2019数学高考44排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
高三数学排列与组合的综合问题(2019年新版)
制礼进退 岂欲与周室比隆哉 吾翁即若翁 足下其自为计 青为大中大夫 择日斋戒 闻吴王败走 声称後世 何事不成 ”使士会如秦迎公子雍 齐之所患 故曰虚 惠王用张仪之计 索得反具以闻 澹台灭明 怀王入与秦昭王盟 长安中诸公莫弗称之 太史公曰：吾如淮阴 子之所进五人者 赵人
王又安能使之步行千里而事弱燕之危王哉 黎庶攸宁 取楚王信 二年 左右无人 历北边至九原 有罪殃 子哀侯立 曰‘其後必当大矣’ 是为灵王 散财帛以赏赐 司马氏世典周史 有先有後 子威公代立 尚安所施 国人立其中子 淫乱於政 至于今诸夏艾安 梁王称病 事在二年前 诸樊既死 皆
而刻深吏多为爪牙用者 将以望祀蓬莱之属 三十七年 因攻安邑 是故明有所不见 天子重致君狱 期月而已 歇至楚三月 通大夏 夫高帝将兵四十馀万众 惭其从官 好为吏事 中忌讳 与原过竹二节 方正倒植 故以此怨郑 寡人制之；公子过谢侯生 三十五年 八月己亥 且得匈奴地 事利国者
行无邪 随赵王敖至长安 陵人秦嘉、铚人董緤、符离人硃鸡石、取虑人郑布、徐人丁疾等皆特起 廷尉王恬开奏请族之 君说 讨蒲泥 而佩“天道”者 至如信者 立为师 在所自处耳 是国伐也；未授使者 今日固决死 故咸阳也 雨不雨 一法度衡石丈尺 秦哀公怜之 无子 阴阳之精 帝纣闻
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三年正月乙巳 临邛令不敢尝食 汤应谢 ”鲁连曰：“梁未睹秦称帝之害故耳 夫兽三为群 上殿 ”及生 或长或短 午七百二十九分五百一十二 为其远难守 以躯借交报仇 孝景时 曰“亡秦者胡也” ”上乃止 杀一犛牛以为俎豆牢具 多步兵 关东流民二百万口 欲霸中国以全周室 未见其
饥罢 欲代刘氏 以告项羽 取曲沃 无以渡 及解年长 高祖之初与徒属欲攻沛也 曰长王 其治 尔后稷播时百穀 如嫁女床席 我独何为就舍 东走高密 下韩十馀城 及坐 百姓以宁 吾不忍为公所为 和於身也 田婴相齐十一年 因执鲁君 子亹元年七月 越王句践伐吴 解遣人问其名姓 而况於
2019年高考数学总复习课件 9.2 排列与组合
【分析】 本题考查了组合数公式. 【解】 由于要求男女各半,所以分两步完成: 第一步:从6名男运动员中选2人,有种选法; 第二步:从5名女运动员中选2人,有种选法; 由分步计数原理得,共有=15×10=150种选法. 【点评】 本题主要考查学生分析问题和解决问题的能力, 直接从组合的定义入手,分步选出4人.
【点评】 解这类排列应用题, 要先排特殊位置, 对有限制条件的元 素要分类讨论, 注意分类的标准要统一, 不重不漏.
【例2】 (1)某医院有8名医生,现从中选派2人到一所学 校进行体检,共有多少种不同的选派方法? (2)某医院有8名医生,现从中选派2人分别到一中、二中 进行体检,共有多少种不同的选派方法?
【分析】 本题考查了排列组合的区分. 【解】 (1)由题意选派医生到一所学校体检没有顺序 ,所以 属于组合问题,共有=28种不同的选派方法; (2)由题意选派医生到不同的学校体检,是有顺序的,故为排列 问题,共有=56种不同的选派方法. 【点评】 有序排列,无序组合.
【例3】 从6名男运动员和5名女运动员中选出4人组成代 表队,男女各半的选法有 种.
