对称知识
小学数学知识归纳对称的概念
小学数学知识归纳对称的概念小学数学知识归纳：对称的概念在小学数学中，对称是一个重要的概念。
它在几何中被广泛运用，并且对于小学生的数学学习与认知发展起到了积极的推动作用。
本文将对对称的概念进行归纳总结，以帮助小学生更好地理解与应用。
一、对称的定义和基本特征对称，简单来说，是指物体或图形在某个中心、轴线、点上的对应部分互相重合。
具体定义如下：在平面上，如果有一条直线使得图形按照这条直线进行折叠后的两部分重合，那么我们就可以说该图形对称于这条直线。
在三维空间中，如果有某个平面使得物体或图形按照这个平面进行折叠后的两部分重合，那么我们就可以说该物体或图形具有平面对称。
对称的基本特征有以下几点：1. 对称物体或图形的两部分完全重合，没有任何区别。
2. 对称轴、中心或点是保证对称的重要条件。
3. 对称可以是左右对称、上下对称、中心对称和旋转对称。
二、对称的分类与例子根据对称的方式和形式，对称可以分为以下几种类型。
1. 左右对称：左右对称是指物体或图形的左侧与右侧完全相同，可以通过一条垂直轴线将其分为两个完全对称的部分。
例如，我们熟悉的“人”字就是一个左右对称的图形。
无论是从上到下还是从左到右，每一部分都是完全对称的。
2. 上下对称：上下对称是指物体或图形的上半部分与下半部分完全相同，可以通过一条水平轴线将其分为两个完全对称的部分。
例如，我们常见的“心形”就是一个上下对称的图形。
将其沿中心的水平轴线进行折叠，可以看到左右两侧完美对称。
3. 中心对称：中心对称是指一个物体或图形相对于某个中心点是对称的，可以通过以该中心点为中心进行旋转后看到对称效果。
例如，我们经常用到的“圆形”就是一个中心对称的图形。
无论从任何角度旋转，都能看到相同的图形。
4. 旋转对称：旋转对称是指一个物体或图形可以通过旋转一定角度后与原来的形状完全相同。
例如，我们小时候玩过的“风车”就是一个旋转对称的图形。
无论怎么转动，都能看到相同的四个叶片。
生活中的对称总结知识点
生活中的对称总结知识点一、对称的概念1.1 对称的定义对称是指物体的两部分相互镜像对称或平衡，两部分在某种意义上相似或相等。
在几何学中，对称是指某一对象以某种中心旋转或平移，使得对象保持不变。
1.2 对称的分类对称可以分为平面对称、轴对称、中心对称等。
平面对称是指一个物体对称面两侧完全相同，如圆形；轴对称是指物体围绕某一条轴旋转180度后能够重合的对称方式，如正方形；中心对称是指物体围绕一个中心点旋转180度后能够重合的对称方式，如心形。
二、自然界的对称2.1 植物的对称植物体现出了许多美丽的对称结构，如花瓣的对称、树木的分枝对称、叶片的对称等。
这些对称结构不仅美观，还有助于植物的生长和繁衍。
2.2 动物的对称动物体现出了不同的对称特点，如昆虫的节肢对称、脊椎动物的左右对称等。
这些对称结构有助于动物的运动和生存。
三、建筑中的对称建筑是对称美的重要体现，从古代到现代，建筑中的对称设计一直占据着重要地位。
许多著名的建筑作品，如古希腊的巴特农神庙、中国的故宫、法国的凡尔赛宫等，都采用了对称的设计手法，使建筑更加稳固、美观和宏伟。
四、艺术中的对称艺术作品中的对称设计有助于提升作品的美感和表现力。
绘画、雕塑、建筑等艺术形式中都常常使用对称的手法，使作品更加和谐、统一和富有节奏感。
五、日常用品中的对称日常用品中也有许多体现对称美的设计，如家具、餐具、服饰等。
这些对称设计不仅美观，还有助于使用时的舒适感和便利性。
六、对称的应用6.1 对称在科技领域的应用对称原理在科技领域有许多应用，如光学中的镜面对称、电路设计中的对称布局等。
这些对称应用使科技产品更加稳定和有效，提高了其性能和可靠性。
6.2 对称在人体美学的应用对称美是人体美学的重要标准，许多美容手术和美容产品都以对称美为目标，通过对称调整和修饰来提升面部和身体的美感。
6.3 对称在心理治疗中的应用对称原理也被用于心理治疗中，通过调整人们的心理对称感受，使其情绪更加稳定和愉悦。
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。
函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。
在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。
一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。
