2020届高考数学大二轮复习第1部分专题6 第2讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

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2020高考数学(文科)二轮专题精讲《圆锥曲线的方程与性质》

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥
PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
3－1 C. 2
D. 3－1
解析：选 D 不妨设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
在Rt△F1PF2中，因为∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c. 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即 3c＋c＝2a，所以椭圆的离心率e＝ac＝ 32＋1＝ 3－1.故选D.
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞ 0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
(2)当 0＜m＜3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图(1)，A(－ 3，0)，B( 3，0)．
当点 M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°. 则|MO|≤1，即 0＜m≤1；
当 m＞3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴上，如图(2)，A(0， m)，B(0，－ m)．
A. 2
B．2
C.3 2 2
D．2 2
解析：选D ∵e＝ac＝
1＋ba2＝ 2，且a＞0，b＞0，
∴ba＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为 |42| ＝2 2.
2．(2019·大连模拟)已知椭圆C：

新课标2020届高考数学二轮复习专题六直线圆圆锥曲线6.1直线与圆课件理20201204214-

B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0
关闭
设与C.直2x线-y+25x=+0y+或1=20x-平y-5行=的0 直线方程为 2x+y+m=0(m≠1), D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0
因为直线 2x+y+m=0 与圆 x2+y2=5 相切,即点(0,0)到直线 2x+y+m=0
题型命题规律
从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关选择的轨迹方程、直题线与圆的位置关填空系、弦长问题、题切线问题、圆与解答圆的位置关系,圆题与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.
复习策略
抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.
11--
22, ,1+ 2
1+ 52
5
.
关闭
解析答案
-12-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
题后反思1.判定直线与圆的位置关系的两种方法: (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况),Δ>0⇔相交,Δ<0⇔相离,Δ=0⇔相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小),设圆心到直线的距离为d,则d<r⇔相交,d>r⇔相离,d=r⇔相切.判定圆与圆的位置关系与判定直线与圆的位置关系类似. 2.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.

