惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理

惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理
摘 要
动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。

本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。

关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式
质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。

即：
微分形式： ⎪⎭
⎫
⎝⎛=221mv d dW 积分形式：
⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆
在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面
为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。

1． 惯性参考系中的动能定理
所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。

地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。

经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢?
在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀
速直线运动，木板为一惯性参考系O 。

一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到
2v 。

1．1惯性参考系中功的计算
功的定义为：r d F dW
⋅=
a) 在木板参考系即惯性参考系O 中：
s F W ⋅=
① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中：
由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同2
12v v s
t +=
()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ②
2v
1v 图
1
比较①和②可以看到W W '≠，即功的大小与惯性参考系的选取有关。

1．2惯性参考系中动能的计算
动能的定义：22
1mv E K =
由伽利略变换：木块的初速度v v v +='11
，末速度v v v +='22 在0t 时刻：
a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中
2
112
1mv E k =
③ b) 在地面参考系即惯性参考系中O '：
()212112
121v v m v m E k
+='=' ④ 在1t 时刻：
a ） 在木板参考系即惯性参考系O '中
2
222
1mv E k =
⑤ b) 在地面参考系即惯性参考系O 中：
()222222
121v v m v m E k
+='=' ⑥ 比较③和④、⑤和⑥，可知k k E E '≠，即动能的大小与惯性参考系的选取也有关。

1．3惯性参考系中的动能定理
由以上分析可知，功和动能都与惯性参考系的选取有关，那么在不同惯性参考系中动能定理的表述是否相同呢？
a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中，由①③⑤式
再由牛顿第二定律：ma F =
和匀变速直线运动公式：as v v 22
12
2=- 联立：122
1222
121k k E E mv mv s ma s F W -=-=
⋅=⋅= 即： W =k E ∆
c) 在地面参考系即惯性参考系O 中：由②④⑥式
同样由牛顿第二定律：ma F =
和匀变速直线运动公式：s a v v '='-'22
122
s F W '⋅='
s s v v m
s ma '⋅'
'-'='⋅=22122
()()122
1222
k k
E E v v v v m
'-'=+-+= 即： W '=k
E '∆ 也就是说虽然功和动能都与惯性参考系的选取有关，但动能定理的表达式与惯性参考系
的选取无关。

2．非惯性参考系中的动能定理
非惯性系是指相对于孤立系统（即惯性系）一切不静止或不匀速的参考系，系从刚才的推导中可以看到，在惯性参考系中动能定理可以由牛顿第二定律推导出来。

而在非惯性参考系中牛顿定律不成立，因此动能定理也应该不成立。

在例2中求证，如图2在木板参考系O 中，初速度为1v ，末速度2v ，加速度a ；在地面参考系O '中，木板加速度a '，初速度为v 。

在木板参考系O 中，由运动学公式：
as v v 22
12
2=- ⑦ 又由牛顿第二定律：
()a a m F '+= ⑧ 联立⑦和⑧得：
2
1222
121mv mv mas Fs -=-
即在木板参考系O 中≠W k E ∇，而上式多出来的mas -就是非惯性参考系中的惯性力所做的功。

因此在非惯性参考系中，加上惯性力所做的功，动能定理仍然成立。

例3如图3，质量为M 的大木块上放一个质量为m 的小木块，两木块之间摩擦系数为
μ，地面光滑，小木块初速度为0v ，大木块足够长，
最终两木块共速。

取地面为参考系：
由动量守恒定律两物体最终共同速度
m
M mv v +=
由质点系动能定理，系统内力和外力做的总功等于系统动能的变化 2
0202
2v m v mv fs -=
- 2
2
02
2v m m M mv m M -⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()
2
02v m M mM +-
= ⑨
v
2v
1v
图2
a ' a
a
0v 图3
取大木块为参考系：
引入惯性力⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=M f m ma F M 惯 假设惯性力与真实力一样做功 s f M m f W W ⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+惯真 ⑩ 联立⑨和⑩得: ()2
021v m M mM M m s f M m f W W +⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+惯真
k
E v m '∆=-
=2
02
即在非惯性参考系中，真实力做功与惯性力做功之和等于物体动能的该变量。

通过引入惯性力，使得动能定理在形式上也成立了，动能定理的表达式变为E W W '∆=+惯真。

3．结论
综上所述，在惯性参考系中，力对物体做的功和物体所具有的动能与惯性参考系的选取有关，不同的惯性参考系中功和物体的动能可能不同，说明功和动能具有相对性。

但在不同惯性参考系中，牛顿第二定律都成立，所以动能定理的数学表达式也是唯一的，与惯性参考系的选取无关。

而在非惯性参考系中，由于牛顿第二定律不在成立，所以动能定理在形式上也不成立；但通过引入惯性力，可以使得牛顿第二定律在形式上也成立，在与惯性系相比中加多了惯性力做功的部分后，动能定理在形式上也成立了。

参考文献：
1.漆安慎 杜婵英.力学[M] .北京:高等教育出版社，1997.
2.顾建中.力学教程[M].北京:高等教育出版社,1986.。