非惯性系中的质点动力学
合集下载
第二章 非惯性系中的质点动力学
M1-28
积分可得
mgR(cos jmax 1 1) m 2 R 2 sin 2 jmax 0 2
因 sin 2 jmax 1 cos2 jmax 上式变为
mgR(cos jmax 1) 1 m 2 R 2 (1 cos 2 jmax ) 0 2
z
或
2 R cos2 jmax 2 g cos jmax 2 g 2 R 0
2. 当加速度 ae 2 g tan 时，牵连惯性力 FIe 2mg tan ，应用 相对运动动能定理，有
m v 2 0 ( F cos )l (mg sin )l Ie 2 r
整理后得
y' m
FN FIe
mg θ ae x'
m 2 vr (mg sin )l 2
力大小为 FIe m 2 R sin j ，方向如图。 经过微小角度dj 时，此惯性力作功为
z
W FIe R cos jdj m 2 R sin j cos jRdj
相对运动的动能定理，得
R
0 0 mgR(1 cos j max )
jmax
0
Байду номын сангаас
j
mg
FIe
m 2 R 2 sin j cos j dj
vr 质点相对动参考系速度
M1-20
上式两端点乘相对位移
dr
dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
dr 注意到vr , 且科氏惯性力垂直于vr , 有FIC dr 0, 则 dt mvr dvr F dr FIe dr
第九章质点在惯性与非惯性参考系中的动力学复习课程
方向相同。即
maF
第三定律——作用反作用定律：两物体之间的作用力和反 作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两 个物体上。
? 质点在惯性系中的运动微分方程
当物体受几个力作用时，右端应为这几个力的合力。
即
maF
或
m
d2r dt2
F
? 质点在惯性系中的运动微分方程
● 矢量形式 m r Fi(t,rr, )
求球的运动和杆对球的约束力。
解：本题先由已知的主动力mg求质点的运动规律，再根据 求得的运动求未知约束力，故同时包含第一类问题和第二类 问题。
质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究
sl, vdsl
dt 建立小球的运动微分方程：
m mg cos
讨论：（1）微幅摆动
i
m x F ix
i
●直角坐标形式
m y F iy
i
m z F iz
i
● 弧坐标形式
m s F iτ
i
m s2
F in
i
0 F i b
i
? 质点动力学两类问题应用举例
第一类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；
第二类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。
? 质点动力学两类问题应用举例
x
st
O
x
W
l0
x
m
W＝mgi
讨 论：
x
F＝－k( x+ st）
1）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？
2）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择 不同，对运动微分方程的影响。
? 质点动力学两类问题应用举例
例 题2
图示一单摆。设球的质量为m， 杆的质量不计，杆长为l。当杆 在铅垂位置时，球因受冲击，具
非惯性系下质点的运动规律研究
Received: May 8th, 2020; accepted: May 22nd, 2020; published: May 29th, 2020
Abstract
In mechanics textbook, according to Newton’s law motion, only the mathematical expression of particle motion theorem and its corresponding conservation law in inertial system and “special Non-Inertial system” (center of mass system) are deduced. In order to study the motion law of particle in “general Non-Inertial system”, based on Newton’s law of motion, this paper deduces the momentum theorem, kinetic energy theorem, angular momentum theorem of particles in “general Non-Inertial system” and their corresponding conservation laws.
由于科里奥利力的方向始终和质点相对于 k′ 系的位矢 r′ 垂直， Fc ⋅ dr′ = −2mω × vr ⋅ dr′ = 0 。 根据以上所得，则有
d
1 2
mvr2
=ma
⋅
dr
′
−
ma0
+
mω
×
Abstract
In mechanics textbook, according to Newton’s law motion, only the mathematical expression of particle motion theorem and its corresponding conservation law in inertial system and “special Non-Inertial system” (center of mass system) are deduced. In order to study the motion law of particle in “general Non-Inertial system”, based on Newton’s law of motion, this paper deduces the momentum theorem, kinetic energy theorem, angular momentum theorem of particles in “general Non-Inertial system” and their corresponding conservation laws.
