非惯性系中的力学
大学物理2-1第2章
说明
惯性力不是真实力，无施力物体，无反作用力。
2、非惯性系中的力学规律
F F0 ma
a 为物体相对非惯性系的加速度
物体相对惯性系的加速度 a a a0
常见的非惯性系 1、作直线运动的加速参考系 以恒定加速度 a0 作直线运动的车厢内吊一重物 m 。
g
GM地 球 R2
9.8m s 2
2 弹性力：发生形变的物体，有恢复原状的趋势，对与它接 触的物体产生的作用力。 ★绳或线对物体的拉力
绳或线对物体的拉力，是由绳发生形变而产生的，其大小取决于 绳被拉紧的程度。绳产生拉力时，绳的内部各段之间也有相互的 弹力作用，这种内部的弹力作用称为张力。 设绳子不可伸长，每段的质量为△mi 则：
s
2.4 惯性系和非惯性系
一、惯性系与非惯性系：
乙
甲
F m
a
l0
观察者甲： 有力 F和加速度 a即 F m a
牛顿定律在该参照系中适用 — 惯性系 牛顿运动定律适用的参考系称为惯性系。
观察者乙：有力 F 但没有加速度 a即 m a 0 , F 0
讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。
选对象、分析力、看运动、建坐标系和列方程
例题2-1 光滑桌面上放置一固定圆环，半径为R ，一 物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动磨 擦系数为μ。设 t = 0 时，质点经 A 点的速度为v0 。求此后 t 时刻物体的速率和从 A 点开始所经过的路程。 分析：已知初始条件求速率和路程，需先求出加速度。 结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问题变成已知加速度 和初始条件求速度方程或运动方程的第二类运动学问题。 解：1）以桌面为参考系，建立自然坐标系 2）分析受力,设物体的质量为m 3） 应用牛顿第二定律
非惯性系内质点的动力学方程
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第16~17章)【圣才出
第16章非惯性系中的质点动力学16.1复习笔记一、基本方程1．非惯性系中的质点动力学基本方程（或称为质点相对运动动力学基本方程），其表达式为r Ie ICma F F F =++v v v v 式中，e Ie F ma =-v v ，表示牵连惯性力；C C I F ma =-v v ，表示科氏惯性力。
2．在动参考系内，把非惯性系质点动力学基本方程写成微分形式22Ie IC d d r m F F F t'=++v v v v 3．几种特殊情况（1）当动参考系相对于定参考系作平移时，则C 0a = ，0F =IC ，于是相对运动动力学基本方程为r Iema F F =+v v v （2）当动参考系相对于定参考系作匀速直线平移时，则C 0a = ，e 0a = ，Ie 0F F ==IC，于是相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，其表达式为r ma F= ①相对于惯性参考系做匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。
②发生在惯性参考系本身的任何力学现象，都无助于发现该参考系本身的运动状况，这称为经典力学的相对性原理。
（3）当质点相对于动参考系静止时，则r r 00a υ==v v ，，0F =IC ，所以质点相对静止的平衡方程为F F +=Ie 上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有r 0a =，质点相对平衡方程为0Ie IC F F F ++=v v v 上式称为质点相对平衡方程。
可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。
二、非惯性系中质点的动能定理1．质点相对运动动能定理的微分形式质点在非惯性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
即2r 1d()δδ2F mv W W ''=+Ie 2．质点相对运动动能定理的积分形式质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。
非惯性力问题
运用非惯性系的观点求解复杂的动力学竞赛题例析湖北省监利县朱河中学黄尚鹏摘要：牛顿运动定律只在惯性系中成立。
但有时需要考察质点相对非惯性系的运动，如何处理这种问题呢？当然可以先在惯性系中用牛顿运动定律考察质点的运动，然后用相对运动的公式把它变换到非惯性系中，求得质点在非惯性系中的运动。
但这样做有时很麻烦，其实只要引进适当的虚拟力即惯性力，就可以在非惯性系中用牛顿运动定律求解质点的运动。
关键词：惯性系非惯性系惯性力速度合成公式加速度合成公式一、非惯性系与惯性力牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性系。
实验表明：地球上的物体相对于地球的运动并不完全遵守牛顿运动定律，所以地球不是惯性系，不过这种偏差一般是比较微小的。
因此，我们常常把地球看做近似程度相当好的惯性系。
一般情况下，相对地面静止或做匀速运动的参照系都可作为惯性系。
牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。
为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，可以人为地引进一个虚拟的惯性力。
如果非惯性系相对惯性系有平动加速度，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为、方向与的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用，证明如下：设非惯性系相对惯性系有平动加速度（牵连加速度），质点相对于系的加速度为（绝对加速度），质点相对于系的加速度为（相对加速度），根据加速度合成公式，有（1）在惯性系中牛顿运动定律成立，即（2）是作用在质点上的合外力，是质点的质量。
在非惯性系中，为使牛顿运动定律成立，引入虚拟的惯性力，使（3）联立（1）（2）（3）知惯性力，证毕。
二、竞赛题例析例题1．如图1所示，质量为的汽车在水平地面上向左做匀加速直线运动，其重心离开前轮和后轮的水平距离分别为和（），重心离地面的高度为，假设车轮和地面之间不打滑，求：汽车以多大的加速度前进时其前、后轮对地面的压力相等？图1解析：选汽车为参照系，汽车处于静止状态，但由于其为非惯性系，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力，故在质心上加一个向右的惯性力。
动力学2：非惯性系
Fc v(qv) ω(B) v(qv)
上
Fc
上
ɺ a = a'+ω ×r +ω ×(ω ×r ) + 2ω ×v'.