2020年高考数学二轮复习专题6第2讲圆锥曲线同步练习新人教A版

、选择题B . 2 2 D. 4 2［答案］Ca = 2,2 a = 4，故选 C.3比较y =±尹，二a = 2.2 2x y3. （2020 •天津文，6）已知双曲线孑一話=1（a >0, b >0）的左顶点与抛物线 y 2= 2px （ p >0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（一2,— 1），则双曲线的焦距为（）A . 2 3B . 2 5 C. 4 3 D. 4 5［答案］B［解析］•••抛物线的准线与双曲线的一条渐近线的交点为（一2,— 1）,•••一 2=— 2, p = 4,抛物线方程为 y 2= 8x ,b 1双曲线渐近线的斜率-=厅.a 2 •抛物线焦点坐标为（2,0）. 由题意 2— （— a ） = 4,得 a = 2, •b = 1,c 2= a 2 + b 2 = 4+ 1 = 5.2020年高考数学二轮复习同步练习：专题 6解析几何第2讲1. (2020 •安徽理, 2）双曲线2x 2— y 2= 8的实轴长是（A . 2 C. 4 ［解析］由 2x 2 — y 2(2020 2 2•湖南理，5）设双曲线扌一y 9 1（a >0）的渐近线方程为 3x±2y = 0,贝U a 的值为A .B . 3 C. D. 1［答案］［解析］双曲线的渐近线方程为 y =± 3x ,a• 2c= 2，』5.2 2x y4. （2020 •山东荷泽）方程为孑+詁=1（a >b >0）的椭圆左顶点为 A,左、右焦点分别为F i、F 2, D 是它短轴上的一个顶点，若 3DF = 陥 2DF ,则该椭圆的离心率为（）1A.- 2 1B.- 3 1C.4 1 D・5［答案］D［解析］•/ 3DF =陥 2DF ,••• 2( D F — DF ) = DA-D F ,/. F^= 2FF 1,即卩 a — c = 4c ,C 1 e=—=— a 5.5. （2020 •海南五校联考）如图，正六边形ABCDE 的两个顶点 A 、D 为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（）A. 3 + 1 C. 3 ［答案］AD. 2［解析］设正六边形的边长为 1,则AE = .3, ED= 1,AD= 2,「. 2a = AE- ED= 3 — 1,2 c = AD= 2,2c 2 厂 …e = ■=— =冷 3 + 1.2a 3 — 16. (2020 •大连一模)设F 为抛物线y 2= 2px ( p >0)的焦点，A B, C 为该抛物线上三点,当F A + F B+ F C = 0,且|FA + |F B| + |FC = 3时，此抛物线的方程为22A . y = 2xB . y = 4x22C. y = 6xD. y = 8x［答案］A［解析］由题意知焦点 F (2, 0)，设 A (X 1, y” , 0X 2, y 2), C (x 3, y 3)，则由 FA + FB+ FC =0,得(X i — 2)+ (X 2 — 2)+ (X 3 — 2)= 0 ,「. x i + X 2 + X 3 = ~2* 又由抛物线定义，得I FA + | F B | + |FCppp2| =(X i + 2)+ (X 2+ 2)+ (X 3 + 2)= 3p = 3 ,.•• p = 1,因此所求抛物线的方程为y = 2x .7. (2020 •大纲全国卷理，10)已知抛物线 C: y 2 = 4X 的焦点为F ,直线y = 2X — 4与C 交于 A , B 两点，贝U cos / AFB=()4 A.-5 B .353 C.—54 D. ------5［答案］Dy 2= 4X［解析］方法一：联立y = 2X — 4，不妨设 A 在X 轴上方，.A (4,4) , B (1 , — 2),•/ F 点坐标为(1,0) ,. F A= (3,4),FB= (0，— 2),cos / AFB^FA ・ FBI FA • |F B |—8 5X24 5.方法二：|AB = 3石，|AF = 5, | BF = 2, 由余弦定理知, cos / AFB=|AF |2+ |BF 2— | AB 2= 2 • AF •丨 BF =8.(文)(2020 •辽宁文，7)已知F 是抛物线y 2 = X 的焦点，A, B 是该抛物线上的两点, |AF + |BF = 3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为()B . 15 C・4 ［答案］C［解析］如图所示:D ・4•••|AF = |AK , |BF =|BM•••|AK + |Biyi = | AF | + | BF | = 3••• AB 的中点P 到准线的距离1 3I PN = 2(l AK +1 BI \M )= 23 1 5•••点P 到y 轴的距离为空一4 = 4.2 2 2（理）（2020 •浙江理,8）已知椭圆C ：刍+p= 1（a >b >0）与双曲线C 2: X 2—七=1有公共的焦点，C 的一条渐近线与以 C 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点•若C 恰好将线段AB 三等分，则（)- 2 13A . a = ~2B . a 2= 13 C. b 2= 1=2.2D. b = 2［答案］C［解析］由双曲线2X 2—鲁=1知焦点坐标为（5, 0） , （ 5 , 0），渐近线方程为y =±2x•••椭圆中：a 2 =b 2 + 5,由条件知 |AB = 2a ,/曰 2— a 2b 2 a 2y 2= a 2b 2 得 X =40TP ，24a b —2 2 1 y =40TP ，又 2 x + y = 3|A B ，/ a 2b 2 , 4a 2b 2 ,4a 2+ b 2+ 4a 2+ b 2=11 1整理，得：a 2 = 11b 2，结合 a 2= b 2+ 5,得 a 2 = ~^，b 2= ，选 C. 