初中数学锐角三角函数同步练习考试卷及答案

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人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数综合训练(含答案)

约需时间几分．(参考数据： 3≈1.7)
18. 如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北偏东 60°方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏东 45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据： 3≈1.73)
C． 3 5
B． 3 4
D． 4 5
3. （2020·扬州）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A、B、C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C、D.则 sin∠ADC 的值为
（）
A. 2 13
13
B. 3 13 13
C. 2 3
D. 3 2
4. 如图，点 A,B,C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（）
＝6 3＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6 3≈39.4(米)．
6. 【答案】C 【解析】如解图，过点 P 作 PC⊥OB 于点 C，则在 Rt△OPC 中， OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα ＝cosα ，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα ＝sinα ，即点 P 的坐标为(cosα ，sinα )．
7. 【答案】D 【解析】如图，过点 A 作 AE⊥OC 于点 E，作 AF⊥OB 于点 F，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴ FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选 D．
8. 【答案】A
13. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD

初三数学锐角三角函数试题答案及解析

初三数学锐角三角函数试题答案及解析1.（2013四川乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，过点P作PA⊥x轴于点A，则OA＝3．在Rt△POA中，∵，∴．∴．∴．故选A．2.（2013广东汕头）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝________．【答案】【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴．∴．3.（2014江苏无锡）如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．【答案】【解析】设AC、BD交于点O．在Rt△AEO中，，即，解得．∵四边形ABCD是平行四边形，∴．4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC的值为________．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】24【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以，即，所以AC＝32·tan37°≈32×0.75＝24．5. (2014江苏无锡)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．【答案】【解析】如图，在直角△AOE中，，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴．6. (2014四川宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny．据此判断下列等式中成立的是________(写出所有正确的序号)．①；②；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny．【答案】②③④【解析】①，故①错误；②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°，故②正确；③sin2x＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx·cosx，故③正确；④sin(x－y)＝sinx·cos(－y)＋cosx·sin(－y)＝sinx·cosy－cosx·siny，故④正确．7. (2014福建三明)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树之间的水平距离AC为5.3～5.7米．问：小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)【答案】符合要求【解析】在Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB·cosA≈6×0.94＝5.64(米)．又5.3＜5.64＜5.7，∴小明种植这两棵树符合要求．8. (2014浙江绍兴)某校九(1)班的同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．(1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求α的度数．(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF的长为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点距离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点距离地面FB的高度．(3)如图③，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达点Q处，测得A的仰角为60°，求旗杆的高度AE(精确到0.1米．参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，，)．【解析】(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°．(2)设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，如图①．∴MN∥EH，又M为EF的中点，∴MN为△EFH的中位线，又∵MN＝1.9米，∴EH＝2MN＝3.8米，∴E点距离地面FB的高度是3.8米．(3)延长AE，交PB于点C，如图②．设AE＝x米，则AC＝(x＋3.8)米．∵∠APB＝45°，∴PC＝AC＝(x＋3.8)米．∵PQ＝4米，∴CQ＝x＋3.8－4＝(x－0.2)米．∵，∴，解得x≈5.7，即AE≈5.7米．答：旗杆的高度AE约为5.7米．9.（2014贵州六盘水）为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．下图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5m；②小明的影长CE＝1.7m；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9m；④旗杆的影长BF＝7.6m；⑤从D点看A点的仰角为30°．请选择你需要的数据，求出旗杆的高度．（计算结果精确到0.1，参考数据：，）【答案】6.7m【解析】解法一：选用①、②、④．∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°．又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC．∴△ABF∽△DCE．∴．又∵DC＝1.5m，FB＝7.6m，EC＝1.7m，∴AB≈6.7m．即旗杆高度约为6.7m．解法二：选用①、③、⑤．如图，过D点作DG⊥AB于G点．∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴四边形BCDG为矩形．∴CD＝GB＝1.5m，DG＝BC＝9m．在Rt△AGD中，∠ADG＝30°，∴，∴m．又∵AB＝AG＋GB，∴（m），即旗杆高度约为6.7m．10.为了响应某市人民政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅．如图所示，在乙建筑物的顶点D处测得条幅顶端点A的仰角为45°，测得条幅底端点E的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC．（精确到1米）【答案】19米【解析】要求BC的长，即求△ADE中AE边上的高，如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．由题意，得∠ADF＝45°，∠EDF＝30°，∴AF＝DF．在Rt△DFE中，．∵AE＝30，∴，解关于DF的方程得．又∵DF＝BC，∴．∴甲、乙两建筑物之间的水平距离约为19米．11.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．【答案】15【解析】先解直角三角形BCD，求得BC＝DC＝6，再解直角三角形ABC，由正弦的定义可得，从而得．所以在较复杂的图形中求线段的长度时，有时要通过两次或更多次解直角三角形才能达到目的．因为∠C＝90°，∠BDC＝45°，所以∠DBC＝45°，所以BC＝DC＝6．在Rt△ABC中，，所以，即AB的长为15．12. (2014福建漳州)将一盒足量的牛奶按如图①所示的方式倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度．(结果精确到0.1cm．参考数据：，)【答案】约5.5cm【解析】过点P作PN⊥AB于点N，由题意可得∠ABP＝30°，AB＝8cm，则AP＝4cm，cm．∵．∴(cm)，∴(cm)．∴容器中牛奶的高度约为5.5cm．13.如图，某翼装飞行运动员从离水平地面高AC＝500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离（结果精确到1m）．【答案】1575米【解析】如图，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F，∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，∴EC＝DF．在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1600．∴AE＝AD·sin∠ADE＝1600sin15°，DE＝AD·cos∠ADE＝1600cos15°，∵EC＝AC－AE，∴EC＝500－1600sin15°．在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝ECtan15°，∴BC＝CF＋BF＝1600cos15°＋（500－1600sin15°）·tan15°≈1575．∴运动员飞行的水平距离约为1575米．14.（2014江苏南通）如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里／时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【答案】没有【解析】如图，过点P作PH⊥AB于点H，则∠PHB＝90°．∵海轮的速度是18海里／时，行驶了40分钟，∴（海里），由题意可得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBH＝90°－30°＝60°，∴∠APB＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝12．在Rt△PBH中，，所以．∵，∴海轮不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．15.已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，，求a，b，c的值及∠A的度数．【答案】，b＝3，，∠A＝30°【解析】先求∠A，再根据∠A的三角函数关系及已知列方程组求a，b，最后利用勾股定理求c．∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．∵∠B＝60°，∴∠A＝30°．由直角三角形的边角关系，得，即，所以，又∵，∴解得∴，∴，b＝3，，∠A＝30°．16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．求AC的长和cos∠ADC的值．【答案】4；【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝8，，∴AC＝4．设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，由勾股定理，得（8－x）2＋42＝x2．解得x＝5．∴．17.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．（结果保留根号）【答案】【解析】在Rt△ADC中，∠C＝90°，，∠ADC＝60°，因为，即，所以AD＝2．由勾股定理得：．所以BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝5，由勾股定理得：，所以Rt△ABC的周长为．18.已知：如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长．（结果保留根号）【答案】【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AD＝BD，设AD＝x，又∵AB＝6，∴Rt△ABD中，x2＋x2＝62，解得，即．在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∴，即，∴，∴．19. (2014福建厦门)sin30°的值是( )A．B．C．D．1【答案】A【解析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．．故选A．20. (2014贵州铜仁)cos60°＝________．【答案】【解析】．。

