求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现
对流方程差分法
1 2r(r 1)(1 cosh) 1
从而获得原格式的稳定性条件 1 r 0
即 a 0 且 h a
， ②：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前 差商和一阶向后差商近似，即有
u
u( x j , tk1 ) u( x j , tk )
(1
r )ukj
r
uk j1
,
u0j ( x j ),
r a , j Z, k 0,
h
易见， v k1ei x j (1 r )v kei x j r v ek i x j1
从而 G 1 r r eih 1 r(1 cosh) ir sinh
为使数值格式稳定，则增长因子 G 必须满足
ukj
1
ukj
a
uk j1
uk j 1
2h
0,
j Z , k 0,
u0j
(xj
),
j Z,
可见上述格式的局部截断误差为 O( h2 )
上述格式还可简写为
uk1 j
r 2
uk j1
ukj
r 2
uk j1
,
u0j ( x j ),
jZ, k 0
也不难得到此格式的增长因子为
G 1 r ( eih eih ) 1 ir sinh
误差为 O( )
u
u( x j1 , tk ) u( x j , tk )
x ( x j ,tk )
h
误差为 O(h)
将上面的式子代入离散方程，可得
u( x j , tk1 ) u( x j , tk ) a u( x j1, tk ) u( x j , tk ) O( h)
求解变系数对流扩散方程的高阶紧致差分格式
ห้องสมุดไป่ตู้Ｖｏ １ ．２ ７
Ｎｏ． １ １
重 庆 理 工 大 学 学 报（ 自然科 学 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
对 流 扩散方 程 是一类 基本 的运 动方 程 ， 是描 述 黏性 流体 的非线 性 方 程 的线 性 化 模 型方 程 ， 它可 以用
Ａ Ｈｉ ｇ ｈ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ｃｏ ｍｐ ａ ｃ ｔ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｆ ｏ ｒ Ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ Ｖａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ Ｃｏ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ Ｃｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｄｉ ｆｕ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
种新方法具有更好的健壮性 ， 并且可有效求解对流 占优问题。
关 键 词： 变量 替换 ； 紧致 差分 格式 ； Ｃ ｒ ａ ｎ ｋ Ｎ ｉ ｃ ｏ ｌ ｓ ｏ ｎ格 式 ； 无条 件稳 定 ； 对流 扩散 方程 文献标 识 码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ ４— ８ ４ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ｌ １ — ０ １ ２ ０— ０ ６ 中图分类 号 ： Ｏ ２ ４ １ ． ８ ２
ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ．Ｐ ｒ ｏ ｏ ￣ｏ ｆ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｎ ｅ ｗ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ ．Ｃ ｏ ｍ． ｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ａ ｒ ｄ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ． ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ａ ｒ ｅ ｍｏ ｒ ｅ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓ ｔ ｏｒ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
一种求解对流扩散反应方程的高阶紧致差分格式
其一 阶导 数 的值 ， 特 别适 用 于 同时 需 要求 解 状 态 变 量 导 数 的 问 题 ，例 如 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ － Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ期 权 定 价
模 型 ．
振 荡现 象 ， 因而影 响 了数值 模 拟 的结果 ．
接 构 造 迎 风 格 式 是 很 困难 的 ．本 文 利 用 变 量 替 换 消
去方 程 中的对 流项 ， 将方 程转 化为 反应 扩散方 程组 ，
然后 利用 四阶 Ｐ ａ ｄ ４格式 构 造 空 间 四阶 的三 点 紧致
