220x y Dx Ey F ++++=，代入得131012529E F D E F D E F +=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，解得：PAB ∆的外接圆方程为223210x y x y +--+= 即PAB ∆的外接圆方程为：2239()(1)24x y -+-=．例6．已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，抛物线上一点(A m ，2)(0)m >到F 的距离为3． （1）求抛物线C 的方程和点A 的坐标；（2）设直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为1l ，2l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，证明：直线l 恒过定点． 【解析】（1）解：由题意知232p +=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． 将点(A m ，2)(0)m >代入24xy =，得m =，所以点A 的坐标为．（2）证明：设221212(,),(,)44x x D x E x ，由题意知．直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx n =+， 联立方程24y kx nx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx n --=，所以△216160k n =+>，124x x k +=，124x x n =-，24x y =，即24x y =， 则2xy '=，所以抛物线C 在点D 处的切线1l 的方程为2111()24x x y x x =-+，化简得21124x x y x =-，同理直线2l 的方程为22224x x y x =-，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1224x x =-，即128x x =-． 所以1248x x n =-=-．解得2n =．故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点(0,2)．题型三：利用切点弦结论解决定值问题例7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n+为定值 【解析】解：（1）由题意得：1c =，所以221a b =+，又因为点P 在椭圆C 上，所以223314a b+=， 可解得24a =，23b =，所以椭圆标准方程为22143x y +=．（2）证明：由题意：2213:144x y C +=，设点1(Q x ，1)y ，2(M x ，2)y ，3(N x ，3)y ，因为M ，N 不在坐标轴上，所以1QM OMk k =-，直线QM 的方程为2222()x y y x x y -=-， 化简得：2243x x y y +=，① 同理可得直线QN 的方程为3343x x y y +=，② 把Q 点的坐标代入①、②得212131314343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线MN 的方程为1143x x y y +=---------------③， 令0y =，得143m x =，令0x =得143n y =，所以143x m=，143y n =，又点Q 在椭圆1C 上，所以2244()3()433m n+=， 即22113m n+为定值． 例8．已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，且||AB =l 的方程； （3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点Q ，作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，那么2212m n +是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】解：（1）椭圆C 的右焦点2F 的坐标为(1,0)，∴椭圆C 的左焦点1F 的坐标为(1,0)-，由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=，2a ∴=a ∴=，22a =由题意可得1c =，即2221b a c =-=，即椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）直线l 与椭圆C 的两个交点坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， ①当直线l 垂直x轴时，易得||AB = ②当直线l 不垂直x 轴时，设直线:(1)l y k x =-联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得，2222(12)4220k x k x k +-+-=，①则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，222222222121222224228(1)||(1)[()4](1)[()24]2121(21)k k k AB k x x x x k k k k -+∴=++-=+-⨯==+++，解得1k =±，∴直线方程l 的方程为10x y --=或10x y +-=（Ⅲ）设点0(Q x ，0)y ，3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，连接OM ，ON ， 0M MQ ⊥，ON NQ ⊥，M ，N 不在坐标轴上，303M y k x ∴=，404N y k x =-， ∴直线MQ 的方程为3333()y y y x x x -=-，即331xx yy +=，⋯① 同理直线NQ 的方程为441xx yy +=，⋯②， 将点Q 代入①②，得0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，显然3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y 满足方程001xx yy +=，∴直线MN 的方程为001xx yy +=，分别令0x =，0y =，得到01n x =，01m y =． 