二、填空题9 • （2020 •陕西质检二）已知抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴上，直线y = x 与抛物线C 交于A, B 两点•若R2,2）为AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 _______________ •［答案］y 2= 4x ［解析］设抛物线的标准方程为y 2= 2px , A （X 1,y" , 0X 2,y 2），则y 1= 2px 1, y ； = 2px 2,y 1 — y 2 2p 2 p两式相减可得（y 1 — y 2）（『1 + y 2）= 2p （X 1 — X 2），贝U k AB = = ■ ,•••：■= 1,解得 p =2,即X 1 — X 2 y 1+ y 24所求抛物线方程为 y 2= 4x .10.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 Fy = 2x 由 b 2x 2+（1,0），直线I与抛物线C相交于A B两点.若AB的中点为（2,2），则直线I的方程为 _____________ .［答案］y=x［解析］因为抛物线顶点在原点，焦点 F (1,O)，故抛物线方程为 y 2= 4x .设A (x i , y i ),B (X 2, y 2)( x i M X 2),22则 y i = 4x i , y 2= 4x 2.••• (y i - y 2)( y i + y) = 4( X i — X 2),4• k AB == i ,y i + y 2•直线AB 的方程为y — 2= x - 2,即卩y = x .2 2 2 2x yx yii. (文)(2020 •山东文，i5)已知双曲线孑一静=i(a >0, b >0)和椭圆+言=i 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_________________ .2 2“宀 x y［答案］4—专=i［解析］椭圆焦点为(± .7, 0)，所以界b 2= 7,椭圆离心率为e =¥，•¥=¥x 2,• a = 2, b = J3,2 2x y•双曲线方程为T —7= i.4 3i 22x 轴上，过点(i , 2)作圆x + y = i 的A ,B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是2 2“宀 x y［答案］石+4=ii i［解析］解法一：点i , 2在圆外过点(i , ~)与圆相切的一条直线方程为 x =i ，一个切点为(i,0)，设另一条的方程为y = *— mx + m ,由i =―得m =彳，故另一条切线寸厂m 2 +13 53 4的方程为y =—7 +;代入圆的方程联立解得切点为-，则直线AB 的方程为y =— 2x + 2, 4 4 5 52 2故椭圆的上顶点坐标为(0,2).因此c = 1, b = 2, a = 5，所求椭圆方程为 x + y = 1.v 54解法二：由题意可得切点A (1,0).1n — 一 2 m3 4切点Em n )满足 m —= —n解得B 5, 5 .2 2 “m + n =1,(理)(2020 •江西理, 2 2i4)若椭圆才b =i 的焦点在切线，切点分别为•••过切点A , B 的直线方程为2x + y — 2= 0. 令 y = 0 得 x = 1,即 c = 1; 令 x = 0 得 y = 2, 即卩 b = 2.2 2• a 2= b 2 + c 2= 5，•椭圆方程为 X + y = 1.5 42 2y x12. ___________________________________________________________________ （文）（2020 •江西文，12）若双曲线16— m = 1的离心率e = 2，贝U m= __________________ .［答案］48222C［解析］c = a + b = 16+ m 又 T e=na寸16+ m•- e = 2=m = 48.4（理）（2020 •海淀模拟）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上,左、右焦点分别为 F 1、F 2,且它们在第一象限的交点为 P,A PF 1F 2是以PF 为底边的等腰三角形•若| P 冋=10,双曲线的离心率的取值范围为（1,2） •则该椭圆的离心率的取值范围是1 2［答案］（3, 5）［解析］设椭圆的半焦距为 c ,长半轴长为a ,由椭圆的定义及题意知，| PF | = 2a — | PR| =2a — 2c = 10,得到a — c — 5 = 0,因为双曲线的离心率的取值范围为（1,2），所以1<10—C <2,c c 5 1 5 2 1 2e=a = c +5 = 1—c ++5且3<1—c ++5<5，•该椭圆的离心率的取值范围是（§込）.三、解答题均+ £= 1（a >b >0）的离心率为二6,椭圆C 上 a b 3l : y = kx — 2与椭圆C 交于代B 两点，点P （0,1），且|PA = |PB ，求直线I 的方程.c x/6 ［解析］(1)由已知2a = 6, e = 一 a解得 a = 3, c = ,6,所以 b = a — c = 3,225 10 <c < , 2 3 ' 13. (2020 •北京西城5月抽考）已知椭圆C:任意一点到椭圆 C 两个焦点的距离之和为 6.（1）求椭圆 C 的方程;（2）设直线所以椭圆c的方程为*+y r = 1.9 32 2x y + —= 1 ⑵ 由93得，(1 + 3k 2) x 2- 12kx + 3= 0,y = kx - 2因为直线I 与椭圆C 有两个不同的交点, 2 2 21所以△= 144k — 12(1 + 3k )>0,解得 k >-.设 A (X 1, yj , B (X 2, y 2), AB 的中点为 E ,6k — 2所以AB 的中点坐标为E 有汞,1+汞，因为 | PA =1 PB ，所以 PEI AB k pE- k AB =— 1,2c― i+sk 2 ―1所以6k k=-1，1+ 3k解得k = 1或k =— 1,经检验，符合题意.