对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。
2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。
对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。
对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。
对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像上关于直线L对称。
五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。
对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像关于点P对称。
综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。
中考数学对称知识点总结
中考数学对称知识点总结一、平面图形的对称1. 点、线、面的对称（1）点的对称：一个点是自身的对称点，即对称中心就是这个点本身。
如果有两个点A和B，在A关于B的对称点是A’，则B关于A的对称点是B’，即A’与B’互为对称中心。
（2）直线的对称：直线与自身关于某点对称，这个点就是直线的对称轴。
直线的对称轴有无穷多条，包括垂直于直线的直线，穿过直线中点的直线等。
（3）平面的对称：平面与自身关于某条直线对称，这条直线就是平面的对称轴。
例如，一个正方形以对角线为对称轴，一个等边三角形以高为对称轴。
2. 图形的对称性（1）关于原点的对称：一个点(x, y)关于原点对称的点为(-x, -y)，例如点(2, 3)关于原点对称的点为(-2, -3)，这个性质也适用于图形。
（2）关于x轴、y轴的对称：关于x轴对称，点(x, y)的对称点为(x, -y)；关于y轴对称，点(x, y)的对称点为(-x, y)。
例如，对称线为y=x的图形在这条直线两侧有对称的关系。
（3）关于直线的对称：一些图形与自身关于某条直线对称，这条直线就是图形的对称轴。
例如，一个圆与其直径垂直的直线对称，一个正方形与其两条对角线对称。
3. 图形的对称变化（1）平移：沿着一定的方向移动图形，使其保持形状不变，这种变化叫做平移。
平移是图形的一种刚体变换，对称性质不变。
（2）旋转：围绕一个点旋转图形，使其在平面内发生转动。
旋转的中心点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
例如，一个正方形以其中心点为旋转中心旋转90度，可以得到另一个正方形。
（3）镜像：将一个图形绕一条直线对称，得到另一个图形。
这条直线叫做镜像线。
镜像变换不会改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
例如，一个长方形以其长边为镜像线镜像，可以得到另一个长方形。
二、立体图形的对称1. 立体图形的转动对称（1）立方体：具有四个旋转对称轴，分别为通过中心点的三条对角线以及直角棱的垂直平分面。
（2）正四面体：只有一个四面体通过四个顶点的垂直平分面，因此只有一个4次旋转对称。
八年级对称点知识点总结
八年级对称点知识点总结
在数学中，对称点是指平面上一个点向另一个点做垂线，这条垂线被另一个点分成两部分，这两部分的长度相等。
对称点是数学知识中的一个常见概念，下面就让我们来看看八年级对称点知识点的总结。
一、对称点的基本概念
对称点是指平面上一个点通过另一个点和一条垂线的连线，可以得到两个对称的点。
等价地，这也可以理解为一个图形沿着某条直线反转后所得到的形状。
二、对称点的性质
1. 对称点的距离相等，即对称点的垂线是它们之间的中垂线。
2. 对称点构成的直线与它们之间的垂线相交于垂足。
3. 一条直线上的任何点和它的对称点的距离相等。
三、对称点的应用
1. 在绘图时，要求图形对称，常常需要用到对称点的知识。
2. 对称点还可以用于解题，例如，在求平均值时，如果知道对称点的位置，可以通过对称来简化计算。
3. 对称点还可以用于证明一些数学定理。
四、对称点的相关知识
1. 点对称：由一点作对称中心，将平面上的各点对称，如果图形与其自身重合，则该点是该图形的对称中心。
2. 线对称：以一条直线为对称轴，将平面上的各点对称，如果图形与其自身重合，则该直线是该图形的对称轴。
3. 中心对称：即同时具有点对称和线对称的性质。
4. 满足点对称关系的图形称为对称图形。