01y m ∴=，01x n=， 0(Q x ，0)y 满足2212x y +=；∴221112m n+=，即22122m n +=题型四：利用切点弦结论解决最值问题例9．已知抛物线22x py =上一点0(M x ，1)到其焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．【解析】解：（1）由||122pMF =+=，得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． （2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由12y x '=可得在P 处的切线方程为2111()42x x y x x -=-，整理可得112()x x y y =+，同理在Q 处的切线方程为222()x x y y =+，又因为两切线都过(,2)A t -，∴11222(2)2(2)tx y tx y =-⎧⎨=-⎩，即可得直线PQ 的方程为2(2)tx y =-，所以直线过点(0,2)，即(0,2)N ， 又1(2x B ，0)，2(2xC ，0)， ∴四边形ABNC 的面积122||||ABC NBC S S S BC x x ∆∆=+==-，联立122()4tx y y x y =+⎧⎨=⎩，可得2280x tx --=，122x x t ∴+=，128x x =-所以12||3242S x x =-．（当0t =时取等号），∴四边形ABNC 面积的最小值为例10．已知(,1)T m 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点，且||2TF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过圆22:(2)1E x y ++=上任意一点G ，作抛物线C 的两条切线1l ，2l ，与抛物线相切于点M ，N ，与x 轴分别交于点A ，B ，求四边形ABNM 面积的最大值．【解析】解：（1）||2TF =，由抛物线定义知，122p +=，2p ∴=，24x y ∴=． （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，0(G x ，0)y ，0[3y ∈-，1]-， 切线11:2()AM x x y y =+，因此：11122A y x x x ==， 切线22:2()AN x x y y =+，因此：22222B y x x x ==， 另一方面，点0(G x ，0)y 在两切线上，从而满足：011020202()2()x x y y x x y y =+⎧⎨=+⎩，因此切点弦MN 的方程为：002()x x y y =+，直线MN 与抛物线24x y =进行方程联立：200240x x x y -+=， 从而1202x x x +=，1204x x y =，且||MN ==， ABMN GMN GAB S S S ∆∆=-212011||||2222x x y =⋅-33222220001200111[(4)||](4)242x y y x x x y =---=-2200000(4)(73)x y y y y =-+=---， 当0[3y ∈-，1]-1323=， 2200073773[()]924y y y ---=-++，∴93ABMN S ，当且仅当03y =-时，取到最大值．题型五：利用切点弦结论解决范围问题例11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，C 上一点M 关于原点O 的对称点为N ，F 为C 的右焦点，若MF NF ⊥，设MNF α∠=，且3sin()44πα+=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过圆22:10O x y+=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，求AOB ∆面积的取值范围．【解析】解：（1）由26a =，即3a =，又22122cos 2sin )4c c e a c c πααα====++所以c =2221b a c =-=，则椭圆的方程为2219x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则直线PA 的方程为1119x x y y +=，直线PB 的方程为2219x xy y +=， 因为0(P x ，0)y 在直线PA ，PB 上， 所以101019x x y y +=，202019x x y y +=，所以直线AB 的方程为0019x xy y +=， 由00221999x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去y ，结合220010x y +=，和220010x y =-，可得22200(810)1881810y x x x y +-+-=， △242018(8)y y =+，120|||AB x x -=0=202018108y y +=+，又点O 到直线AB的距离为d ==，2020018119||922108y S AB d y +=⋅=⋅=+，又2010y，记[1t ，9]，所以9[6t t +∈，10]， 所以9[10S ∈，3]2．例12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(F 0)，点Q 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点． （ⅰ）求证：0OM ON +=； （ⅱ）求OAB ∆的面积的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得c =221314a b+=，222a b c =+，解得24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；（Ⅱ）()i 证明：设0(P x ，0)y ，①当直线PA ，PB 的斜率都存在时，设过P 与椭圆相切的直线方程为00()y k x x y =-+， 联立直线与椭圆的方程0022()440y k x x y x y =-+⎧⎨+-=⎩， 整理可得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，△2222000064()4(14)[4()4]k y kx k y kx =--+--，由题意可得△0=，整理可得222000(4)210x k x y k y -++-=， 设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以20122014y