所以直线I 的方程为x — y — 2 = 0或x + y + 2= 0.2 2x y14. (文)(2020 •天津文，18)设椭圆g + b ^= 1( a >b >0)的左、右焦点分别为 F , F 2，点P (a , b )满足 | PFF = | FF 2|.(1) 求椭圆的离心率e ;(2) 设直线PF 与椭圆相交于 A, B 两点，若直线PR 与圆(x +1)2+ (y —.⑶2 = 16相交于M 5N 两点，且| MN = | AB ，求椭圆的方程.8［解析］(1)设 R( — c, 0), F 2(C , 0)( c >0), 因为 | PB | =| FF 2I ，所以= 2c ,整理得 2 - +- — 1 = 0，得-=—1(舍)或a a ac 1 a = 2’1 所以e = ^.⑵ 由(1)知a =2c , b = 3c ,可得椭圆方程为 3x 2+ 4y 2= 12c 2,直线PR 的方程为y =,3(x—c ),贝U X 1 + X 2 =12k1 + 3k 2，X 1X 2 =31 + 3k 2， y 1 + y 2= k (X 1 + X 2) — 4= k • 12k21 + 3k3X 2+ 4y 2= 12c 2,A ,B 两点的坐标满足方程组 _,y=p 3 X — c 消去y 并整理，得5X 2 — 8CX = 0，解得x i = 0, X 2= 8c , 5X i = 0,得方程组的解y i = — g不妨设 A 5c , 5 c , B （0,—=：3c ）, 所以 | AB = .. ：c 2+ 353C + 五2=罟c .十口 5于是 | MN = I AB = 2c , 8圆心（-「3）到直线PF 的距离.| — 3— .3 — 3c | ：3|2 + c |d ='—2= 2. 因为 d 2 + 嚳 2= 42,所以 3（2 + c ）2+ c 2= 16.整理得 7c 2 + 12c — 52= 0,得 c =—負舍），或 c = 2,2 2所以椭圆方程为16+12= 1.(理)(2020 •天津理，18)在平面直角坐标系 xOy 中，点 Ra , b )( a >b >0)为动点，F 1, F 22 2分别为椭圆X 2+ y 2= 1的左、右焦点，已知△ RPR 为等腰三角形. a b(1)求椭圆的离心率e ;(2)设直线PR 与椭圆相交于 A , B 两点，M 是直线PR 上的点，满足AM BM= — 2，求点M 的轨迹方程.［解析］(1)设 F 1( — c, 0), F 2( c, 0)( c >0) •由题意，可得 |PF | =庁冋，即：’a — c 2+ b 2 =2c .整理得c 2 c cc 2a + a -1=0.得 c =—1（舍）或 c1所以e = ~. ⑵ 由(1)知a = 2c , b = ,3c ，可得椭圆方程为 3X 2+ 4y 2= 12c 2，直线PR 方程为v = , 3(X8 X 2 = 5c , 1 2.2 2 23x + 4y = 12c , A , B 两点的坐标满足方程组 y =半 x — c .2 8 消去y 并整理，得 5x — 8cx = 0，解得x i = 0, X 2= c . 5将y = 11—代入c = x —啥,16 护x 3所以x >0. 因此，点 M 的轨迹方程是 18x 2— 16 3xy — 15= 0(x >0).2 . . x 2 . . 2 215. (2020 •北京理，19)已知椭圆G: -+ y = 1,过点(m,0)作圆x + y = 1的切线I 交椭 4圆G 于A B 两点.(1) 求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2) 将|AB 表示为m 的函数，并求|AB 的最大值.［解析］⑴由已知得a = 2, b = 1,所以 c = a 2— b 2= 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(一念,0) , (Q 3 0)，离心率为e =号=申 a 2⑵由题意知，i m > 1,当m= 1时，切线l 的方程为x = 1,点A , B 的坐标分别为(1 , -扌),(1 , — ^),此时| AB得方程组的解 X i = 0,y i =— 3c ,X 2=5c 3.3 ""5_ c . 不妨设 A 5c , — c , B( 0,—“J3c ).5 5 设点M 的坐标为(x , y )，则AM= x — 8c , 5BM= (x , y + 3c ).由 y = 3(x — c ),得 c = x — £y . =0,于是陥 8i53y —5x , 5y —F 由AM- BM=— 2,即 8i 53y — |x i5 5,^M= (x , 3x ).x + |y —孕-3x =—2,化简得 18x 2— 16 3xy — 15 i0x 2+ 5 c =矿 >°当m ^- 1时，同理可得| AB | = 3当| m >l 时，设切线I 的方程为y = k (x — m .y = k x — m ,由 x 2 2得(1 + 4k 2) x 2 — 8k 2mx+ 4k 2n i — 4 =0.4 + y = 1，设A , B 两点的坐标分别为（X i , y i ）,（X 2, y 2），则又由I 与圆x 2 + y 2= 1相切，得 £2 = 1, pk +1 即 mk 2= k 2+ 1.所以 | AB = ; X 2 — X 1 2+ y 2— y 1 2 =； 1 + k 2 [ X 1 + X 2 2 — 4x 1X 2】所以| AB 的最大值为2. X l + X 2 = 8k 2m 1 + 4k 2，4k 2m —4 X i X 2 =因为| AB = 4 _‘3| m z — m + 3 4 .33I m+nmw 2,且当n — 由于当m=±l 时，| AB = , 3,所以| AB =me ( —g, — 1] u [1 ,。