由于科里奥利力的方向始终和质点相对于 k′ 系的位矢 r′ 垂直， Fc ⋅ dr′ = −2mω × vr ⋅ dr′ = 0 。 根据以上所得，则有
d
1 2
mvr2
=ma
⋅
dr
′
−
ma0
+
mω
×
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
第四章非惯性系中的质点力学
小结：选用不同的 s 系，其 加速度变换公式的具体分 析结果不同。
§4.3 非惯性系内质点动力学
当计入惯性力，就可在非惯性系中得到形式上和惯性 系一样的动力学规律（如三个定理，三个守恒定律）.
(x 0为势能零点 s系中 2. 当非惯性系以匀角速度 绕固定轴转动时, 2 1 2 2 F m ( r ) m e ( m ) Ic 2
牵连惯性 力 非惯性系中的 质点的动力学 方程
m a F
§4.2 非惯性系内质点的动力学方程
科氏 力
对惯性力作几点说明:
1.惯性力不是相互作用力,不遵从牛顿第三定律，它不 存在反作用力。 2.惯性力仅存在于非惯性系之中。 3.在非惯性系中惯性力真实存在，不是假想的力。 4.惯性离心力
m ( r )
三.落体偏东
以自由落体运动为例，研究科氏力对质点竖直运动的影响
在地面参照系oxyz中，其单位 矢量为i、j 、k.，且 i 水平向 南, j 水平向东, k 竖直向上. 质 点在z轴上 z h 处自由下落， 不计空气阻力，且不受其它物 体的作用， F 0
这里惯性离心力是保守力, 1 对应的势能为 V m 2r2 2
1 2 1 22 1 22 m m v r 0 m r 0 2 2 2
§4.4 地球自转的动力学效应
本节应用非惯性系内动力学理论解决实际问题的范例.
一. 质点相对地球的运动微分方程
1.有关地球运动的几个量. 2.地球为非惯性系时质点在地球表面附近运动微分方程. 地球既有自转又有公转,是非惯性参照系,以日心系为S系.
3. 通过前面分析,我们可利用运动系把质点的复杂运动 分解成为几个比较简单的运动的合成.
非惯性系内质点的动力学方程
y Ae t Be t
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
t0 时 y a, y 0
y a et et ach t 2
A B a/2
0 FRx 2my
FRx 2my 2m 2ash t
0 FRz mg
FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FR 2m 2ash ti mgk
例题4 解法一
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
ma F
ma ma mat mac F
F
m
m a F mat mac
d2R dt 2
m
r
m
r
2m
v
牵连惯性力 Ft mat
科里奥利惯性力 Fc mac
惯性力合力 FI Ft Fc
ma F FI
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
FN FNnen
受惯性力
md2R / dt 2 0(R 0)
m r 0( 0)
m
r
2ma
2
2m
v
2ma
en
coFsc2(veraFtet
)
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
沿圆圈切向的运动微分方程为
mat
ma
2ma
2
cos
2
sin
2
2 sin 0
可见，与大幅角单摆运动的微分方程完全相同.
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
例题3
m
受惯性力
r m 2
yj
m
d2R dt 2
0
2m
v
2my
i
m r 0
mx 0 FRx 2my my m 2 y
mz 0 FRz mg
§5-2 非惯性系内质点的动力学方程
力学习题-第3章非惯性系(含答案)
相对转盘不动，转动角速度的最小值为
rad/s（结果保留一位小数）。
答案：3.2 解：取转盘参为参考系（匀角速转动的非惯性系），以木块为研究对象，受力分 析：重力 mg 、静摩擦力 f 、斜面的支持力 N 、惯性离心力 F m2r （方向沿 径向向外， r 为木块离盘心的水平距离）。木块处于静止状态，受力平衡有： 沿斜面方向： mg sin m 2r cos f 0
h 1 gt 2 ， l vt 2
其中，v R 为物体刚好离开圆盘时相对地面的速度（此时，物体相对圆盘的速 度近似为零）。 设小物体质量为 m，与圆盘的摩擦力为 f，以圆盘为参考系（因为圆盘绕其轴的 角速度逐渐增大，所以可将其在短时间内视为匀角速转动的非惯性系）。小物体 恰好滑出圆盘时受最大静摩擦力 f mg ，加上沿圆盘径向方向的惯性离心力
2. 在以加速度 a 相对惯性系作加速平动的非惯性系中，质点 m 受到的惯性力的 大小等于 ma. 答案：对 解释：请参考本章视频。
3. 由于惯性力是人为引入的虚拟力，所以它的作用效果与真实力不同。 答案：错 解释：虽然惯性力不是真实的力，找不到施力物体，但其作用效果与真实力相同。 比如，地面上静止的汽车突然加速，站在车上的人突然向后倾倒的现象可以理解 为惯性力的作用，其效果与站在静止的车上人突然有力向后拉他是相同的。
A. v =
gh tan 1 ;B. v =
gh tan 2 ;C. v =
gh tan 1 tan 1 + tan 2
;
D.
