南京2023年中考数学试卷(含答案)
2023年江苏省南京市中考数学真题模拟试卷附解析
2023年江苏省南京市中考数学真题模拟试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．口ABCD 的周长为36 cm ，AB=BC=2cm ，则AD ，CD 的长度分别为（ ） A ．12 cm ，6 cmB ．8 cm ，10 cmC ．6 cm ，12 cmD ．10 cm ，8 cm2． 利用因式分解计算2009200822-，则结果是（ ） A ．2B ．1C ．20082D ．-1 3．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）A ．一条或三条B ．三条C ．两条D ．一条4．长方形的周长是36（cm ），长是宽的2倍，设长为x （cm ），则下列方程正确的是（ ） A ．x+2 x =36B ．1362x x +=C ．2（x +2x ）=36D ．12()362x x +=5．下列各个变形正确的是（ ） A ．由 7x=4x-3，移项，得 7x-4x=3B ．由 3（2x-1）=1+ 2（x-3），去括号，得6x-1 =1+2x-3C ．由 2（2x-1）-3（x-3）= 1，去括号，得4x-2-3x-9= 1D ．由 2（x+1）=x+8，去括号，移项，合并，得x=66．两个有理数和的绝对值与这两个数绝对值的和相等，那么这两个数（ ） A ．都是正数B. 两数同号或有一个数为 0 C ．都是负数 D ．无法确定二、填空题7．如图，有6张牌，从中任意抽取两张，点数和是奇数的概率是________．8．在Rt △ABC 中,已知∠C=90°,若∠A=30°3,则∠B=______, b=______，c=______．9．一次函数21y x =-+的图象，经过抛物线21(0)y x mx m =++≠的顶点，则 m= ． 10．如图,在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的面积为 cm 2．11．在平面直角坐标系中．点A(x-l ，2-x)在第四象限，则实数x 的取值范围是 . 12．如图，方格纸上有A 、B 两点．若以B 为原点，建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(6，3)；若以A 为原点建立平面直角坐标系，则点B 的坐标为 .13．请举出一个主视图和俯视图相同，但是左视图不同的几何体： . 14．如图，AB ∥CD ，EG 平分∠BEF.∠2 = 60°， 则∠1= .15．x= 时，分式)1)(3(3+--x x x 的值是0.16．观察下列各式： (x-1(x+1)=x 2-1 (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 (x-1）(x 3+x 2+x+1)=x 4-1根据规律可得(x-1)(x n-1+……+x+1)= (其中n 为正整数）． 17．填空：(1)已知5n a =,则3n a = ； (2)已知530()x a a =，则x = ；(3)若2434()()x y m m m ==，则x= ,y= ．18．观察下面的等式，①111122⨯=-；②222233⨯=-；③333344⨯=-；④444455⨯=-……第n个等式可表示为 ．19．图中有线段 条，分别是线段 、 、 、 、 、 ．图中共有射线 条．20．宁波市2008年初中毕业生学业考试各科的满分值如下：科目 语文 数学 英语 科学 社政 体育 满分值1201201101508030若把表中各科满分值按比例绘成扇形统计图，则表示数学科学的扇形的圆心角应是 度（结果保留3个有效数字）．21．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为 ．三、解答题22．Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=32,求a:b:c 等于多少？23．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于 A ．B 两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的取值范围．24．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠D=120°．对角线CA 平分∠BCD ，且梯形的周长为20，求AC 的长及梯形的面积．25．给出下面三种边长相等的正多边形：要求选取其中的至少两种正多边形，使这几种正多边形能围绕一个顶点镶嵌成不留空隙的平面图形，请画出两种不同镶嵌方法的示意图．26． 按由大到小的顺序排列下列各数： 1332312721752 1117523273223>>>27．如图，点E 、D 分别是等边△ABC 中以C 点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD ，DB 的延长线交AE 于F ． （1）请说明△ABE ≌△BCD 的理由； （2）求∠AFB 的度数．28．若a ，b 互为相反数，求3223a a b ab b +++的值.29．25(精确到0.001 ).30．8箱苹果，以每箱５千克为准，称重记录如下：（超过记为正数，单位：千克） 1.5， －１，3，0， 0.5， －1.5，2， －0.5321CA BEDF这8箱苹果的总重量是多少？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．A4．D5．D6．B二、填空题7．88．1560°，12，389．一410．1282x >12．(-6,-3)13．答案不唯一，如横放的圆柱14．60°15．-316．1-n x 17．(1)125；(2)6；(3)8,618．11n nn n n n ⨯=-++19． 6；线段CO 、CA 、CB 、OA 、OB 、AB ；820．70.821．360°三、解答题 22．3:5:2．23．（1）由题意得，m=2×3=6． ∴6y x=，∴当 x=-1 时，n=-6． ∴23|6k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，∴24k b =⎧⎨=-⎩，∴24y x =-(2)当 x<—1 或 0<x<3 时，一次函数的值大于反比例函数的值24．AC=S 梯形略26．>>>．（1）略；（2）60°28．29．12，-=≈12)10.178 30．44千克。
2023年江苏省南京市中考数学奥赛试题试卷附解析
2023年江苏省南京市中考数学奥赛试题试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 2000人，其中有 250 人看中央电视台的早新闻，在该镇随机问一个人，他看早新闻的概率大约是（ ） A ．0.75B ． 0.5C ． 0.25D ． 0.1252．一元二次方程220x x -=的解是（ ） A ．0x =B ．12x =C ．10x =，212x =- D ．10x =，212x =3．如果|2|30x y -++=,那么x ,y 的值需满足（ ） A ．且3y = B ．2x =且3y = C ．2x =且3y =-D ． 2x =-且3y =- 4．已知关于x 的一元一次方程431x m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ．1m <-C ．1m ≥-D ．1m ≤-5．某居民区月底统计用电情况,其中用电45度的有3户，用电50度的有5户，用电42度的有6户，则平（ ）6．由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图，各小方体内的数字表示叠在该层位置的小正方体个数，则这个几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．22()()x a x a x a -+=- B ．24414(1)1a a a a ++=++ C ．224(2)(2)x y x y x y -=-+D ．3(1)(1)(1)(3)x y x z x y z ---=--9．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 3、2、1，把它们叠放在一起组成一个新的长方体. 在组成的这些新长方体中、表面积的最小值为（ ） A ．42 B ．38 C ．20 D ．32 10．下列直线的表示中，正确的是（ ）A ．直线AB ．直线ABC ．直线abD ．直线A b二、填空题11．反比例函数(0)ky x x=>图象如图所示，则y 随x 的增大而 ． 12．如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>PB ，则下列说法正确的是______（仅填序号）． ①AP 2＝PB ·AB ；②AB 2＝AP ·PB ；③BP 2＝AP ·AB ；④AP ：AB ＝PB ：AP 13．已知函数y ＝(m ＋2)x m(m ＋1)是二次函数,则m=______________．114．矩形的面积为 20 cm 2，则它的宽 y(cm)与长 x(cm)的函数关系式是 ． 15．如果菱形的边长是6的周长是 .16．点（5，9）与点（x ，y ）于原点对称，则x y += .17．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝24，BD ＝10，则菱形的周长L=________． 18．球体的三视图中，主视图是 ，左视图是 ，俯视图是 ． 19．如图，1l ⊥2l , 3l ⊥2l ，则1l 3l ，理由是 ．20．如图，∠A=80°，∠2=130°,则∠l= ．21．若a 的值使得224(2)1x x a x ++=+-成立，则a= ． 22．与73-的和等于-1的数是 ． 三、解答题23．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ．FEDCBAABCDE F24．在如图所示的相似四边形中，求未知边 x 、y 的长度和角度α的大小.25．如图所示，在△ABC 中，BD 、CE 是两条高线，求证：B 、C 、D 、E 四点在同一个圆上.26．已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，且AE ＝2EC ，BE ，CD 交于点F ，求证：BE ＝4EF ．27．如图，△ACB ，△ECD 都是等腰直角三角形，且点C 在AD 上，AE 的延长线与BD 交于点F ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．28．已知，如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AC ，DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB=DE ，BF=CE ． 试说明：(1)△ABC ≌△DEF ；(2)GF=GC ．29．先化简再求值：412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中34．30．某商场一种商品的成本是销售收入的65%，税款和其它费用 ( 不列入成本 )合计 为销售收入的 10%，若该种商品的销售收入为x 万元，问该商场获利润多少元？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．D3．C4．B5．C6．A7．C8．C9．D10．B二、填空题11．减少12．①④13．14．20yx=15．24°16．-1417．5218．圆，圆，圆19．∥；∠l=∠2=90°,同位角相等，两直线平行20．130°21．322．47-三、解答题23．略24．∵两四边形相似，∴8453y x==，∴α=360°- 130°- 70°-60°= 100°，∴x=6 ,y= 10.25．∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴△BCE、△BCD都是Rt△，且∠BEC=∠BDC=90°，∴△BE的外接圆是以BC为直径的圆，△BDC 的外接圆是以BC为直径的圆，B 、C 、D 、E 四点在同一个圆上．26．提示：取AE 的中点M ，连结DM ．27．△ACE ≌△BCD28．(1)略 (2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFC=∠ACF29．原式=3341-=+-x ． 30．0.25x 万元。
