高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案
新数学《三角函数与解三角形》复习资料
一、选择题
1．若,2παπ??∈ ???
，2cos2sin 4παα??
=- ???，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα??
=-
???
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()())2cos sin cos sin cos sin 2
αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ???
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4??
????
π上是减函数的θ的一个值
是（ ） A ．
5π3
B ．
43
π C ．
23
π D ．
3
π
【答案】C 【解析】
【分析】
首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】
依题意π2sin 23y x θ??=++
?
?
?，由于函数为奇函数，故ππ
π,π33
k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=
或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3
θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4??
????π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，
()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4??
????
π上是增函数，不符合题意.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56
x π
=
，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：
①实数a 的值为1；
②()()1,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为
23
π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．①④
D ．③④
【答案】B 【解析】 【分析】 根据56
x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为
2
T
π=，然后由()()12f x f x =-，得到()()1
1
,x f x 和()()2
2
,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.
【详解】 ∵56x π=
是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π??
=-
???
，
令0x =，得()503
f f π
??=
???
，即-1a =，①正确； ∴(
)sin 2sin 3π?
?=-=- ??
?f x x x x ．
又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为
2
T
π=，且()()12f x f x =-， ∴()(
)11,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，
∴121233223
x x x x k ππ????-+- ? ?+π????=-=π
，k Z ∈， ∴12223
x x k π
π+=+，k Z ∈，
当0k =时，12x x +取最小值23
π
，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.
4．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?
的面积S C =
，且
1,a b ==c =（ ）
A
B
C
D
【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C ==，所以tan 2C =，
所以cos 5
C =
， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=
，所以c =，故选B.
5．在ABC ?
中，060,A BC D ∠==是边AB
上的一点，CD CBD =
?的面积为
1，
则BD 的长为（ ）
A ．32
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】
1sin 1sin 2BCD BCD ∠=∴∠=
2
242BD BD ∴=-=∴=,选C
6．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，
11
tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B C A B A B A B π+
+=--=-=-
=---?， 所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
7．在ABC ?中，若2
sin sin cos 2
C
A B =，则ABC ?是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
sin sin cos
2C
A B =，所以，1cos sin sin 2
C A B +=，即
2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
8．已知函数()sin()f x x π?=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
12
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠?∠
31422317122-=
=+?. 故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
9．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π
+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．
12
B ．
14
C 3
D ．
22
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π?
?=-+ ??
?，再求最值. 【详解】
已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π
+
）， =21cos 21cos 2322
x x π?
?
-+
?-??
+
， =1cos 232111cos 222223x x x π???
?--=-+ ? ? ?????
， 因为[]cos 21,13x π?
?+∈- ??
?，
所以f （x ）的最小值为1
2
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．已知()0,απ∈，3sin 35πα??
+= ??
?，则cos 26πα?
?+= ???
（ ） A ．
24
25
B ．2425
-
C ．
725
D ．725
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα??
+
??
?
求得2cos 23
πα??
+
??
?
.再由诱导公式求出sin 26πα??+ ??
?,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα?
?+ ???.根据角的取值范
围,舍去不合要求的解即可. 【详解】
因为3sin 35πα??+= ??
?
由余弦二倍角公式可得2
2237cos 212sin 1233525ππαα??????+
=-+=-?= ? ? ?
?
?????
而2cos 2cos 2sin 23
626ππππααα?
????
?+
=++=-+ ? ? ??
????
?
所以27sin 2cos 26325ππαα?
?
?
?
+
=-+=- ? ?
?
??
?
由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα?
?
+==± ??
? 因为()0,απ∈ 则4,333π
ππ
α??
+
∈ ?
??,而3sin 035πα??+=> ??
? 所以,33π
παπ??
+∈ ???
则,33π
παπ??+
∈ ???
所以22,233ππ
απ????+
∈ ?
??
???
32,3262ππππα?
???+-∈ ? ??
???,即32,662πππα??+∈ ???
又因为7sin 20625
πα??
+
=-< ??
?,所以32,62ππ
απ??
+∈ ???
故cos 206πα??
+
< ??
?
所以24cos 2625
πα??
+=- ??
? 故选:B 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.
11．若函数tan 23y x k π??
=-+ ??
?，0,6x π??
∈ ???
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．)
+∞ B ．
)
+∞
C ．()
+∞
D ．()
【答案】A 【解析】 【分析】
计算tan 203x π??<-< ??
?，tan 23x k π?
?->- ???恒成立，得到答案.
【详解】
∵0,
6x π?
?
∈ ??
?