k k x -=-，又2205x y +=，所以220022001(5)4144x x x x ---==---， 所以PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径，所以0OM ON +=； ②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设(2,1)P ， 则直线PA 的方程为2x =，所以(2,1)M -，(2,1)N -，也满足0OM ON +=； ()ii 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为：111()y k x x y =-+，联立直线PA 与椭圆的方程11122()440y k x x y x y =-+⎧⎨+-=⎩，消y 可得2221111111(14)8()4()40k x k y k x x y k x ++-+--=，△22221111111164()4(14)[4()4]k y k x k y k x =--+--， 由题意△0=，整理可得222111111(4)210x k x y k y -++-=， 则11111122111444x y x y x k x y y -=-==--， 所以直线PA 的方程为：1111()4x y x x y y =--+， 化简可得22111144x x y y y x +=+， 即1114x xy y +=， 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=，同理可得直线PB 的方程2214x xy y +=， 因为0(P x ，0)y 在直线PA ，PB 上，所以101020201414x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以可得直线AB 的方程为0014x x y y +=，而P 在圆225x y +=上，所以22005x y +=， 联立直线AB 与椭圆的方程为00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，整理可得22200(35)816160y x x x y +-+-=， 020853A B x x x y +=+，2020161653A B y x x y -=+， 所以O 到直线AB的距离d =，弦长0|||A B AB x x - 又点O 到直线AB的距离d ==，令t ，[1t ∈，4]，则2144||424OAB t S d AB t t t∆=⋅==++，而4[4t t+∈，5]，所以OAB ∆的面积的取值范围是4[5，1]．例13．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y轴正半轴交于点Q ，122QF F S =．（1）求曲线C 的方程；（2）过椭圆C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，直线CD 与椭圆C 交于E 、G 两点，O 为坐标原点，求OEG ∆的面积S 的取值范围．【解析】解：（1）椭圆与y轴正半轴交于点Q ，122QF F S=．可得121222QF F b Sc b bc ==⨯⨯==，∴2c a ==， ∴椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(P x ，0)y ，线段OP 的中点为00(,)22x y ，22222000001,2(1)24242x y x x y +==-=-，2004x <， 以OP以OP 为直径的圆的方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=，即00()()0x x x y y y -+-=，又圆22:1O x y +=， 两式相减00:1CD x x y y +=，由0022124x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得22220000(2)4240x y x x x y +-+-=， ∴22222220000000164(2)(24)8(412)x x y y y x y =-+-=-+22222000008[41(4)]24(1)y x x y x =-+-=+，0000||EG ==O EG d -=∴200000001||2222S EG d x =⋅====+-=由于2004x <，所以20115x +<，2011x +<对于函数211()3(15),()30h t t t h t tt '=+<=->，()h t在上递增.(1)4,h h ===所以20431x +<1114<，62<，∴62S <．S ∈． 变式3．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得01290F PF ∠=的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F的距离的最大值为2+（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||ABCD的取值范围．【解析】解：（1）动点P 在椭圆上，且使得01290F PF ∠=的点P 恰有两个，b c ∴=， 动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+∴2a c +=+可得2a =，b c =所以椭圆1C 的方程为：22142x y +=；（2）圆2C 的方程为224x y +=，设直线x =-T 的坐标为)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AT 的方程为114x x y y +=，直线BT 的方程为224x x y y +=，又)T t 在直线AT 和BT上，即112244ty ty ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，故直线AB 的方程为4ty -+=．由原点O 到直线AB的距离d =得||AB =联立224142ty x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(16)8160t y yt +--=，设3(C x ，3)y ，4(D x，4)y ，则343422816,1616t y y y y t t -+==++，从而222(8)16t CD t +==+记28(8)t m m +=，则||AB CD =11(0)8y y m =<，则||AB CD =11(0)8y y m =<，所以||AB CD3()112256f y y y =+-， 所以由2()127680f y y y '=-=得18y =， 所以3()112256f y y y =+-在1(0,]8上单调递增，()(1f y ∴∈，2]即||ABCD∈． 