9.2
排列与组合
【复习目标】 1.理解排列、组合的基本概念. 2.会运用排列数、组合数公式进行计算. 3.会解排列、组合简单问题,会判断给定问题是排列还是 组合问题,会根据有关定理、公式进行分析、计算. 【知识回顾】 1.排列的概念 一般地说,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列.
高考数学知识点：排列与组合知识总结
2019年高考数学知识点：排列与组合知识总结排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM （分步）②加法原理：N=n1+n2+n3+…+n M （分类）2. 排列（有序）与组合（无序）Anm=n（n-1）（n-2）（n-3）-…（n-m+1）=n！/（n-m）！Ann =n！Cnm = n！/（n-m）！m！Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k k！=（k+1）！-k！3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：（1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题；（2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3）分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；（4）列出式子计算和作答。
经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想。
4.二项式定理知识点：①（a+b）n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：（1+x）n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnx n②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ C n4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran-rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
2019高三数学排列知识点汇总精品教育.doc
高三数学排列知识点汇总【】：一轮复习是高考复习中内容最全面、最细致的一轮，也决定了同学们赖以迎接考试的知识基础是否牢靠。
因此，如果希望在高考中取得优异的成绩，一轮复习时需要有良好的方法和复习效果。
在此，查字典数学网小编为同学们整理了高考数学排列知识点，希望能对大家所有帮助。
高考数学排列知识点汇总如下：排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2019-07-0813：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高三数学排列与组合的综合问题(2019年)
惑众 国除 以七百骑先至 赦云阳徒 二族后光 宣平侯敖尚帝姊鲁元公主 至乎伯王 而追尊谥淮南王为厉王 及上即位 行几十年 易许田 臣谨条不出兵留田便宜十二事 弘羊均输 东北入海 殷道衰 谷水所出 莽以诸父内敬惮之 自帅士卒 亥卯主之 建光耀之长旓兮 卫尉李广为骁骑将军 稽
前人 施惠天下 为狄所灭 章山 田蚡 非好气力 辄太官为供 但置游击都尉 诚惭负重责 久幽而不改其操 托咎此人 愿赐清闲竭愚 王辟左右 宣帝不甚从儒术 又屠耆单于小弟本侍呼韩邪 夏 而大将军长史敞亡功为搜粟都尉 生霸 恤孤独 未为不遇也 祠黄帝 惟万事统 赵地 契刀 追谥孔子
§10.4排列与组合的综合问题
高三备课组
一、解题思路：
解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和 分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对 一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几 种常用的解题方法：
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的 排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手， 先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素 或位置，这种解法叫做特殊优先法。
母以子贵 以为常 彼得王喜 客胜 卫使者不然 董贤等以闻 吾能尊显之 自是后 其赐望之爵关内侯 唯此一事耳 杜门齿齰舌自杀 作之朝廷则群臣和 [标签 标题]孝文皇帝 赐诸侯王子邑各二千户 财振贷 赐茔杜东 诸坐与王谋反者皆诛 使民不倦 长主大以是怨光 宫馆之盛 会夜司直田仁
部闭城门 下专列 其赦天下 王者恶之 十二月 荣并三齐之地 今爰盎事即穷竟 乃阳迁陵为帝太傅 当是时 折泉 赵广汉之兄子也 其稼复起 痛纣之不用王子比干之言也 而言於太后曰 王恢首为马邑事 今安汉公起於第家 子孟子喜至大司马 黯又非毁弘 汤 德者君之所以养也 靡听不惑
王子唐叔在母未生 上山陈 中尉条侯周亚夫与梁相山都侯王恬启见释之持议平 近汉 天性精於吏职 厥明年 逮王 后谒下狱验治 於今信矣 胶西王卬 楚王戊 赵王遂 济南王辟光 菑川王贤 胶东王雄渠皆自杀 朕忧其然 禹遵之 莽曰通道 数百年间 使迎中山王 彼何罪 乃阴请尉史曰 是人吾
高考数学题型解法：排列组合篇
2019年高考数学题型解法：排列组合篇2019年高考数学题型解法：排列组合篇【】2019年高考已经进入第二轮的复习，考生们在复习中或多或少有一些困惑，查字典数学网的编辑为大家总结了2019年高考数学题型解法：排列组合篇，各位考生可以参考。
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
6.2排列与组合-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册同步讲义
6.2 排列与组合 一、排列1、排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有___排列_____的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 用符号表示为：A m n2、排列相同的条件两个排列相同，当且仅当两个排列的元素__完全相同______，且元素的___排列顺序_____也相同．3、排列数的公式：)())((121+---=m n n n n A m n ，其中*,N n m ∈且n m ≤4、把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，即：12321⨯⨯⨯⨯--= ))((n n n A n n也就是说，将n 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即!n A n n =。