综上所述，八年级对称点的知识点包括对称点的基本概念、性质、应用以及相关知识。
在学习过程中，需要注意对称点的各种应用方法和技巧，以便更好地解决各类数学问题。
同时，在解题时要善于运用对称点的特性，简化计算，提高解题效率和精度。
初中数学对称知识点总结
初中数学对称知识点总结一、对称的定义1. 点的对称：如果图形中任意一点关于某条直线对称，那么这个图形就是关于这条直线对称的。
对称的直线称为对称轴。
2. 图形的对称：如果图形关于某条直线对称，那么这个图形就是关于这条直线对称的。
对称的直线称为对称轴。
当一个图形关于一个点对称时，这个点称为图形的中心。
3. 对称性质：对称可以分为轴对称和中心对称。
轴对称是指图形可以关于一条直线对称，中心对称是指图形可以关于一个点对称。
4. 对称图形：轴对称的图形称为轴对称图形，中心对称的图形称为中心对称图形。
轴对称图形有对称轴，中心对称图形有对称中心。
二、对称的性质1. 对称性质是指图形、函数、方程等在平移、旋转或翻转后的性质不变。
2. 对称性质通常包括镜像对称、轴对称、中心对称等。
3. 对称性质在代数、几何、组合等数学领域中有着广泛的应用。
三、对称图形1. 关于坐标系的对称图形：在平面直角坐标系中，可以通过坐标变换和对称变换来研究对称图形的性质。
常见的对称图形包括点、直线、圆等。
2. 关于轴对称的图形：轴对称图形是指图形可以关于一条直线对称的图形。
常见的轴对称图形包括正方形、矩形、菱形等。
3. 关于中心对称的图形：中心对称图形是指图形可以关于一个点对称的图形。
常见的中心对称图形包括正圆、正多边形等。
四、对称的应用1. 对称在代数中的应用：对称性质在代数中有着重要的应用，可以简化问题的求解和证明过程。
2. 对称在几何中的应用：对称性质在几何中有着广泛的应用，可以帮助求解几何问题和证明几何定理。
3. 对称在组合中的应用：对称性质在组合问题中有着重要的应用，可以帮助求解排列组合和图形的对称性质等问题。
总之，对称是数学中一个非常重要的概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
对称性质可以帮助简化问题的求解和证明过程，可以帮助学生更好地理解和掌握数学的知识。
因此，学生应该认真学习对称的知识，掌握对称的定义、性质和应用，以便更好地应用对称来解决问题和证明定理。
立体几何初步知识点：正方体的对称性
立体几何初步知识点：正方体的对称性
正方体是一种具有高度、宽度和长度相等的三维几何形体。
在
研究正方体时，我们常常涉及到它的对称性。
1. 面的对称性：
正方体有六个面，每个面都是完全相同的正方形。
因此，我们
可以说正方体具有面的对称性。
这意味着在正方体中，任意两个相
对的面都是对称的。
例如，正方体上的前面和后面、左面和右面、
上面和下面都是对称的。
2. 边的对称性：
正方体有12条边，每条边的长度相等。
因此，我们可以说正
方体具有边的对称性。
这意味着在正方体中，任意两条相对的边都
是对称的。
例如，正方体上的相对的边包括前面和后面的临边、前
面和上面的临边、前面和左面的临边等等。
3. 顶点的对称性：
正方体有8个顶点，每个顶点都位于三条相交的边的交点处。
因此，我们可以说正方体具有顶点的对称性。
这意味着在正方体中，
任意两个相对的顶点都是对称的。
例如，正方体上的相对的顶点包
括前面上角和后面下角、前面上角和左面下角、前面下角和左面上
角等等。
正方体的对称性在几何研究和实际应用中具有重要意义。
它不
仅帮助我们理解正方体的结构和性质，还能用于设计和构造中的对
称要求。
总结：
- 正方体具有面的对称性，任意两个相对的面都是对称的。
- 正方体具有边的对称性，任意两条相对的边都是对称的。
- 正方体具有顶点的对称性，任意两个相对的顶点都是对称的。
以上是关于正方体的对称性的初步知识点介绍。
References:。
对称形的认知知识点
对称形的认知知识点对称形是指物体或形状的左右部分对称相等，即两侧镜像对应。
在几何学中，对称形是一个重要的概念，它不仅存在于自然界中的许多物体中，也是人类设计和艺术中常用的元素。
本文将介绍一些关于对称形的知识点，包括对称形的定义、种类和应用。
1. 对称形的定义对称形可以简单地定义为物体或形状的两侧镜像对应，即左右部分在某个轴线上完全一致。
这个轴线称为对称轴。
对称轴可以是水平线、垂直线或者对角线。
对称形的特点是两侧完全对称，左右部分的形状、大小和位置都完全相同。
2. 对称形的种类对称形分为以下几种常见的类型：2.1 平面对称形平面对称形是指物体或形状在一个平面上完全对称。
