吉林省长春市第十一高中2022-2023学年数学高一上期末检测模拟试题含解析
2022-2023学年吉林省长春市实验中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市实验中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．5cos 3π=AB ．C ．D ．1212-【答案】B【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可.【详解】由诱导公式可得，故选B.51coscos 2cos cos 33332πππππ=-=-==【点睛】本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.2．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．{}π,Z k k αα=∈π,Z 2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭{}2π,Z k k αα=∈π,Z 4k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边在x 、y 轴上的角，再应用集合写出终边与坐标轴重合的所有角.【详解】终边与x 轴重合的角为且，即且为偶数，πk Z k ∈π2n n 终边与y 轴重合的角为且，即且为奇数，ππ2k +Z k ∈π2n n 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是.π,Z 2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选：B 3．化简（ ）()()cos cos sin sin αββαββ-+-=A ．B ．C ．D ．cos βcos α()cos 2αβ-()cos 2αβ-【答案】D【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】.()()cos cos sin sin αββαββ-+-=()()()cos cos 2αββαβ--=-故选：D 4．在中，是的（ ）ABC 1sin 2A <06A π<<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】通过三角函数性质结合充分条件与必要条件的推导即可得出答案.【详解】在中，，ABC 1sin 2A <则或，06A π<<56A ππ<<故推不出，可推出，1sin 2A <06A π<<06A π<<1sin 2A <则在中，是的必要不充分条件，ABC 1sin 2A <06A π<<故选：B.5．点P 从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q ，则点Q 的坐标是()1,0-π6（ ）A ．B ．C ．D ．12⎛- ⎝1,2⎛ ⎝21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭21⎫-⎪⎪⎭【答案】C【分析】根据题意得为终边的一个角为， 设，根据三角函数的定义可求出结果.OQ 5π6(,)Q x y 【详解】根据题意得为终边的一个角为， 设，OQ 5π6(,)Q x y 根据三角函数的定义可得，，则，πsin6y 5=5πcos 6x=12y =x =所以.1()2Q 故选：C6． 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里7.2知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）A ． 38680千米B ． 39375千米C ． 41200千米D ． 42192千米【答案】B【分析】由题意可将赛伊尼和亚历山大城之间的距离看作圆心角为的扇形的弧长，由此可计算7.2地球半径，进而求得地球周长.【详解】由题意可知，赛伊尼和亚历山大城之间的距离可看作圆心角为的扇形的弧长，7.2设地球半径为，则，r 7.25000157.5π180r ⨯=⋅∴地球周长为（米）=（千米），1802π25000157.5393750007.2r =⨯⨯⨯=39375故选：B.7．已知函数的图象关于直线x =2对称，则函数f （x ）图象的大致形状为（ ）()2log 2f x ax =-A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数图象的变换和的图象关于对称得到，即，()2log 2f x ax =-2x =220a -=1a =然后再根据对数函数的图象和图象的变换判断即可.【详解】因为的图象关于对称，所以，解得，则()2log 2f x ax =-2x =220a -=1a =，所以的图象可由函数的图象沿轴翻折，再向右平移2个单位得()2log 2f x x =-()f x 2log y x =y 到.故选：A.8．函数的零点所在的区间为（ ）()1ln 25ln2f x x x =+--A ．B ．C ．D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由函数零点存在性定理判断函数零点所在的区间，将每个选项区间的端点一一代入进行判断，看两个端点的函数值是否异号即可判断.【详解】∵，31(1)ln125ln3ln 2ln 2ln e 2f =+--=-+=-又∵，∴，∴，32e <3ln 2ln e <(1)0f <∵，555151555()ln 25ln ln ln ln 444242222f =+⨯--=--=-又∵，∴，∴，∴，51e2<<50ln ln e=12<<55ln 22<5()04f <∵，333131()ln 25ln ln ln 2ln 32222222f =+⨯--=--=-又∵，∴，即：，∴，2e 3>2lne ln 3>ln 32<3()02f <∵，327771713737()ln 25ln ln ln ln ln ln e 4442422222f =+⨯--=--=-=-又∵，∴，274998()248==35125(28=2375()(22<又∵，∴，5e2<335()e 2<∴，∴，∴，237(e 2<327ln ln e 2<7()04f <∵，1(2)ln 245lnln 41ln 4ln e 2f =+--=-=-又∵，∴，∴.4e >ln 4ln e >(2)0f >∴由零点存在性定理知，在区间内有零点.()f x 7(,2)4故选：D.二、多选题9．若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）αA ．B ．C ．D ．α-πα-3π2α-2α【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.【详解】因为角是第二象限角，所以，，απ2π2ππ2k k α+<<+Z k ∈对于A ，，，故是第三象限角，故A 正确；ππ2π2π2k k α--<-<--Z k ∈α-对于B ，，，故是第一象限角，故B 不正确；π2ππ2π+2k k α-<-<-Z k ∈πα-对于C ，，，故是第三象限角，故C 正确；3πππ2π2π22k k α-+<-<-Z k ∈3π2α-对于D ，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故π4π24π2πk k α+<<+Z k ∈2αy D 不正确.故选：AC10．下列等式成立的是（ ）A ．B ．()cos πcos αα-=-3πsin cos 2αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．D ．πtan tan 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭π2πcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD【分析】根据诱导公式和同角公式逐项判断可得答案.【详解】对于A ，根据诱导公式可知，，故A 正确；()cos πcos αα-=-对于B ，，故B 正确；3πππsin sin πsin cos 222αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C ，，故C 不正确；πsin πcos 112tan sin π2sin tan cos cos 2αααααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭对于D ，，故D 正确.π2πcos cos π33αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos π3α⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 3α⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：ABD11．下列关于函数的描述正确的是（ ）π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．图象关于直线对称B ．图象关于点对称π6x =π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．图象向右平移是奇函数D ．在上单调递增π6[]1,0x ∈-【答案】BCD【分析】利用正弦函数的性质对A ，B ，C ，D 四个选项逐个判断即可得到答案.【详解】对于A ，当时，A 错；π6x =y =对于B ，当时，，图像关于对称，B 对；π3x =0y =π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对于C ，把函数的图像向右平移个单位得到函数：y π6为奇函数，C 对；ππ2sin 263y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin2x =对于D ，令，，πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈可得函数的增区间为，y ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 所以在上是增函数，故D 正确.