人教版九年级下册锐角三角函数精练题(含答案)

锐角三角函数第1课时精练题1、三角形在方格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（） A ．34B ．43 C ．35 D ．45分析：本题考查的知识是锐角三角函数中，锐角α的正弦的定义即：=αsin α的对边斜边，在方格纸中，一格为1个单位长度。

从图象可知∠α的对边，邻边分别为3、4，由勾股定理求得斜边长为5，由正弦的定义得：sin α=35,正确答案：C2、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大k 倍，那么锐角A 的正弦值（）A ．扩大k 倍B ．缩小k 倍C ．没有变化D ．不能确定分析：本题考查的知识是锐角三角函数中，锐角α的正弦值不会因为边长改变而改变。

在 Rt △ABC 中，各边的长度都扩大k 倍，所以，其各边长分别为：ka,kb,kc,由正弦函数的定义，可得：=A sin ∠A 的对边斜边=cakc ka = 正确答案：C3、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则ABAC的值是（） A ．52B ．53B ．C ．25 D ．32分析：本题没有给出图象，因此，首先考查的是学生的结合题意，画图的能力。

其次，由于CD 是斜边AB 上的高线，故∠ACD=∠B ，而在Rt △ABC 中，sinB=AB AC ,所以AB AC =32正确答案：D4、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（） A ．23 B ．32 C 。

34 D ．43α AO分析：本题是一道综合题。

要求出sinB 值，就务必要构建直角三角形，然后利用三角函数的知识解决。

由直径所对的圆周角为直角，因此，我们可以将DC 连接起来，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等，知：∠B=∠D ；而在Rt △ADC 中，sinD=23，故：sinB=23正确答案：A28.1锐角三角函数第2课时精练题1、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，则tanA 等于（）A ．512 B ．125 C ．513 D ．135分析：本题是一道概念题，要求学生结合题目要求，正确做出直角三角形，利用勾股定理求出BC=12，根据锐角正切值的定义，得出：tanA=512=AC BC正确答案：B 2、如图（3）AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sinB=（） A 、B 、Ｃ、Ｄ、分析：本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理及锐角三角函数中正弦函数的定义。

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩展3倍失掉Rt △A′B′C′，那么锐角∠A 、∠A′的余弦值的关系是( )A ．cosA ＝cosA′B ．cosA ＝3cosA′C ．3cosA ＝cosA′D ．不能确定2. 以下式子错误的选项是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2s in30°3. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，那么sinA 的值为( ) A.513 B ．1213 C.512 D ．1255. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么tanA 的值是( ) A.34 B ．43 C.35 D ．456. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定sinA ＝513，那么cosA 的值为( ) A.512 B ．813 C.23 D ．12137. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么cosB 的值为( ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，假定AC ＝2，BC ＝1，那么sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．△ABC 中， ∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，那么BC 的长______. 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.那么sinA ＝______，cosA ＝_______，tanA ＝_______.11. 假定0＜∠A ＜90°，那么0____sinA_____1,0_____cosA_____1.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，那么AB ＝______. 15．假定α为锐角，且cosα＝1－3m 2，那么m 的取值范围是_______________. 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，那么tan ∠BOD 的值等于____.17. α是锐角，化简：cos 2α－4cosα＋4－|1－cosα|.18. ：sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n.试确定m 、n 之间的关系．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(2,1)和点B(3,0)．求sin ∠AOB ，cos ∠ABO 的值．20. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)假定∠B ＝α，求BD 的长．21. 小明在某次作业中失掉如下结果：sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin 245°＋sin 245°≈(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：关于恣意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1能否成立？(2)小明的猜想能否成立？假定成立，请给予证明；假定不成立，请举一个反例．参考答案;1---8 BDCBB DBC9. 2710. BC AB BC AC BC AC11. ＜＜＜＜12. 3513. 1 sinαcosα14. 1715. －13＜m ＜1316. 317. 解：原式＝cosα－22－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.18. 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n ，∴m 2－2n ＝1.19. 解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,0)，∴OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1.∴OA ＝OC 2＋AC 2＝5，AB ＝AC 2＋BC 2＝ 2.∴sin ∠AOB ＝AC OA ＝15＝55，∴cos ∠ABO ＝BC AB ＝12＝22.20. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 21. 解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，那么∠B ＝90°－α，∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.。