变式4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．【解析】解：()I 由使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个可得,b c a ==；动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2+2a c +=2,a c ==所以椭圆1C 的方程是22142x y +=⋯（4分）()II 圆2C 的方程为224x y +=，设直线x =-T 的坐标为()t -设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则直线AT的方程为114x x y y+=，直线BT的方程为224x x y y+=，又()t-在直线AT和BT上，即112244tyty⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，故直线AB的方程为4ty-+=⋯（6分）联立224142tyx y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得22(16)8160t y yt+--=，设3(C x，3)y，4(D x，4)y．则343422816,1616ty y y yt t-+==++，⋯（8分）从而21224(8)|||(16)tCD y yt+=-=⋯+（10分）232416t-=++，又21616t +，从而2322016t--<+，所以||[2CD∈，4)⋯（12分）变式5．已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，且直线1:1x yla b+=被椭圆1C截得的弦长为．()I求椭圆1C的方程；()II以椭圆1C的长轴为直径作圆2C，过直线2:4l y=上的动点M作圆2C的两条切线，设切点为A，B，若直线AB与椭圆1C 交于不同的两点C，D，求||||CD AB的取值范围．【解析】解：()I线1:1x yla b+=，经过点(,0)a，(0,)b，被椭圆1C227a b+=．又12ca=，222a b c=+，解得：24a=，23b=，1c=．∴椭圆1C的方程为22143x y+=．()II由()I可得：圆2C的方程为：224x y+=．设(2,4)M t，则以OM为直径的圆的方程为：222()(2)4x t y t-+-=+．与224x y+=联立可得：直线AB的方程为：2440tx y+-=，设1(C x，1)y，2(D x，2)y，联立222440143tx yx y+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22(3)480t x tx+--=，则12243tx xt+=+，12283x xt-=+，2236||43tCDt+==+．又圆心O到直线AB的距离d==||AB∴===，22222364||||243t tAB CD tt t+∴=+⨯=+令233t m+=，则||||8AB CD=3m，可得3233m-<，可得：2||||83AB CD<变式6．如图，已知点P在半圆22:(2)4(2)Q x y y++=-上一点，过点P作抛物线2:2(0)C x py p=>的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记TNB∆的面积为1S，TMA∆的面积为2S．（Ⅰ）若抛物线C的焦点坐标为(0,2)，求p的值和抛物线C的准线方程；（Ⅱ）若存在点P，使得128SS=，求p的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）22p=，4p=．准线方程为直线2y=-．（Ⅱ）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，过点A的切线方程11:()Al x x p y y=+，于是1(,0)2xM；过点B的切线方程22:()Bl x x p y y=+，于是2(,0)2xN；点(P x，)y在两条切线上，所以10012002()()x x p y yx x p y y=+⎧⎨=+⎩，可得点P坐标为1212(,)22x x x xPp+．1212:()22ABx x x xl x p yp+=+，于是12112112121212()(,0).||||||22()x x x x x x x xT TMx x x x x x-=-=+++，2222121212()||||||22()x x x x x x TN x x x x -=-=++， 而23122111||||2||81||||2TN y S x S x TM y ⋅===⋅，所以212x x =-． 于是点211(,)2x x P p --，点P 的轨迹方程为24px y =-，问题转化为抛物线24p x y =-与半圆22:(2)4(2)Q x y y ++=-有交点． 记24()f x x p =-，则4(2)42f p=-⨯-，又因为0p >， 解得：08p <．所以p 的取值范围为(0，8]．变式7．如图，设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，且直线PA 、PB 分别交y 轴于点M 、N ． （Ⅰ）证明：FM PA ⊥； （Ⅱ）求||||FM FN ⋅的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设点P 的坐标为0(x ，0)y ，直线PA 方程为00()(0)x m y y x m =-+≠．令0x =，可知点M 的坐标为00(0,)x y m-． 由，消去x 得2004440y my my mx -+-=． 因为直线与抛物线只有一个交点， 故△0=，即2000m y m x -+=． 因为点F 的坐标为(1,0)， 故00(1,)x FM y m =--，00(,)xPM x m=--．则20002()0x FM PM m y m x m⋅=-+=． 因此FM PM ⊥，亦即FM PA ⊥．（Ⅱ）设直线PB 的方程为00()(0)x n y y x n =-+≠． 