差分 格式 ， 并 证 明 了该 格 式 是 无 条 件 稳 定 的．文 献 Ｅ ５ ３ 对于 非定 常对 流 扩 散方 程 验 证 了这 种处 理 方 法
考虑 一 维非稳 态 对流 扩散 反应 方 程 ：
１ 空 间离 散
１ ． １ 构 造 差 分 格 式
（ １ ）
ｆ 一 ｎ 嘉＋ ｃ （ ） 一 ｒ ｕ ＋ 厂 （ ｘ ， ｔ ， ｌ
０＜ Ｘ ＜ １ ， ０＜ ｔ＜ Ｔ ，
引入 记号 ：
一
Ｉ
ｕ （ Ｏ， ￡ ）一 ｇ １ （ ￡ ） ，ｕ （ １ ， ）一 ｇ ２ （ ｆ ） ，０＜ ｔ ＜ Ｔ，
的有 效性 ．这种 处理 方法 可 以同 时求 解待 求 变量 及
求 解具 有 十分 重 要 的理 论 和 实 际 应 用 价 值 ． 目前 ，
求 解对 流扩 散反 应 方 程 的 数值 方 法有 有 限差 分 法 、
有 限元 法 、 边界 元 法 和特征 线 等方 法 卜引， 但 这 些方
第３ ４ 卷 第２ 期
三维对流反应方程的高精度多重网格方法
６
￣ ＋ｏ ａ ） ２ （ ，
一
再将 （ ） ６ 式代 人方 程 （ ） ２ 整理 得 到一维 问题 （ ） 四阶紧致 差分 格式 ２的
８ 一Ａ
ｘ２ ；
ｔ
￣ ２
ｘ
６
—
ｆ：ｆ＋ｏ（ 、 ａ ） ．
（） ７
于是 有
３ ６咖 ＝ （ １＋Ａｃ ￣ ＋ｏ（ ） ２ ａ ，
ｊ ｙ ０， ， ， ｙ ：ｋ ｚｋ＝ ， ， ， ． Ａ ，＝ １ … Ｎ ， Ａ， ０１…
首先 考 虑一 维 问题
第 ３期
徐丽 ， ： 等 三维对流反应方程的高精度多重 网格方法
・１ ９・
咖
一
，
阶偏导 数 在 网格点 ｉ 用 中心差 分近 似 处
＝ 一 ＋ｏ（ ） ａ ，
项， 该格式在解决流体粘性越小的问题时 ， 其计算会变得越困难． 尤其是对于高维问题 ， 其影响更为明显．
近 年来 ， 多科 研工 作 者致 力于 高精 度 紧致差 分格 式 的研究 ， 很 与古典 的迎 风格 式 和 中心差 分 格式 相 比较 ， 它 不仅 具有 更 高 的精 度 ， 而且 具 有较 好 的稳定 性 ． 一方 法 已经 较 为成 功 地 应 用 于对 流 扩 散方 程 的数 值 这
三维 对 流 反 应 方 程 的 高精 度 多重 网格 方 法
徐 丽 ， 葛 永斌２
（． １宁夏师范学 院 数学与计算机科 学学 院 ，宁夏 固原 ２ 宁夏 大学 应用数学 和力学研 究所 ， ． 宁夏 银川 ７ ６０ ； ５ ０ ０ ７０２ ） ５０ １
摘
要 ： 用一阶偏 导数 的四阶 紧致差分逼近公 式， 利 构造 了基 于非 等距 网格 上的数值求解三 维对流反应 方
一种改进的求解N-S方程的高精度紧致算法
ｎ ｎ
＋
（ ３ ）
６ ｝＝ ＋ ＋ 矗 ｝ ：
。 ＋
专 ＝ ｝ “ ＋ ， ＋ ，ｙ ｛ 。 “＋ √ ÷ ＋ ｌ ｔ ． ｊ ＋ ｒ
＋ ＋ ｝ ｝， ＋
（ ４）
厶和 表示 平均 值 ：
五 ＝ （＋ ｕ如 ｝ ｕ士 ＋ １ＶＩ÷ ＋＋ ÷ Ｖ√ ） ｝寺 Ｍ如＋ ＋ 一 如 （＋＋＋ ｝ ＋＋一 。 ＋ ＋ 川＋ 一） ｉ ， ｊ ｉ＿ ｌ｝
”
＋
扩 散项 ” 与 的差分 形式 类似 。
１５ 边 界处 理 ．
设 ， 为计 算边 界 ， 速度 值 ＇， “ ，， 。 由于 采用 ＭＡ 网格 ， ’ 定 ， ＝（ ， ） ， Ｃ 导致 速度 点 不 落 在 网格 上 ， 以在 所 外 边界 假想 一个 网格 ， 然后 用外 推 法 假 定一 个 速 度值 ｕ』 。，将 导 数 的 常规 差 商 近似 等 同于 一 阶非 中心 差
Ａ
３ 稳定性分析
４
０
２
人工 压缩 法 的 目的在于 求解定 常 问题 ， 所 以能够 达到定 常解 是基 于 以下 两方 面原 因 ： 是对 ｓｏｅ 其 一 ｔ ｓ ｋ
流 已经证 明了当 ￡ 。 一ｏ时的极限解即为定常解 ； 二是基于 Ｌｘ ａ 等价原理 ， 稳定的相容的差分格式一定收敛 ， 易 证 明上述人 工压 缩法 的截 断误差 为 Ｄ（ ， ， 。 Ａｔ△ ＡＹ ） 首 先近 似忽 略动量 方程 （ —３ 中 的压力梯 度项 ， １ ） 并设 （ ） ４ 中的 系数 为常 数 ：ｉ｛ ＝ｕ ＋ ＝ｕ １＋ ， ｈ ｛ 。＝ｃ ｕ ｔ ｏ ｓ，
格 式与迎 风 紧致 格式 的一 般形式 ， 间方 向采用 Ａ Ｉ 二 阶 ） 时 Ｄ（ 。马 晖扬 运用 人 工压 缩方 法 与迎 风 紧致 格
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高阶紧致差分格式
西安理工 大学学报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ’ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ ２ ０ １ ３ ）Ｖ ｏ １ ． ２ ９ Ｎ ｏ ． ４ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ － ４ ７ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ － ０ ４ ７ ５ － ０ ６
ｔ ｈ ｅ １ Ｄ ｕ ｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｔｈ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｉ ｓ ｔ ｈｅ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｏｒ ｆ ｔ ｉ ｍｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ
Ａ Ｈｉ ｇ ｈ Ｏｒ ｄ ｅ ｒ Ｃｏ ｍ ｐａ ｃ ｔ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｓｃ ｈ ｅ ｍｅ ｏ ｎ Ｎｏ ｎ－ Ｕｎｉ ｆ ｏ ｒ ｍ Ｇｒ ｉ ｄｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ １ Ｄ Ｕｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ Ｃｏ ｎｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｄｉ ｆｕ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｅｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ
４ ７ ５
一
维 非 定 常对 流 扩 散 方 程 非 均 匀 网格 上 的高 阶紧致 差 分格 式
Cahn-Hilliard_方程的一个超紧致有限差分格式
第38卷第1期2024年1月山东理工大学学报(自然科学版)Journal of Shandong University of Technology(Natural Science Edition)Vol.38No.1Jan.2024收稿日期:20221209基金项目:陕西省自然科学基金项目(2018JQ1043)第一作者:栗雪娟,女,lxj_zk@;通信作者:王丹,女,1611182118@文章编号:1672-6197(2024)01-0073-06Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式栗雪娟,王丹(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)摘要:研究四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解方法㊂给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶Cahn-Hilliard 方程的空间导数离散,采用四阶Runge-Kutta 格式离散时间导数,将二者结合得到四阶Cahn-Hilliard 方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计㊂通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性㊂关键词:四阶Cahn-Hilliard 方程;组合型超紧致差分方法;四阶Runge-Kutta 方法;误差估计中图分类号:TB532.1;TB553文献标志码:AA supercompact finite difference scheme for Cahn-Hilliard equationsLI Xuejuan,WANG Dan(School of Science,Xiᶄan University of Architecture and Technology,Xiᶄan 710055,China)Abstract :A numerical method for solving the fourth order Cahn-Hilliard equation is studied.The combi-national ultra-compact difference scheme is given and applied to the spatial derivative discretization of the fourth order Cahn-Hilliard equation.The fourth-order Runge-Kutta scheme is used to discrete time deriv-atives.The discrete scheme of the fourth order Cahn-Hilliard equation is obtained by combining the two methods,and the error estimate of the scheme is given.Finally,the numerical solution is obtained by programming and compared with the exact solution.The results show that the numerical method in this paper has a small error,verifying the effectiveness and feasibility of the proposed method.Keywords :fourth order Cahn-Hilliard equation;combinational supercompact difference scheme;fourthorder Runge-Kutta;error estimation㊀㊀本文考虑的四阶Cahn-Hilliard 方程为u t -f u ()xx +ku xxxx =0,x ɪ0,2π[],t >0,u