2013-2014学年苏教版必修四3.2二倍角的三角函数同步练习及答案解析
(教师参考)高中数学 3.2 二倍角的三角函数课件1 苏教版必修4
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2
引入课题
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3
想一想
我们已经学习了两角和的正弦、余弦公式，若α ＝β时，你能得出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式 吗？
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想一想
1．二倍角的正弦、余弦、
正切公式
记 法
公式
2sinαcosα
S2α sin2α＝cos_2α_－__si_n_2α_1_－_2_s_in_2α cos22coαs＝2α－_1___________
D.±0.96 .
∵sinα=0.6.∴cosα=0.8.由cos（α+β）=－0.8＜0得sin
（α+β）=±0.6.
∴sinβ=sin［（α+β）－α］=sin（α+β）·cosα－cos
（α+β）·sinα
＝±0.6·0.8－（－0.8）·0.6精=选p0pt或0.96.
13
课堂小结
1.二倍角公式．(重点) 2.二倍角公式与两角的和与差的正弦、余弦、 正切公式的记忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形公式的应用．(难点)
cos A cos（ - 2B） -cos2B=-(cos 2 B sin 2 B) 7 25
sin A 24 25
C tan A sin A 24 cos A 7
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典型例题
已x为 知第三 co象 s-3x， 限ta则 角 2xn_， _.___ 5
解析： x为第三象限角， cosx - 3 5
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co2s2co 2s1
co2s12si2n
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7
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
高中数学苏教版必修四《第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数》课件
或 cos2α=2,
(C`2α ).
注意： T2α公式成立的条件
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角 函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。
②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的情势，其它如4α是2α的两 倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所 有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义， 即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以 应用二倍角公式。
课外作业
教科书P１１０习题３ .２的 第 1．2 ．３．４．５题，
苏教版 高中数学
谢谢大家
2sin (cos sin ) sin tan 2 cos (cos sin ) cos
(1)用不同的方法进行化简
(2)化简：1 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2
练习：P 108 4
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了将一般化归为特殊的基本数学思想 方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反应的都是如何用单角α的三角函数值 表示复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关 系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
原式
s
in
50o
c
os10o c
3 sin os10o
10o
s
in
50o
2sin 40o c os10o
c
os40o
2sin 40o c os10o
化简 1 sin 80o
sin 80o 1 c os10o
化简：1 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2
解： 原式 1 2sin cos (1 2sin2 ) 1 2sin cos (2 cos2 1)
高中数学苏教版必修四《3.2二倍角的三角函数》课件
解 由 tan α＋tan1 α＝52得，
sin cos
αα＋csoins
αα＝52，则sin22α＝52
∴sin 2α＝45，又 α∈π4，π2
∴2α∈2π，π
∴cos 2α＝－35
∴sin2α＋π4＝sin
2α·cosπ4＋cos
π 2α·sin4
＝45×
22＋－35×
22＝
2 10
.
题型二 化简求值
解 (1)∵f(x)＝sin24π＋x＋cos2 x＋12 ＝1－cos22π＋2x＋1＋c2os 2x＋12 ＝12sin 2x＋12cos 2x＋32 ＝ 22sin2x＋4π＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32， 最小值为－ 22＋32；最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由(1)知要使 f(x)≥32，只需 22sin2x＋4π≥0， 即 sin2x＋4π≥0， 由 2kπ≤2x＋4π≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)， 又 x∈[0，π]， ∴0≤x≤38π或78π≤x≤π.
＝
1－sin 2α＝
17 3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝13×－
317＝－
17 9.
tan 2α＝csoins 22αα＝81717.
法二 ∵sin α＋cos α＝13， 平方得 sin αcos α＝－49， ∴sin α、cos α 可看成方程 x2－13x－49＝0 的两根， 解方程 x2－13x－49＝0，得 x1＝1＋6 17，x2＝1－6 17， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．
苏教版必修4高中数学3.2《二倍角的三角函数》ppt课件1
2019/8/27
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谢谢欣赏！
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k ，Z
：
知识点2：
对于 C2能否有其它表示形式？
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2sin2
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
C2α ＝___________ ＝____2_ta_nα____
1－tan2α
T2α
知识点1：
二 sin 2 2sin cos
α R
倍
角 cos 2 cos2 sin2
α R
公 式
tan
2
2 1
tan tan2
k 24
,且
k 2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2tanx 1- tan知0＜α＜＜β＜π，又sinα=0.6，cos（α+β）=－0.8
，则sinβ等于（ ）
解A.析0 ：∵0＜Bα2 .＜0或 0＜.9β6＜2 π，∴C32π.＜0.9α6+β＜
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数课件苏教版必修4
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
【解析】 原式＝12·1－2tatann72.75.°5°＝12×tan 15°＝12×tan(60°－45°)
＝12×1＋3－13
＝12×
3＋13－ 132－1＝12×4－22
3＝2－2
3 .