由（1）可知，n 满足方程2000n y n x -+=．故m ，n 是关于t 的方程2000t y t x -+=的两个不同的实根． 所以．由（1）可知：FM PA ⊥，同理可得FN PB ⊥． 故||FM ||FN =．则||||FM FN ⋅= 因为22001(0)4y x x +=<．因此，||||FM FN ⋅的取值范围是．。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题——圆切线证明中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例 5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC ∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD 与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．AB CDE F G O例6如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(2OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
圆的专题复习--切线
圆的专题复习：复习一、知识梳理：1. 一条直线与圆相切的相关知识：例1：如图，AB是O O的直径, 求证：DC是O O的切线.相应练习：已知：Rt △ ABC中，/ ABC=90 ° ,以AB为直径的圆交AC于点D,变式：Rt △ ABC中/ ABC=90。
，以AB为直径的O O与AC边交于点D,DE为O O切线,求证：E为BC中点3.三条直线与圆相切的相关知识:D、互动和学:BC是和O O相切于点B的切线，O O的弦AD平行于0C . E为BC中点，求证：DE为O 0切线例2:如图，在梯形 ABCD 中，AB // CD , O O 为内切圆，E 为切点, (1 )求• AOD 的度数；(2)若 AO -8 cm , DO -6cm ,求 OE 的长. (3)求证：AB+CD=AD+BC三、精练互评：1如图，已知 PA 是O O 的切线，切点为 A , O O 半径为3,/ APO= 30°,那么AP = . 2. AB 、AC 与O O 相切于B 、C ,/ A = 50°,点P 是圆上异于 B C 的一个动点，则/ BPC 的度数 3. 如图，ACLBC 于点C, BC=8, CA=6AB=1°,OO 与直线 ABBC 、CA 都相切，则OO 的半 周长为 cm.5.如图，O 0内切于△ ABC ,切点为 D E 、F ,若/ B = 50°，/ C = 60°,连结 OE OF DE DF , 则/ EDF 等于 _____________6.已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的O O 交BC 于点D ，过点D 作DE 丄AC 于点E,求证：DE 是O O 的切线.4.如图所示，/ APB=5°,PA,PB,ED 都是O 0的切线，则/ DOE= , 若PA=1°cm 则厶PEF 的D C第5题四、感悟提升：通过本课的学习你有哪些收获？和同学们交流一下。
圆的切线专题
圆的切线知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．lAlAl证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=r ②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心A定理：①过圆心，过切点 垂直于切线O A 过圆心， O A 过切点A ，则OA AT ⊥②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点考点一、圆的切线的证明例1、如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
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的切线知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示:
二、切线的性质及判定
1.切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
2.切线的判定：
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.切线长和切线长定理：
（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角•
①切线的判定定理
设创为00的半径，过半径外端川作/丄如则0到/的距离d=r, ：.1与00相切.因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明：只满足题设的一个条件不是G）O的切线.
证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=τ②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心
例2、已知：如图8,在Rt ΔABC 中，ZB = 90o , ZA 的平分线交BC 于点D, E 为AB 上的一点, DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作GID 。
求证：(1) AC 是GID 的切线；(2) AB+EB=AC
OA 过圆心，OA 过切点八则OA 丄AT ②经过圆心，垂直于切线=过切点 ⑴伽圆心］»为切点 (2)ΛB 丄 MT
③ 经过切点，垂直于切线=过圆心 (1) AM 丄
MT
(2) M 为
> => AM 过圆心
考点一、圆的切线的证明
例1、如图，ΔA3C 中，AB = AC 9 0是BC 的中点，以0为圆心的圆与A3相切于点D 。
求证：AC 是C)O 的切线。
2
A 、y/ab
B 、
ab D 、
巩固练习、如图，已知OO 中，AB 是直径，过B 点作OO 的切线BC,连结CO.若AD 〃OC 交OO 于D.求证：CD 是（DO 的切线•
考点二、切线长定理及切线性质的应用
例1、在RtMBC 中，ZA = 90。
，点O 在BC 上，以O 为圆心的G ）O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ,