关键：掌握“绝对、牵连 质点作一般的“相对” 运动 a’≠0 和相对”加速度之间的关 v = v'+ω ×r. 系，从而正确计入惯性力。
aρ = lim aϕ = lim ∆vρ ∆t ∆vϕ ∆t
∆t →0
2’
= −ω2r, = 2ωv'.
径 加 度 ω(r+v’∆t) 向 速 科 加 度 氏 速
∆t →0
ac = 2ω ×v'.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度ωv’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’∆t)，故又产生了横向加速度 ωv’，因而科氏加速度为2ωv’.
位置
ds =v dt
R + µt(v0 +ωR) s = ln −ωRt. µ R R
练习：p516(9.6) 质量为m的质点在光滑的水平桌面上运动， 练习 桌子绕通过原点的竖直轴以匀角速转动。求质点的运动方程。 解1：以地面为参考系（惯性系），质点在桌面内受力 为零，所以 d2x d2 y
dt
2
由于ω=7.29x10-5弧度/秒，很小： 简化 ω
2 2
GMm mω Rcos φ P≈ [1− ] 2 R2 GMm/ R GMm = − mω2Rcos2 φ, R2 2 θ ≈ ω Rsin 2φ / 2g.
• 重量是引力与惯性离心力的合力； • 重量大小小于真正的引力大小； • 重量指向偏离引力指向。
非惯性系中的功能原理及应用
非惯性系中的功能原理及应用摘要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。
为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。
关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理The function of the inertial system principle and applicationAbstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using theprinciple.Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem0 引言处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。
1-3.非惯性系与惯性力 科里奥利力
a a aca ac
代入S系牛顿第二定律 F m a ，得圆盘系中形 式上的牛顿第二定律
2 aca r 向心加速度 ac 2 v 科里奥利加速度
F (maca ) (mac ) ma
近距离、垂直攻击
雷管
a0 大 F0 大
滑块受摩擦力大
S´
撞针滑块
导板
F0
雷管不能被触发！ 鱼雷
a0
v
敌 舰 体
4
二、转动系中的惯性力、科里奥利力 设圆盘匀速转动，物体m相对圆盘静止
还受惯性力
真实弹力 m
惯性离心力
弹力
转动系S
惯性系S
这时，惯性力只是惯性离心力。
5
物体相对圆盘运动时还要受科里奥利力：
r
v
A
B
o
0 v
A
r
绝对速度
v v0 v r v
dv dr dv 绝对加速度 a dt dt dt
而
der dr dr er r v r er v r dt dt dt dv v dt
其 中
在S 系（非惯性系）中设质点的加速度为 a a a a0
系中形式上的牛顿第二定律：
代入 F m a 中得 F (ma0 ) ma ，即S
F Fi ma Fi m a0 等于质点的 质量和此非惯性系整体相对惯性系的加 速度的乘积，方向与此加速度的方向相 反 F m a
fco maco 2mv
结论：在匀速转动参考系中，若物体相对于参考系静止，只 有离心惯性力；若物体相对于参考系作匀速运动，同时存在 离心惯性力和科里奥利力。
非惯性系与惯性力
January 13, 2021
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加速平动的非惯性系、惯性力
a -a
m
a
f惯
f
m
地面观察者：物体水平方向不受 力，所以静止在原处。
车里观察者：物体水平方向不受 力，为什么产生了加速度？
地面观察者：物体水平方向受拉 力，所以随小车加速前进。
y
x
19/46
N地M a0
NM mM Mg
NMm
y
ma 0
m
x
M a0
mg
y
x
以地面为参考系对M列方程
NmM sin Ma0 (1)
以M为参考系（非惯性系）对m 列方程
N地M a0
NM mM Mg
ma0 cos mg sin mamM (2)
NmM ma0 sin mg cos 0 (3)
转动参考系：相对惯性系转动的物体。例如：转盘在水平面匀速转动。
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一、 问题的提出 我们知道牛顿第二定律必须在惯性系中使用； 又知道牛顿定律是质点力学的基础定律。 但有些实际问题只能在非惯性系中解决，
怎么方便地使用牛顿第二定律？ 办法是：在分析受力时，只需加上某种
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m o
mo
ma
B K
C
K C
惯性力的应用
(2)炸弹引爆
a. 引爆原理
a
弹簧K1 击针
击针座
弹 体 引 信
ma
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惯性力的应用
(2)炸弹引爆
a. 引爆原理
§2-5伽利略相对性原理 非惯性系
a
对m2 ： m 2 g m 2 a T m 2 a （3）
解得：
a
m2 m1 m 2
x
m2 a m2g
(g a) g
y
N1
a
T