常见的例子包括正方形、圆形和矩形。
在这些形状中，可以将其分成两个完全相同的部分，左右对称。
2.2 点对称形点对称形是指物体或形状以一个点为中心对称。
常见的例子包括心形和星型。
在这些形状中，以中心点为对称轴，左右和上下部分镜像对应。
2.3 螺旋对称形螺旋对称形是指物体或形状以螺旋线为对称轴的对称形。
螺旋对称形在自然界中常见，比如螺旋壳和许多植物的形状。
2.4 发散对称形发散对称形是指物体或形状以某个点为中心，向外辐射状发展的对称形。
常见的例子包括花朵和象限。
3. 对称形的应用对称形在许多领域都有广泛的应用，包括艺术、设计、建筑和科学。
3.1 艺术和设计对称形在艺术和设计中经常被用来创造美感和平衡感。
许多古代建筑和绘画作品都采用了对称形的设计，例如埃及金字塔和中国的传统建筑。
3.2 建筑对称形在建筑中起到了平衡和稳定的作用。
很多建筑物的立面都采用对称形的设计，例如巴洛克式建筑和古希腊神庙。
3.3 科学对称形在科学研究中也有重要的应用，特别是在对称性和对称破缺的研究中。
对称性在物理学和化学中有广泛的应用，例如对称分析和对称群的研究。
4. 总结对称形作为一种几何学概念，在我们的生活和各个领域中都扮演着重要的角色。
了解对称形的种类和应用，可以帮助我们更好地理解自然界和人类创造的事物。
对称的知识
《对称的知识》
同学们，今天咱们来聊聊对称的知识。
你们看，咱们的身体就是对称的。
两只眼睛、两只耳朵、两只手、两条腿，是不是很神奇？这让我们看起来很整齐、很美观。
再看看大自然里，蝴蝶的翅膀是对称的，飞起来特别漂亮。
还有蜻蜓，它的身体也是对称的，在空中飞行的时候特别平稳。
在建筑中也有很多对称的例子。
比如故宫，那红墙黄瓦，左右两边的宫殿排列得整整齐齐，看起来特别庄严、雄伟。
还有我们经常玩的纸飞机，如果把它折得对称，就能飞得又高又远。
对称的知识可有趣啦，你们发现了吗？
《对称的知识》
同学们，对称的世界很奇妙哦！
咱们教室里的窗户，一般都是左右对称的，这样看起来很规整。
想想过年时贴的春联，左右两边的字数和图案也是对称的，充满了喜庆的味道。
还有数学里的图形，像正方形、圆形，它们都是对称的。
比如说正方形，沿着它的对角线对折，两边能完全重合。
我记得有一次做手工，我折了一只对称的千纸鹤，小伙伴们都夸好看。
对称让我们的生活变得更加有秩序，更加美好。
《对称的知识》
同学们，对称的知识可不少呢！
咱们穿的衣服，扣子一般都是对称排列的，这样好看又方便。
公园里的花坛，很多也是对称的造型，五颜六色的花朵对称地开放着，让人赏心悦目。
在画画的时候，如果能注意对称，画出来的画会更漂亮。
比如画一座桥，两边的桥栏对称的话，整座桥就会显得很稳固。
有一次我看到一个对称的剪纸作品，那精致的图案，简直太让人惊叹了！
学会了对称的知识，能让我们发现更多生活中的美。
对称与方位知识点总结
对称与方位知识点总结一、对称1. 对称的定义对称是指物体或图形在某一条线或某一点关于对称轴或对称点呈现镜像的性质。
对称分为轴对称和中心对称两种。
2. 轴对称轴对称是指一个图形关于某一条直线对称，对称轴可以是任意直线。
对称轴可以是图形的一条边，也可以是图形的一条中垂线。
3. 中心对称中心对称是指一个图形关于一个点对称，对称点可以是任意点。
对称点也可以是图形的一个角的顶点、一个中心或者一个交点。
4. 对称图形的特点对称图形具有一些特点，包括：对称图形的每个点与其关于对称轴或对称点的镜像点之间的距离相等；对称图形的每个点都有一个与之对应的镜像点；对称图形的对称轴或对称点将图形分为两个完全相同的部分等。
5. 对称图形的例子常见的对称图形有正方形、矩形、菱形、圆、等腰三角形等。
6. 对称性在生活中的应用对称性在生活中有着广泛的应用。
例如，建筑中的楼梯、图案设计中的花纹、产品设计中的外形等都会考虑到对称性带来的美感和稳定感。
7. 对称性与数学对称性在数学中有着重要的地位。
对称性是几何形状的重要性质之一，可以帮助我们更好地理解和分析几何图形。
对称性还可以帮助我们简化问题，找到更快捷的解决方法。
8. 对称性与艺术对称性在艺术中也有着重要的地位。
许多艺术作品都以对称性为美学标准，如古代的建筑、雕塑、绘画等，都是以对称性为基础的。
二、方位1. 方位的定义方位是指地球或空间中某一点与某一参考点之间的相对位置关系。
通常以东、南、西、北来表示。
2. 方位的表示方法方位可以用度数、八风向、罗盘方位进行表示。
度数表示是以360°为一圈，东方为0°，南方为90°，西方为180°，北方为270°。
八风向表示是以东、南、西、北、东南、西南、西北、东北为基本方位。