圆锥曲线的定义与性质高考资料高考复习资料中考资料

圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。

(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案理新人教A版

第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质[做真题]题型一圆锥曲线的定义与方程1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1解析：选B ．由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D ．由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D ． 3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选B ．法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k＝1，因为双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．法二：因为椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，所以b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.答案：6题型二圆锥曲线的几何性质1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14解析：选D ．由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D ．2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：23．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：2[明考情]1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11 题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大．圆锥曲线的定义与标准方程[典型例题](1)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A ．55B ．655C ．855D ．455(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C ． (2)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝ c 2－a 2＝2a .所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A．【答案】 (1)C (2)A(1)圆锥曲线的定义①椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． ②双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． ③抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． (2)求解圆锥曲线标准方程的思路[对点训练]1．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A ．514 B ．59 C ．49D ．513解析：选D ．如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.2．(2019·福州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝1解析：选D ．不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，所以b 2a 2＝32. ①又|BF →|＝b 2＋(－c )2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16. ② 由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________．解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4圆锥曲线的性质 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于 P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5(2)(2019·济南市模拟考试)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF →1·AF →2＝0，AF →2＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．74【解析】 (1)如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A ．(2)设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m .连接BF 1，由椭圆的定义可知|AF 1|＝2a －2m ，|BF 1|＝2a －m .由AF →1·AF →2＝0知AF 1⊥AF 2，故在Rt △ABF 1中，(2a －2m )2＋(3m )2＝(2a －m )2，整理得m ＝a 3.故在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝4a 3，|AF 2|＝2a 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝4c 2，解得e ＝53.【答案】 (1)A (2)C(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或a b的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A ．因为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，所以a 2＋b 2＝3a 2，所以b ＝2a .所以渐近线方程为y ＝±2x .2．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A ．2＋1B ．3＋1C ．5＋1D ．2＋2解析：选A ．如图，结合题意画出图形，因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以a 2＋b 2＝p 24①.因为AF ⊥x 轴，所以由点A 在抛物线上可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p (取A 在第一象限)，又点A 在双曲线上，所以p ＝b 2a ②.将②代入①得a 2＋b 2＝b 44a 2，即b 4＝4a 4＋4a 2b 2，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 4＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－1＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2－12，从而e 2＝c 2a 2＝2－1＋22－1＝(2＋1)2，故e ＝2＋1.故选A ．直线与圆锥曲线的位置关系[典型例题]命题角度一位置关系的判断及应用在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．命题角度二弦长问题(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解】设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求之．命题角度三定比、定点问题已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B →，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ(1－λ)2(y 1＋y 2)2，则(1－λ)2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2，因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43，即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0. 解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.2．(2019·湖南长沙模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2>3，故a 2＝4，则b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋(－t )2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|－m |1＋(－t )2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121.一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C ．由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选B ．设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A ．不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6. 又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A ．如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A ．5．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线在第一象限内交于点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A ． 3B ．32C ．33D ．233解析：选D ．显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k ＝233(负值舍去)．6．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t2＝1.设直线AB的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23st s 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D ．二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则b a＝3，所以离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．解析：不妨设点A 在第一象限，如图，作BB 1⊥l 于点B 1，设直线AB 与l 的交点为D ，由抛物线的定义及性质可知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，|EF |＝p .设|BD |＝m ，|BF |＝n ，则|BD ||AD |＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝13，即m m ＋4n ＝13，所以m ＝2n .又|BB 1||EF |＝|BD ||DF |，所以n p ＝m m ＋n ＝23，所以n ＝2p3，因为|DF |＝m ＋n ＝2p ，所以∠ADA 1＝30°.又|AA 1|＝3n ＝2p ，|EF |＝p ，所以|A 1D |＝23p ，|ED |＝3p ，所以|A 1E |＝3p ，所以直角梯形AA 1EF 的面积为12(2p ＋p )·3p ＝63，解得p ＝2.答案：2 三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x p ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)．据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.。