【答案】
2－ 3 2
第二十七页，共29页。
5．已知 cos 2θ＝275，2π＜θ＜π， (1)求 tan θ；(2)求2co2ss2iθ2n－θ＋sin4πθ. 【解】 (1)由 cos 2θ＝275，得 1－2sin2θ＝275，sin2θ＝295， ∵π2＜θ＜π，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴tan θ＝csoins θθ＝－34. (2)2co2ss2iθ2n－θ＋sinπ4θ＝cossinθ＋θ＋1－cossinθ θ＝2.
第十九页，共29页。
∴sinπ4＋x＝1123. ∴ cos 2x ＝sin2π＋2x
cosπ4＋x cos4π＋x ＝2sinπ4＋xcos4π＋x
cosπ4＋x ＝2sinπ4＋x＝2143.
第二十页，共29页。
当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将 条件与结论沟．cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－x·cosπ4－x.类似这 样的变换还有：
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数第2课时二倍角的三角函数的应用课件苏教版必修4
2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π.
解析答案
(2)求
π π f(x)在区间－3，4 上的最大值和最小值.
解 f
因为
π π π π f(x)在区间－3，－6上是减函数，在区间－6，4 上是增函数， π 1 － ＝－ ，f 6 2 π ＝ 4
3 (1)如将本例(1)改为“sin (θ＋15° )＋sin (θ－15° )＋ 2 cos 2θ”，
2 2
如何化简？ 1－cos2θ＋30° 1－cos2θ－30° 3 解 原式＝ ＋ ＋ 2 cos 2θ 2 2
1 3 ＝1－2[ cos(2θ＋30° )＋cos(2θ－30° )] ＋ 2 cos 2θ
2
2
3
4
π 3.已知函数 f(x) ＝ 3sin ωxcos ωx－ cos x(ω>0) 的最小正周期为 2 ，则 ω ＝ 2 .
1＋cos 2ωx 3 解析 f(x)＝ 2 sin 2ωx－ 2 3 1 1 ＝ 2 sin 2ωx－2cos 2ωx－2 π 1 ＝sin(2ωx－6)－2， 2π π 则有2ω＝2，ω＝2.
∴左边＝右边.原等式成立.
解析答案
用和差、倍角公式研究函数的性质 π π 2 例 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－6＋2sin x－12 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期； π π 2 解 ∵f(x)＝ 3sin(2x－6)＋2sin x－12
2sin 2θ＋2sin 2θcos 2θ 2sin 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝ ＝ 2 2cos 2θ＋2sin 2θcos 2θ 2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
苏教版高中数学必修四：第3章-三角恒等变换3.2课时作业(含答案)
§3.2 二倍角的三角函数 课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos 2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝________________，sin 2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________，1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.8．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________. 9.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____． 10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．§3.2 二倍角的三角函数知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 2.18解析 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3 解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 8.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32， 此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0， 此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2第2课时二倍角的三角函数的应用课件苏教版必修4
＝
π π 3sin [2x－12]＋1－cos2x－12 3 π 1 π sin 2x－ － cos 2x－ ＋1 12 2 12 2
2α
题型探究
类型一 化简求值
3 例 1 (1)化简 cos (θ＋15° )＋cos (θ－15° )－ 2 cos 2θ；
2 2
3 解 cos (θ＋15° )＋cos (θ－15° )－ 2 cos 2θ
2 2
1＋cos[2θ＋15° ] 1＋cos[2θ－15° ] 3 ＝ ＋ － 2 cos 2θ 2 2
1 3 ＝1＋2[cos(2θ＋30° )＋cos(2θ－30° )]－ 2 cos 2θ 1 3 ＝1＋2(cos 2θcos 30° －sin 2θsin 30° ＋cos 2θcos 30° ＋sin 2θsin 30° )－ 2 cos 2θ
1 3 3 3 ＝1＋2×2cos 2θcos 30° － 2 cos 2θ＝1＋ 2 cos 2θ－ 2 cos 2θ＝1.