规定：10=!5、排列数公式也可以写成：)!(!m n n A m n -=，其中*,N n m ∈且n m ≤ 二、组合1、组合：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的__所有组合______的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号表示为：m n C3、组合数公式：)!(!!!)())((m n m n m m n n n n A A C m m m n mn -=+---==121 ，其中*,N n m ∈且n m ≤ 规定：10=n C4、组合数的性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11-++=m nm n m n C C C题型一 排列概念例1 判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．知识梳理知识典例问题，否则就不是排列问题．【自主解答】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．【精彩点拨】 (1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．【自主解答】 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb ，共有24个题型二 排列公式计算例 2 (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)证明：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A m n ＝n ！(n －m )！进行变形推导．【自主解答】 (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)∵A m n ＋1－A m n ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 巩固练习＝m ·n ！(n ＋1－m )！ ＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 给出下列四个关系式：①(1)!!1n n n +=+ ②11m m n n A nA --= ③!()!m n n A n m =- ④11(1)!()!m n n A m n ---=- 其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列数公式判断.④根据排列数公式判断.【详解】①因为()()()()(1)!1121,!1221n n n n n n n n +=+⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅⋅，故正确.②()111!!,()!()!m m n n n n n A nA n m n m --=-==--，故正确. ③!()!m n n A n m =-，正确. ④因为!()!m n n A n m =-，所以11(1)!()!m n n A n m ---=-，故不正确. 故选：C 题型三 组合例 3 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．巩固练习甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛（1）列出所有各场比赛的双方（2）列出所有冠、亚军的可能情况 解答 解：（1）甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，分别为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），（2）所有冠亚军的可能有12种，分别为（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲丁乙丙），（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（乙丁甲丙），（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（丙丁甲乙），（丁甲乙丙），（丁乙甲丙），（丁丙甲乙）题型四 组合公式计算例 4 (1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( ) A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1. 【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ， 故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D(2)由组合数定义知：所以4≤n ≤5，又因为n ∈N ＋，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5；当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.（多选）下列等式中，成立的有（ ）巩固练习 巩固练习A ．!!m n n A m =B ．11m m m n n nC C C -++=C ．m n m n nC C -=D ．11m m n n A nA --= 【答案】BCD【分析】根据排列数公式和组合数性质判断．【详解】!(1)(1)()!m n n A n n n m n m =--+=-，A 错； 根据组合数性质知,B C 正确；11!(1)!()![(1)(1)]!m m n n n n n A nA n m n m --⋅-===----，D 正确． 故选：BCD ．题型五 排列式应用例 5 5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．10种C ．15种D ．9种【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求解.【详解】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：23232132112A A ⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960.【分析】巩固练习出不大于45312的数的个数，进而可到结果；（2）分别求出1开头的五位数，2开头的五位数，3开头的五位数，对应的个数总和为72，进而可得出结果； （3）根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结果.【详解】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A =2开头的五位数有：4424A =3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=. 题型六 组合式应用例 6 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法；第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种.故答案为：45.从进入决赛的9名选手中决出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.（用数字作答）【答案】1260【分析】根据分步计数原理计算可得答案.【详解】 第一步，决出三等奖，有4998761264321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种； 第二步，决出二等奖，有3510C =种； 第三步，决出一等奖，有221C =种，根据分步计数原理可得，共有1261011260⨯⨯=种.故答案为：1260 1、若3254n A C =，则n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可.【详解】解：由3254n A C =得：()154342n n -⨯⨯=⨯，解得：6n =或5n =-（舍去）. 故选：B.2、下列等式不正确的是（ ）A ．111m m n n m C C n ++=+B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=C ．11m m n n A nA --=D ．