人教版九年级数学下册锐角三角函数全章课时同步练习题及答案.doc

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】28.1 锐角三角函数第1课时正弦1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则∠A的正弦值为（）A．35B．34C．45D．532. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝32，AC＝23，那么AB的长是（）A．33B．32C．3 D．43. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（）A．105B．1010C．13D．以上都不对4. 若0°＜∠A＜90°，sin A是方程1(3)04x x⎛⎫--=⎪⎝⎭的根，那么sin A＝．5. 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=15，BD=6，sin A＝33，求CD的长.参考答案1．A 2．D 3．B4．1 45．6228.1 锐角三角函数第2课时锐角三角函数1. 如图，斜坡AB长20米，其水平宽度AC长为103米，则斜坡AB的坡度为（）A．30° B．60° C．33D．122. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是（）A．45B．35C．34D．433. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝32，BC＝23，那么AC的长是．4. 如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=2，AB=4，则cos∠ACD的值为．参考答案1．C2．C3．34．4 55．24【解析】∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴cos B=24 BCAB.∵⊥，∴∠=90°，∴∠=∠，∴cos∠ACD=cos B2.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值1. 直角△ABC中，∠A = 30°，则sin A、 tan A的值分别是（）A．32、33B．12、3C．12、33D．22、332. 下列各式不正确的是（）A．sin30°＝cos60° B．t an45°= 2sin30°C．sin30°＋cos30°＝1 D．t an60°·cos60°＝sin60°3. 在△ABC中，已知∠A、∠B是锐角，且sin A＝32，tan B＝1，则∠C的度数为．4．计算：（1）sin245°＋co s30°·tan60°；（2）22sin45°＋3sin60°－2(tan301)︒-．5. 如图, 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=30°, AB=42, 求A C和BC的长.参考答案1．C 2．C 3．75°4．解：（1）原式＝2231332 2222⎛⎫+⨯=+=⎪⎪⎝⎭．（2）原式＝2233331122233⎛⎫⨯+⨯--=+⎪⎪⎝⎭．5．解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中, AD=BD=AB·sin45°=24242⨯=.在Rt△ACD中, . ∴BC=BD+CD=443+28.1 锐角三角函数第4课时利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数1．计算sin20°－cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.59772. Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，运用计算器计算∠A的度数为（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°3. 用“＞”“＝”“＜”填空：（1）cos37° co s46°；（2）tan41°tan21°；（3）sin31°cos31°．4. 用计算器求值（精确到0.0001）：（1）sin25°－cos25°；（2）sin15°＋cos25°＋tan35°．5. 已知等腰△ABC的底边AB＝20，它的面积为80，求它的顶角大小（精确到1°）．参考答案1．C2．B3．（1）－0.4837 （2）1.86534．（1）＞（2）＞（3）＜5．103°28.2 解直角三角形第1课时解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10 cos502. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A．53 B．52 C．5 D．103．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长是（）A．2 B．2 C．1 D．224. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知AB，∠A，则BC＝，AC＝ ;（2）已知AC，∠A，则BC＝，AB＝ ;（3）已知AC，BC，则tan A＝．5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长.参考答案 1．B 2．A 3．B4．（1）Ab sin A AB cos A （2）AC tan A cos AC A （3）BCAC5. 解：在Rt △ABC 中， ∵∠B ＝30°，∴11432322AC AB ==⨯=． ∵AD 平分∠BAC ，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴3234cos30AC AD ===︒．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

浙教新版九年级下册《1.2_锐角三角函数的计算》2024年同步练习卷(4)+答案解析

浙教新版九年级下册《1.2锐角三角函数的计算》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算的值约是()A. B.C.D.2.如图，在中，，，若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是()A. B.C.D.3.如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点．已知山高千米，小路千米．用科学计算器计算坡角的度数，下列按键顺序正确的是()A.B.C.D.4.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为()A.24米B.20米C.16米D.12米二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.用“>”或“<”填空：______可用计算器计算6.如图，某营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度BC 为______米．参考数据：，，7.在中，，，，那么______精确到8.如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______参考数据：，，9.用计算器计算，，，…，的值，总结规律，并利用此规律比较当时，与的大小，即______三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图，在中，，求边AB上的高精确到11.本小题8分如图，游艇的航速为，它从灯塔S正南方向的点A处向正东方向航行至点B处需要，且在点B处测得灯塔S在北偏西方向，求BS的长精确到12.本小题8分用计算器求下列各式的值：精确到；13.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，，，，，求AB的长结果取整数，参考数据：，，答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故选：根据余弦的增减性以及，可以进行估算．本题考查余弦函数，解题关键是明确余弦函数的增减性以及特殊角的三角函数值．2.【答案】D【解析】解：，，故选：根据正切的定义求出AC的表达式即可得出答案．本题考查了计算器，根据正切的定义求出AC的表达式是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：，度数的按键顺序为：故选：根据正弦函数的定义得出，从而知度数的按键顺序，即可得出答案．本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握正弦函数的定义和三角函数的计算器使用是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：，米，，，把米，代入得，米．故选：直接根据锐角三角函数的定义可知，，把米，代入进行计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．5.【答案】>【解析】解：，故答案为：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，精确到千分位，再根据有理数的大小比较，可得答案．本题考查了计算器，结合算器的用法，再取近似数．6.【答案】【解析】解：由题意可得：则故答案为：直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．7.【答案】【解析】解：，，故答案为：利用正弦的定义得到，则，然后进行近似计算．本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．也考查了解直角三角形．8.【答案】8【解析】解：如图：，，，木杆折断之前高度故答案为在中，由AC的长及的值可得出AB的长，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形选择适当的三角函数求出三角形边长是解题的关键．9.【答案】>【解析】解：用计算器计算，，，…，的值，可发现在到之间，角越大，余弦值越小；故当时，与的大小，即故答案为熟练应用计算器求值，总结三角函数的规律．借助计算器计算的结果，发现并总结应用规律解题．10.【答案】解：过C点作于D，如图，在中，，，所以边AB上的高约为【解析】过C点作于D，如图，利用正弦的定义得到，然后进行近似计算．本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．11.【答案】解：由题意得：，，，在中，，，即BS的长约为【解析】由题意得，，，再由锐角三角函数定义得，即可得出BS的长．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．12.【答案】解：；【解析】先利用科学计算器求出正弦、余弦和正切值，再计算加减可得；先利用科学计算器求出正弦、余弦和正切值，再计算加减可得．本题考查了计算器-三角函数、近似数和有效数字，解决本题的关键是熟练运用计算器．13.【答案】解：如图，过点C作于点E，过点D作于点F，，又，四边形AEFD是矩形，，，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，则【解析】过点C作于点E，过点D作于点F，利用垂直的定义得到两个角为直角，再由为直角，利用三个角为直角的四边形是矩形得到四边形AEFD为矩形，可得出矩形的内角为直角，，由求出的度数，在中，利用余弦函数定义求出DF 的长，即为AE的长，在中，利用正弦函数定义求出EB的长，由求出AB的长即可．此题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