v=
gh tan 1 cot 1 + cot 2
答案：D 解：以小球为参考系（匀角速转动的非惯性），小球上、下两侧绳中的张力分别
为
FT1、FT 2
非惯性系质心动量概述课件
质心动量守恒定律的应用
总结词
质心动量守恒定律在物理学中有广泛的 应用，特别是在分析力学和天体运动等 领域。
VS
详细描述
在分析力学中，质心动量守恒定律可以用 于研究质点系的动力学行为，例如碰撞、 火箭推进等。在天体运动中，质心动量守 恒定律可以用于研究行星、卫星和彗星的 运动规律。此外，质心动量守恒定律还可 以用于研究其他涉及质点系运动的物理问 题，例如流体动力学和弹性力学等。
05
非惯性系质心动量与相对论 的关系
相对论的基本原理
1 2
3
相对性原理
物理定律在所有惯性参考系中都是一样的，即不依赖于观察 者的运动状态。
光速不变原理
光在真空中的速度对于任何观察者都是恒定的，不受其运动 状态的影响。
物理定律的形式不变性
物理定律在所有惯性参考系中都保持形式不变。
质心动量在相对论中的表现
在非惯性系中，由于参考系本身具有加速度，物体受到的力除了受到真实力外，还 会受到惯性力作用。
质心动量是描述物体相对于惯性系或非惯性系中质心的动量。在非惯性系中，质心 动量可能会发生变化，从而影响物体的运动状态。
因此，在非惯性系中应用牛顿第二定律时，需要考虑质心动量的影响。
非惯性系质心动量与力的关系
非惯性系动量与力的关系
01
在非惯性系中，动量与力的关系 表现为动量定理的形式，即力在 时间上的积累等于物体动量的变化。
02
在非惯性系中，由于存在外部力 作用，物体的动量会发生变化， 这种变化与外部力的作用时间和 大小有关。
非惯性系质心动量与力的关系
在非惯性系中，质心动量与力的关系 表现为质心动量定理的形式，即力在 时间上的积累等于物体质心动量的变 化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0 y 1 g cos t 3
3 z h 1 gt 2
2
如果不考虑地球的角速度, 即是略去、²项, 则有:
从这几组方程可明确得知:
自由落体运动, 在考虑地球的自 转效应时, 落到地面后位置偏东, 若在精确一点讲, 还有一点偏南 (北半球) 或偏北( 南半球) .
( 只有两极处无此现象 )
d~r Vr dt
FgC Vr F g C d ~ r F g C d ~ r 0
m V r d ~ V r F d ~ r F g ed ~ r C
d ~ 1 2mr2 V W F W g C 14
质点在非惯性系中的动能的微分, 等于作用于质点上的真实力与牵连惯性 力在相对运动中的元功之和.
R
900 z k
x13v02t3
sin24g2t4 3
sin2
yv0t2
co
s 1gt3 3
co
s 13v03t4
cos
z
v0t
1gt2 2
32v02t3
co2s1g2t4 6
co2s
o yj
若去掉 ²以上的项则有:
x0
x i
y
v0t
2
cos
1 3
gt
3
co
s
z
v0t
1 2
gt2
设z0时t 2v0 ( 物体返回地面 ) g
对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视. 下面, 我们来研究 地球上物体的运动与科氏惯性力.
建立地面坐标系如图示
质点相对于地球的运动微分方程为
900 z k
m rmgFgC
o
R
yj x i
即为: m r mkg 2m r
r gk2 r I
i
jk
2r2cos 0 sin
由x0 0得:
gsi n2 E 82
x g s 8 2 2 i n c2 o t s 1 g s4 2 i n t24
同理可得:
z g c 4 2 2 o c s2 o t s 1 1 2 g 2c t2 o 1 s h6
x g s 8 2 2 i n c2 o t s 1 g s4 2 i n t24
借助于幂级数, 我们来分析上面的方程.