[]1,0-故选：BCD12．下列关于函数的描述正确的是（ ）()124xxf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．是减函数B ．若恒成立，则()f x ()f x a≤1a 4≥C ．若方程有两个不相等的根，则D ．，为奇函数()f x k =104k <<[]2,3a ∃∈()x y a f x =⋅【答案】BCD【分析】对于A ，根据可判断A 不正确；对于B ，求出的最大值，将恒成(0)(1)f f <()f x ()f x a≤立，化为求出的范围，可判断B 正确；令，，化为有两max()a f x ≥a 12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0,)t ∈+∞20t t k -+=个不相等的正根，利用二次函数知识求出的范围，可判断C 正确；对于D ，设k ()()xg x a f x =⋅，根据恒成立，求出，可判断D 正确.(24)x x x a --=-()()g x g x -=-a【详解】对于A ，因为， 所以不是减函数，故A 不正确；(0)0f =<111(1)244f =-=()f x 对于B ，因为，且，所以当，即211()22xx f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111224x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭1122x ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，取得最大值，若恒成立，则，故B 正确；1x =()f x 14()f x a ≤max1()4a f x ≥=对于C ，令，，若方程有两个不相等的根，则，即12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0,)t ∈+∞()f x k=2t t k -=有两个不相等的正根，设为，则，解得，故C 正确；20t t k -+=12,t t 1212Δ14010k t t t t k =->⎧⎪+=⎨⎪=>⎩104k <<对于D ，设，，()()xg x a f x =⋅(24)x x x a --=-()(24)x x x g x a --=-若为奇函数，则，即恒成立，()g x ()()g x g x -=-(24)x x x a ---(24)x x xa -=--所以恒成立，()2114224x xxxxa ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以恒成立，()()()224420x x xxxa -⋅-=所以恒成立，()()2240x xxa -⋅=所以恒成立，()28xxa =所以，所以在内存在为奇函数，故D 正确.28a =[2,3]a =()x y a f x =⋅故选：BCD三、填空题13．______．()f x =【分析】由根式性质求定义域，应用二次函数性质求出最大值，即可得函数最大值.(12)y x x =-【详解】由，故，而，(12)0x x -≥102x ≤≤211(12)2(48y x x x =-=--+所以，当时，即函数14x =max 18y =()f x14．函数（，，）的图象如下图，则解析式为______．()sin y A ωx φ=+0A >0ω>||πϕ<【答案】π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图象求出、，进而求参数，应用五点法有求，即可得解析式.2A =πT =ωπ()23y f ==ϕ【详解】由题图知：，，则，而，故，2A =πππ43124T =-=πT =2ππT ω==2ω=所以，()()2sin 2y f x x φ==+又，即且，π2π33(2sin 2y f φ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭2ππ2π32k ϕ+=+Z k ∈所以，，结合知：，π2π6k ϕ=-Z k ∈||πϕ<π6ϕ=-故.π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．函数的图象关于对称，则的最小值为______．()π2sin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭2x =ω【答案】##π121π12【分析】代入化简求解.()ππ2πZ 32k k ω+=+∈【详解】因为函数的图像关于对称，()2sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭2x =所以，()ππ2πZ 32k k ω+=+∈所以并且，()ππZ 122k k ω=+∈0ω>所以，min π12ω=故答案为：π1216．1)等于___________.-【答案】1-【解析】利用同角三角函数关系实现切化弦，再利用辅助角公式以及正弦的降幂扩角公式，整理化简，即可得到代数式的值.【详解】·cos10°sin 70cos 70︒︒sin 201cos 20︒︒⎫-⎪⎭=cos 20cos10sin 20︒︒︒=()cos102sin 2030sin 20sin 20sin 20︒︒︒︒︒︒⋅--== 1.-故答案为：.1-【点睛】本题考查利用同角三角函数关系以及辅助角公式、降幂扩角公式化简求值，属综合基础题.四、解答题17．（1）若，求的值；3log 41x =44x x -+（2）已知，，试用表示．lg 2a =lg 3b =,a b 15log 6【答案】（1）（2）1031a b b a +-+【分析】（1）根据对数运算性质及对数式化指数式得，代入可得结果；4x（2）根据换底公式可求出结果.【详解】（1）因为，所以，所以，，3log 41x =3log 41x=43x =143x -=所以.44x x-+110333=+=（2）因为，，lg 2a =lg 3b =所以.15log 6lg 6lg 2lg 3310lg15lg 2+==⨯lg 2lg 3lg 31lg 21a bb a ++==+--+18．已知，．()0,θπ∈7sin cos 13θθ+=(1)求的值；sin 2θ(2)求．tan θ【答案】(1)120169-(2)125-【分析】（1）把已知等式两边平方，即可得到的值；sin 2θ（2）结合（1）可得的值，再联立，即可解得和的值，再由sin cos θθ-7sin cos 13θθ+=sin θcos θ商的关系即可求解．tan θ【详解】（1）由，则，得，7sin cos 13θθ+=()227sin cos =1+2sin cos =13θθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1202sin cos =169θθ-所以；120sin 22sin cos =169θθθ=-（2）结合（1）有，又，则，，1202sin cos =169θθ-()0,θπ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，得，()2289sin cos =12sin cos =169θθθθ--17sin cos 13θθ-=联立，解得，17sin cos 137sin cos 13θθθθ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12sin 135cos 13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以．sin 12tan cos 5θθθ==-19．已知，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =(1)若的值；()f θ=θ(2)令，求此函数的最大值．()()2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦【答案】(1)5π6θ=(2)14【分析】（1）应用同角三角函数关系及定义域化简，结合函数值及正切函数值确定()2tan f x x =-角的大小即可；（2）令，结合二次函数性质求函数的最大值.tan (,0)t x =∈-∞【详解】（1），，1sin 1sin ()2tan cos cos x x f x x x x +-==-+=-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由，即，又，故.()2ta n f θθ=-=tan θ=π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5π6θ=（2）由（1）知：，令，24tan 2tan x y x -=-tan (,0)t x =∈-∞所以，2211424()44t t t y --=-+=+故，当时.1tan 4t x ==-max 14y =20．已知．()()22sin 2sin cos πf x x x x =--(1)求的周期及在上的单调递减区间；()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)求在的值域及取最值时的x 的值．()f x π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)的周期为，在上的单调递减区间为()f x ππ0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)在的值域为,取得最小值时，，取得最大值()f x π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[1,2]()f x 1π8x =-()f x 时，.2π2x =-【分析】（1）用恒等变换公式化简，根据周期公式可得周期，利用正弦函数的单调递减区间可()f x 得结果；（2）利用正弦函数的图象求出最值可得值域.