锐角三角函数全章同步练习含答案

4.1 第1课时正弦一、选择题1．2017·日照在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.1252．如果把一个锐角三角形ABC 的三边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．没有变化D ．不能确定3．如图K －30－1所示，已知点P 的坐标是(a ，b )，则sin α等于( )图K －30－1A.a bB.b aC.a a 2＋b2D.b a 2＋b24．如图K －30－2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若CD ∶AC ＝2∶3，则sin ∠BCD 的值是( )图K －30－2A.55 B.23 C.1313 D.2135．如图K －30－3，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )图K －30－3A.3 1010 B.12 C.13 D.1010二、填空题6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，sin A ＝35，则AB 的长是________ cm.7．直角三角形ABC 的面积为24 cm 2，其中一条直角边AB 的长为6 cm ，∠A 是锐角，则sin A ＝________.8．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图K －30－4所示，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是________.图K －30－49．如图K －30－5，点P (12，a )在反比例函数y ＝60x的图象上，PH ⊥x 轴于点H ，则sin∠POH 的值为________．图K －30－510．已知AE ，CF 是锐角三角形ABC 的两条高，若AE ∶CF ＝3∶2，则sin BAC ∶sin ACB ＝________．三、解答题11．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝15，AC ＝8，求sin A ＋sin B 的值．12．如图K－30－6，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．图K－30－613、探究题如图K－30－7，在平面直角坐标系中，点A，B，C为第一象限内圆弧上的点，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F.(1)试根据图形比较sin∠AOD，sin∠BOE，sin∠COF的大小，并探究当0°＜α＜90°时，正弦值随着锐角α的增大的变化规律；(2)比较大小：sin10°________sin20°.图K－30－71．[解析] B Rt △ABC 的斜边长为13，根据勾股定理，求得∠A 的对边BC ＝12，利用正弦的定义得sin A ＝1213.2．[答案] C 3．[答案] D 4．[答案] B5．[解析] D 过点B 作OA 边上的高h ，由等面积法可得S △AOB ＝12×2×2＝12×2 5h ，解得h ＝2 55，所以∠AOB 的正弦值为h OB ＝1010.故选D.6．[答案] 10[解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝6 cm ，sin A ＝35＝BCAB ，∴AB ＝10 cm.7．[答案] 45[解析] 直角三角形ABC 的直角边AB 为6 cm ，∠A 是锐角，则另一直角边是BC ，∠B 是直角．由直角三角形ABC 的面积为24 cm 2，得到12AB ·BC ＝24，因而BC ＝8 cm ；根据勾股定理，可得斜边AC ＝10 cm ，∴sin A ＝BC AC ＝810＝45. 8．[答案] 4 m 9．[答案] 513[解析] ∵点P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，∴a ＝6012＝5.∵PH ⊥x 轴于点H ，∴PH ＝5，OH ＝12.在Rt △PHO 中，由勾股定理，得PO ＝52＋122＝13，∴sin ∠POH ＝PH PO＝513.10．[答案] 2∶3[解析] 如图，由正弦的定义可知，∵sin BAC ＝CF AC ，sin ACB ＝AE AC，∴sin BAC ∶sin ACB ＝CF AC ∶AEAC＝CF ∶AE ＝2∶3.故答案为2∶3.11．解：由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝152＋82＝17，所以sin A ＝1517，sin B ＝817，所以sin A ＋sin B ＝1517＋817＝2317.12．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝4x . ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ＝2x ，∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x ，∴EM 2＋CM 2＝CE 2， ∴△CEM 是直角三角形， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55. 14、解：(1)sin ∠AOD ＜sin ∠BOE ＜sin ∠COF ；当锐角α逐渐增大时，sin α也随之增大．(2)＜第2课时特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值一、选择题1．sin60°的值为( ) A.12 B.32 C.22 D.332．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于( ) A ．50° B．60° C ．70° D．80°3．用计算器求sin50°的值，按键顺序是( ) A.50sin ＝ B.sin 50＝C.sin 05＝D.）sin 50＝4．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋(sin B －22)2＝0，则对△ABC 的形状描述最确切的是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形二、填空题5．运用科学计算器计算：3 17×sin73°52′≈________．(结果精确到0.1) 6．如图K －31－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值为________．图K－31－17．如图K－31－2，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为________ .图K－31－28．如图K－31－3，P是∠AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则∠AOx ＝________°.图K－31－3三、解答题9．用计算器求下列锐角的正弦值(精确到0.0001)．(1)68°；(2)81°53′；(3)76°10′.10．已知下列正弦值，用计算器求锐角的度数(精确到1′)：(1)sin A＝0.7321；(2)sin A＝0.9538.11．计算：(1)2sin60°－2sin 245°；(2)sin60°sin 245°－(sin30°sin60°)2.12阅读理解我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．图K－31－4类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sad)．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)sad60°的值为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)对于0°＜∠A ＜180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________． (3)已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，则sad A 的值是________．1．[答案] B 2．[答案] C3．[解析] B 根据用计算器计算三角函数值的方法：先按键“sin ”，再输入角的度数，再按键“＝”，即可得到结果．4．[解析] C 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋(sin B －22)2＝0，得sin A ＝22，sin B ＝22，所以∠A ＝45°，∠B ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．5．[答案] 11.9 6．[答案]32 7．[答案]22[解析] 连接AC ，AB 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋12＝5，AC 2＝22＋12＝5， ∴AC ＝BC ，BC 2＋AC 2＝AB 2，∴∠BCA ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∴∠ABC 的正弦值为22. 8．[答案] 60[解析] 过点P 作PB⊥x 轴于点B.∵点P 的坐标为(1，3)，∴OB ＝1，PB ＝3，∴OP ＝2，∴sin ∠AOx ＝PB OP ＝32，∴∠AOx ＝60°.故答案为60.9．解：(1)sin 68°≈0.9272. (2)sin 81°53′≈0.9900. (3)sin 76°10′≈0.9710. 10．解：(1)∠A≈47°4′.(2)∠A≈72°31′. 11．解：(1)原式＝2×32－2×(22)2＝3－1. (2)原式＝32（22）2－(1232)2＝3－13＝3 3－13.12、[答案] (1)B (2)0<sad A<2 (3)105[解析] (1)当等腰三角形的顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°，则此三角形为等边三角形，则sad 60°＝11＝1.故选B .(2)当∠A 接近0°时，sad A 接近0，当∠A 接近180°时，等腰三角形的底边长接近于腰长的2倍，故sad A 接近2. 于是sad A 的取值范围是0＜sad A ＜2. 故答案为0＜sad A ＜2.(3)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35.在AB 上取点D ，使AD ＝AC ，过点D 作DH⊥AC，垂足为H.令BC ＝3k ，AB ＝5k ，则AD ＝AC ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k. 又∵在△ADH 中，∠AHD ＝90°，sin A ＝35.∴DH ＝AD·sin A ＝125k ，∴AH ＝AD 2－DH 2＝165k.则在△CDH 中，CH ＝AC －AH ＝45k ，CD ＝DH 2＋CH 2＝4 105k.∴在△ACD 中，AD ＝AC ＝4k ，CD ＝4 105k.由正对的定义，可得sad A ＝CD AD ＝105，即sad A ＝105.4.2 正切一、选择题1．如图K －33－1，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( )图K －33－1A.513 B.1213 C.512 D.1252．若tan(α＋10°)＝ 3，则锐角α的度数是( ) A ．20° B．30° C．35° D．50°3.2017·宜昌△ABC 在网格中的位置如图K －33－2所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列四个选项中错误的是( )图K －33－2A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝14．