2023年江苏省南京市中考数学名师精编试卷附解析
2023年江苏省南京市中考数学名师精编试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．当x<0时，反比例函数x y 21-=的（ ） A ．图象在第二象限内，y 随x 的增大而减小B ．图象在第二象限内，y 随x 的增大而增大C ．图象在第三象限内，y 随x 的增大而减小D ．图象在第三象限内，y 随x 的增大而增大3．如图⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．110°B ．70°C ．55°D ．125°4．如图，函数1y x=-图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CDB ．AD=BC C ．AB=BCD ．AC=BD 6．将一个有40个数据的样本经统计分成6组，若某一组的频率为0.15，则该组的频数为 （ ）A ．6B ．0.9C ．6D ．1 7．下列函数中，是正比例函数的是（ ） A ．3y x = B ．4x y =- C ．y=3x+9 D ．y=2x 28．如图，AB ∥CD ，∠1=110°，∠E=40°，∠ECD 的大小是（ ）A ．80°B ．75°C ．70°D ．60°9．计算（18x4－48x3+6x）÷（－6x）的结果是（）A．3x3－8x2B．－3x3+8x2C．－3x3+8x2－1 D．3x3－8x2－110．如图所示的图形由四个相同的正方形组成，通过旋转不可能得到的图形是（ •）11．如果22-=++，那么k的值等于（）(3)9x x kxA．3 B．-3 C．6 D．-612．如图所示，已知AD=CB，∠AD0=∠CB0，那么可用“SAS”全等识别法说明的是（） A．△AD0≌△CB0 B．△AOB≌△COD C．△ABC≌△CDA D．△ADB≌△CBD13．平面上有A、B、C三个点，那么以下说法正确的是（）A．经过这三点，必能画一条直线B．经过这三点中的每一个点，必可画三条平行直线C．一定可以画三条直线，使它们两两相交于这三个点D．经过这三点中的每一个点，至多能画二条平行直线14．甲、乙、丙三筐青菜的质量分别是 102 kg、97 kg、99 kg，若以 100 kg 为基准，并记为0，则甲、乙、丙三筐青菜的质量分别表示为（）A．2，3，1 B．2，-3，1 C．2，3，-1 D．2，- 3，-1二、填空题15．如图，⊙O1与⊙O2交于点 A．B且 AO1、AO2分别是两圆的切线，A是切点，若⊙O1的半径r1 =3 cm，⊙O2的半径r2 =4 cm，则弦 AB = ㎝．16．如图所示，点P到坐标原点 0的距离 OP = 4，则点 P 的坐标为．F G E D C B A 17．放大镜下的“5”和原来的“5”是 ，下列各组图形中，属于相似形的是 ．(填序号).①两个三角形；②两个长方形；③两个平行四边形；④两个正方形；⑤两个圆18．扇形的圆心角是60°，半径是3cm ，则扇形的周长是 cm ，扇形的面积是 cm 2．19．如图所示的抛物线，当x _时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小；当 x 时，y 有最大值．20．在□ABCD 中，已知AC=3 cm ，△ABC 的周长为8cm ，．则□ABCD 的周长为 ．21．如图,直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上．其中,A 点坐标为(2，一1)，则△ABC 的面积为_____________平方单位．22．有三个连续自然数，中间一个是x ，则它们的积是 .23．如图所示，四边形ABCD 为正方形，它被虚线分成了9个小正方形，则△DBE 与△DEC 的面积之比为 ．三、解答题24．如图EG ∥AF.请你从下面三个条件中，选择两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题（只需要写出一种情况）.①AB = AC ；②DE = DF ；③BE = CF.已知：EG ∥AF ， = ， = .求证： .请证明上述命题.25．如图所示，□ABCD中，以BC，CD为边分别向外作两个正三角形BCE和CDF．求证：△AFF是等边三角形．26．某服装商店出售一种优惠购物卡，花 200 元买这种卡后，凭卡可以在这家商店按 8 折购物，什么情况下买卡购物合算？27．如图①，在6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．将图形F沿直线x向右平移l格得图形F1，称为作1次P变换；将图形F沿直线y翻折得图形F2，称为作1次Q变换；将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形F3，称为作1次R变换．规定：PQ 变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；n R变换表示作n次R变换．解答下列问题：(1)作R4变换相当于至少作次Q变换；(2)请在图②中画出图形F作R2007变换后得到的图形F4；(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换?请在图③中画出PQ变换后得到的图形F5，在图④中画出QP变换后得到的图形F6．28．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字 1，2，3，4，5，6.(1)若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？(2)请你用这个转盘设计一个游戏，使自由转动转盘，当它停止转动时，针指向的区域的概率为2 3 .29．一次抽奖活动中，印发奖券 l000张. 其中一等奖 10 张、二等奖 200张、三等奖 300 张. 问第一位抽奖者中奖的概率是多少？中一等奖或二等奖的概率又是多少？30．在依次标有数字3、6、9、12……的卡片中，小明拿到3张卡片，它们的数字相邻，且数字之和为117.（1）小明拿到的卡片是标有哪些数字的？（2）你能否拿到数字相邻的4张卡片，使其数字之和为177？若能，请指出这4张卡片中数字最大的卡片，若不能，请说明理由．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．D4．C5．D6．C7．B8．C9．C10．C11．D12．D13．B14．D二、填空题15．24516．（2，17．相似形, ④、⑤18．(6)π+,32π 19．≤2，≥2，220．10 cm21．522．3x x -23．1：2三、解答题24．略．25．只要证△ABE ≌△FDA ≌△FCE 得AE=AF=EF 即可 26．超过1000元27．(1)2 (2)略(3)略28．(1)12；略29．51 100，2110030．（1）小明拿到的卡片标有的数字是36、39、42（2）设相邻的4张卡片为x，x+3，x+6，x+9，则x+（x+3）+（x+6）+（x+9）=117，994x 不是整数，∴不能拿到数字相邻的4张卡片，使其数字之和为177．。
2023年中考数学第三次模拟考试卷及解析(南京卷)
2023年中考数学第三次模拟考试卷及解析（南京卷）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．在2225,|2|,(3),(6),(1)-------这五个数中，是负数的共有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】利用有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的定义计算并判断负数是哪些．【详解】解：在25-，|2|--，2(3)-，(6)--，2(1)-这五个数中，负数有：25-，|2|--，共计2个，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，正数负数，相反数的定义，绝对值的定义，解题的关键是掌握有理数的乘方运算，正数负数，相反数的定义，绝对值的定义．2．据教育部统计，2022年高校毕业生约1086万人，用科学记数法表示1086万为（）A ．4108610⨯B ．71.08610⨯C ．81.08610⨯D ．80.108610⨯【答案】B【分析】利用科学记数法把大数表示成10n a ⨯（110a ≤<，n 为自然数）的形式．【详解】解：1076万710860000 1.08610==⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．3．已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时() A．1天B．2天C．3天D．4天【答案】D【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据题意得：2510x x-+=1，解得：x＝4．即完成这项工程共耗时4天．故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的实数分别为a，b，c．若B是AC的中点，b的绝对值最小，a的绝对值最大，则原点的位置在（）A．线段AB上，更靠近点A B．线段AB上，更靠近点BC．线段BC上，更靠近点B D．线段BC上，更靠近点C【答案】C【分析】B是AC的中点，若假设B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，而b的绝对值最小，所以B靠近原点，从而即可得解．【详解】解：∵B是AC的中点，∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，∴B是不是原点，∵而b的绝对值最小，∴B是靠近原点，一个数离原点越远，绝对值越大，∵a的绝对值最大，∴A离原点最远，∴原点在线段BC上，更靠近点B，故选：C．【点睛】本题考查的是数轴上原点的确定，可以用假设法，也可以直接用代入法解题．5．从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球比赛，恰好抽到小华和小明的概率是（）A．14B．13C．16D．