罗盘方位是以罗盘指针指示的方向为基础。
3. 方位的相关概念与方位相关的概念有方向、地理方向、角度等。
方向是指一个物体在某一点上运动时所指的路径。
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中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,这两个图形成中心对称。
分子的对称因素
当物质和它的镜像能重合时，该物质的结构是对称的，没有旋光性。
反之，物质和它的镜像不能重合时，该物质的结构是不对称的，有旋光性。
判断一个分子的对称性，要将分子进行某一项对称操作看结果是否与它原来的立体形象完全一致，如果通过某种操作后和原来的立体形象完全重合时，就说明该分子具有某种对称因素。
（1）对称面（plane of symmetry，符号σ）。
假如一个平面能把一个分子切成两部分，而一部分正好是另一部分的镜像，这个平面就是该分子的对称面，例如：在2-氯丙烷分子中，C－2原子上连有两个相同的基团（－CH），分子中就有一个对称面如图3-5（а），它把分子切成完全对称的两部分，这两部分正好是实物与镜像的关系。
这样的分子就被认为是具有对称面的分子，是一个“对称分子”（symmetric molecules），没有旋光性。
如果分子中所有原子都在同一平面上，例如（E）-1,2-二氯乙烯分子是平面型的，它的sp杂化轨道所处的平面，就是分子的对称面，见图3-5（b），因此也没有旋光性。
（2）对称中心（center of symmetry，符号i）。
分子中如有一点P ，通过P 点画任何直线，如果在离P 点等距离的直线两端有相同的原子，那么P 点就是这个分子的对称中心。
例如1,3-二氯-2，4-二氯环丁烷，分子中就有一个对称中心，见图3-6，从该分子的任一原
子向P 点画一直线，再延长出去，在等距离处就会遇到相同的原子。
化合物如具有对称中心，则它的镜像是能重叠的，该分子就没有旋光性。
3）对称轴（axis of symmetry，符号C）。
如果通过分子画一直线，当分子以它为轴旋转一定角度后，可以得到和原来分子相同的形象，这条直线就是分子的对称轴。
当分子绕轴旋转360／n（n＝2,3,4.6…）之后，得到的分子与原来的形象完全重叠，这个轴就是该分子的n
重对称轴。
例如环丁烷[见图3-7（a）]分子绕轴旋转90°后和原来分子的形象一样，由于36 0／90＝4，这是四重对称轴。
苯分子[见图3-7（b）]绕轴旋转60°，即和原来分子形象相同，为六重对称轴（360／60＝6）。
（4）交替对称轴（alternating axis of symmetry，符合S）。
分子绕中心轴旋转一定角度后，得到一种立体形象，此形象通过一个与轴垂直的镜面得到的镜像若与原分子的立体形象相同，此轴为交替对称轴，见图3-8。
交替对称轴常和其他对称因素同时存在，如图3-8是具有二重交替对称轴，同时也是具有对称中心。
此外还有四重交替对称轴，但这种对称因素较少见，在此从略。
根据分子具有的对称因素。
可把化合物分为三类：凡具有对称面、对称中心和交替对称轴任何一种对称因素的化合物称对称化合物（symmetric compound）；仅有简单对称轴而不具备其他对称因素的化合物称非对称化合物（dissymmetric compound）；不具备任何对称因素的化合物称不对称化合物（asymmetric compoud）。
这种现象分别称为对称性，非对称性和不对称性。
这里讨论的重点是非对称化合物和不对称化合物，它们的实物和镜像不能重叠，正如我们的左手和右手一样，非常相似但不能重叠（见图3-9）。
因此我们称这类物质具有手性（chirality），这类化合物具有旋光性。
对称化合物其实物和镜像能重叠，故无旋光性。
下面三个化合物，丙酸、乳酸和3-羟基丙酸，经旋光仪测定，乳酸具有旋光性，丙酸和3-羟基丙酸都无旋光性。
仔细比较这三个有机酸的分子结构可以看出，乳酸分子的C-2原子具有一个特点，就是它所连接的四个原子和原子团（H、OH、CH、COOH）完全不同。
另外两个羧酸分子都没有这样的碳原子。
这种直接和四个不相同的原子或原子团相连的碳原子叫做“手性碳原子”（chiralcarbon atoms）或“不对称碳原子”（asymmetric carbon atoms），常用Ｃ表示。
例如乳酸和苹果酸的分子中都含有一个手性碳原子，酒石酸分子中则含有两个手性碳原子：
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文。