在△ABC 中，若锐角A ，B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的大小是( )A ．45° B．60° C．75° D．105°5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，那么tan B 的值是( )A.52 B.53 C.2 55 D.236．如图K －33－3，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD (D 为底边的中点)的长是( )图K －33－3A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米7如何求tan75°的值，按下列方法作图可解决问题．如图K －33－4，在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为( )图K －33－4A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1＋ 3 D.3－1 二、填空题8．如图K －33－5所示，BC 是一条河的直线河岸，A 是河岸BC 对岸上的一点，AB ⊥BC 于点B ，站在河岸的C 处测得∠BCA ＝50°，BC ＝10 m ，则桥长AB 的长约为______m(用计算器计算，结果精确到0.1 m)．图K －33－59．如图K －33－6，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________.图K －33－610．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝________．三、解答题11．计算：(1)3sin60°－cos30°＋2tan45°；(2)tan45°tan30°－cos45°sin 60°·tan60°.12．如图K －33－7，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AB ＝2，CD ＝8，tan ∠BAC ＝2，求tan D的值.图K－33－713．如图K－33－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB 于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．图K－33－814．如图K －33－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，tan A ＝33，AD ＝20.求BC 的长．图K －33－915．已知：如图K －33－10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．图K －33－1016新定义问题在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°.若定义cot A ＝∠A 的邻边∠A 的对边＝ba，则称它为锐角A 的余切．根据这个定义解答下列问题：(1)cot30°＝__________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值；(3)求证：tan A ＝cot(90°－∠A )．1．[解析] C 过点P 作PE ⊥x 轴于点E. ∵点P 的坐标为(12，5)，∴PE ＝5，OE ＝12， ∴tan α＝PE OE ＝512.2．[答案] D3．[解析] C 由图可知，△ADB 是等腰直角三角形，BD ＝AD ＝2，AB ＝2 2，CD ＝1，AC ＝5，∴sin α＝cos α＝22，故A 正确；tan C ＝AD CD ＝2，故B 正确；tan α＝BDAD＝1，故D 正确；∵sin β＝CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝2 55，∴sin β≠cos β，故C 错误．故选C .4．[解析] D 由题意得cos A ＝32，tan B ＝1，则∠A＝30°，∠B ＝45°，则∠C＝180°－30°－45°＝105°. 5．[解析] A ∵sin A ＝BC AB ＝23，∴设BC ＝2x ，AB ＝3x ，由勾股定理得：AC ＝AB 2－BC 2＝5x ，∴tan B ＝AC BC ＝5x 2x ＝52.故选A .6．[解析] C ∵BC＝10米，D 为底边的中点，∴DC ＝BD ＝5米． ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADB 中，∠B ＝36°，∴tan 36°＝ADBD ，即AD ＝BD·tan 36°＝5tan 36°(米)．7．[解析] B 在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AB ＝BD ＝2k ，∠BAD ＝∠BDA＝15°，∴∠CAD ＝90°－∠BDA＝75°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝3k ，在Rt △ACD 中，CD ＝BC ＋BD ＝3k ＋2k ，则tan 75°＝tan ∠CAD ＝CD AC ＝3k ＋2k k＝2＋3.故选B . 8．[答案] 11.9[解析] 在△ABC 中，∵AB ⊥BC ， ∴tan ∠BCA ＝ABBC.又∵BC＝10 m ，∠BCA ＝50°，∴AB ＝BC·tan 50°＝10×tan 50°≈11.9(m )． 9．[答案] 43[解析] 过点A 作AE⊥BC 于点E.∵AB＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC.∵∠BPC ＝12∠BAC，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝ 52－42＝3， ∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.10．[答案]32或2 33[解析] 分两种情况：(1)如图①，BD 是AC 边上的中线，BD ＝AC.设AD ＝CD ＝k ，则BD ＝AC ＝2k.在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°，∴BC ＝BD 2－CD 2＝3k ，∴tan A ＝BC AC ＝3k2k＝32；(2)如图②，AD 是BC 边上的中线，AD ＝BC.设BD ＝CD ＝k ，则AD ＝BC ＝2k.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC ＝AD 2－CD 2＝3k ，∴tan ∠CAB ＝BC AC ＝2k 3k＝2 33.综上可知，tan A 的值为32或2 33.11．解：(1)原式＝3×32－32＋2×1＝3＋2. (2)原式＝133－2232×3＝3－23. 12．[解析] 利用tan ∠BAC ＝2，AB ＝2，先求得BC ＝4，再利用勾股定理求得AC ＝2 5，所以tan D ＝AC CD ＝54.解：在Rt △ABC 中，tan ∠BAC ＝2，即BCAB＝2.又∵AB＝2，∴BC ＝4， ∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22＋42＝2 5. 在Rt △ACD 中，tan D ＝AC CD ＝2 58＝54.13．解：(1)证明：因为AE 平分∠CAB，所以∠CAE ＝∠BAE.又∠C＝∠AFE＝90°，AE ＝AE ，所以△ACE≌△AFE.(2)设AB ＝3x ，则BF ＝x ，AF ＝AC ＝2x ，所以BC ＝AB 2－AC 2＝9x 2－4x 2＝5x. 由(1)知CE ＝EF ，设CE ＝EF ＝m ，在△BEF 中，BE 2＝EF 2＋BF 2，即(5x －m)2＝m 2＋x 2，因为x ≠0，所以m ＝2 55x ，故tan ∠CAE ＝CE AC ＝2 55x 2x ＝55.14．解：∵tan A ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°.又∵BD 平分∠ABC，AD ＝20，∴∠A ＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AD ＝BD ＝20，∴DC ＝10，即AC ＝AD ＋DC ＝30.又∵tan A ＝BC AC ，∴BC ＝AC·tan A ＝30×33＝10 3，即BC 的长为10 3. 15．解：在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD＝90°，∠ACD ＋∠CAD＝90°，∴∠ABC ＝∠ACD，∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45，∴在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k ，由BE∶AB＝3∶5，知BE ＝3k ，则CE ＝k ，且CE ＝2，则k ＝2，∴AC ＝3 2，∴Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE ＝3.∵Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝45，∴CD ＝12 25.16解：(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A＝30°，则AB ＝2BC ，AC ＝3BC ，所以cot 30°＝AC BC ＝3BCBC ＝ 3.故答案为3.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3k ，则AC ＝4k ， ∴cot A ＝AC BC ＝4k 3k ＝43.(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则∠A＋∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A. ∵tan A ＝BC AC ，cot B ＝BCAC ，∴tan A ＝cot B ，即tan A ＝cot (90°－∠A)．4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( ) A ．已知一直角边和一锐角 B ．已知一斜边和一锐角 C ．已知两边 D ．已知两角2．如图K －34－1是教学用的三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )图K －34－1A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．2016·牡丹江如图K －34－2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 的长为( )图K －34－2A ．2B ．3C ．3 2D ．2 34．如图K －34－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( )图K －34－3A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为( )A ．60B ．30C ．240D ．1206．如图K －34－4，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝10，tan B ＝34，则BC 的长为( )图K －34－4A ．6B ．8C ．12D ．16 二、填空题7．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，BC ＝12，那么AC ＝________．8．如图K －34－5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是 ________ .图K －34－59．已知△ABC ，O 为AC 的中点，点P 在AC 上，若OP ＝52，tan A ＝12，∠B ＝120°，BC ＝2 3，则AP 的长为________．