若AB = a, AC = b,贝IJoo
的半径为（
）
a+ b
例2.如图,AB丄BC, DClBC , BC与以AD为直径的G)O相切于点E, AB = 9, CD = A9则四边形ABCD的面积为 _______________ o
D
例3.如图，0O为RtΔΛBC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD = 6, BD = 4,则ΔABC的面积为_____________ o
例4、如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为0, CG切半圆于。
交AD于F ,交BA的延长线于G , GA = So
(1)求ZG的余弦值;
(2)求AE的长。
D C
巩固练习：
1、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E,交CD于F,则CF: FD=（）
A、1 ： 2
B、1 ： 3
C、1 ： 4
D、2 ： 5
2、如图,AB是半C）O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）, 点。
在半0O上运动，且总保持PQ = PO,过点。
作OO的切线交BA的延长线于点C。
（1）当Z0PA = 6O。
时，请你对AoCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2） ___________________________________________________ 当0P丄AB时，A0CP的形状是三角形；（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，^QCP 一定是三角形。
Q
C APMO B
知识点小结:
专项练习
【切线的证明】
1、如图，割线MC与0O相交于B、C两点，D为0O上一点，E为BC的中点，OE交BC于F , DE 交AC 于G , ZADG = ZAGDO
(1)求证：AD是Oo的切线；
(2)如果AB = 2, AD = 4, EG = 2,求GlO 的半径。
厂
2、如图，M 是半圆（圆心为0）的直径，OD 是半径,SW 切半圆于$ OC 与弦肋平行且交 于G
（1） 求证：G?是半圆的切线；
（2） 若月万长为4,点0在半圆上运动，设肋长为％,点月到直线G?的距离为），，试
求出y 与X 之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范用。
【切线长定理及切线性质的应用】
1、如图，已知ΔABC 中，AC = BC, ΛCAB = a （定值），C>O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、 BC 相切于点P 、0。
（1） 求 ZPoQ ；
（2） 设£＞是G4延长线上的一个动点，DE 与OO 相切于点M,点E 在CB 的延长线上，试判
断ZDOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
B
2、如图，初是Θ0的直径，点C在00的半径月0上运动，尸C丄月万交00于E PT切00于T, Q2. 5。
（1）当亦正好是00的半径时，PT=2,求00的半径；
（2）设PT2 = y , AC = x,求出y与X之间的函数关系式；
（3）Z∖∕7T能不能变为以R7为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△尸Tr的面积：若不能, 请说明理山。
1、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D, DF是圆的切线, 过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为
A・4 B∙ 3√3 C・6 D. 2√3
2、如图，肋是Glo的直径，M是弦，ODLAC于点D过点力作Θ0的切线月只处与仞的延长线交于
点只连接尸G BC.
(1)猜想：线段血与兀有何数量和位置关系，并证明你的结论.
(2)求证：刖是Θ0的切线•
A
3、如图，在RtΔABC中，ZC=90o , BC=4cm,以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则G)C与
AB的位置关系是__________________________
第3题
4、如图，AB是G）O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切OO于点E,交AM与于点D,交BN 于点C, F是CD的中点，连接OF。
（1）求证：0D/7BE;
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理曲。
课后练习
1.“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线：
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线：
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.两个圆的圆心都是0,半径分别为斤、£，且r x<OA<r1,那么点力在（）
A> Θ η内B× Or2外G。
人外，Θ乙内D、O片内，O 外
3.一个点到圆的最小距离为4曲，最大距离为9cm,则该圆的半径是（）
Ay 2. 5 CΛ?或6. 5 Cm B、2. 5 CnI C、6. 5 CnI D、5 Cm^ 13Cin
4.三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
5.已知PA、阳是OO的切线，A> B是切点,ZAPB = 78。
，点C是Oo上异于A、B的任
一点，贝IJZACB = ____________
6.如图，已知Oo的直径为AB9 BD = OB, ZGAB = 30°, 请根据已
知条件和所给图形写出4个正确的结论
(除QA = OB = BQ外)：①_________ ;②___________ ;
③ __________ ；④ _________ O
7.若圆外切等腰梯形ABCD(AD//BC)的面积为20, AD与BC之和为10,则圆的半径
为_____ O
8.如图，AB是C)O直径，EF切C)O于C, AD丄EF于D,求证：AC2=AD ∙ AB
9.如图，AB是Oo的弦，AB二12, PA切OO于茁Po丄AB于C, Po二13,求PA的长。