x ,0()=u 0x (),x ɪ0,2π[],u 0,t ()=0,u 2π,t ()=0,t >0,ìîíïïïï(1)式中:求解区域为0,2π[],且kn ȡ0;f u ()为光滑函数;u 0x ()表示t =0时刻的初值;u t 表示u 关于时间t 求偏导数,u t =∂u∂t;f u ()xx表示f u ()关于x求二阶偏导数,f u ()xx=∂2f u ()∂x 2;u xxxx 表示u 关于x 求四阶偏导数,u xxxx=∂4u∂x4;u 是混合物中某种物质的浓度,被称为相变量㊂1958年,Cahn 和Hilliard 提出Cahn-Hilliard 方程,该方程最早被用来描述在温度降低时两种均匀的混合物所发生的相分离现象㊂随着学者对该方程的研究越来越深入,该方程的应用也越来越广泛,特别是在材料科学和物理学等领域中有广泛的应用[1-3]㊂㊀Cahn-Hilliard 方程的数值解法目前已有很多研究,文献[4]使用了全离散有限元方法,文献[5]使用了一类二阶稳定的Crank-Nicolson /Adams-Bashforth 离散化的一致性有限元逼近方法,文献[6-7]使用了有限元方法,文献[8]使用了不连续伽辽金有限元方法,文献[9]使用了Cahn-Hilliard 方程的完全离散谱格式,文献[10]使用了高阶超紧致有限差分方法,文献[11]使用了高阶优化组合型紧致有限差分方法㊂综上所述,本文拟对Cahn-Hilliard 方程构造一种新的超紧致差分格式,将空间组合型超紧致差分方法和修正的时间四阶Runge-Kutta 方法相结合,求解Cahn-Hilliard 方程的数值解,得到相对于现有广义格式精度更高的数值求解格式,并对组合型超紧致差分格式进行误差估计,最后通过数值算例验证该方法的可行性㊂1㊀高阶精度数值求解方法1.1㊀空间组合型超紧致差分格式早期的紧致差分格式是在Hermite 多项式的基础上构造而来的,Hermite 多项式中连续三个节点的一阶导数㊁二阶导数和函数值的数值关系可以表示为ð1k =-1a k f i +k +b k fᶄi +k +c k fᵡi +k ()=0㊂(2)1998年,Krishnan 提出如下紧致差分格式:a 1fᶄi -1+a 0fᶄi +a 2fᶄi +1+hb 1fᵡi -1+b 0fᵡi +b 2fᵡi +1()=1h c 1f i -2+c 2f i -1+c 0f i +c 3f i +1+c 4f i +2(),(3)式中:h 为空间网格间距;a 1,a 0,a 2,b 1,b 0,b 2,c 1,c 2,c 0,c 3,c 4均表示差分格式系数;f i 表示i 节点的函数值;fᶄi 和fᵡi 分别表示i 节点的一阶导数值和二阶导数值;f i -1,f i -2,f i +1,f i +2分别表示i 节点依次向前两个节点和依次向后两个节点的函数值;fᶄi -1,fᶄi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的一阶导数值;fᵡi -1,fᵡi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的二阶导数值㊂式(2)对应f (x )展开以x i 为邻域的泰勒级数为f x ()=f x i ()+hfᶄx i ()+h 2fᵡx i ()2!+㊀㊀㊀㊀㊀h3f‴x i ()3!+h 4f 4()x i ()4!+h 5f 5()x i ()5!+h 6f 6()x i ()6!+h 7f 7()x i ()7!㊂㊀㊀(4)㊀㊀差分格式的各项系数由式(3)决定,可得到如下的三点六阶超紧致差分格式:716fᶄi +1+fᶄi -1()+fᶄi -h 16fᵡi +1-fᵡi -1()=㊀㊀1516h f i +1-f i -1(),98h fᶄi +1-fᶄi -1()+fᵡi -18fᵡi +1+fᵡi -1()=㊀㊀3h 2f i +1-2f i +f i -1()ìîíïïïïïïïïïï(5)为优化三点六阶紧致差分格式,并保持较好的数值频散,将迎风机制[12]引入式(5),构造出如下三点五阶迎风型超紧致差分格式:78fᶄi -1+fᶄi +h 19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1(),25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀㊀1h 2-135f i -1-45f i +175f i +1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(6)左右边界可达到三阶精度紧致格式:fᶄ1-132fᶄ2+fᶄ3()+3h4fᵡ2+fᵡ3()=㊀㊀-12h f 3-f 2(),fᵡ1+3728h fᶄ3-fᶄ2()+3914h fᶄ1-3356fᵡ3-fᵡ2()=㊀㊀f 3-2f 1+f 2(),ìîíïïïïïïïï(7)fᶄN -132fᶄN -2+fᶄN -1()-3h 4fᵡN -2+fᵡN -1()=㊀㊀12h f N -2-f N -1(),fᵡN -3728h (fᶄN -2-fᶄN -1)-3914h fᶄN -3356(fᵡN -2-㊀㊀fᵡN -1)=1314h 2f N -2-2f N +f N -1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(8)上述组合型超紧致差分格式只需要相邻的三个节点便可以同时求得一阶导数和二阶导数的五阶精度近似值,比普通差分格式的节点更少,降低了计算量㊂为便于编程计算,将上述构造的组合型超紧致差分格式重写为矩阵表达形式㊂假设U 