(新课标)高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的概念方程与性质名师课件理

根据题意得 p= 3 , 2
所以抛物线的方程是 y2=3x.
答案: (2)y2=3x
热点二圆锥曲线的几何性质
【例 2】 (1)(2015 新课标全国卷Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点, 点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°, 则 E 的离心率为( )
(A) 5 (B)2
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>0,b>0)的渐
近线与抛物线 C2:x2=2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离
心率为

.
解析:设点 A 在点 B 左侧,抛物线 C2 的焦点为 F,
x2 2 py, x2 2 py,
则 F（0,
p 2
）.联立得
2 a2
所以 a2=2b2.又因为 c=3,所以 b2=9,a2=18,
椭圆方程为 x2 + y 2 =1.故选 D. 18 9
4.(2013新课标全国卷Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在
C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( C )
(A)y2=4x或y2=8x
核心整合
名称定义
标准方程
椭圆 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)
x2 + y 2 =1 a2 b2
(a>b>0)
双曲线 ||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)
x2 - y 2 =1 a2 b2
(a>0,b>0)
抛物线 |PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M

高考数学二轮复习第2讲圆锥曲线的方程与性质

第2讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题 1.(2020·重庆调研)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( )A. x28－y210＝1 B. x24－y25＝1C. x25－y24＝1 D. x24－y23＝1 2.(2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM→＝MN →，则|FN →|等于( )A. 58B. 12C. 38D. 13. (2020·三明一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A. x24－y212＝1 B.x212－y24＝1 C. x23－y29＝1 D. x29－y23＝1 4. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为( )A. 35B. 57 C. 45D. 67二、多项选择题 5.若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( )A. 抛物线的焦点到准线的距离为3B. A ，B 两点之间的距离为12C. 原点O 到直线AB 的距离为38D. △OAB 的面积为946. 已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x2a2＋y23＝1(a >0)的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( )A. m ＝－1B. m ＝13C. c ＝－1D. a ＝2 7.已知椭圆C ：x24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( )A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF1→·PF2→＝0C. 椭圆C 的离心率为12D. 若P 为椭圆x24＋y 2＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3三、填空题 8.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________．9.(2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________．10.已知点P (0,1)，椭圆x24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP→＝2PB→，那么当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大为________．四、解答题 11.如图，已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.(1) 求抛物线E 的方程；(2) 已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求FA ·FB 的取值范围．(第11题)12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．(第12题)。

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2019年第一部分专题六第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

A组 1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线方程为( B ) A．y2＝6x B．y2＝8x

C．y2＝16x D．y2＝152x

[解析] 依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝p2，所以|MF|＝2p，即x＋p2＝2p，解得x＝3p2，y＝3p. 又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x. 2．若双曲线x2a－y2b＝1(a>0，b>0)和椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝ ( D ) A．m2－a2 B．m－a

C．12(m－a) D．m－a [解析] 不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，故|PF1|·|PF2|＝m－a.