112【答案】C【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小华和小明的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把小华、小琪、小明、小伟四人分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小华和小明的结果有2种，∴恰好抽到小华和小明的概率为21126=，故选：C ．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率等于所求情况数与总情况数之比，用树状图或列表法列出所有可能出现的结果是解题的关键．6．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 为 AB 的中点，AD 平分CAB ∠交 BC于点D ，连接CD OD BD ，，．下列结论中错误的是（）A ．AC OD∥B ．2CA DC =C ．AEO ABD△△D ．45BOD ∠=︒【答案】B 【分析】A.根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证CAD ADO ∠=∠即可；B.根据角平分线的性质得出CAD BAD ∠=∠，根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等可得CD BD =，又因为CD BD BC +>,又由AC BC =可得2AC CD <；C.先根据圆周角定理可得90AOC ADB ∠=∠=︒，再结合EAO DAB ∠=∠可证D.先根据圆周角定理可得90AOC ADB∠=∠=︒，根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等可得1452BOD BOC∠=∠=︒即可解答．【详解】解：A.∵AB是半圆直径，∴AO OD=，∴OAD ADO∠=∠，∵AD平分CAB∠交弧BC于点D，∴12CAD DAO CAB ∠=∠=∠，∴CAD ADO∠=∠，∴AC OD∥，∴A正确；B.∵AD平分CAB∠交 BC于点D，∴CAD BAD∠=∠.∴CD BD=∴2BC CD BD CD<+=,∵半径OC AB⊥于O，∴AC BC=,∴2AC CD<，∴B错误；C.∵AB是半圆O的直径，点C为 AB的中点∴90AOC ADB∠=∠=︒,∵EAO DAB∠=∠∴C正确；D.∵AB是半圆O的直径，∴90AOC COB∠=∠=︒∵AD平分CAB∠交 BC于点D，∴1452BOD BOC∠=∠=︒∴D正确．故选B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）720y++=，则x y+=________．【答案】3-【分析】根据二次根式及绝对值的非负性进行计算即可．20y++=，∴20x y-=，20y+=，∴=1x-，=2y-，∴()123x y+=-+-=-故答案为：3-．【点睛】本题考查二次根式及绝对值的非负性，掌握“多个非负数相加和为0，则让其分别为0”的做题技巧是解题关键．8．已知5x y-=，3xy=-，则代数式22x y xy-的值为______．【分析】先把22x y xy -提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可．【详解】解：∵5x y -=，3xy =-，∴()223515x y y y x x y x =-=-⨯=--；故答案为：15-．【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．9．如图，圆锥的底面半径2OC =，高3AO =，则该圆锥的侧面积等于________．（结果保留π）【答案】【分析】先计算母线长，再根据侧面积等于rl π计算即可．【详解】∵2OC =，高3AO =，∴l ==∴侧面积为rl π=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，熟练掌握勾股定理，圆锥侧面积计算公式是解题的关键．10．二次函数23(2)1y x =-+的图像的顶点坐标是______．【分析】根据二次函数表达式为23(2)1y x =-+，是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数23(2)1y x =-+的图像的顶点坐标是(2,1)，从而得到答案【详解】∵二次函数的解析式的顶点式为23(2)1y x =-+，∴二次函数23(2)1y x =-+的图像的顶点坐标是(2,1)故答案为：(2,1)【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记由二次函数顶点式得到函数图像顶点坐标是解决问题的关键．11．如图是一次函数y kx b =+的图象，则关于x 的不等式0kx b +<的解集为______．【答案】x ＞2【分析】根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．【详解】解：根据图象可知，当x =2时，y =kx +b =0，∴不等式kx +b ＜0的解集为x ＞2，故答案为：x ＞2．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．12．某次检测中，一个10人小组，其中6人的平均成绩是80分，4人的平均成绩是90分，那么这个10人小组的平均成绩是_____分．【答案】84【分析】根据平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【详解】解：由题意知，这这个10人小组的平均成绩()8069041084=⨯+⨯÷=（分）．故答案为：84．【点睛】本题考查的是平均数的含义，熟练的利用平均数的含义求解一组数据的平均数是解本题的关键．13．如图，已知点C 是AOB ∠平分线上的点，点'P P 、分别在OA OB 、上，如果要得到'OP OP =，需要添加以下条件中的某一个即可∶①'OCP OCP ∠=∠；②'OPC OP C ∠∠=；③'PC P C =；④'PP OC ⊥．请你写出所有可能的结果的序号∶_____________．【答案】①②④【分析】连接PC 、'P C ，①当'OCP OCP ∠=∠，用ASA 即可证明'OCP OCP ∆≅∆，即可得到'OP OP =；②当'OPC OP C ∠∠=，用AAS 即可证明'OCP OCP ∆≅∆，即可得到'OP OP =；③当'PC P C =时，有两组对应边和其中一组对应边的对角相等，不可得到三角形的全等，故③不能得到'OP OP =；④当'PP OC ⊥时，用ASA 即可证明'ODP ODP ∆≅∆，即可得到'OP OP =，【详解】解：连接PC 、'P C ，∵OC 平分AOB ∠，∴'POC P OC ∠=∠，①当'OCP OCP ∠=∠时：在OCP ∆和'OCP ∆中，∠POC =∠'P OC ，OC OC =，'OCP OCP ∠=∠，∴'OCP OCP ∆≅∆()ASA ，∴'OP OP =；②当'OPC OP C ∠∠=时：在OCP ∆和'OCP ∆中，∠POC =∠'P OC ，'OPC OP C ∠∠=，OC OC =，∴'OCP OCP ∆≅∆()AAS ，∴'OP OP =；③当'PC P C =时，有两组对应边和其中一组对应边的对角相等，不可得到三角形的全等，故③不能得到'OP OP =；④当'PP OC ⊥时：设垂足为D ，∵'PP OC ⊥，∴'ODP ODP ∠∠=，在OCP ∆和'OCP ∆中，POC ∠=P OC ∠'，OD OD =，'ODP ODP ∠∠=，∴'ODP ODP ∆≅∆()ASA ，∴'OP OP =；故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形全等是判定，熟练掌握相关内容是解题的关键．注意两边和其中一边的对角相等，不能判定三角形的全等．14．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是_____．【答案】【分析】根据正六边形的性质即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，过点O 作OC AB ⊥于C ，根据图形可知：90OCB ∠=︒，30OBA ∠=︒，圆的半径4OB =，2OC ∴=，BC ∴=2AB BC ∴==∴图中阴影部分的周长6=⨯=故答案为：【点睛】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正六边形的性质.15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂真平分线DE 交BC 于点E ，若303B BC ∠=︒=，，则BE 的长度是______．【答案】2【分析】如图所示，连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，90EDB EDA ==︒∠∠，证明AE 是BAC ∠的角平分线，得到CE DE =，再根据含30度角的直角三角形的性质得到12CE DE BE ==，再由132BC CE BE BE BE =+=+=进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AE ，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，90EDB EDA ==︒∠∠，∴EAB B ∠=∠，∵30B ∠=︒，∴30EAB B ∠=∠=︒，∵90C ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，30CAE BAC EAB EAB =-=︒=∠∠∠∠，又∵9090C ADE =︒=︒∠，∠，∴AE 是BAC ∠的角平分线，∴CE DE =，在Rt BDE △中，9030BDE B ∠=︒=︒，∠，∴12CE DE BE ==，∴132BC CE BE BE BE =+=+=，∴2BE =，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 是BC 的中点．以点C 为圆心，CE 长为半径画圆，点P 是C 上一动点，点F 是边AD 上一动点，连接AP ，若点Q 是AP 的中点，连接BF ，FQ ，则BF FQ +的最小值为______．【答案】1##1-+【分析】取点B 关于直线AD 的对称点M ，连接BD 、AC 两线交于点O ，连接OQ ，CP ，MO ，过O 作ON AB ⊥于点N ，判断出OQ 是ACP △的中位线，求出OQ ，利用正方形的性质和勾股定理求出OM 的长，根据BF FQ OQ MF FQ OQ OM ++=++≥，推出当M 、F 、Q 、O 四点共线时，BF FQ OQ MF FQ OQ OM ++=++==最小，从而可求出其最小值．【详解】解：取点B 关于直线AD 的对称点M ，连接BD 、AC 两线交于点O ，连接OQ ，CP ，MO ，过O 作ON AB ⊥于点N ，点Q 是AP 的中点，O 为AC 中点，∴OQ 是ACP △的中位线，112122OQ CP ∴==⨯=，∴点Q 在以O 为圆心，1为半径的O 上运动，四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，OA OB =，122ON AN BN AB ∴====，4AM AB == ，426MN ∴=+=，OM ∴=BF FQ OQ MF FQ OQ OM ++=++≥ ，∴当M 、F 、Q 、O 四点共线时，BF FQ OQ MF FQ OQ OM ++=++==小，BF FQ ∴+的最小值为1BF FQ OM OQ +=-=．故答案为：1．