为位移矩阵,其大小为m ˑn ,则求一阶导数和二阶导数的离47山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀散过程可以用矩阵运算表示为AF=BU,(9)结合内点的三点五阶迎风型超紧致差分格式和边界点的三点三阶差分格式,组成式(9)中等式左边的矩阵A和等式右边的矩阵B,大小分别为2mˑ2n 和2mˑn;F为奇数行为空间一阶导数和偶数行为空间二阶导数组成的矩阵,大小为2mˑn㊂以上矩阵分别为:A=10-13/23h/4-13/23h/439/14h1-37/28h33/5637/28h-33/567/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/1007/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100⋱⋱⋱⋱⋱⋱7/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100-13/2-3h/4-13/2-3h/410-37/28h-33/5637/28h33/56-39/14h1éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(10)F=∂u∂x()1,1∂u∂x()1,2∂u∂x()1,n-1∂u∂x()1,n∂2u∂x2()1,1∂2u∂x2()1,2 ∂2u∂x2()1,n-1∂2u∂x2()1,n︙︙︙︙∂u∂x()m,1∂u∂x()m,2∂u∂x()m,n-1∂u∂x()m,n∂2u∂x2()m,1∂2u∂x2()m,2 ∂2u∂x2()m,n-1∂2u∂x2()m,néëêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúú,(11) B=012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2-101/48h27/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2⋱⋱⋱-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(12)U=u1,1u1,2 u1,n-1u1,nu2,1u2,2 u2,n-1u2,n︙︙︙︙u m-1,1u m-1,2 u m-1,n-1u m-1,nu m,1u m,2 u m,n-1u m,néëêêêêêêêùûúúúúúúú㊂(13)㊀㊀由式(9)可得F=A-1BU㊂(14)㊀㊀解线性代数方程组(9)可得Cahn-Hilliard方程的空间一阶导数和二阶导数㊂对于四阶导数,可将已求得的二阶导数替代式(14)中的U,再次使用式(14)进行求取㊂57第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式1.2㊀时间离散格式在对很多偏微分方程的数值求解中不仅需要高精度的空间离散格式,同时还需要高精度的时间离散格式㊂普通的一阶精度时间离散格式显然满足不了高精度计算要求,因此本文选用时间四阶Runge-Kutta 格式进行时间离散㊂Runge-Kutta 方法是基于欧拉方法改进后的求解偏微分方程的常用方法,这种方法不仅计算效率高,而且稳定性好㊂格式的推算过程如下:假设求解方程为∂u∂t+F u ()=0,(15)式中F 是对空间变量的微分算子,则修正的四阶Runge-Kutta 格式为u 0i =u n i ,u 1i =u n i-Δt 4F u ()()0i,u 2i =u ni -Δt 3F u ()()1i,u 3i =u n i-Δt 2F u ()()2i,u n +1i =u n i -Δt F u ()()3i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(16)1.3㊀误差估计以五阶精度将fᶄi -1,fᶄi +1,fᵡi -1,fᵡi +1泰勒级数展开:fᶄi -1=fᶄi -hfᵡi +h 22!f (3)i -h 33!f (4)i +㊀㊀h 44!f (5)i -h 55!f (6)i ,fᶄi +1=fᶄi +hfᵡi +h 22!f (3)i +h 33!f (4)i+㊀㊀h 44!f (5)i +h 55!f (6)i ,fᵡi -1=fᵡi -hf (3)i +h 22!f (4)i -h 33!f (5)i+㊀㊀h 44!f (6)i -h 55!f (7)i ,fᵡi +1=fᵡi +hf (3)i +h 22!f (4)i +h 33!f (5)i +㊀㊀h 44!f (6)i +h 55!f (7)i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï(17)将式(17)代入式(6),所求得组合型超紧致差分格式的一阶导数及二阶导数对应的截断误差为:78fᶄi -1+fᶄi +h19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1()+78640f 6()ih 5,25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀-135f i -1-45f i +175f i +1()-5125200f 7()i