【详解】（1）()()22sin 2sin cos πf x x x x =--22sin 2sin cos x x x=+，1cos 22sin 22x x -=⨯+sin 2cos21x x =-+π)14x =-+所以的周期为，()f x 2ππ2T ==由，，ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+Z k ∈得，，3π7πππ88k x k +≤≤+Z k ∈所以的单调递减区间为，()f x 3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈由，，π0,2⎡⎤⋂⎢⎥⎣⎦3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦3ππ,82⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Z k ∈所以在上的单调递减区间为.()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）当时，，，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ2,444x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦sin(2[4x π-∈-当，即时，取得最小值，取得最小值，ππ242x -=-π8x =-sin(2)4x π-1-()f x 1当，即时，，取得最大值，π5π244x -=-π2x =-sin(24x π-()f x 2所以在的值域为.()f x π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[1,2]21．（1）已知，，求的值；()1sin 2αβ+=()1sin3αβ-=tan tan αβ（2）钝角终边过点，，和的值．α()1,2-0πβ<<cos β=cos 2α2αβ+【答案】（1）；（2）59π4【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式列式，得到和，再根据同5sin cos 12αβ=1cos sin 12αβ=角公式可求出结果；（2）根据已知条件，推出，，，再求出，，和sin αcos αsin βcos 2αsin 2αcos(2)αβ+，然后根据角的范围求出即可得解.sin(2)αβ+2αβ+【详解】（1）由，得，()1sin 2αβ+=1sin cos cos sin 2αβαβ+=由，得，()1sin 3αβ-=1sin cos cos sin 3αβαβ-=两式相加得，两式相减得，5sin cos 12αβ=1cos sin 12αβ=所以.sin tan sin cos cos sin tan cos sin cos αααβαββαββ==5125112==（2）因为钝角终边过点，所以α()1,2-cos α==所以，sin α==22143cos 2cos sin 555ααα=-=-=-所以，4sin 22sin cos 2(5ααα===-因为，，所以，0πβ<<cos 0β=<ππ2β<<sin β===所以cos(2)cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-34(()55=-⨯--=，sin(2)sin 2cos cos 2sin αβαβαβ+=+43(()55=-⨯+-=因为，，所以，所以.ππ2α<<ππ2β<<3π23π2αβ<+<9π24αβ+=22．已知函数的图象和函数的图像关于对称．()f x y x =-y x =(1)求；()f x (2)若时最小值为，求m 值．()()()()1320x g x m f x m x =+⋅+-≤1-【答案】(1)2()3xf x -=(2)或3m =5m =--【分析】（1）由函数互为反函数，写出解析式；()f x （2）令，则，应用二次函数性质及其最小值，讨论23[1,)xt -∈+∞=()2()()12g x h t t t m m ==++⋅-大小关系列方程求参数即可.1,12m +-【详解】（1）由题意，与互为反函数，()f x y x =-所以.2()3xf x -=（2）由（1），，令，()2()1323x x g x m m --=+⋅+-23[1,)x t -∈+∞=则，开口向上且对称轴为，()2()()12g x h t t t m m ==++⋅-12m t +=-当，即时，最小值，即，112m +-≤3m ≥-()g x (1)11221h m m m =++-=-=-所以，满足；3m =3m ≥-当，即时，最小值，即，112m +->3m <-()g x 212(1)()214m m h m +=--+=--所以；5m =--5m =-+综上，或3m =5m =--。
吉林省长春市东北师大附中净月校区2022年数学高一上期末经典模拟试题含解析
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解析】利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零 点所在的区间．
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
4．已知圆 C1 ： x2 y2 2x 0 与圆 C2 ： x2 y2 4y 3 0 ，则两圆的公切线条数为 ( )
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
5．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已
知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约
则 sin( ) 0 或 cos( ) 0 ，
由 sin( ) 0 得 k k , k Z ，
由 cos( ) 0 得 k k , k Z ，
2
2
显然 k , k Z sin 2 sin 2 ， sin 2 sin 2 k , k Z ，
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
吉林省长春市十一高中2022-2023学年高三上学期零模考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，函数，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．2. 函数在上的图象大致为（ ）A．B．C．D．3. 下列说法中错误的是A ．先把高二年级的名学生编号为到，再从编号为到的名学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法.B ．正态分布在区间和上取值的概率相等C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D ．若一组数据的平均数是，则这组数据的众数和中位数都是4.直线分别与曲线，交于，则的最小值为A．B．C．D．5.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．6. 已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．9. 物流业景气指数LPI 反映物流业经济发展的总体变化情况，以50%作为经济强弱的分界点，高于50%时，反映物流业经济扩张;低于50%时，则反映物流业经济收缩.如图为中国物流与采购联合会发布的2020年1~7月的中国物流业景气指数，则下列说法正确的是（ ）吉林省长春市十一高中2022-2023学年高三上学期零模考试数学试题吉林省长春市十一高中2022-2023学年高三上学期零模考试数学试题三、填空题四、解答题A ．2月份物流业景气指数最低，6月份物流业景气指数最高B ．1，2月份物流业经济收缩，3~7月份物流业经济扩张C ．2月份到7月份的物流业景气指数一直呈上升趋势D ．4月份的物流业景气指数与2月份相比增加了一倍以上10. 已知向量，，以下结论正确的是（ ）A ．若，，则B．若，则C ．若，，则D ．若，，则11. 函数的部分图象如图所示，则（）A ．，B ．不等式的解集为，C ．为的一个零点D ．若A ，B ，C 为内角，且，则或12. 下列四个命题中为真命题的是（ ）A ．若随机变量服从二项分布，则B．若随机变量服从正态分布，且，则C ．已知一组数据的方差是3，则的方差也是3D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是413. 若复数在复平面内对应的点为，则________.14. 设、、为单位向量，且，则与夹角的余弦值是________．15. 已知函数f （x ）满足，且，请写出一个符合上述条件的函数f （x ）＝___．16. 已知椭圆C ：的离心率为，左、右焦点分别为，，A 为C的上顶点，且的周长为．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．17. 如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．18. 已知函数的图像与轴相切，．(1)求证：；(2)若，求证：19. 三棱锥中，△为等腰直角三角形，，平面平面.(1)求证：；(2)求和平面所成角的正弦值.20. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点．（1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．。
吉林省长春市田家炳实验中学2022-2023学年数学高一上期末检测模拟试题含解析
17．已知函数
（1）判断并证明函数 的奇偶性;
（2）判断函数 在区间 上的单调性（不必写出过程），并解不等式
18．（1）利用函数单调性定义证明：函数 是减函数；
（2）已知当 时，函数 的图象恒在 轴的上方，求实数 的取值范围.