取 s2 i tn 2 t 4 3 t3 c2 o t 1 s 2 2 t2 2 4 t4
3
3
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得:
si2 ntn 01n2 2 nt21n1 ! co2 stn 01n22 nt2!n
x 1 g sin 2 2t 4 12
质点的相对运动的动力学方程可以写为:
注意:
m d ~ d V rtFF geF gC A
d~Vr ,d~r表示相对矢量在动系( 这里指非惯性参考系)内的改变量.
( 这种记法诣在与第八章的记法一致, 想必不难理解.)
显然, d~r 就是质点的相对位移.
将(A)式两端同乘 d~r
注意:
~
m d d V rd ~ tr F d ~ r F g ed ~ r F g C d ~ r B
x
v
R
2 xydx
R 2 x 3 dx 2 R 4
0
0g
4g
静止时 , xz 面以上的液体体积为
R 2 yo
H –h R
由题意得
R 2 yo
v
2 4g
R4
yo
2R 2 4g
由曲线方程可知
h 2 R2 2g
H ' H h yo H
2 R2 4g
认识地球上的 科氏惯性力
(1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状.
(2) 注入液体的最大高度H´ .
解: (1)设曲线方程y为 f (x)
对曲线上相对静止意的点任 m进行受力分, 析
y ω
由上一题的解答可线知方曲程为 y 2 x2 2g
( 2 ) 设旋转抛物面下
xz 面以上的液体体积为
v
H
yo
h F
n ge
o mg F
板又以这个速度的两倍向右平移时, 小球沿板向上运动. 问小球沿板走了l 距离后, 小球的相对速度是多少?
y´
解: (1) 令板向右平移, 则无科氏惯 性力.
y
o y´
F ge
FN
mg
x´ o´
若相对静止, 则受力如图
由几何法可得:
Fge mgtg mae mgtg
ae ?
ae gtg
x
( 2 ) 若板的平移加速度 ae2gtg 而小球沿板走了l 距离
x 0 y 0 0 ,z 0 h . x 0 y 0 z 0 0
R
x i
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
x 2 ysi n A
z g 2 t y c o B s
由初始条件可得: A = 0, B = 0
x 2ysi n z g t2 yco s
代入( 2 ) 式整理可得: y 2 2y2g tco s
900
zk
g c os g c os y 4 2s2 i tn 2 t
5
z g c 4 2 2 o c s2 o t s 1 1 2 g 2c t2 o 1 s h6
o
yj
这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式
R
x i
这里, 地球的自转的角速度 7.2 910 5ra/sd
d~2r dt2
称 为 相 对r矢 的径 局 部.导 (参数 见 五 版P3上3)2册
例一 . (书上P2 例1－1) 单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运动. 求此单摆的微振动周期.
解 : (分析: 求运动周期就要先求动 运方程)
a0
取小球分析,小球相对以O为原点的平动参考系动 的力学方程为
由 y 0 0y 0 0可 C 得 0D g 4 c 2 os
y g 4 c 2 ossi2 n tg c 2 ots 5
代入 x 2ysi n 可得 z g t2 yco s
x gsi2 nsi2 n tgsi2 nt
4
2
积:x 分 g s 8 2 2 i得 n c2 o t sg s4 2 i n t2 E
y v0 4 g v 2 0 2c o1 3 sg 8 g v 3 0 3c o s4 g v 2 0 3 c o(s落地偏西 )
§1 – 2 非惯性系中的动能定理
前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的, 它只适合于惯性系.
对于在非惯性系下运动的物体, 质点在此参考系下的动能的变化, 除与真实力 的功有关, 还与惯性力的功有关.
y 1 g cos t 3 3
z h 1 gt 2 1 g cos 2 2t
R
x i
x 1 g sin 2 2t 4 12
y 1 g cos t 3 3
z h 1 gt 2 1 g cos 2 2t 4 26
如果略 2项 去上式变 : 为
其解为:
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s 2
R
900 z k o yj
x i
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s 2
xi
y v 0 2 c o cs 2 o t s 1 g 4 c 2 o s2 s i t n g c 2 o t s
z s2 i v n 0 t 1 2 g 2 tv 0 c 2 2 o s2 s i tn g c 4 2 2 o cs 2 o t 1 s
理论力学 ( II )
第一章 非惯性系中的质点
动力学
第一章 : 非惯性系中的质点动力学
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程
前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程, 则 质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关, 还与非惯性系下产生 的各种惯性力有关.