【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，中位线定理，正方形的性质，最短路径，勾股定理，解题的关键是正确确定点Q 的运动轨迹．三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）17．（7分）（1）已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =，求y 与x 的函数表达式．（2）某位同学的卧室有25平方米，共用了64块正方形的地板砖，问每块砖的边长是多少？【答案】（1）123y x =-+；（2）每块砖的边长是58米【分析】（1）设2y kx -=，用待定系数法即可得到y 与x 的函数表达式；（2）先求出每块地板砖面积是2564平方米，即可得到每块砖的边长．【详解】解：（1）设2y kx -=，∵当3x =时，1y =，∴123k -=，解得13k =-，∴123y x -=-，即123y x =-+；（2）设每块砖的边长是x 米（0x >），∵卧室有25平方米，共用了64块正方形的地板砖，∴每块地板砖面积是2564平方米，∴22564x =，∴58x ==，∴每块砖的边长是58米．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式以及求算术平方根．解题的关键是掌握待定系数法和算术平方根的概念．18．（7分）以下是某同学化简分式2221111a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭的部分运算过程：解：原式21221111a a a a a a +-+⎛⎫=-÷ ⎪+++⎝⎭①212(1)11a a a a +-+⎛⎫=÷ ⎪++⎝⎭②…(1)上面的运算过程中第_________步出现了错误；（填序号）(2)请你写出完整的解答过程，并在1-，1，0中选一个你喜欢的数代入求值．【答案】(1)②(2)1-【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可；（2）根据分式混合运算的法则计算即可；【详解】（1）解：∵()22211a a a -+=-，∴第②步错误，故答案为：②；（2）原式212(1)111a a a a a +-⎛⎫=-÷ ⎪+++⎝⎭2111(1)a a a a -+=⋅+-11a =-∵10a -≠，10a +≠∴1a ≠且1a ≠-，故a 只能取0，当0a =时，原式1=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．19．（7分）如图所示，AB CD ∥，12∠=∠，试说明E F ∠=∠．【答案】见解析【分析】先利用两直线平行，内错角相等证明角相等，然后证明中间部分的PE FQ ∥，从而证明E F ∠=∠．【详解】解：∵AB CD∥∴BPQ CQP∠=∠∵12∠=∠∴12BPQ CQP ∠-∠=∠-∠，即EPQ FQP∠=∠∴PE FQ∥∴E F ∠=∠．【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质和判定，解题的关键是灵活应用有关知识，熟记法则．20．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次参与调查的共有人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校有6000人在使用手机：①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是．【答案】(1)2000；144°(2)见解析(3)①2400人；②1150【分析】（1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用360°乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可；（2）先求出短信沟通的人数，再根据5种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”进行沟通的人数，从而补全图形；（3）①用总人数乘以样本中用“微信”进行沟通的人数所占比例；②先求出抽取的恰好使用“QQ”的频率，再用频率估计概率即可得出答案．（1）解：∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，∴此次共抽查了400÷20%＝2000（人），表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360°×0 20004004402602000502000----⨯=144°，故答案为：2000；144°；（2）解：短信人数为2000×5%＝100（人），用“微信”进行沟通的人数为2000﹣（400+440+260+100）＝800（人），如图：（3）解：①估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有：6000×8002000＝2400（人），∴在该校6000人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有2400人；②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是4402000＝1150．所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是1150，故答案为：11 50．【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．（8分）王叔叔准备买一台彩电，他从报纸上得知上季度甲型号的彩电销售量比乙型号彩电销售量略高．于是他决定买甲型号彩电．可是，到了商店以后，他观察了20min，发现有3人买了乙型号彩电，只有1人买了甲型号的彩电．他想一定是报纸弄错了，于是也买了乙型号彩电．你认为一定是报纸弄错了吗？【答案】不能认为一定是报纸弄错，见解析【分析】抽样调查时，既要关注样本的广泛性，又要关注样本的代表性，据此即可回答．【详解】解：不能认为一定是报纸弄错了．因为对一个季度销售量的统计结果比在一个商场观察20min的统计结果更可靠．人数太少，不具有广泛性．【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，抽样调查时，既要关注样本的广泛性，又要关注样本的代表性，样本太少时，就不具有广泛性，调查结果就不准确．22．（7分）如图，在ABC中，AB AC=，以AC为直径作O 交BC于点D，过点D作DE AB⊥．垂足为E、延长BA交O于点F．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若23AE DE =，13OA =，求AF 的长．【答案】(1)见详解(2)10AF =【分析】（1）连接OD ，根据OD OC =，AB AC =，推出B ODC ∠=∠，得到OD AB ∥，根据DE AB ⊥，推出OD DE ⊥，得到DE 是O 的切线；（2）过点O 作OG AF ⊥，得到2AF AG =，根据OD DE ⊥，DE AB ⊥，推出四边形OGED 是矩形，得到13OD EG ==，OG DE =，设2AE m =，3DE m =，得到132AG m =-，3OG DE m ==，根据勾股定理得到222(3)(132)13m m +-=，解得，4m =，得到5AG =，推出10AF =．【详解】（1）证明：如图1，连接OD ，则OD OC =，ODC OCD ∴∠=∠，AB AC = ，B OCD ∴∠=∠，B ODC ∴∠=∠，OD AB ∴∥，DE AB ∵⊥，OD DE ∴⊥，OD 为O 的半径，DE ∴是O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AF ⊥，则2AF AG =，90AGO ∠=︒，OD DE ⊥ ，DE AB ⊥，90ODE DEG ∴∠=∠=︒90ODE GED OGE ∴∠=∠=∠=︒∴四边形OGED 是矩形，13OD EG ∴==，OG DE =， 23AE DE =，设2AE m =，8DE m =，132AG EG AE m ∴=-=-，3OG DE m ==，在Rt AOG △中，由勾股定理得，222OG AG OA +=，222(3)(132)13m m ∴+-=，解得，14m =，20m =（舍去），1325AG m ∴=-=，210AF AG ∴==．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形．23．（8分）某校为增加学生的体育课活动，决定购买一批体育用品，若购买10个足球和4个篮球需要400元，购买5个足球和9个篮球需要550元.(1)求篮球、足球的单价；(2)如果需要购买篮球、足球共20个，且费用不超过880元，则最多可以购买多少个篮球？【答案】(1)每个篮球的售价为50元，每个足球的售价为20元(2)该校最多可以购买13个篮球【分析】（1）设每个篮球的售价为x 元，每个足球的售价为y 元，根据“购买10个足球和4个篮球需要400元，购买5个足球和9个篮球需要550元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m 个篮球，则购买(20)m -个足球，由题意即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，则可得出答案．【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x 元，每个足球的售价为y 元，依题意，得：41040095550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5020x y =⎧⎨=⎩．答：每个篮球的售价为50元，每个足球的售价为20元；（2）解：设购买m 个篮球，则购买(20)m -个足球，根据题意，得5020(20)800m m +⨯-≤，解得：403m ≤，m 为正整数，m ∴最大为13，答：该校最多可以购买13个篮球．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．24．（8分）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC （20米30AC ≤≤米）是可伸缩的，且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内上下转动，张角()90150CAE CAE ∠︒∠︒≤≤，转动点A 距离地面的高度AE 为3米．(1)当起重臂AC 的长为24米，张角120CAE ∠=︒时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ．(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，问该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由． 1.7≈）（提示：当起重臂AC 伸到最长且张角CAE ∠最大时，云梯顶端C 可以达到最大高度．）【答案】(1)云梯消防梯最高点C 距离地面的高度CF 为15米(2)该消防车在这栋楼下能实施有效救援，理由见解析【分析】（1）过点A 作AG CF ⊥，垂足为F ．