（1）求年利润与 万元 关于年产量 万箱 的函数关系式；
（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大
22．已知函数 ， ，其中a为常数
当 时，设函数 ，判断函数 在 上是增函数还是减函数，并说明理由；
设函数 ，若函数 有且仅有一个零点，求实数a的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知函数 ，若函数 在 上有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．计算 ，其结果是
A. B.
C. D.
3．已知全集 ， ， ，则集合
A. B.
C. D.
4．若“ ”是假命题，则实数m的最小值为（）
A.1B.-
C. D.
5．设 ，则 等于（）
A. B.
C. D.
6．若 ，则 （）
【小问1详解】
证明：依题意，函数 的定义域为R．对于任意 ，
都有 ，
所以函数 是R上的偶函数
【小问2详解】
解：函数 在 上单调递增
因为函数 R上的偶数函数，所以
等价于 ．因为函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为
吉林省长春市榆树一中2022-2023学年高一上数学期末考试试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．已知集合A={x|2x -＜2}，B={x|l og 2x ＞0}，则（ ） A.{}A B x x 1⋂= B.A∩B=φ C.A B {x |x 1⋃=<-或x 1}> D.A B R ⋃=2．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11C A BD -的体积为（）A.13B.14C.12D.23 4．函数y =8x 2-（m -1）x +m -7在区间（-∞，-116]上单调递减，则m 的取值范围为（ ） A.0m ≥B.0m ≤C.2m ≤D.2m ≥ 5．若命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥B.12a ≥C.12a ≤D.1a ≤6．已知在海中一孤岛D 的周围有两个观察站A C 、，且观察站A 在岛D 的正北5海里处，观察站C 在岛D 的正西方.现在海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站A与C的距离为A.212B.21C.7D.277．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A.56B.103C.53D.28．在直角坐标系xOy中，已知43sin,cos55αα=-=，那么角α的终边与单位圆O坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭9．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）A.2000元B.1500元C.990元D.1590元10．已知函数()22||2019f x x x =-+.若()2log 5a f =-，()0.82b f =，52c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N =⇔log a b N =.现在已知23a =， 34b =，则ab =__________.12．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m =_______.13．在棱长为2的正方体ABCD －1111D C B A 中，E ，F ，G ，H 分别为棱11A D ，11A B ，11B C ，11C D 的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，现有下列四个结论：①CG //平面ADE ；②该几何体的上底面的周长为42π+；③该几何体的的体积为83π-；④三棱锥F －ABC 的外接球的表面积为414π 其中所有正确结论的序号是____________14．函数()()()2f x x a bx a =++是偶函数，且它的值域为(],2-∞，则2a b +=__________15．已知函数()222,01,0x tx t x f x x t x x ⎧-+-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若()0f 是()f x 的最大值，则实数t 的取值范围是______ 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 17．设函数()21f x x ax a =++-.（1）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（2）若()f x 是偶函数，且[]12,3x ∃∈，[]21,2x ∀∈，()()122250mf x x m m x <-+≠，求m 的取值范围. 18．已知函数()23sin cos 3cos 2x x f x x =+-，x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）当π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求： （ⅰ）()f x 的单调递减区间；（ⅱ）()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.19．如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形,PA=AB=1，AD=，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动（Ⅰ）求三棱锥E-PAD 的体积;（Ⅱ）当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，△PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，已知AD =2，23BD =AB =2CD =4（1）求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若M 为PC 的中点，求四棱锥M -ABCD 的体积21．已知不等式()21460a x x --+> 的解集为{}|31x x -<< （1）求a 的值；（2）若不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、A【解析】先分别求出集合A 和B ，再利用交集定义和并集定义能求出结果【详解】由2-x ＜2得x ＞-1，所以A={x|x ＞-1}；由log 2x ＞0得x ＞1，所以B={x|x ＞1}．所以A∩B={x|x ＞1}．故选A【点睛】本题考查交集、并集的求法及应用，考查指数对数不等式的解法，是基础题2、B【解析】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴，∵由tan α＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限故选择B3、A【解析】用正方体的体积减去四个三棱锥的体积 【详解】由11111111111111326B A BCD A DC C BDC A A BD V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=，1111111111141463C A BD ABCD A B C D B A BC V V V ---=-=-⨯= 故选：A4、A【解析】求出函数的对称轴，得到关于m 的不等式，解出即可【详解】函数的对称轴是116m x -=, 若函数在区间1,16⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减， 则111616m -≥-，解得：m ≥0， 故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5、C【解析】解不等式22103x x -+<得112x <<，进而根据题意得集合1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是集合(),+∞a 的真子集，再根据集合关系求解即可.