取 s2 i tn 2 t 4 3 t3 c2 o t 1 s 2 2 t2 2 4 t4
3
3
代入 上 式 可得:
x13v02t3
sin24g2t4 3
sin2
yv0t2
co
s 1gt3 3
co
s 13v03t4
cos
z
v0t
1gt2 2
32v02t3
co2s1g2t4 6
co2s
地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严格地讲,以 地球作为 参照 系 的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应.
如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为‘ 匀速直 线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的.
但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力.
O φ
l
F l
mg F ge
mar F mg F ge 将其沿切向投影:
ml mgsin mao sin
(g ao ) sin 由微振动, sin l
(g ao ) 0 l
n2 0
n2
g ao l
T 2 2 l
n
g ao
例二. ( 参见书上 习 1 – 4 )
x0 y0 z h 1 gt 2
2
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西
900
z k
x2ysin
3 z h 1 gt 2
2
如果不考虑地球的角速度, 即是略去、²项, 则有:
从这几组方程可明确得知:
自由落体运动, 在考虑地球的自 转效应时, 落到地面后位置偏东, 若在精确一点讲, 还有一点偏南 (北半球) 或偏北( 南半球) .
( 只有两极处无此现象 )
d~r Vr dt
FgC Vr F g C d ~ r F g C d ~ r 0
m V r d ~ V r F d ~ r F g ed ~ r C
d ~ 1 2mr2 V W F W g C 14
质点在非惯性系中的动能的微分, 等于作用于质点上的真实力与牵连惯性 力在相对运动中的元功之和.
R
900 z k
x13v02t3
sin24g2t4 3
sin2
yv0t2
co
s 1gt3 3
co
s 13v03t4
cos
z
v0t
1gt2 2
32v02t3
co2s1g2t4 6
co2s
o yj
若去掉 ²以上的项则有:
x0
x i
y
v0t
2
cos
1 3
gt
3
co
s
z
v0t
1 2
gt2
设z0时t 2v0 ( 物体返回地面 ) g
对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视. 下面, 我们来研究 地球上物体的运动与科氏惯性力.
建立地面坐标系如图示
质点相对于地球的运动微分方程为
900 z k
m rmgFgC
o
R
yj x i
即为: m r mkg 2m r
r gk2 r I
i
jk
2r2cos 0 sin
由x0 0得:
gsi n2 E 82
x g s 8 2 2 i n c2 o t s 1 g s4 2 i n t24
同理可得:
z g c 4 2 2 o c s2 o t s 1 1 2 g 2c t2 o 1 s h6
x g s 8 2 2 i n c2 o t s 1 g s4 2 i n t24
借助于幂级数, 我们来分析上面的方程.
取 s2 i tn 2 t 4 3 t3 c2 o t 1 s 2 2 t2 2 4 t4
3
3
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得:
si2 ntn 01n2 2 nt21n1 ! co2 stn 01n22 nt2!n
x 1 g sin 2 2t 4 12
质点的相对运动的动力学方程可以写为:
注意:
m d ~ d V rtFF geF gC A
d~Vr ,d~r表示相对矢量在动系( 这里指非惯性参考系)内的改变量.
( 这种记法诣在与第八章的记法一致, 想必不难理解.)
显然, d~r 就是质点的相对位移.
将(A)式两端同乘 d~r
注意:
~
m d d V rd ~ tr F d ~ r F g ed ~ r F g C d ~ r B
x
v
R
2 xydx
R 2 x 3 dx 2 R 4
0
0g
4g
静止时 , xz 面以上的液体体积为
R 2 yo
H –h R
由题意得
R 2 yo
v
2 4g
R4
yo
2R 2 4g
由曲线方程可知
h 2 R2 2g
H ' H h yo H
2 R2 4g
认识地球上的 科氏惯性力
(1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状.
(2) 注入液体的最大高度H´ .