第3章 §3.2 二倍角的三角函数
第2课时 二倍角的三角函数的应
学习目标
1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.
2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.
3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点 降幂公式
思考
如何用 cos α 表示 sin 2，cos 2？
2 2 α α α α α ＝－ 2 (sin 2＋cos 2)＋ 2 (sin 2－cos 2)＝－ 2cos 2.
解答
三角函数的化简与求值
专题04 二倍角的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
苏教版数学高一苏教版必修4学案3.2二倍角的三角函数
课堂导学三点剖析1.二倍角公式应用初步 【例1】（1）求cos12πcos 125π的值； （2）求cos20°·cos40°·cos80°； （3）求︒-︒10cos 310sin 1的值.思路分析：本题主要涉及给角求值问题，应充分利用倍角公式及变形形式，抓住题目中各角之间的关系.解：（1）cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12π =21·2cos 12πsin 12π=21sin 6π=41. （2）原式=︒︒•︒•︒•︒20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2=︒︒•︒•︒20sin 480cos 40cos 40sin 2=8120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 2=︒︒=︒︒•︒.（3）︒-︒10cos 310sin 1=︒︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos=︒•︒•︒-︒10cos 10sin 221)10sin 2310cos 21(2 =.420sin )1030sin(4=︒︒-︒•温馨提示对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据12π、125π两角互余，将cos125π换成sin 12π，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值. 2.二倍角公式的变形应用 【例2】设sin （4π-x ）=135,0＜x ＜4π,求)4cos(2cos x x +π的值.思路分析：注意到角之间的关系，2x 是x 的二倍角，4π-x 与4π+x 互为余角，4π是特殊角. 解法1：∵0＜x ＜4π,∴0＜4π-x ＜4π, ∴cos(4π-x)=)4(sin 12x --π=1312)135(12=-. 又cos （4π+x ）=sin(4π-x)=135,∴原式=)4sin()]4(2sin[x x --ππ=)4sin()4cos()4sin(2x x x ---πππ=2cos(4π-x)=1324.解法2：cos2x=cos 2x-sin 2x=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=2sin(x+4π)·2cos(x+4π) =2sin(x+4π)cos(x+4π).∴原式=)4cos()4cos()4sin(2πππ+++x x x =2sin(x+4π)=2cos(4π-x).后面同解法一.温馨提示仔细分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角，且cos2x=sin(2π±2x)=sin ［2（4π±x ）］.分析角的关系，往往是解题的突破口. 3.二倍角变形应用【例3】（1）化简8cos 228sin 12+++；（2）设α∈（π23，2π），化简.cos 21212121α2++解：（1）原式=4cos 44cos 4sin 2122++=2|sin4+cos4|+2|cos4|. 因为4∈（π，π23），所以sin4＜0,cos4＜0. 故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4 =-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）. （2）因为α∈（π23，2π），所以cosα＞0，cos 2α＜0. 故，原式=.2cos |2cos |2cos cos 2121cos 212122ααααα-===+=+ 温馨提示（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin2α±cos 2α）2，1±cosα=2cos 22α. （2）脱掉根号时要注意符号问题，如2cos 1=+α|cos2α|，利用α所在的象限，判断cos2α的正负，然后去掉绝对值符号. 各个击破 类题演练1 化简.（1）cos72°·cos36°； （2）cosα·cos2α·cos 22α·cos 32α·…·cos 12-n α. 思路分析：对于（1）要注意72°=2×36°；对于（2）要注意12222--⨯=k k a a （k=1，2，…，n ）.注意到以上的特点，可同乘除一个恰当的因式，然后用倍角公式解之.解：（1）cos36°·cos72°=︒︒•︒•︒36sin 272cos 36cos 36sin 2=︒︒=︒︒•︒36sin 4144sin 36sin 472cos 72sin 2=41. （2）原式同乘除因式sin12-n α，然后逐次使用倍角公式解得原式=12sin22sin -n nαα.变式提升1 已知θ∈（45π，23π），|cos2θ|=51，则sinθ的值是（ ） A.510-B.510C.55-D.515-思路分析：∵θ∈（45π，23π）， ∴si nθ＜0，且2θ∈（25π，3π），∴cos2θ＜0.∵|cos2θ|=51，∴cos2θ=51-.由cos2θ=1-2sin 2θ，得sin 2θ=22cos 1θ-=53，∴sinθ=515-. 答案：D 类题演练2已知sinα+cosα=31,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值. 解：∵sinα+cosα=31,∴sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=91,∴sin2α=-98且sinαcosα=94-＜0.又∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0,∴sinα-cosα＞0.∴sinα-cosα=3172sin 1=-α, ∴cos 2α=cos 2α-sin 2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=31×(217-)=917-.tan2α=171782cos 2sin =αα.变式提升2 化简ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.解法1：原式=αααααααααcos 2cos2sin4)2sin 22cos2sin2)(2sin 22cos2sin2(22•+-=αααααααcos 2cos 2sin )2sin 2)(cos 2sin2(cos••+-=αααααcos 2cos2sin)2sin 2(cos 22••-=2tan cos 2cos 2sincos ααααα=••.