【详解】解：解不等式22103x x -+<得112x <<， 因为命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，所以集合1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是集合(),+∞a 的真子集， 所以12a ≤ 故选：C6、D【解析】画出如下示意图由题意可得，120BCD ∠=︒，又60BAD ∠=︒，所以A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径、90ABC ∠=︒在BAD ∆中，4,5,60AB AD BAD ==∠=︒,由余弦定理得2222212cos 45245212BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， ∴21BD = ∴227BD AC R sin BAD===∠（其中R 为圆的半径）.选D 7、B 【解析】由三视图可知此几何体是由一个长为2，宽为2，高为2的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为1110222222323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故正确答案选B.考点：1.三视图；2.简单组合体体积.8、A【解析】利用任意角的三角函数的定义求解即可【详解】因为43sin ,cos 55αα=-=， 所以角α的终边与单位圆O 坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：A9、D【解析】根据税款分段累计计算的方法，分段求得职工超出5000元的部分的纳税所得额，即可求解.【详解】由题意，职工八月份收入为20000元，其中纳税部分为20000500015000-=元，其中不超过3000元的部分，纳税额为30003%90⨯=元，超过3000元至12000元的部分，纳税额为900010%900⨯=元，超过12000元至25000元的部分，纳税额为300020%600⨯=元，所以该职工八月份应缴纳个税为909006001590++=元.故选：D.10、C【解析】由函数的奇偶性结合单调性即可比较大小.【详解】根据题意，f （x ）＝x 2﹣2|x |+2019＝ f （﹣x ），则函数f （x ）为偶函数，则a ＝f （﹣log 25）＝f （log 25），当x ≥0，f （x ）＝x 2﹣2x +2019＝（x ﹣1）2+2018，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；又由1＜20.8＜2＜log 2552＜，则()()0.8252?log 5?2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭. 则有b ＜a ＜c ；故选C【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、2【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.【详解】∵23a =， 34b =∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2ab =⋅=⋅== 故答案为2 【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：log log log bb c aa c =将其转化为同底数的对数式进行运算.12、2【解析】由题意可得2330,m -⨯+=解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,∥λλ≠⇒∃∈=0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200⊥⇔⋅=⇔+=x x y y a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .13、①③④【解析】由面面平行的性质判断①；由题设知两段圆弧的长度之和为π，即可得上底周长判断②；利用正方体体积及圆锥体积的求法求几何体体积判断③；首先确定外接球球心位置，进而求出球体的半径，即可得F －ABC 的外接球的表面积判断④.【详解】因为面1//ADD E 面1BCGB ，CG ⊂面1BCGB ，所以CG //平面1ADD E ，即CG //平面ADE ，①正确；依题意知，弧EF 与弧HG 均为圆弧，且这两段圆弧的长度之和为π，所以该几何体的上底面的周长为4π+，该几何体的体积为8－3π，②错误，③正确； 设M ，N 分别为下底面、上底面的中心，则三棱锥F －ABC 的外接球的球心O 在MN 上设OM ＝h ，则()()2222212h h -+=+，解得34h =， 从而球O 的表面积为()241424h ππ+=，④正确. 故答案为：①③④14、1-【解析】展开()f x ，由()f x 是偶函数得到0a =或2b =-，分别讨论0a =和2b =-时的值域，确定a ，b 的值，求出结果.【详解】解：()()()()22222f x x a bx a bx a ab x a =++=+++为偶函数， 所以20a ab +=，即0a =或2b =-，当0a =时，()2f x bx =值域不符合(],2-∞，所以0a =不成立； 当2b =-时，()2222f x x a =-+，若值域为(],2-∞，则21a =，所以 21a b +=-.故答案为：1-.15、[]2,0-【解析】先求出0x <时()f x 最大值为2t -，再由()0f 是()f x 的最大值，解出t 的范围.【详解】当0x <时，()1f x x t x =++，由对勾函数的性质可得：在1x =-时取得最大值2t -； 当0x ≥时，()()2222f x x tx t x t =+-=---，且()20f t =-是()f x 的最大值， 所以22,0t t t -≥-≤，解得：20t -≤≤.故答案为：[]2,0-三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）（2）函数为偶函数，证明见解析 （3）函数在区间上单调递减，证明见解析 【解析】（1）根据对数的真数部分大于零列不等式求解；（2）根据可证明为偶函数； （3），，且，计算变形，判断符号即可判断出单调性.【小问1详解】根据题意，有得.所以函数的定义域为.【小问2详解】函数为偶函数.证明：函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数. 【小问3详解】函数在区间上单调递减. 证明：，，且有，因为，又所以. 所以，即. 所以函数在区间上单调递减17、（1）当2a <时，{}11x x a -<<-；当2a =时，x ∈∅；当2a >时，{}11x a x -<<- （2）121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）分类讨论，解含参一元二次不等式；（2）先根据()f x 是偶函数，得到0a =，再[]12,3x ∃∈，[]21,2x ∀∈，()()122250mf x x m m x <-+≠转化为()mf x 在[]2,3上的最小值小于()25g x x m x=-+在[]1,2上的最小值，进行求解. 【小问1详解】()()()11f x x x a =++-，令()0f x =，解得1x =-或1a -当2a <时，11-<-a ，()0f x <的解集是{}11x x a -<<-；当2a =时，11-=-a ，()0f x <的解集是∅；当2a >时，11->-a ，()0f x <的解集是{}11x a x -<<-.【小问2详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，解得：0a =.设函数()25g x x m x=-+，因为()g x 在[]1,2上单调递增，所以()()min 151g x g m ==-. 设函数()()()()210h x mf x m x m ==-≠. 当0m >时，()h x 在[]2,3上单调递增，则()()min 23h x h m ==，故351m m <-，即12m >，结合0m >得：12m >；当0m <时，()h x 在[]2,3上单调递减，则()()min 38h x h m ==，故851m m <-，即13m <-，结合0m <得：13m <- 综上，m 的取值范围为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 18、（1）π（2）（ⅰ）ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦（ⅱ）()f x 的最大值为1，此时π=12x ；()f x 的最小值为π=2x 【解析】（1）先用三角恒等变换化简得到()πsin(2)3f x x =+，利用最小正周期公式求出答案；（2）在第一问的基础上，整体法求解函数单调区间，根据单调区间求解最值，及相应的自变量的值.