，∴203
3x π
π
-
<-
<，∴tan 203x π?
?-< ??
?，
函数tan 23y x k π??=-+ ???，0,6x π??
∈ ???
的图象都在x 轴上方，
即对任意的0,6x π??
∈ ??
?
，都有tan 203x k π??
-
+> ??
?，即tan 23x k π?
?->- ??
?，
∵tan 23x π?
?
-> ??
?
k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】
本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )
A ．y =
B ．y x =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ?使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ?-=??=??,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ?中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-??
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-??? 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
13．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>??，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
14．在ABC ?中，60B ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，BD =
，
1
cos 4
BAC ∠=
，则AD =（ ）
A ．2 B
C D 【答案】A 【解析】 【分析】
先求出sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】
∵2
1cos 12sin 4
BAC BAD ∠=-∠=，
∴sin 4
BAD ∠=
.在ABD ?中，sin sin AD BD B BAD =∠，
∴
sin
2
sin
4
B
AD BD
BAD
=?==
∠
.
【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．
已知
πππ
sin()cos()0,
322
ααα
++-=-<<则
2π
cos()
3
α+等于（）
A
B．
3
5
-C．
4
5
D．
3
5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据等式化简，得到
4
sin
65
π
α??
+=-
?
??
，再利用诱导公式化简
2
cos
3
π
α??
+
?
??
求值.【详解】
解析：∵
ππ
sin cos
32
αα
????
++-=
? ?
????
13
sin sin sin
22225
ααααα
++=+=-
65
π
α??
=+=-
?
??
∴
π4
sin
65
()
α+=-.
又
2ππππ
cos cos sin
32
()())
6
(
6
ααα
+=++=-+，
∴
2π4
co(s
35
)
α+=.
故选：C
【点睛】
本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型. 16．某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30o方向，后来船沿南偏东60?的方向航行45km后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（）
A
．B．30km C．15km D
．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出
BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】
设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，
可得60DBC ∠=?，30ABD ∠=?，45BC =
30ABC ∴∠=?，120BAC ∠=?
在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：
sin sin AC BC
ABC BAC
=∠∠，
可得sin 1153sin 2
32
BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】
本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．
17．函数()sin()3)f x x x ω?ω?=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得()23f x sin x πω??
?=++ ??
?，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为
12T =，于是可得6
π
=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ?π=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】
由题意得()()()23f x sin x x sin x πω?ω?ω???
=++=++ ??
?
， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π
=
ω， ∴()26
3f x sin x π
π???=++
???．
又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππ???????
++=+==
? ?????
，
∴cos 1?=， ∴2()k k Z ?π=∈， ∴()26
3f x sin x π
π??=+ ???．
由22,2632
k x k k Z π
πππ
ππ-
+≤
+
≤
+∈，
得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，
∴()f x 的单调增区间为[]
()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】
解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．
18．已知函数())(0f x x ω?ω=+>，)22
ππ-
(3A ，0)为()f x 图象的对称中
心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是(
)
A ．2(23k -，4
2)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，4
2)3k ππ+，k Z ∈
C ．2(43k -
，4
4)3
k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，4
4)3
k ππ+，k Z ∈
【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数图像的性质可求得：2
π
ω=
，6
π
?=-
，即()sin(
)26
f x x π
π
=-，再令222262
k x k ππππ
ππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.
【详解】
解：函数())(0f x x ω?ω=+>，)22
ππ
-
(3
A ，0)为()f x 图象的对称中心，
B ，
C 是该图象上相邻的最高点和最低点，
又4BC =，
∴2
22
()42T +=，即221216πω
+=，求得2πω=．
再根据123k π?π+=g ，k Z ∈，可得6
π?=-，()3sin()26f x x ππ
∴=-，
令222262k x k ππππππ--
+剟，求得24
4433
k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，4
4)3
k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.
19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π
,43
BAC AP ∠=
=
，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，
且1
22
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】
在ABC V
中，AB AC ==23BAC π∠=
，可得6
ACB π∠=， 则ABC V
的外接圆的半径
2sin 2sin
6
AB r ACB =
==ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且1
22
GO AP =
=，
因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则2
2
2
OA OG AG =+，即外接球半径()
2
2
223
4R =
+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =?=. 故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π??
=+ ??
?
；④tan 24y x π??
=- ??
?
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ?= ； 函数cos 26y x π??=+ ??
?的最小正周期为22T π
π== ； 函数tan 24y x π?
?
=-
??
?
的最小正周期为2
2
T π
π
=
=
；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考数学压轴题含答案
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【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程；
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2