先在Rt AGC 中求出CG ，再利用直角三角形的边角间关系求出CF ；（2）先计算当AC 长30米且150CAE ∠=︒时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【详解】（1）作AG CF ⊥于点G由题意，得AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴四边形AEFG 是矩形，∴3AE FG ==（米），90GAE ∠=︒.∵120CAE ∠=︒，∴30CAG CAE GAE ∠=∠-∠=︒.在Rt CAG △中，sin CGCAG AC ∠=，∴1sin 24122CG AC CAG =⨯∠=⨯=（米），∴12315CF CG GF =+=+=（米）.答：云梯消防梯最高点C 距离地面的高度CF 为15米（2）当30AC =米，150CAE ∠=︒时，云梯顶端C 可以达到最大高度则有3GF AE ==米，60CAG CAE GAE ∠=∠-∠=︒，在Rt CAG △中，sin CGCAG AC ∠=，∴sin 30CG AC CAG =⨯∠==（米），∴328.5CF CG GF =+=≈（米）26>（米）.答：该消防车在这栋楼下能实施有效救援．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，在抽象图中找到直角三角形、熟记锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的解题关键．25．（8分）如图（1），抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为()1,4．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上一点，过点E 作x 轴的平行线与该二次函数的图象相交于点M ，再过点M 作x 轴的垂线交直线BC 于另一点N ，当12MN ME =时，直接写出点E 的横坐标；(3)如图（2），直线1y kx =-交抛物线于M ，N 两点，直线MT y ∥轴，直线NC 与MT 交于点T ，求TA 的最小值．【答案】(1)223y x x =-++(2)()12E或()12【分析】（1）设抛物线解析式为()214y a x =-+，使()22143ax bx a x =-+++，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式，设()2,23E t t t -++，则()22,23M t t t --++，()2,1N t t -+，可表示出ME ，MN 的长度，利用12MN ME =建立方程，求解即可；（3）由图得，当点N 经过抛物线顶点时，TA 有最小值，先求出k 值，再联立抛物线解析式求出点M 的横坐标为4-，即点T 的横坐标为4-，求出直线NC 的解析式，进而得出()4,1T --，再利用两点间距离公式求解即可．【详解】（1）∵抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为()1,4，∴设抛物线解析式为()214y a x =-+，∴()22143ax bx a x =-+++，∴1,2a b =-=，∴抛物线解析式为223y x x =-++；（2）令2023x x =-++，解得=1x -或3，∴()()1,0,3,0A B -，∵抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，∴()0,3C ，对称轴为直线1x =，设直线BC 的解析式为y mx n =+，3n =⎩∴13m n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23E t t t -++，∴()22,23M t t t --++，∴()2,1N t t -+，22ME t =-，∴()221232MN t t t t t =+--++=--，∵12MN ME =，即212222t t t --=-，解得1t =+或1-，∴()12E 或()12；（3）由图得，当点N 经过抛物线顶点时，TA 有最小值，∴()1,4N ，代入1y kx =-，得41k =-，解得5k =，∴51y x =-，令25123x x x -=-++，解得4x =-或1，∴点M 的横坐标为4-，∵直线MT y ∥轴，∴点T 的横坐标为4-，设直线NC 的解析式为11y k x b =+，13b ⎨=⎩解得111,3k b ==，∴直线NC 的解析式为3y x =+，当4x =-时，431y =-+=-，∴()4,1T --，∴TA ==．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，两点间距离公式，一次函数与二次函数的综合应用，综合运用知识点是解题的关键．26．（9分）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：S =，其中S 表示三角形的面积，,,a b c 分别表示三边之长，p 表示周长之半，即2a b c p ++=．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在ABC ∆中，已知5AB =，6BC =，7CA =，求ABC ∆的面积；（2）计算（1）中ABC ∆的BC 边上的高．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB 、AC 、BC 和P 的值代入公式即可求解；（2）根据三角形面积公式12S ah =，且已知BC 的长和三角形的面积，代入即可求解．【详解】解：（1）56792p ++==，所以S ==答：ABC ∆的面积是．（2）BC 边上的高2S BC ===答：BC 边的高是故答案为（1）；（2）．【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．27．（11分）我们学习了图形的三大变换：平移、旋转与翻折．这些变换在探索与发现图形的性质及图形关系等方面有着广泛的应用请利用图形变换知识解决下列问题：(1)翻折：如图①，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将ADE V 沿AE 折叠后得到AFE △，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若15CG GB =，则AD AB =___________(2)平移．如图②，矩形ABCD 中，2015AB AD ==，，将矩形ABCD 沿对角线AC 方向平移得到矩形1111D C B A ，平移的速度为5个单位/秒，设平移的时间为t 秒()05t <<，记图中矩形1MCND 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值：(3)旋转；如图③，已知Rt Rt ADC ACB ∽△△，其中902515D ACB AB AC ∠=∠=︒==，，，现将Rt ADC 绕着A 点顺时针方向旋转α角度()0180α︒<<︒得到11Rt AD C △，如图④，直线11D C 分别与直线AB BC 、交于点M 、N ．在Rt ADC 绕着A 点旋转的过程中，探究．当BM =___________时，BMN 是等腰三角形（直接写结果）【答案】(2)()212 2.575S t =--+，75S =最大(3)25-或25-或1258或10【分析】（1）设5CG x GB x ==，6BC x =，由矩形的性质得到690AD BC x D C B =====︒，∠∠∠，再由折叠的性质得到690AF AD x EFA D DE FE ====︒=，∠∠，，证明()Rt Rt HL CEG FEG △≌△，得到FG CG x ==，则7AG x =，利用勾股定理得AD =，则2AD AB =；（2）先由勾股定理得25AC =，由题意得，15AA t =，则1255AC t =-，证明1CMA CDA △∽△求出1153A M t =-，204CM t =-，则13D M t =，根据矩形面积公式即可得到()212 2.575S t =--+，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）先由勾股定理得20BC =，再由相似三角形的性质得到9AD =，12CD =；然后分四种情况：如图3-1所示，当BM BN =时，如图3-2所示，当BM BN =时，如图3-3所示，当MN MB =时，如图3-4所示，当NM NB =时，利用等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】（1）解：∵15CG GB =，∴可设5CG x GB x==，∴6BC CG BG x =+=，∵四边形ABCD 是矩形，∴690AD BC x D C B =====︒，∠∠∠，由折叠的性质可得690AF AD x EFA D DE FE ====︒=，∠∠，，∴90EFG C ∠=∠=︒，∵E 为CD 的中点，∴DE CE FE ==，又∵EG EG =，∴()Rt Rt HL CEG FEG △≌△，∴FG CG x ==，∴7AG AF FG x =+=，在Rt ABG △中，由勾股定理得AD ==，∴2AD AB ==，（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴20CD AB ==，90D Ð=°，在Rt ADC 中，由勾股定理得25AC ==，由题意得，15AA t =，∴11255A C AC AA t =-=-，∵矩形1111D C B A 是由矩形ABCD 沿AC 平移得到的，∴111115A D AD A D AD ==，∥，∴1CMA CDA △∽△，∴11A M CM AC AD CD AC ==，即1255152025A M CM t -==，∴1153A M t =-，204CM t =-，∴11113D M A D A M t =-=，∴()13204S D M CM t t =⋅=-()212 2.575t =--+，∵120-<，∴当 2.5t =时，S 最大，最大为75；（3）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得20BC ==∵Rt Rt ADC ACB ∽△△，∴AD CD AC AC CB AB ==，即15152025AD CD ==，ACD ABC ∠=∠，∴9AD =，12CD =；如图3-1所示，当BM BN =时，∴BMN BNM ∠=∠，由旋转的性质可得111191512AD AD AC AC C D CD ======，，，111190AD C D AC D ACD ==︒=∠∠，∠∠，∴11AC D B =∠∠，190AD M =︒∠，又∵1AMC NMB =∠∠，∴1MAC MNB =∠∠，∴11MAC MNB NMB AMC ===∠∠∠∠，∴1115C M AC ==，∴13D M =，∴AM ==∴25BM AB AM =-=-如图3-2所示，当BM BN =时，∴BMN BNM ∠=∠，∵2ABC BNM BMN BMN ∠=∠+∠=∠，111AC D BMN MAC ∠=∠+∠，∵11AC D ABC =∠∠，∴12BMN BMN MAC ∠=∠+∠，∴1BMN MAC ∠=∠，∴1115C M C A ==，∴111127D M C D C M =+=，∴AM ==∴25BM AM AB =-=-；如图3-3所示，当MN MB =时，∴MNB MBN ∠=∠，∵11AMC MMB B C ==∠∠，∠∠，∴1MAC MNB =∠∠，∴11MAC C =∠∠，∴1MA MC =，设1MA MC x ==，则112D M x =-，在1Rt AD M △中，由勾股定理得22211AM AD D M =+，∴()222912x x =+-，解得758x =，∴758MA =，∴1258BM AB AM =-=；如图3-4所示，当NM NB =时，同理可证115AM AC ==，∴10BM AB AM =-=；综上所述，BM 的值为25-或25-或1258或10．【点睛】相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，折叠的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．。