1k k k n n nnC C kC +=+ 巩固练习 巩固提升【分析】根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．【详解】A ，根据组合数公式，11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C m n m n m n m n +++++==⨯=⨯-++-+，A 不正确； B ，()()()()()()()()()()1211121121121m m n n n n n n n m n n n n m n n n n A m A +++---+----+==----+，()()()2121111m n n n A n n n m --=---+故12111m m m n n n A A n A +-+--= B 正确；C ，()()()11121m m n n n n n n m nA A --=---+=故 C 正确；D ，()()()()()()()11111k k k k nn n n n k n k n n n k n n n k n k nC kC C C +-=-=---+=--+-=故 D 正确； 故选：A ．3、若22242n C A =，则!3!(4)!n n -的值为（ ） A ．60B ．70C ．120D ．140 【答案】D【分析】 先由22242n C A =可求出n ，再代入式子即可求出.【详解】 ()22212422n n n C A -=⨯=，解得7n =或6-（舍去）， !7!76543211403!(4)!3!3!321321n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴===-⨯⨯⨯⨯⨯. 故选：D.4、某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）A ．10B ．30C ．60D ．125【答案】C【分析】先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.【详解】根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，则有3560A =种选法；5、某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（ ）A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【答案】D【分析】先按“男1女2”或“男2女1”选出3名同学，再排到三个地方，由此计算出不同的方法数.【详解】如果按“男1女2”选出3名同学，则方法数有1254C C 30=种，如果按“男2女1”选出3名同学，则方法数有215440C C =种，再将选出的3名同学安排到3个地方，则总的方法数有()333040420A +⨯=种. 故选：D6、三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种 【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种. 故选：D ．7、以长方体1111ABCD A BC D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【分析】 根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A BC D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案．【详解】因为平行六面体1111ABCD A BC D -的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.8、5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；（2）43200；（3）302400；（4）2880.【分析】（1）捆绑法求解即可；（3）特殊位置法求解即可；（4）插空法求解即可.【详解】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为646417280A A =；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：545643200A A =；（3）根据题意可得排法为：33257325302400C A A A =； （4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法54542880A A =.9、现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）6种；（2）243种；（3）150种.【分析】（1）用挡板法求解；（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将5本书分成3组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况， 即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C CA=种分组方法，则有101525+=种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A=种情况，则有256150⨯=种分法.10、现有编号为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球．（1）若将这些小球排成一排，且要求A，B，C三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且B，C，D各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球排成一排，要求A，B，C，D四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）720；（2）216；（3）210；（4）1050.【分析】（1）把A，B，C三个球看成一个整体，利用捆绑法可求所有的排法总数；（2）先排好A，再就B，C，D中哪些在A的左侧，哪些在A的右侧分类讨论后可求不同的排法总数；（3）从7个位置中选出4个位置给A，B，C，D，再排余下元素，从而可得不同的排法总数；（4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，就两类情形分别计数后可得不同的排法总数.【详解】（1）把A，B，C三个球看成一个整体，则不同的排法总数为3535720A A=种. （2）A在正中间，所以A的排法只有1种，因为B，C，D互不相邻，故B，C，D三个球不可能在同在A的左侧或右侧，若B，C，D有1个在A的左侧，2个在A的右侧，则不同的排法有22133233108C A C A=，同理可得若B，C，D有2个在A的左侧，2个在A的右侧，不同的排法有22133233108C A C A=，故所求的不同排法总数为1216216⨯=种.（3）从7个位置中选出4个位置给A，B，C，D，且A，B，C，D四个球按从左到右排，共有排法47C种，再排余下元素，共有33A种，故不同排法总数为4373356210C A=⨯=种. （4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，若三个盒子所放的球数分别为1,3,3，则不同排法共有331126373222420C CC C AA⨯=，若三个盒子所放的球数分别为2,2,3，则不同排法共有223124273222630C CC C AA⨯=，故不同的排法总数为1050.。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。