【小问1详解】2()sin cos f x x x x =+1sin 2cos 2)222x x =++-πsin(2)3x =+，2π==π2T ，∴()f x 的最小正周期为π【小问2详解】（ⅰ）π[0,]2x ∈，∴ππ4π2[,]333t x =+∈， sin y t =，π4π[,]33t ∈的单调递减区间是π4π[,]23t ∈， 且由ππ4π2233x ≤+≤，得ππ122x ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为ππ[,]122（ⅱ）由（1）知，()f x 在ππ[,]122上单调递减，在π[0,]12上单调递增.且π(0)=sin 32f =，ππ()=sin 1122f =，π4π()=sin 232f =-，所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为1；当π=2x 时，()f x 取最小值为19、（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析【解析】(1)三棱锥E PAD -的体积V ＝13PA ⋅ADE S ∆＝13PA ·1()2AD AB ⋅(2)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行∵在PBC ∆中，,E F 分别为BC 、PB 的中点，∴//EF PC ，又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴//EF 平面PAC(3)证明ABCD ：∵PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴BE PA ⊥，又BE AB ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，∴BE ⊥平面PAB .又AF ⊂平面PAB ，∴AF BE ⊥.又1==PA AB ，点F 是PB 的中点，∴PB AF ⊥，又PB BE B ⋂=,,PB BE ⊂平面PBE ， ∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴⊥AF PE .考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥20、（1）证明过程详见解析（2）32【解析】(1)先证明BD⊥平面PAD ，即证平面PBD⊥平面PAD.(2) 取AD 中点为O ，则PO 是四棱锥的高,再利用公式法求四棱锥M-ABCD 的体积【详解】（1）在三角形ABD 中由勾股定理得AD ⊥BD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以BD ⊥平面PAD ，则平面PBD ⊥平面PAD.（2）取AD 中点为O ，则PO 是四棱锥的高，3PO =，底面ABCD 的面积是三角形ABD 面积的32，即33，所以四棱锥P -ABCD 的体积为32. 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.21、（1）3a =； （2）[]6,6-.【解析】(1)根据题意得到方程()21460a x x --+= 的两根为3,1-，由韦达定理可得到结果；（2）不等式2330x mx ++≥的解集为R ，则24330m ∆=-⨯⨯≤解出不等式即可.【详解】（1）由已知，10a -<，且方程()21460a x x --+= 的两根为3,1-. 有4311631a a ⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，解得3a =； （2）不等式2330x mx ++≥的解集为R ，则24330m ∆=-⨯⨯≤，解得66m -≤≤，实数m 的取值范围为[]6,6-.【点睛】这个题目考查了根和系数的关系，涉及到两根关系的题目，多数是可以考虑韦达定理的应用的，也考查到二次函数方程根的个数的问题.。
吉林省长春市吉林实验中学2022年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
1
K e0.23t
52
0.95K
，解出 t 即可
【详解】解：由已知可得
1
K e0.23t
52
0.95K
e ，解得 0.23 t52
1， 19
两边取对数有 0.23t 52 ln19 3 ，
解得 t 65 .
故选：B 7、B
【解析】 a b a b ,a2 2a b b 2 a2 2a b b 2,a b 0 ，所以 a b ，故选 B
(1)求证: FH / / 平面 BDE ；
(2)求证:平面 BDE 平面 ACF .
22．（1）已知 ，求
的最小值；
（2）求函数
的定义域
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.） 1、C
17．物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普 通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂） 等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每
考点：平面向量的垂直 8、C
【解析】令 h x f x f x ,可判断出 g(x)的图象就是将 h(x)的图象向上平移一个单位，由图像的对称性即可得
到答案.
【详解】令 h x f x f x 则 g x h x 1,
即 g(x)的图象就是将 h(x)的图象向上平移一个单位即可. 因为 h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),即函数 h(x)为奇函数,图象关于原点对称,
2021-2022学年吉林省长春市十一高中高一上学期第一学程考试数学试卷
数 学试题
第Ⅰ卷（共 60分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的.
1．已知集合 A x Z x 1 ，集合 B x x2 4x 0 ，则 A B =（ ）
C. 当 a 2 时， 4 a 4 4 ，故错误； a
D.因为
a
b
0
，
m
0
，则
b a
b a
m m
ab
bm ab
aa m
am
b aa
am m
0
，所以
b a
b a
m m
，
故正确；故选：AD 10．BC
函数
f
(x)
x2, x
2 x 1 2, x 1
，定义分
-
2£
x < 1和 x 1两段，定义域是2, ，故 A 错误；
14．已知 a 0 ， b 0，且 a 3b ab ，则 a 3b 的最小值是___________.
15．已知 f ( x 1) x 2 x ，则函数 f (x) 的解析式为______ ．
16．若函数 f (x) 满足 f (x 2) x 3 ，则 f (x) 在[1, ) 上的值域为______.
当 m 1时， A 1,3, 3 符合题意.
②若 m2 2m 1，解得： m 1.舍去. 故 m 1.
故答案为：-1.
14．12 a 3b ab ， a 0 ， b 0 ， 1 3 1 ，
ba
a
3b
a
3b
1 b
3 a
6
吉林省吉林毓文中学2022-2023学年高一数学第一学期期末检测试题含解析
【详解】∵（∁UB）＝{x|x＜3或x≥5}，
∴A∩（∁UB）＝{x|0＜x＜3}
故选D
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础
5、B
【解析】根据相等函数的定义即可得出结果.
【详解】若函数 与 的图象相同则 与 表示同一个函数，则 与 的定义域和解析式相同.
甲和丙被录取的概率为 ，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为 ，
故答案为： .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；（2）年产量为 万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为 万元
【解析】(1)由利润 销售收入 总成本写出分段函数的解析式即可；
【详解】做出函数 的图像如下：
在 单调递减：最小值0； 在 单调递增：最小值0，最大值2；
在 上是部分余弦型曲线：最小值 ，最大值2.
若方程 有4个不同的解： ，则
不妨设四个解依次增大，则
是方程 的解，则 ，即 ；
是方程 的解，则由余弦型函数的对称性可知 .
故 ，
由 得 即
当 时， 单调递减，则
故答案为：① ；②
故选：D.
9、D
【解析】根据表中数据可得每月人数的增长速度在逐月减缓，即可选出答案.