3．(文)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )

A．73 B．54 C．43 D．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，

∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝ca＝53，故选D． (理)已知双曲线x24－y2b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相 2019年交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )

A．x24－3y24＝1 B．x24－4y23＝1

C．x24－y24＝1 D．x24－y212＝1 [解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b2x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝b2x，x2＋y2＝4得xA＝44＋b2，yA＝2b4＋b2，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝32b4＋b2＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为x24－y212＝1，故选D． 4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)2＋y2＝34的一条切线y＝kx与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D ) A．(1，3) B．(1,2) C．(3，＋∞) D．(2，＋∞)

[解析] 由题意，圆心到直线的距离d＝|k|12＋k2＝32，所以k＝±3，

因为圆(x－1)2＋y2＝34的一条切线y＝kx与双曲线C： x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有两个交点，

所以ba>3，所以1＋b2a2>4，所以e>2. 5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝( B ) A．72 B．3

C．52 D．2 [解析] 如图所示，因为FP→＝4FQ→，所以|PQ||PF|＝34，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥

x轴，

所以|MQ|4＝|PQ||PF|＝34，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3. 且斜率为3的直6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0) 2019年线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若AM→＝MB→，则p＝2. [解析] 设直线AB：y＝3x－3，代入y2＝2px得： 3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，

又因为AM→＝MB→，即M为A，B的中点，所以xB＋(－p2)＝2，即xB＝2＋p2，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)． 7．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为－2. [解析] 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1→·PF2

→

取最小值，最小值为－2. 8．已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12. [解析] 取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝12

|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12. 9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值． [解析] (1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，所以曲线C的方程为y2＝4x. (2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．

令y＝0，可得x＝x0－y0k，

圆心(2,0)到切线的距离d＝|2k＋y0－kx0|12＋k2＝2，整理可得(x20－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y20－4＝0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝2x0y0－4y0x20－4x0，k1k2＝y20－4x20－4x0，

所以△QAB面积S＝12|(x0－y0k1)－(x0－y0k2)|y0 2019年＝2·x20x0－1＝2x0－12＋2x0－1＋1x0－1

＝2[(x0－1)＋1x0－1＋2]．设t＝x0－1∈[4，＋∞)，则f(t)＝2(t＋1t＋2)在[4，＋∞)上单调递增，

所以f(t)≥252，即△QAB面积的最小值为252. B组 1．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是( C ) A．(2，＋∞) B．(2，2 ) C．(1，2) D．(1,2)

[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a. ∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2. ∵a>1，∴0<1a2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1故选C． 2．已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( A )

A．13 B．12

C．23 D．34 [解析] 解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－xa＋ym＝1，由题意可知M(－c，m－mca)，(0，m2)和B(a,0)

三点共线，则m－mca－m2－c＝m2－a，化简得a＝3c，则C的离心率e＝ca＝13. 解法二：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 2019年由PF⊥x轴得P(－c，b2a)．

设E(0，m)，又PF∥OE，得|MF||OE|＝|AF||AO|，

则|MF|＝ma－ca.①

又由OE∥MF，得12|OE||MF|＝|BO||BF|，则|MF|＝ma＋c2a.② 由①②得a－c＝12(a＋c)，即a＝3c，所以e＝ca＝13. 故选A． 3．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( B ) A．2 B．4 C．6 D．8

[解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(4p，22)，D(－p2，5)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4.故选B．

(理)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( A ) A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m

[解析] 由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝m2－1m2·n2＋1n2＝n2＋1n2＋2·n2＋1n2＝n4＋2n2＋1

n4＋2n2

＝1＋1n4＋2n2>1，所以e1e2>1.故选A． 4．已知M(x0，y0)是曲线C：x22－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为点N，若MF→·MN→<0，则x0的取值范围是( A ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(－1,1)