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝8 3，∠A＝60°；(2)已知b＝2 2，c＝4；(3)已知c＝4，a＝b.11．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝33，AB＝8 cm.求△ABC的面积．12．如图K－34－6，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.图K －34－613．如图K －34－7，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5.(1)求∠B 的度数及AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．图K －34－714．如图K －34－8所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K －34－815．如图K －34－9，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点． (1)求点A 到BM 的距离．(2)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________．(填写所有符合条件的序号) ①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝125；③连接AC ，△ABC 的面积为126.(3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC 的长． (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)图K －34－916探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－34－10，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，CD＝b sin A，AD＝b cos A，∴BD＝c－b cos A.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(b sin A)2＋(c－b cos A)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A.通过学习上述材料，解答下列问题：(1)直接写出你探究得出的结论：b2＝________，c2＝________；(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a和∠C；(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.图K－34－101．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．2．[答案] C3． [解析] A ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC ·sin45°＝6 2×22＝6. ∵tan ∠ABC ＝AD BD＝3，∴BD ＝AD3＝2.4．[解析] A ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8cm.∵cos ∠BDC ＝CD BD ＝35，∴CD 8－CD ＝35，解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.5．[解析] D 如图所示，由tan A ＝125，设BC ＝12x ，AC ＝5x ，根据勾股定理，得AB ＝13x .由题意得12x ＋5x ＋13x ＝60，解得x ＝2，∴BC ＝24，AC ＝10，则△ABC 的面积为120.故选D.6．[解析] D ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD ＝CD .∵tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.故选D.7．[答案] 14458．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，∴△ADE 是直角三角形，∴sin A ＝DE AD ＝35，即AD ＝10. ∵菱形的四条边都相等，∴菱形ABCD 的周长＝10×4＝40. 9．[答案] 2 5或 5[解析] 过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，∵∠ABC ＝120°， ∴∠CBD ＝60°.∵BC ＝2 3， ∴DC ＝BC ·sin60°＝2 3×32＝3.∵tan A ＝12，∴AD ＝2DC ＝6，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝3 5.∵O 是AC 的中点，∴AO ＝32 5.∵OP ＝52，∴AP 的长为2 5或 5.10．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3. (2)a ＝2 2，∠A ＝∠B ＝45°. (3)∠A ＝∠B ＝45°，a ＝b ＝2 2.11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB 求未知边AC ，再用勾股定理求BC . 解：∵在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝33， ∴AC ＝AB ·cos A ＝8 33(cm)．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝8 63(cm)． ∴S △ABC ＝12×8 33×8 63＝32 23(cm 2)．12．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝x ·tan60°＝3x . 在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝3x .∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3，解得x ＝1，即BD ＝1. 在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB，∴AB ＝BDcos B ＝1cos60°＝2. 13．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x ，在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3， ∴CE ＝3，AE ＝6. 在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3， ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.即∠B 的度数为45°，AB 的长为9.(2)∵CD 为中线，∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5，∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2.14．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F .∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝37°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ，∴AB ＝BEsin37°≈240.60＝40 (mm)．在Rt △ADF中，cos ∠ADF ＝DF AD ，∴AD ＝DF cos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．15．解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝37°，∴AD ＝AB ·sin B ＝12.(2)①以点A 为圆心、13为半径画圆，与直线BM 有两个交点，点C 不唯一； ②由tan ∠ACB ＝125知∠ACB 的大小确定，在△ABC 中，∠ACB ，∠B 及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AB 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的．故答案为②③.(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD ＝12，BD ＝AB ·cos B ＝16.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴CD ＝ADtan ∠ACB ＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝21.方案二：选③，过点C 作CE ⊥AB于点E ，则∠BEC ＝90°，由S △ABC ＝12AB ·CE ，得CE ＝12.6.在Rt △BEC 中，∵∠BEC ＝90°，∴BC ＝CEsin B＝21.16解：(1)a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍(3)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4， ∴a ＝2，∴a 2＋c 2＝22＋22＝8，b 2＝(2 2)2＝8， ∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC为直角三角形，且a＝c＝2，∴∠C＝45°.(4)∵b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴c2－6c＋1＝0，解得c＝6±2 2.∵c＞a＞b，∴c＝6＋22.4．4 解直角三角形的应用[ 第1课时仰角、俯角相关问题一、选择题1．如图K－35－1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( )图K－35－1A．500sin55°米 B．500cos35°米C．500cos55°米 D．500tan55°米2.如图K－35－2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)( )图K－35－2A．34.14米 B．34.1米C．35.7米 D．35.74米3．如图K－35－3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )图K－35－3A．60° B．45° C．15° D．90°4.图K－35－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )图K－35－4A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m二、填空题5．2017·抚顺如图K－35－5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)图K－35－56．2017·黄石如图K－35－6所示，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－35－6三、解答题7．2017·衡阳衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图K－35－7，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)图K－35－78．2017·镇江如图K－35－8，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长．