解: (1)设曲线方程y为 f (x)
对曲线上相对静止意的点任 m进行受力分, 析
y ω
由上一题的解答可线知方曲程为 y 2 x2 2g
( 2 ) 设旋转抛物面下
xz 面以上的液体体积为
v
H
yo
h F
n ge
o mg F
板又以这个速度的两倍向右平移时, 小球沿板向上运动. 问小球沿板走了l 距离后, 小球的相对速度是多少?
y´
解: (1) 令板向右平移, 则无科氏惯 性力.
y
o y´
F ge
FN
mg
x´ o´
若相对静止, 则受力如图
由几何法可得:
Fge mgtg mae mgtg
ae ?
ae gtg
x
( 2 ) 若板的平移加速度 ae2gtg 而小球沿板走了l 距离
x 0 y 0 0 ,z 0 h . x 0 y 0 z 0 0
R
x i
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
x 2 ysi n A
z g 2 t y c o B s
由初始条件可得: A = 0, B = 0
x 2ysi n z g t2 yco s
代入( 2 ) 式整理可得: y 2 2y2g tco s
900
zk
g c os g c os y 4 2s2 i tn 2 t
5
z g c 4 2 2 o c s2 o t s 1 1 2 g 2c t2 o 1 s h6
o
yj
这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式
R
x i
这里, 地球的自转的角速度 7.2 910 5ra/sd
d~2r dt2
称 为 相 对r矢 的径 局 部.导 (参数 见 五 版P3上3)2册
例一 . (书上P2 例1－1) 单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运动. 求此单摆的微振动周期.
解 : (分析: 求运动周期就要先求动 运方程)
a0
取小球分析,小球相对以O为原点的平动参考系动 的力学方程为
由 y 0 0y 0 0可 C 得 0D g 4 c 2 os
y g 4 c 2 ossi2 n tg c 2 ots 5
代入 x 2ysi n 可得 z g t2 yco s
x gsi2 nsi2 n tgsi2 nt
4
2
积:x 分 g s 8 2 2 i得 n c2 o t sg s4 2 i n t2 E
y v0 4 g v 2 0 2c o1 3 sg 8 g v 3 0 3c o s4 g v 2 0 3 c o(s落地偏西 )
§1 – 2 非惯性系中的动能定理
前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的, 它只适合于惯性系.
对于在非惯性系下运动的物体, 质点在此参考系下的动能的变化, 除与真实力 的功有关, 还与惯性力的功有关.
y 1 g cos t 3 3
z h 1 gt 2 1 g cos 2 2t
R
x i
x 1 g sin 2 2t 4 12
y 1 g cos t 3 3
z h 1 gt 2 1 g cos 2 2t 4 26
如果略 2项 去上式变 : 为
其解为:
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s 2
R
900 z k o yj
x i
yC co 2 s tD si2 ntgcto s 2
y 2 C si2 n t 2 D co 2 ts gco s 2
xi
y v 0 2 c o cs 2 o t s 1 g 4 c 2 o s2 s i t n g c 2 o t s
z s2 i v n 0 t 1 2 g 2 tv 0 c 2 2 o s2 s i tn g c 4 2 2 o cs 2 o t 1 s
理论力学 ( II )
第一章 非惯性系中的质点
动力学
第一章 : 非惯性系中的质点动力学
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程
前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程, 则 质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关, 还与非惯性系下产生 的各种惯性力有关.
取 s2 i tn 2 t 4 3 t3 c2 o t 1 s 2 2 t2 2 4 t4
3
3
代入 上 式 可得:
x13v02t3
sin24g2t4 3
sin2
yv0t2
co
s 1gt3 3
co
s 13v03t4
cos
z
v0t
1gt2 2
32v02t3
co2s1g2t4 6
co2s
地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严格地讲,以 地球作为 参照 系 的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应.
如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为‘ 匀速直 线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的.
但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力.
O φ
l
F l
mg F ge
mar F mg F ge 将其沿切向投影:
ml mgsin mao sin
(g ao ) sin 由微振动, sin l
(g ao ) 0 l
n2 0
n2
g ao l
T 2 2 l
n
g ao
例二. ( 参见书上 习 1 – 4 )
x0 y0 z h 1 gt 2
2
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西
900
z k
x2ysin