2023年江苏省南京市中考数学强化训练试卷A卷附解析
2023年江苏省南京市中考数学强化训练试卷A卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，以Rt ABC △的直角边AC 所在的直线为轴，将ABC △旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（ ）2．sin55°与 cos35°之间的关系（ ）A ．0sin55cos35o <B ．00sin 55cos5>C ．00sin55cos351+=D ．sin55cos35o o =3．已知点P （1，2）与点Q （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且Q 点到y 轴的距离等于2，那么点Q 的坐标是（ ） A ．（2，2）B ．（-2，2）C ．（-2，2）和（2，2）D ．（-2，-2）和（2，-2） 1．确定平面上一个点的位置，一般需要的数据个数为（ ） A ．无法确定 B ．l 个 C ．2个 D ．3个 4．三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ）A ． 中线上B ．平分线上C ．高上D ． 中垂线上5．如图，已知直线AB ∥CD ，∠C=115°，∠A=25°，则∠E 的度数为（ ）A ． 70B ． 80°C ． 90°D ． 100°6．向如图所示的盘中随机抛掷一枚骰子，落在阴影区域的概率（盘底被等分成 12份，不考虑骰子落在线上的情形）是（ ） A ．16B ．14C ．13D ． 127．从 1、2、3、…、9这九个数字中，任取一个数字是偶数的概率是（ ） A ． 0B ．49C ．12D ．598．从1到20的20个自然数中，任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（ ） A ．120B ．320C ．12D ．3109．计算（18x 4－48x 3+6x ）÷（－6x ）的结果是（ ）A ．3x 3－8x 2B ．－3x 3+8x 2C ．－3x 3+8x 2－1D ．3x 3－8x 2－110．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ） A ．1号袋 B ．2号袋 C ．3号袋 D ．4号袋 11．若(3)(2)0x x -+=，则x 的值是（ ）A ． 3B ． -2C ．-3或2D ．3或-212．为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗高度h （米）与升旗时间t （秒）的函数关系的大致图象是二、填空题如图是一个圆柱体，它的左视图是 (填图形的名称即可）．14． 在数学活动课上. 老师带领学生去测量河两岸 A ．B 两处之间的距离，先从A 处出发与 AB 成 90°方向，向前走了lOm 到 C 处，在 C 处测得∠ACB=60°(如图所示)，那么AB 之间的距离为 m ． (精确到1m)15．一张比例尺为 1：50000 的地图上，量得A 地的图上面积约为 2.5 cm 2，则A 地实际面积为 km 2.16．抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ． 17．函数c bx x y -+=2的图象经过点（1，2），则c b -的值为__________． 18．如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式组的解集为 ．19．已知反比例函数8y x=-的图象经过点P （a+1，4），则a=__ __． 20．已知关于x 的方程2mx+3=x 与方程3-2x=1的解相同，则m =_________． 21．如图，已知AB=AC=8 cm ，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ．若AD=5 cm ，则EC= cm ．三、解答题22．如图，已知有一腰长为2 cm 的等腰直角△ABC 余料，现从中要截下一个半圆，半圆的直径要在三角形的一边上，且与另两边相切．请设计两种裁截方案，画出示意图，并计算出半圆的半径．23．如图,已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．(1)以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出B 、C 两点的对应点B ′、C ′的坐标；(3)如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y),写出M 的对应点M ′的坐标．方案1方案224．小明在研究数学问题时发现，l2<22，22<32，32<42……于是得出结论：对任意实数a，b，若a<b，则“a2<b2．你认为小明的结论正确吗?请说明理由．25．在计算器上按下面的程序进行操作：请问：y是x的函数吗?如果是，写出它的表达式；如果不是，说明理由．26．一个木模的三视图如图所示．(1)描述这木模的形状；(2)求这个木模的表面积；(3)如果每m2的木模需用2．5kg的油漆，那么油漆这个木模共需要这种油漆多少kg(结果保留2个有效数字)?27．“5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有 4条成衣生产线和 5条童装生产线，工厂决定转产，计划用了天时间赶制 1000顶帐篷支援灾区，若启用 1条成衣生产线和 2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用 2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？28．如图，可以看成是什么“基本图案”经过怎样的旋转得到的?29．制作适当统计图表示下列数据：2005年平均每人每月消费性支出446元，其中食品占40．6％，衣着占12．2％，家庭设备日用品及服务占7．0％，医疗保健占5．9％，交通和通讯占8．7％，娱乐教育文化服务占12．7％，居住占8．6％，杂项商品占4．3％．30．某商店以销售 1000 元为基准，超过 50 元记作+50 元，不足 30 元记作 -30 元，那么销售 1120 元、销售 860 元各记作什么？+ 220 元、-15 元各表示什么意思？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．D3．C C4．B5．C6．C7．B8．B9．C10．B11．DB二、填空题13．矩形14．1715．0.62516．817．118．x-<≤19．13-320．-421．3三、解答题22．如图的两种裁截方案：方案一：作△CAB的角平分线交CB于点0．以0为圆心，以OC为半径画半圆．作OE⊥AB．则CO=EO，设⊙O半径为r,则22-r．2=2=+rr , 解得2方案二：作∠ACB的角平分线交AB于点0，作0D⊥AC，以0为圆心，以OD为半径画半圆．作OE⊥CB，则0D=OE，设⊙O半径为r, 则2r．==r , 解得1+r23．(1)画图略；(2)B′(-6，2)，C′(-4，-2)．(3)M′(-2x，-2y)．小明结论错误，当a ，b 为负数时，结论不成立25．y 是x 的函数，y=3x+526．(1) 三个长方体叠在一起 (2)2503cm 2 (3)0．63 kg27．(1)凌每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷分别为x 顶、y 顶.210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组4132x y =⎧⎨=⎩，经检验，这个解是原方程组的解，且符合题意. 答：每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷分别为 41顶、32顶.(2)由 3×(4×41+5×32)=972<1000，可知即使工厂满负荷全面转产也不可能如期完成任务. 作为厂长可以安排加班生产、改进技术等，进一步挖掘自已厂的生产潜力，或动员其他厂家支援，想办法尽早完成生产任务，为灾区人民多作贡献.28．略29．略30．+120 元、-140 元；1220 元、985 元。
2023南京中考数学27题
2023南京中考数学27题解析：根据题目要求，我们需要解答2023南京中考数学27题，并按照题目要求进行排版和表达。
以下是题目解析：题目：已知函数 f(x) 的图象经过点 P(1, 3)，且在点 P 处的切线方程为 y =2x + b。
若 f'(x) = 2x + 3，求函数 f(x) 在点 P 处的函数值。
解析：根据题目中给出的信息，我们可以得到以下的关键信息：- 函数 f(x) 的图象经过点 P(1, 3)- 函数 f(x) 在点 P 处的切线方程为 y = 2x + b- 函数 f'(x) = 2x + 3根据题目要求，我们需要求出函数 f(x) 在点 P 处的函数值。
解题思路：我们知道，函数的导数可以表示函数曲线在某一点的切线斜率。
根据已知条件，我们可以列出方程：2x + b = 2x + 3通过观察可得出 b = 3。
因此，函数 f(x) 在点 P(1, 3) 处的函数值为 3。
解答：根据以上推导和解析，我们得出结论：函数 f(x) 在点 P(1, 3) 处的函数值为 3。
结论：根据题目中给出的条件，我们通过分析和推导得出函数 f(x) 在点P(1, 3) 处的函数值为 3。
总结：在本题中，我们通过已知条件并利用函数的导数与切线的关系，求出了函数 f(x) 在点 P(1, 3) 处的函数值。
这道题考察了对函数导数和切线概念的理解和运用，同时也考察了基本的代数计算能力。
通过解题过程，我们可以加深对函数与切线的关系的理解，提高解题的思维灵活性和逻辑推理能力。
尽管题目较为简单，但是通过这样的解析与求解，我们可以加深对数学知识的理解和掌握，并应用到实际问题中。
在中考数学考试中，对于这样类型的题目，我们可以通过画图或代入值进行解答，灵活运用我们学到的知识，准确地解答出题目。
在备考中考数学的过程中，我们应该注重对基础知识的理解与掌握，同时也要多做一些练习题，提高解题的速度和准确性。
2023年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷【答案版】