h 5,ìîíïïïïïïïïïï(18)78640f 6()i h 5ʈ8.101ˑ10-4f 6()i h 5,5125200f 7()ih 5ʈ2.023ˑ10-3f 7()i h 5㊂ìîíïïïï(19)㊀㊀使用组合型超紧致差分格式的好处是在每一个网格点上存在一个一阶和二阶连续导数的多项式㊂本文比较了组合型超紧致差分格式和现有广义格式的一阶导数和二阶导数的截断误差:fᶄi +αfᶄi +1+fᶄi -1()+βfᶄi +2+fᶄi -2()=㊀㊀a f i +1-f i -12h +b f i +2-f i -24h +c f i +3-f i -36h ,fᵡi +αfᵡi +1+fᵡi -1()+βfᵡi +2+fᵡi -2()=㊀㊀a f i +1-2f i +f i -1h 2+b f i +2-2f i +f i -24h2+㊀㊀c f i +3-2f i +f i -39h 2,ìîíïïïïïïïïïïï(20)式中参数α,β,a ,b ,c 在各种格式中取不同的值(表1,表2)㊂本文发现在各种方案中,组合型超紧致差分格式的截断误差最小㊂表1㊀不同格式一阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心010013!f 3()ih 2标准Padeᶄ格式1/403/20-15f 5()ih 4六阶中心03/2-3/51/1036ˑ17!f 7()ih 6五阶迎风143ˑ16!f 6()ih 5表2㊀不同格式二阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心01002ˑ14!f 4()ih 2标准Padeᶄ格式1/1006/50185ˑ16!f 6()ih 4六阶中心03/2-3/51/1072ˑ18!f 8()ih 6五阶迎风165ˑ17!f 7()ih 567山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀2㊀数值算例误差范数L 1和L 2的定义为:L 1=1N ðNi =1u -U ,L 2=1N ðNi =1u -U ()2㊂对四阶Cahn-Hilliard 取f u ()=u 2,k =2,在边界条件u 0,t ()=u 2π,t ()=0下的计算区域为0,2π[],方程的精确解为u x ,t ()=e -tsin x2,数值解为U ㊂对给出的数值算例,计算误差范数L 1和L 2,并采用四种方法进行数值模拟,对其数值结果进行误差分析和对比,结果见表3,本文所使用方法效果最佳,由此证明所提方法的有效性和可行性㊂表3㊀0.5s 时刻精确度测试结果(N =10)方法L 1误差L 2误差间断有限元格式1.56235ˑ10-21.37823ˑ10-2普通中心差分格式1.66667ˑ10-18.33333ˑ10-2紧致差分格式7.14286ˑ10-31.78571ˑ10-3组合型超紧致差分格式6.48148ˑ10-36.34921ˑ10-4㊀㊀用本文提出的式(6) 式(8)和式(16)计算算例,图1 图3给出了不同时刻数值解与精确解的(a)精确解(b)数值解图1㊀0.1s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图2㊀0.5s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图3㊀1s 的精确解与数值解77第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式对比图,可以看出,数值解与精确解吻合很好,表明本文给出的数值格式是可行的,并且精度较高㊂3 结论本文研究了组合型超紧致差分方法和四阶Runge-Kutta方法,并将其运用于四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解,通过研究与分析,得到如下结论: 1)使用泰勒级数展开锁定差分格式系数,得到本文的组合型超紧致差分格式精度更高,误差更小㊂2)在边界点处有效地达到了降阶,并提高了精度㊂3)通过数值算例验证了数值格式的有效性㊂4)预估该方法可应用于高阶偏微分方程的数值求解㊂参考文献:[1]HUANG Q M,YANG J X.Linear and energy-stable method with en-hanced consistency for the incompressible Cahn-Hilliard-Navier-Stokes two-phase flow model[J].Mathematics,2022,10 (24):4711.[2]AKRIVIS G,LI B Y,LI D F.Energy-decaying extrapolated RK-SAV methods for the allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2019,41(6):3703-3727. [3]YOUNAS U,REZAZADEH H,REN J,et al.Propagation of diverse exact solitary wave solutions in separation phase of iron(Fe-Cr-X(X =Mo,Cu))for the ternary alloys[J].International Journal of Mod-ern Physics B,2022,36(4):2250039.