(精确到1 m参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K－35－89．2017·莱芜某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度(精确到0.01 m)；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．(参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图K－35－910．2017·凉山州如图K－35－10，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米？(结果保留根号)图K－35－1011一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图K－35－11，△ABC是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．图K－35－111．[解析] C ∵∠ABD＝145°，∴∠EBD ＝35°.∵∠D ＝55°，∴∠E ＝90°.在Rt △BED 中，BD ＝500米，∠D ＝55°，∴ED ＝500cos 55°米．故选C .2．[解析] C 过点B 作BF⊥CD 于点F ，过点B′作B′E⊥BD 于点E ，由题意，得∠DB′F＝67.5°，∠DBF ＝45°，∴∠BDC ＝45°，∠BDB ′＝∠B ′DC ＝22.5°，∴BE ′＝B′F.∵∠EBB ′＝45°，∠BEB ′＝90°，∴BE ′＝B′F＝22BB′＝10 2，∴DF ＝BB′＋B′F＝20＋10 2，∴DC ＝DF ＋FC ＝20＋10 2＋1.6≈35.7(米)．故选C .3．[解析] C 在Rt △ACB 中，∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝3 26＝22，∴∠CAB ＝45°.在Rt △AC ′B ′中，∵sin ∠C ′AB ′＝B′C′AC ＝3 36＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C .4．[答案] B 5．[答案] 100 2[解析] 连接AN.由题意知，BM ⊥AA ′，BA ＝BA′，∴AN ＝A′N，∴∠ANB ＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB ＝22.5°，∴∠MAN ＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN ＝MN ＝200米．在Rt △ABN 中，∠ANB ＝45°，∴AB ＝22AN ＝100 2(米)．故答案为100 2. 6．[答案] 137[解析] 设AB ＝x 米，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x 米，则BD ＝BC ＋CD ＝(x ＋100)米．在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，∴tan ∠ADB ＝AB BD ＝33，即x x ＋100＝33，解得x ＝50＋50 3≈137，即建筑物AB 的高度约为137米．故答案为137.7．解：如图，由题意得∠CAB＝30°，∠CBD ＝60°，DF ＝AE ＝1.5米．∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠ACB ＝∠CAB＝30°，∴AB ＝BC ＝10.4米．在Rt △CBD 中，CD ＝BC·sin 60°＝10.4×32≈9.0(米)，∴来雁塔的高度＝CD ＋DF ≈9.0＋1.5＝10.5(米)．答：来雁塔的高变约为10.5米．8．解：过点A 作AE⊥CD 于点E ，∵AB ＝15 m ，∴DE ＝AB ＝15 m ．∵∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ＝15 m ．在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAE ，则CE ＝AE·tan 37°≈15×0.75≈11(m )，∴CD ＝CE ＋DE≈11＋15＝26(m )．答：实验楼的垂直高度即CD 的长约为26 m .9．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB·tan 31°＝31×tan 31°≈18.60(m )，AE ＝AB cos 31°＝31cos 31°≈36.05(m )，则甲楼的高度为18.60 m ，彩旗的长度为36.05 m .(2)过点F 作FM⊥GD，交GD 于点M.在Rt △GMF 中，GM ＝FM·tan 19°.在Rt △GDC 中，DG ＝CD·tan 40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m ，根据题意，得x tan 40°－x tan 19°＝18.60，解得x≈37.20，则DG ＝37.20×tan 40°≈31.25(m )．答：乙楼的高度为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离为37.20 m .10．解：如图，延长OC ，AB 交于点P.∵∠ABC＝120°，∴∠PBC ＝60°.∵∠OCB ＝∠A ＝90°，∴∠BCP ＝90°，∴∠P ＝30°.∵AD ＝20米，∴OA ＝12AD ＝10米，∵BC ＝2米，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC·tan 60°＝23米，PB ＝2BC ＝4米．在Rt △AOP 中，∵∠P ＝30°，∠A ＝90°，∴PA ＝OAtan 30°＝10 3米，∴AB ＝PA －PB ＝(10 3－4)米．答：路灯的灯柱AB 的高应该设计为(10 3－4)米．11解：(1)如图①，过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°.令AB ＝2t cm .在Rt △ABD 中，AD ＝12AB ＝t ，BD ＝32AB ＝3t. 在Rt △AMD 中，∵∠AMD ＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD ＝AD ＝t.∵BM＝BD －MD ，即3t －t ＝20 3－20.解得t ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm )．答：AB 的长为40 cm .(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP 交BC 于点N ，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt △ABN 中，BN ＝AB cos 30°＝4032＝80 33(cm )，∴光线AP 旋转6秒，与BC 的交点N距点B 80 33 cm .如图③，设光线AP 旋转2030秒后光线与BC 的交点为Q.由题意可知，光线从边AB 开始旋转到第一次回到AB 处需8×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP 旋转2030秒与旋转14秒时和BC 边的交点是同一个点Q.旋转14 s 的过程是B→C：8 s ，C →Q ：6 s ，∴CQ ＝BN ＝80 33cm .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴BC ＝2·AB·cos 30°＝2×40×32＝40 3(cm )，∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm )，∴光线AP 旋转2014秒，与BC 的交点Q 在距点B 40 33cm 处．第2课时坡度与坡角、方向角相关问题一、选择题1．坡度等于1∶3的斜坡的坡角等于( ) A ．30° B ．40° C．50° D．60°2．2016·苏州如图K －36－1，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( )图K －36－1A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(2 3－2) mD ．(2 6－2) m3．某水坝的坡度i ＝1∶3，坡长为20米，则水坝的高度为( ) A ．10米 B ．20米 C ．40米 D.20 33米4．如图K －36－2，在平地MN 上用一块10 m 长的木板AB 搭了一个斜坡，两根支柱AC ＝7.5 m ，AD ＝6 m ，其中AC ⊥AB ，AD ⊥MN ，则斜坡AB 的坡度是( )图K －36－2A ．3∶5B ．4∶5C ．3∶4D ．4∶3 二、填空题5．如图K －36－3，如果在坡度i ＝1∶2.4的斜坡上两棵树之间的水平距离AC 为3米，那么两棵树之间的坡面距离AB 是________米．图K－36－36．如图K－36－4，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)图K－36－47．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图K－36－5所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF＝________°.图K－36－5三、解答题8．如图K－36－6，要测量点A到河岸BC的距离，在点B测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝150 m．求点A到河岸BC的距离．(结果精确到1 mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－36－69．2017·黔东南州如图K－36－7，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果精确到1 m，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)图K－36－710．某地的一座人行天桥如图K－36－8所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要被拆除？请说明理由．图K－36－811．如图K－36－9，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)，以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向上，距离60 2千米处有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米处还有一城市B ，B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．图K －36－912阅读与探究阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC 中，设∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则有a sin A ＝b sin B ＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b .解：在△ABC 中，∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a ·sin B sin A ＝6×sin30°sin45°＝3 2. 理解应用：如图K －36－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A 2时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B 2处，此时两船相距10 2海里．(1)判断△A 1A 2B 2的形状，并给出证明； (2)求乙船每小时航行多少海里？图K－36－10。