【详解】计算可知，每月人数增长分别为62，39，37，26，增长速度在逐月减缓，符合对数函数的特点，
故选：D
10、B
【解析】在同一坐标系内画出三个函数 ， ， 的图象，以此确定出函数 图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值
A. B.
C. D.
2022-2023学年吉林省长春市实验学校高一年级上册学期期末考试数学试题
长春实验学校2022—2023学年度上学期 高一年级期末考试 数学学科试卷考试时间： 90分钟 满分： 120 分 审题人：高一数学组一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1． 若集合，则A∩B ＝（ ） A ． B ． C ． D ．2． 已知则（ ）A ．B ．C ．D ．3． “6πα=”是“21sin =α”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4． 函数62)(1-+=-x x f x 的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 5． 已知a >0，b >0，若111=+ba ，则b a +4的最小值为（ ） A ． 10 B ． 9 C ． 8 D ． 7 6．若sin α2＝ 33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13 C. 13 D. 237． 函数的单调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 8． 已知函数24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x的方程{{2}A xy B x x ===<∣∣{}12x x ≤<{}1x x ≥{}2x x <{}12x x <<,a b c >>ab ac >22a b >a b b c ->-a b a c +>+(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)()cos 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22,6323k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (),6323k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (),6363k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()22,6363k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 119,4216⎧⎫⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭D ． 119,4216⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则（ ） A ．a = 3B ．b = 0C ．函数()f x 的定义域为2233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．函数()f x 的最小值为110. 下列说法正确的是（ ）A. 若α的终边上的一点坐标为（8,15），则B. 若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角 C. 对，D. 若，，则11. 下列命题中正确的是( )A. 命题：的否定是B. 若，则C. 函数()()1011≠>+=-a a a x f x 恒过定点()2,1D. 若关于x 的不等式2680kx kx k -++≥恒成立，则k 的取值范围为01k <≤12. 关于函数有如下命题，其中正确的有( )A. 的表达式可改写为B. 当 时， 取得最小值C. 的图象关于直线对称D ． 的图象关于点对称三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）8cos 17α=π,π2α⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭cos α=1sin cos 5αα+=0πα<<tan 0α<20,0x x ∀≥≥“”20,0x x ∃<<“”0.340.511log 7,log ,()32a b c ===b a c >>()4sin(2)()3f x x x R π=+∈()y f x =()4cos(2)()6f x x x R π=-∈5()12x k k Z ππ=-∈()y f x =()y f x =3x π=()y f x =(,0)6π-13．已知关于的不等式的解集是{x |−1<x <2}，则______． 14．已知某扇形的弧长为23π，圆心角为2π，则该扇形的面积为_______． 15．已知41)3sin(=-x π，且20π<<x ，则=+)6sin(x π______．16．已知都为锐角,,135)cos(,53sin =+=βαα 则的值为_______. 四、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵坐标为 .54（1）求αααtan ,cos ,sin 的值；（2）先化简再求值：)sin()4cos()2sin()sin(απαπαπαπ--+-++18．（本小题满分10分）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且f (x )={10x 2+200x ， 0<x ≤60801x +10000x−9700， x >60已知每辆车的售价为8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （利润=销售额-成本）（2）当2022年产量为多少时，企业所获利润最大？并求出最大利润．19．（本小题满分10分） 已知定义域为R 的函数()221x f x a =-+是奇函数. （1）求函数的解析式；x 210ax bx ++>2a b +=,αβcos βx ()f x ()L x x ()f x（2）判断函数的单调性，并用定义证明；20．（本小题满分10分）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0),62sin(2)(ππx x x f（1）求函数)(x f 的周期和值域；（2）设),0()(>+=a x a x x g 若对任意的()+∞∈,01x 及任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,02πx ，都有不等式)()(21x f x g ≥恒成立，求实数a 的取值范围．()f x长春实验学校2022—2023学年度上学期高一年级期末考试数学学科答案一、单选题13.12； 14.94π ；15. √154； 16.5665.四、解答题17.【解析】（1）由题知：4sin5α=............................................................. .......................1分因为sin2α+cos2α＝1，所以3cos5α=± (2)分又因为α为第二象限角，所以3cos5α=-..............................3分所以，sin4tancos3ααα==-...........................................5分（2）原式＝−sinα+cosα+cos αsin α=−sinα+2cosαsin α..................7分=−45+2×（−35）45.......................................9分=−52...............................................10分（方法不唯一）18.【解析】（1）当0<x ≤60时()22()8001020050010600500L x x x x x x =-+-=-+-；当60x >时，1000010000()80080197005009200L x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭． .................. 2分 所以L (x ){−10x 2+600x −500，0<x ≤60，−x −10000x+9200，x >60，............ 4分（2）若0<x ≤60，L (x )=−10(x −30)2+8500，当30x =时，max ()8500L x =万元． ............. 6分 当60x >时，L (x )=−(x +10000x)+9200≤9200−2√10000=9000......................... 8分 当且仅当10000x x=，即100x =时，max ()9000L x =万元........... 9分 所以2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润是9000元． .................... 10分 19.【解析】（1）因为函数()221xf x a =-+是R 上的奇函数，则()00f =， 解得1a =， ..............2分()2121x f x ∴=-+， .......................3分 经验证，满足()()2222111211221x x x xf x f x -⋅⎛⎫-=-=-=--=- ⎪+++⎝⎭， 所以1a =，()2121x f x ∴=-+ ...............4分 （2）()f x 在R 上单调递增， ..........5分证明:()()()()()12211212*********,,,21212121x x x x x x x x R x x f x f x -∀∈<-=-=++++.......7分函数2x y =在R 上单调递增，又12x x <，则1222x x <，得()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ........................9分 ()f x ∴在R 上单调递增. ............10分20.【解析】 （1）T =2π2=π，所以函数的周期为π ..................1分因为x ∈[0,π2]，所以2x ∈[0,π]，2x −π6∈[−π6,5π6].所以sin(2x −π6)∈[−12，1].2sin(2x −π6)∈[−1，2]. ..............3分 函数的值域为[−1，2] ..................4分（2）因为对任意的及任意的x 2∈[0，π2]，都有不等式恒成立.所以g （x 1）min ≥f （x 2）max .....................5分 由（1）可知f （x 2）max =2因为g (x )=x +ax ≥2√a ，所以g （x 1）min =2√a当且仅当x =ax ，即x =√a 等号成立，..................7分 所以2√a ≥2所以a ≥1..........................................9分 实数的取值范围[1，+∞）...............10分()f x ()f x 1(0)x ∈+∞，12() ()g x f x ≥a。
吉林省长春市长春外国语学校2022年数学高一上期末统考模拟试题含解析
g x 3 x3 x ，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故 A 符合题意；
对于 B，函数 f x 1的定义域为 R ，
函数 g x x0 的定义域为 x x 0 ，
故两函数不是相同函数，故 B 不符题意；
对于 C，函数 f x x 1的定义域为 R ，
故平均数与方差的和是 23. 故答案为：23.