[4]HE R J,CHEN Z X,FENG X L.Error estimates of fully discrete finite element solution for the2D Cahn-Hilliard equation with infinite time horizon[J].Numerical Methods for Partial Differential Equati-ions,2017,33(3):742-762.[5]HE Y N,FENG X L.Uniform H2-regularity of solution for the2D Navier-Stokes/Cahn-Hilliard phase field model[J].Journal of Math-ematical Analysis and Applications,2016,441(2):815-829. [6]WEN J,HE Y N,HE Y L.Semi-implicit,unconditionally energy sta-ble,stabilized finite element method based on multiscale enrichment for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase-field model[J]. Computers and Mathematics with Applications,2022,126:172 -181.[7]MESFORUSH A,LARSSON S.A posteriori error analysis for the Cahn-Hilliard equation[J].Journal of Mathematical Modeling, 2022,10(4):437-452.[8]XIA Y,XU Y,SHU C W.Local discontinuous Galerkin methods for the Cahn-Hilliard type equation[J].Journal of Computational Phys-ics,2007,227(1):472-491.[9]CHEN L,LüS J.A fully discrete spectral scheme for time fractional Cahn-Hilliard equation with initial singularity[J].Computers and Mathematics with Applications,2022,127:213-224. [10]周诚尧,汪勇,桂志先,等.二维黏弹介质五点八阶超紧致有限差分声波方程数值模拟[J].科学技术与工程,2020,20(1):54 -63.[11]汪勇,徐佑德,高刚,等.二维黏滞声波方程的优化组合型紧致有限差分数值模拟[J].石油地球物理勘探,2018,53(6):1152 -1164,1110.[12]程晓晗,封建湖,郑素佩.求解对流扩散方程的低耗散中心迎风格式[J].应用数学,2017,30(2):344-349.(编辑:杜清玲)87山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀。
openfoam中weno格式
OpenFOAM是一个用于计算流体动力学的开源软件，它提供了各种各样的数值方法来模拟复杂流动现象。
其中，WENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）格式是一种高阶精度的数值格式，特别适用于激波和脉冲等现象的模拟。
WENO格式的优点在于它能够以高精度和高分辨率来捕捉流场中的尖锐变化和激波结构，而且相对于传统的有限体积方法，它能够减少数值耗散和数值弥散的影响，从而提高了模拟结果的准确性。
WENO格式在计算流体动力学领域中得到了广泛的应用。
在OpenFOAM中，WENO格式的实现通常包括以下几个步骤：1. 空间离散化WENO格式的空间离散化通常采用高阶的差分格式，例如五阶WENO格式。
通过对流场的离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，从而进行数值求解。
2. 数值通量计算在WENO格式中，数值通量的计算是关键的一步。
通常采用中心差分、迎风格式等方法来计算通量，并利用WENO加权函数来进行通量重构，从而得到高阶的数值通量。
3. 时间积分在OpenFOAM中，常用的时间积分方法包括Euler方法、Runge-Kutta方法等。
通过时间积分，可以得到流场变量随时间的演化规律，进而得到流动的稳态或者瞬态解。
4. 数值边界条件对于流体动力学问题，合适的数值边界条件对于模拟结果的准确性至关重要。
在WENO格式中，通常采用高阶的数值边界条件来保证计算的精度和稳定性。
通过以上步骤，可以在OpenFOAM中实现WENO格式的数值模拟。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的模型、网格和数值参数，以及合适的后处理方法来分析模拟结果。
WENO格式作为一种高精度和高分辨率的数值格式，在OpenFOAM中具有重要的应用价值。
通过对流场的精确描述，可以更好地理解复杂流动现象，为工程实践和科学研究提供有力的支持。
希望未来能够进一步深入研究和应用WENO格式，推动计算流体动力学领域的发展。
WENO格式作为一种高阶精度的数值格式，在计算流体动力学领域中的应用日益广泛。