解法2：原式=ααααα2sin ]cos 1()][sin cos 1([sin -+--=ααα2sin )cos 1(sin 22--=αααα2-+-sin cos cos 21sin 22=ααααααsin cos 1cos sin 2cos 2cos 22-=-=2tan2cos2sin22sin 22αααα=•.类题演练3︒--︒+100cos 1100cos 1等于( )A.-2cos5°B.2cos5°C.-2sin5°D.2sin5° 解析：原式=︒+---︒+50sin 211150cos 2122 =)50sin 50(cos 250sin 250cos 2︒-︒=︒-︒=2（22cos50°-22sin50°） =2sin （-5°）=-2sin5°，故选C. 答案：C 变式提升3已知函数f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x. （1）求f （x ）的最小正周期； （2）若x ∈[0，2π],求f （x ）的最大值、最小值. 解：（1）因为f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=（cos 2x+sin 2x ）（cos 2x-sin 2x ）-sin2x =cos2x-sin2x=2cos （2x+4π），所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为0≤x≤2π，所以4π≤2x+4π≤π45.当2x+4π=4π时，cos （2x+4π）取得最大值22；当2x+4π=π时，cos （2x+4π）取得最小值-1. 所以f （x ）在[0，4π]上的最大值为1，最小值为2-.。
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3.2 二倍角的三角函数（数学苏教版必修4）
建议用时 实际用时
满分 实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共30分）
1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 .
2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .
3．已知tan(α＋错误！未找到引用源。
)＝2，
则2sin 2cos 1cos 2αα
α
-+的值为 .
4.1＋cos 100°－1－cos 100°等
于 .
5．函数f(x)＝2cos 2
2
x
＋sin x 的最小正周期是________．
6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．
二、解答题(共70分)
7．（15分）求cos π7cos 2π7co s 4π
7
的值.
8. （20分）若x ∈[－π3，π
4]，求函数y ＝
2cos 21
x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．
9．(20分) 已知f(x)＝2cos 2
x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈
R.
(1)若f(x)有最大值为2，求实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知
5π
sin,(,π)
132
αα
=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
二、解答题
7.
8.
9.
10.
答案
一、填空题
1.
43- 解析：由f （tan x ）=tan 2x = 2
2tan 1tan x
x
-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 4
3
-
. 2. 同号 解析：∵sin α＝2sin
2
α
cos
2
α，tan
2
α＝
sin
2cos
2
αα
， ∴sin α与tan
2
α同号．
3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝1
3,
原式＝222sin cos cos 2cos αααα
-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 2
50°－2sin 2
50° ＝2(cos 50°－s in 50°)＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫
22cos 50°－22sin 50°
＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.
5.2π 解析：化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π
1＝2π.
6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75
.
二、解答题
7. 解：原式=
ππ2π4π
2sin cos cos cos
7777π2sin
7
=
2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos
77π8sin
7
=
8πsin 7π8sin 7=πsin
7π8sin 7
-=18-. 8．解：y ＝2
cos 21
x +＋2tan x ＋1
＝2222(sin cos )2cos x x x
+＋2tan x ＋1
＝tan 2
x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2
＋1.
∵x ∈[－π3，π
4
]，∴tan x ∈[－3，1]，
令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2
＋1,
∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π
4
时，y min ＝1；
当t ＝tan x ＝1，即x ＝π
4
时，y max ＝5.
9. 解：(1)f(x)＝2cos 2
x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(
32sin 2x ＋1
2
cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π
6
)＋1＋a.
当2x ＋π6＝π
2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，
解得x ＝π
6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1.
(2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
(k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦ (k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132
α
αα=∈ ，
∴2
12cos 1sin 13
αα=--=-，
∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120
-，
cos 2α = 2
11912sin 169
α-=，
tan 2α = 119
120
-.。