2)在机外的观察者(惯性系)， m1 的加速度： a 物对地 a 物对机 a 机对地 a1 a a
a1x a g , a1 y
a1 a
2
m1
m1a m1 g
m 2 T
a
g
x
m2 a m2g
2
g 2 )
2
y
5 2 g
a
2
g
2
(
m2 的加速度： a2 a a
a 2 物对地 a 2 物对机 a 2 机对地
2
2
( F m g )t p
v1 v 0
2 2
| p | m | F | t t
100
arctg
mv 1 mv 0
p1
p
2 9 .8 0 .8 3
arctg
2
497 ( N )
52 . 9
2 gh v0
L
t1
t2
M dt
t1
动能定理：
Ek A外
4、守恒定律： 动量守恒： 角动量守恒：
F合 外 0 M外 0
条
件
P 恒矢量
L ＝恒矢量
内
容
5、基本概念：
1）惯性力： 2）力矩：
F惯 m a 0
非惯性坐标系中的静止液体
重力两部分组成：
f a g
z
将上式代入基本方程得：
1 g a p
其直角坐标系下的分量式为：
1 p
1 p
gx ax x , g y ay y ,
-→a 0
→
f
→g
x
→a
1 p
gz az z
3
则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表 示为：
dp [(gx ax )dx (g y ay )dy (gz az )dz]
x
xω2
0 rθ y
x
14
由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为
-a，大小为rω2，其分量为
ax r 2 cos x 2 ay r 2 sin y 2
y yω2 rω2
x
xω2
0 rθ y
x
ω
az 0
于是，容器中液体所受的单位质量力为：
fx=2rcos =2 x
fy= 2rsin =2 y
18
高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重 力。此时，压力全微分公式-gdz项可以忽 略，即
dp= (2 xdx+ 2 ydy-gdz)
可简化为：
dp=ρω2(xdx+ydy)
而等压液面方程则近似为：
2 r 2/ 2=C
近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径 为r0。
19
r0
20
积分：
p
r
dp 2rdr
60cm
¼ 水量
Φ30cm
12
②等角速度旋转容器内液体的相对平衡
如图，是一个旋转容器，容器 半径为R。静止状态时，装有深度 为H的液体。
当容器以角速度ω做等速旋转 时，液体除受到重力作用外还要受 到离心惯性力的作用。
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非惯性系中的力学
牛顿运动定律只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程,就需要引入惯性力的概念.
一.直线加速系中的惯性力
设非惯性参考系的加速度为a
参,物体相对于参考系的加速度为a
相
,物体实际的加速度为a
绝,
则有:
a绝= a参+a相.那么,物体”受到”的惯性力F惯=－m a参,其方向与a参的方向相反.
惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第
三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力.
在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:
式中, F
合
为物体实际受到的合力.
二,匀速转动系中的惯性力
圆盘以角速度ω绕铅直轴转动,在圆盘上用长为r的轻线将质量为m的小球系于盘心且小不球相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力T的作用一下作圆周运动,符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力T的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律
形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力:F
惯
=mω2r.这个力叫做惯性离心力.若质点静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于零,即:
例1.在火车车厢内有一长l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度a0从静止开始运动时，物体自倾角为θ的斜面顶部A点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为μ，求物体滑至斜面底部B点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当a0与μ一定时，倾角θ为多大时，物体可静止于A点？
例2.如图所示，定滑轮A的一侧持有m1=5kg的物体，另一侧挂有轻滑轮B，滑轮B两侧挂着民m2=3kg，m3=2kg的物体，求每个物体的加速度。
例3.一辆质量为m的汽车以速度v在半径为R的水平弯道上做匀速圆周运动。
汽车左右轮相距为d，重心离地高度为h，车轮与路面之间的摩擦因数为μ，求：
（1）汽车内外轮各承受多大的支持力？
（2）汽车能安全行驶的最大速度？
例4.长为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的两个小球。
如图所示，它们处于平衡状态，突然连接两绳中间的小球受水平向右的冲击（如另一球碰撞），瞬间内获得水平身体右的速度v0.求这瞬间连接m2的绳子的拉力为多大？。