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Then, For the two-dimensional and three-dimensional convection equations, using the LOD method to making the two-dimensional and three-dimensional problems split one-dimensional equations. The one-dimensional convection equations use taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme in discretization of time and space. We can establish some high-order compact LOD schemes for solving two-dimensional and three-dimensional convection equations. The stability are obtained by the von Neumann method.The accuracy and reliability of these schemes are validated by some numerical experiments.
HOC1.该格式在时间和空间上均具有四阶精度.再将方程在 (xi , tn ) 处展开,得到一种求解一维
对流方程的三层高精度紧致差分格式 HOC2.采用 Von Neumann 方法分析了两种格式的稳定性. 然后提出的 HOC1 格式具有较好 的稳定性和精确性.
最后, 将本文所推导的格式接入到“PHOEBESolver”[1]求解软件, 使得偏微分方程数值解 的相关学者更加方便地使用本文格式.
关键词: 对流方程; 高精度; 紧致差分格式; LOD 方法; 有限差分法
I
Abstract
Convection equations is a kind of partial differential equations. Therefore, solving these equations has very important theoretical and practical significance. This paper establishes high-order compact difference scheme for solving convection equations. First of all, assuming that the one
摘要
对流方程是一类重要的偏微分方程.因此,数值求解该类方程具有非常重要的理论价值和实
际意义.本文建立了求解对流方程的高阶紧致差分格式.首先,假设方程在 (xi , tn1/2 ) 点成立,将
方程在时间方向和空间方向上均采用泰勒级数展开及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的 方法对时间和空间导数进行离散,得到一种求解一维对流方程的两层高精度紧致全隐格式
space. Secondly, expending the one dimensional equation at (xi , tn ) , a three-level compact difference
scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed. It is named in HOC2. These stabilities are obtained by the von Neumann method. The accuracy and the stability of the present scheme are validated by some numerical experiments. We can draw a conclusion that HOC1 is better than HOC2 in the stability and the accuracy.
其次,针对二维、三维对流方程,利用局部一维化(LOD)方法分裂为一维问题进行求解.并将 分裂后的一维对流方程在时间和空间上均采用泰勒级数展开及对截断误差余项中的三阶导数进 行修正的方法对时间和空间导数进行离散,得到二维、三维对流方程的高精度紧致 LOD 格式, 运用 Von Neumann 方法分析了该格式的稳定性,通过数值算例验证了格式的精确性和可靠性.
dimensional equation is established at (xi , tn1/2 ) , Taylor series expansion and correction for the third
derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme are used for discretization of time and space. So a two-level implicit compact difference scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed. It is named in HOC1. it is the fourth-order accuracy in both time and