九年级数学锐角三角函数考试题及答案解析

达标训练基础•巩固1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( )A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，34.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k.在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .综合•应用7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°-α)=( )A.54B.43C.53D.51 思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°-α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°-α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°-α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值. 思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cos α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα. 9.已知方程x 2-5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα. 思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1-13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m.图28.1-13(1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt △ABC 中，2242+=AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为4.5 m.(2)∵tanB=5.0=BCAC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1-14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ，由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.回顾•展望12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-15所示，则sinα的值是( )图28.1-15A.43B.34C.53D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C13.(2010陕西模拟) 如图28.1-17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23 r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1-17A.23B.35C.25D.32 思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D14.(浙江模拟) 在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )A.45B.5C.51D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC ，BC=AB·sinA. 答案：B 15.(广西南宁课改模拟) 如图28.3-16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1-16A.53B.43C.34D.54思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B16.(浙江舟山模拟) 课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1-18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1-18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 17.(2010重庆模拟) 计算：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010北京模拟) 已知：如图28.1-19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1-19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长. 思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线.(2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OA AD . ∴ AD=35.。

初三数学锐角三角函数测试题及答案

ACOP D B图3锐角三角函数（一）测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（）A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、（08）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．334、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（）A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22ABC 三个角的大小关系是（）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，如果PC=6，那么PD 等于（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（）A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A ＜90°C 、0°＜A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（）ABC（ α 图1CEDAB图2（αA 、21B 、34C 、43D 、2二、填空题（每小题3分，共30分）11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为。

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。

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xx学校xx学年xx学期xx试卷
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题简答题xx题xx题xx 题总分得分
一、xx题
（每空xx 分，共xx分）
试题1:
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( )
A． sin A= B．cos A=
C．sin A= D．tan A=
试题2:
如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值
为 ( )
A． B． C． D．
试题3:
如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝，AB＝4，则AD的长为 ( ) 评卷人得分
A．3 B．
C. D．
试题4:
如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠B AC＝，则梯子AB的长度为米．
试题5:
若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .
试题6:
如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．
试题7:
如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =，求sin A，cos A，tan A的值．
试题8:
如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝．
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
试题9:
请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC
(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；
(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．
试题1答案:
C[提示：sinA=．]
试题2答案:
D[提示：过A点作垂线交底部于C点，则△ACB为直角三角形，∴BC＝＝8(m)，∴tan a＝＝．故选D．]
试题3答案:
B[提示：∠ADE和∠EDC互余，∴cos a＝sin∠EDC＝，sin∠EDC＝∴EC=.由勾股定理，得DE＝．在
Rt△AED中，cos a＝,∴AD＝．故选B．]
试题4答案:
4[提示：在Rt△BCA中，AC＝3米，cos∠BAC＝，所以AB＝4米，即梯子的长度为4米．]
试题5答案:
48°[提示：∵sin2a＋cos2 a＝l，∴a＝48°．]
试题6答案:
提示：sin A＝，cos A＝，tan A=.
试题7答案:
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB＝16，∴CD=4，∴AC=．∴sin A==，cos A＝，tan A=.
试题8答案:
解：(1)如图l－27所示，作BH⊥OA，垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH=3，∴OH＝4，∴点B
的坐标为(4，3)． (2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB＝，∴cos∠BAO== ．
试题9答案:
解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，∴BD＝B C= AD，即AD＝2BD，∴AB＝BD，∴tan∠ABC==2,sin∠ABC== (2)作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中，sinC=sin∠ABC= .又∵sin C=∴故BE=（米）.。