2023年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．﹣2023的倒数是（ ） A ．2023 B ．−12023C ．﹣2023D ．120232．计算（a 3）2•a ﹣3的结果是（ ）A ．a 6B ．a 5C ．a 4D ．a 33．光的速度非常快，传播1米仅需要0.0000000033秒．用科学记数法表示0.0000000033是（ ） A ．3.3×10﹣10B ．3.3×10﹣9C ．3.3×10﹣8D ．3.3×10﹣74．表示数a ，b ，c 的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）A ．a +b ＞b +cB ．a ﹣c ＞b ﹣cC ．ab ＞bcD ．ac＞bc5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ＝10．以点B 为圆心，BC 为半径画弧交AB 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径画弧交AC 于点E ，则CE 长最接近的整数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是（4，5），⊙P 与x 轴相切，点A ，B 在⊙P 上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P 沿着x 轴向右作无滑动的滚动，当点B 第一次落在x 轴上时，此时点A 的坐标是（ ）A ．（7+2π，9）B ．（7+2.5π，9）C ．（7+2π，8）D ．（7+2.5π，8）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡 7．4的平方根是 ；4的算术平方根是 ．8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．√x−39．计算√12−√4的结果是．310．一组数据2、4、5、6、x的平均数是4，则这组数据的方差是．11．设x1，x2是关于x的方程x2+6x+m＝0的两个根，且x1＝2x2，则m＝．12．若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是°．13．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=5的图象交于A，B两点．若AC∥x轴，BC∥y轴，则S△xABC＝．14．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将AĈ沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，BĈ的度数为̂=cm．40°，则AD15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣2）x+c＞0的解集是．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在CD上，∠BAE的平分线交BC于点F，若ED＝BF＝3，则AE＝．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时17．先化简，再求值：（x+y）（x2﹣xy+y2），其中x=√93，y＝1．18．计算：[1m−1+(m−3)(m−1)m−1]÷m2−42m−2．19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，AD的中点．（1）求证：AE＝CF；（2）连接AC，若AC＝CD且∠ACD＝90°，判断四边形AECF的形状并说明理由．20．小亮到某水果店买草莓．第一次花了60元．几天后水果店搞促销，草莓每千克降价4元，小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓．求小明第一次购买时草莓的单价．21．“五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的．（1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率；（2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是．22．某初中2013年至2022年这十年间入学人数如下表：根据表格内容，解决下列问题：（1）若要反映该初中这十年入学人数的变化趋势，最适合的统计图是．A．条形统计图B．扇形统计图C．折线统计图（2）与上年相比，该初中入学人数增加最多的年份是年；（3）假定每年学生入学后没有转入转出的情况．到2021年底，该初中在校教师总数与在校的三个年级学生总数的比是1：13．如果到2022年底该比值仍不低于1：13，那么2022年该初中在校教师人数至少增加多少？23．如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．24．（9分）已知关于x 的一次函数y ＝kx +2k （k 为常数，k ≠0）．（1）不论k 为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为 ； （2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k 的值；（3）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，结合图象，直接写出k 的取值范围．25．学校无人机兴趣小组进行测量活动．如图，甲楼AB 与乙楼CD 之间的距离BD 为72米．无人机升空后，在点M 处测得甲楼顶部A 与乙楼顶部C 的俯角分别为14°60°，点M 距地面BD 的高度为50米．无人机沿水平方向由点M 飞行40米到达点N ，测得点A 的俯角为37°．点A ，B ，C ，D ，M ，N 均在同一竖直平面内．求乙楼CD 的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，√3≈1.73．）26．（9分）如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上一点且满足P A ＝PB ，⊙O 是△ABP 的外接圆，过点P 作PD ∥AB 交AC 于点D ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若∠P AC ＝90°，BP ＝3，PC ＝9，求⊙O 的半径； （3）若AC 是⊙O 的切线，直接写出AP PD的取值范围．27．（9分）某酒杯的轴截面如图①所示，其中杯体轴截面ABC呈曲线形状（忽略杯体的厚度）．点A、C 在杯口处，AC＝12cm，点B是曲线上的最低点．当酒杯装满液体时，液体最大深度（最低点B到AC 的距离）是4cm．将杯中的液体倒出一部分后，液体的最大深度（最低点B到MN的距离）恰好为2cm，如图②所示．（1）如果杯体轴截面ABC呈抛物线形状，求此时MN的长度；（2）如果杯体轴截面ABC呈双曲线形状，求此时MN的长度．2023年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．﹣2023的倒数是（ ） A ．2023B ．−12023C ．﹣2023D ．12023解：∵﹣2023×（−12023）＝1，∴﹣2023的倒数是−12023， 故选：B ． 2．计算（a 3）2•a ﹣3的结果是（ ）A ．a 6B ．a 5C ．a 4D ．a 3解：（a 3）2•a ﹣3＝a 6•a ﹣3＝a 3， 故选：D ．3．光的速度非常快，传播1米仅需要0.0000000033秒．用科学记数法表示0.0000000033是（ ） A ．3.3×10﹣10B ．3.3×10﹣9C ．3.3×10﹣8D ．3.3×10﹣7解：0.0000000033＝3.3×10﹣9． 故选：B ．4．表示数a ，b ，c 的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）A ．a +b ＞b +cB ．a ﹣c ＞b ﹣cC ．ab ＞bcD ．ac＞bc解：根据图示，可得a ＜b ＜c 且﹣2＜a ＜﹣1，﹣1＜b ＜0，1＜c ＜2， ∵a ＜c ，∴a +b ＜b +c ，∴选项A 不符合题意； ∵a ＜b ，∴a ﹣c ＜b ﹣c ，∴选项B 不符合题意； ∵a ＜c ，b ＜0，∴ab ＞bc ，∴选项C 符合题意； ∵a ＜b ，c ＞0，∴ac＜bc ，∴选项D 不符合题意．故选：C ．5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ＝10．以点B 为圆心，BC 为半径画弧交AB 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径画弧交AC 于点E ，则CE 长最接近的整数是（ ）A．6B．5C．4D．3解：∵∠C＝90°，AC＝2BC＝10，∴AB=√BC2+AC2=5√5，由题意得：BD＝BC＝5，AE＝AD＝AB﹣BD＝5√5−5，∴CE＝AC﹣AE＝15﹣5√5≈15﹣5×2.236＝3.82，∴CE长最接近的整数是4．故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）A．（7+2π，9）B．（7+2.5π，9）C．（7+2π，8）D．（7+2.5π，8）解：如图1，设⊙P与x轴的切点为D，过点P作PC⊥y轴于C，连接PD，P A，∴PD⊥x轴，∵点P的坐标是（4，5），∴PC＝4，PD＝5，即⊙P的半径为5，∴P A＝PD＝5，在Rt△PCA中，由勾股定理得：AC=√PA2−PC2=√52−42=3，延长CP 与⊙P 相交，此时交点到点C 的距离为9， 而点B 的横坐标为9，故交点为点B ， ∴∠DPB ＝90°，如图2，当点B 第一次落在x 轴上时，⊙P 滚动了90°，∴点B 滚动的距离为：14×2π×5=2.5π，点A 的对应点为A '，点C 的对应点为C '，点B 的对应点为B '，点P 的对应点为P '， 此时A 'C '＝AC ＝3，P 'C '＝PC ＝4， 点A '的纵坐标为P 'C '+5＝4+5＝9，点A '的横坐标为PC +A 'C '+2.5π＝4+3+2.5π＝7+2.5π， ∴点A '的坐标为（7+2.5π，9）， 即此时点A 的坐标是（7+2.5π，9）， 故选：B ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡 7．4的平方根是 ±2 ；4的算术平方根是 2 ． 解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2． 故答案为：±2；2． 8．若式子√x−3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ＞3 ．解：∵式子√x−3在实数范围内有意义，∴x 的取值范围是：x ＞3． 故答案为：x ＞3． 9．计算√12−√43的结果是4√33． 解：√12−√43=2√3−2√33 =4√33．故答案为：4√33．10．一组数据2、4、5、6、x 的平均数是4，则这组数据的方差是 2 ．解：∵数据2、4、5、6、x的平均数是4，2+4+5+6+x＝4×5，x＝3，则组数据的方差s2=15×[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2]＝2．故答案为：2．11．设x1，x2是关于x的方程x2+6x+m＝0的两个根，且x1＝2x2，则m＝8．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝﹣6，则x2＝﹣2，将其代入关于x的方程x2+6x+m＝0，得（﹣2）2+6×（﹣2）+m＝0．解得m＝8．故答案为：8．12．若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是1440°．解：∵此正多边形每一个外角都为36°，360°÷36°＝10，∴此正多边形的边数为10．