13、 10 . 10
【解析】设 BC 边上的高为 AD ，则 BC 3AD ，求出 AC 5AD ， AB 2AD ．再利用余弦定理求出 cos A. 【详解】设 BC 边上的高为 AD ，则 BC 3AD ， 所以 AC AD2 DC2 5AD ， AB 2AD
故选 C 【点睛】本题考查了斜二测画法，考查三角形中三条线段长的大小的比较，属于基础题 8、C 【解析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
【详解】由于函数 f x ln x2 ax 1 在2,3 上单调递减， y ln x 在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
21．已知函数 f x 2 sin4 x cos4 x 2 2 sinx cosx 0 最小正周期为 .
（1）求 的值：
（2）将函数 f x 的图象先向左平移 个单位，然后向上平移 1 个单位，得到函数 y g x ，若 y g x 在
8
0,bb 0 上至少含有 4 个零点，求 b 的最小值.
2
10．已知
f
(x)
sin
x
3
(
0)，f
6
f
3
,且
f
(x)
在区间
6
， 3
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（2） .
18．某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为 （万元）
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量 （单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？
当 时，由韦达定理得 ， ，此时 .
故选：B
2、A
【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的 ,即该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以它的表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和,即 ，故选A
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）109；（2） .
【解析】（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；
（2）利用对数运算性质化简求值即可.
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 .
18、（1）8台（2）
【解析】（1）根据题意将问题转化为对 的求解，利用基本不等式即可；
【详解】由题设， ，可得 ，
，可得 ，
∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的 倍.
故答案为：1000.
13、
【解析】根据半保值函数的定义,将问题转化为 与 的图象有两个不同的交点，即 有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.
【详解】因为函数 且 是“半保值函数”，且定义域为 ，
【详解】函数 根据两角和的正弦公式得到 ，因为x 根据正弦函数的性质得到最大值为 .
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.
7、C
【解析】结合平面向量线性运算的坐标表示求出 ，然后代入模长公式分别求出 和 ，进而根据平面向量的夹角公式即可求出夹角的余弦值，进而求出结果.
9、C
【解析】由 ，得 ，
所以函数 的图象在区间 内的对称轴为
故当方程 在区间 内有两个不同的解 时，则有
选C
10、C
【解析】先求出 ，再根据二倍角余弦公式求出 ，然后根据诱导公式求出 .
【详解】由题意可得： ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线
C. 的一个零点为 D. 在区关系是
A.相切B.相离
C.相交D.不确定
5．设 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
6．函数 的最大值为
A.2B.
C. D.4
7．已知向量 ， ，则向量 与 的夹角为（）
A. B.
C. D.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
所以可减少
19、①. ②. 或
【解析】①.由题意设出圆心坐标，结合圆经过的点得到方程组 ，求解方程组计算可得圆的方程为
②.分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线 的方程为 或
试题解析：
①由题意可知，
设圆心为
则圆 为： ，
∵圆 过点 和点 ，
∴ ，
则
即圆 的方程为
② 设直线 的方程为 即 ，
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若 ，则 的最小值为__________.
12．声强级L（单位：dB）由公式 给出，其中I为声强（单位：W/m2）.声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的______倍.
13．已知函数 定义域为 ，若满足① 在 内是单调函数； 存在 使 在 上的值域为 ，那么就称 为“半保值函数”，若函数 且 是“半保值函数”，则 的取值范围为________
14．向量 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 __________
15．已知 为角 终边上一点，且 ，则 ______
16．已知锐角三角形的边长分别为1，3， ，则 的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．化简求值
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】整理代数式满足运用基本不等式结构后，用基本不等式求最小值.
【详解】∵
∴
当且仅当 ， 时，取最小值 .
故答案为:
【点睛】用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，若不能取等，则要改变求最值的方法.
12、1000
【解析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.
由 时， 在 上单调递增， 在 单调递增，
可得 为 上的增函数；
同样当 时， 仍为 上的增函数，
在其定义域 内为增函数，
因为函数 且 是“半保值函数”，
所以 与 的图象有两个不同的交点，
所以 有两个不同的根，
即 有两个不同的根,
即 有两个不同的根,
可令 ， ，
即有 有两个不同 正数根，
可得 ，且 ，
（2）先求出一台机器人的最大日工作量，根据最大工作量再求出所需要的人数，通过比较即可求解.
【小问1详解】
由题意
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以应购买8台，可使每台机器人的平均成本最低
【小问2详解】
由 ，
可得当 时， ，
所以 时，
每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人，
而此时人工操作需要的人工数为 ，
19．已知圆 的圆心在直线 上，半径为 ，且圆 经过点 和点
①求圆 的方程
②过点 的直线 截图所得弦长为 ，求直线 的方程
20．已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
21．设非空集合P是一元一次方程 的解集.若 ， ，满足 ， ，求 的值.
（2）定义域为 或 或 ，
增区间为 ，减区间为 ， ， ， ，
值域为
21、答案见解析
【解析】由题意可得 ，写出P的所有可能，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可.
【详解】由于一元二次方程 的解集非空，且 ，
，所以 ，
即 满足题意.
当 时，由韦达定理得 ， ，此时 ：
当 时，由韦达定理得 ， ，此时 ；
【详解】 ， ，
， ，从而 ，
且 ，记 与 的夹角为 ，
则
又 ，
，
故选：
8、C
【解析】取 的中点为 ，连接 ，过 作 的垂线，垂足为 ，可以证明 平面 、 平面 ，求出 的面积后利用公式求出三棱锥 的体积.
【详解】
取 的中点为 ，连接 ，过 作 的垂线，垂足为 .
因为 为等腰直角三角形，故 ，同理 ，
所以 ， ，
.
故答案为： .
16、
【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得 应满足
，解得 ，
∴实数 的取值范围是
答案：
点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围
【详解】圆C： 的圆心坐标为： ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以圆心在直线l上，
故直线与圆相交
故选C
【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用
5、D
【解析】解出不等式 ，然后可得答案.
【详解】因为 ，
所以
故选：D
6、B
【解析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.
3、D
【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.
【详解】函数 ，周期为 ，故A错误；
函数图像的对称轴为 ， ， ，
不是对称轴，故B错误；
函数的零点为 ， ， ，
所以 不是零点，故C错误；
时， ，所以 ，即 ，所以 ，故D正确.
故选：D
4、C
【解析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断.
而 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，故 为直线BD和平面ABC所成的角，
所以 .
在等腰直角形 中，因为 ， ，故 ，
同理 ，故 为等边三角形，故 .
故 .
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的