则这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．故答案为：1440．13．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=5x的图象交于A，B两点．若AC∥x轴，BC∥y轴，则S△ABC＝10．解：根据题意设A（m，5m ），∵正比例函数y＝kx与反比例函数y=5x的图象交于A，B两点，∴B（﹣m，−5m ）．∵BC∥y轴，AC∥x轴，∴C（﹣m，5m ）．∴S△ABC=12BC•AC=12×[5m−（−5m）]×[m﹣（﹣m）]=12×10m×2m＝10．故答案为：10．14．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上．将AC ̂沿AC 翻折与AB 交于点D ．若OA ＝3cm ，BC ̂的度数为40°，则AD̂= 53π cm ．解：如图，作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD̂=AE ̂， ∵BĈ 的度数为40°， ∴∠CAB ＝20°，∴∠EAB ＝2∠CAB ＝40°， ∴∠EOB ＝2∠EAB ＝80°， ∴∠AOE ＝180°﹣80°＝100°， ∴AÊ的长度为100°×2π×3360°=53π，∴AD̂ 的长度为53π． 故答案为：53π．15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 是常数）的图象如图所示，则不等式ax 2+（b ﹣2）x +c ＞0的解集是 x ＜1或x ＞3 ．解：ax 2+（b ﹣2）x +c ＞0， ax 2+bx +c ﹣2x ＞0， ∴ax 2+bx +c ＞2x ，即二次函数大于一次函数时x 的取值范围， 如图，由图象可知，x ＜1或x ＞3，故答案为：x ＜1或x ＞3．16．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点E 在CD 上，∠BAE 的平分线交BC 于点F ，若ED ＝BF ＝3，则AE ＝ 9 ．解：延长AF 、DC 交于点H ，设CD ＝m ， ∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝m ，BC ＝AD ＝2AB ＝2m ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°， ∴∠HCF ＝90°，∵ED ＝BF ＝3，∠HFC ＝∠AFB ， ∴CE ＝m ﹣3，CF ＝2m ﹣3， ∴HC CF=tan ∠HFC ＝tan ∠AFB =AB BF， ∴HC =AB⋅CFBF=m(2m−3)3=23m 2﹣m ， ∴HE ＝HC +CE =23m 2﹣m +m ﹣3=23m 2﹣3， ∵∠BAE 的平分线交BC 于点F ， ∴∠EAF ＝∠BAF ， ∵∠H ＝∠BAF ， ∴∠EAF ＝∠H ，∴HE ＝AE ，∴HE 2＝AE 2＝AD 2+ED 2， ∴（23m 2﹣3）2＝（2m ）2+32，整理得m 4﹣18m 2＝0， ∵m ≠0， ∴m 2﹣18＝0，解得m 1＝3√2，m 2=−3√2（不符合题意，舍去）， ∴AE ＝HE =23m 2﹣3=23×（3√2）2﹣3＝9， 故答案为：9．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时 17．先化简，再求值：（x +y ）（x 2﹣xy +y 2），其中x =√93，y ＝1．解：原式＝x 3﹣x 2y +xy 2+x 2y ﹣xy 2+y 3＝x 3+y 3， 当 x =√93，y ＝1时， 原式＝（√93）3+13＝9+1＝10．18．计算：[1m−1+(m−3)(m−1)m−1]÷m 2−42m−2． 解：[1m−1+(m−3)(m−1)m−1]÷m 2−42m−2=1+m 2−m−3m+3m−1÷m 2−42m−2 =m 2−4m+4m−1÷m 2−42m−2 =(m−2)2m−1⋅2(m−1)(m+2)(m−2) =2(m−2)m+2 =2m−4m+2．19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点．（1）求证：AE＝CF；（2）连接AC，若AC＝CD且∠ACD＝90°，判断四边形AECF的形状并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∵点E，F是BC，AD的中点，∴AF=12ADEC=12BC，∴AF＝EC．又AF∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．∴AE＝CF；（2）解：四边形AECF是正方形．∵AC＝CD，F是AD的中点，∴CF⊥AD，CF平分∠ACD．∴∠AFC＝90°，∠ACF=12∠ACD=45°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∴AF＝CF，∠AFC＝90°，AF＝CF，∴▱AECF是正方形．20．小亮到某水果店买草莓．第一次花了60元．几天后水果店搞促销，草莓每千克降价4元，小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓．求小明第一次购买时草莓的单价．解：设小明第一次购买时草莓的单价为x元/千克．由第一次花了60元．几天后水果店搞促销，草莓每千克降价4元，小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓，得60x=48x−4，解得x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．答：小明第一次购买时草莓的单价为20元/千克．21．“五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的．（1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率；（2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是16．解：（1）将玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点分别记为A ，B ，C ． 甲所有可能的游玩顺序有： （A ，B ，C ）、（A ，C ，B ）、 （B ，A ，C ）、（B ，C ，A ）、 （C ，A ，B ）、（C ，B ，A ），共有6种结果，它们出现的可能性相同．满足甲游客最先去鸡鸣寺（记为事件M ）的结果有2种，即（B ，A ，C ）、（B ，C ，A ）， 所以 P(M)=26=13；（2）将（A ，B ，C ）、（A ，C ，B ）、（B ，A ，C ）、（B ，C ，A ）、（C ，A ，B ）、（C ，B ，A ）分别记作①、②、③、④、⑤、⑥， 列表如下：由表知，共有36种等可能结果，其中甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的有6种结果， 所以甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率为636=16，故答案为：16．22．某初中2013年至2022年这十年间入学人数如下表：根据表格内容，解决下列问题：（1）若要反映该初中这十年入学人数的变化趋势，最适合的统计图是C．A．条形统计图B．扇形统计图C．折线统计图（2）与上年相比，该初中入学人数增加最多的年份是2022年；（3）假定每年学生入学后没有转入转出的情况．到2021年底，该初中在校教师总数与在校的三个年级学生总数的比是1：13．如果到2022年底该比值仍不低于1：13，那么2022年该初中在校教师人数至少增加多少？解：（1）若要反映该初中这十年入学人数的变化趋势，最适合的统计图是是扇形统计图，故选：C；（2）从表中数据可以看出，与上年相比，该初中入学人数增加最多的年份是2022年；故答案为：2022；（3）496+517+521＝1534 （人），1534÷13＝118（人），设教师人数增加了x人．118+x 517+521+544≥113．解得x≥39 13．答：教师人数至少增加4人．23．如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．解：1．连接AC、BD，交点为O，2．过点O作OH⊥AB，垂足为H，3．以O为圆心，OH为半径作圆．则⊙O即为所求．24．（9分）已知关于x的一次函数y＝kx+2k（k为常数，k≠0）．（1）不论k为何值，该函数图象都经过一个定点，这个定点的坐标为（﹣2，0）；（2）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值；（3）若该函数的图象与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，结合图象，直接写出k的取值范围．解：（1）y＝kx+2k＝k（x+2），可知当x＝﹣2时，y＝0，即不论k为何值，该函数图象都经过一个定点（﹣2，0）；故答案为：（﹣2，0）；（2）当x＝0时，y＝2k．由题意得12⋅|2k|⋅2=3．解得k=±3 2．（3）当k＞0 时，直线与y轴的交点（0，2k）在y轴正半轴，∵函数图象与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，则该内部点的坐标为（﹣1，1），∴当x＝﹣1时，函数的纵坐标y＝﹣k+2k＝k大于1且小于等于2，即1＜k≤2；当k＜0 时，直线与y轴的交点（0，2k）在y轴负半轴，∵函数图象与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，则该内部点的坐标为（﹣1，﹣1），∴当x＝﹣1时，函数的纵坐标大于等于﹣2且小于﹣1，即﹣2≤k＜﹣1，综上所述，k的取值范围为1＜k≤2或﹣2≤k＜﹣1．25．学校无人机兴趣小组进行测量活动．如图，甲楼AB与乙楼CD之间的距离BD为72米．无人机升空后，在点M处测得甲楼顶部A与乙楼顶部C的俯角分别为14°60°，点M距地面BD的高度为50米．无人机沿水平方向由点M飞行40米到达点N，测得点A的俯角为37°．点A，B，C，D，M，N 均在同一竖直平面内．求乙楼CD的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，√3≈1.73．）解：延长BA 、DC ，分别交MN 所在直线于点E 、F ，过点M 作MH ⊥BD 于H ．设AE 为x 米，在Rt △AEN 中，∵tan37°=AE EN， ∴EN =AEtan37°=43x 米，在Rt △AEM 中，∵tan14°=AEEM ， ∴EM =AEtan14°=4x 米，∵EM ﹣EN ＝MN ， ∴4x −43x =40， 解得x ＝15， ∴EM ＝60米，∵四边形EBDF 是矩形， ∴EF ＝BD ＝72米， ∴MF ＝12米，在Rt △CFM 中，∵∠CMF ＝60°， ∴tan60°=CFMF ，∴CF =MF ×tan60°=12√3（米）， ∵四边形MHDF 是矩形， ∴FD ＝MH ＝50米，∴MF=50−12√3≈29（米），答：乙楼CD的高度为29米．26．（9分）如图，在△ABC中，点P是BC边上一点且满足P A＝PB，⊙O是△ABP的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠P AC＝90°，BP＝3，PC＝9，求⊙O的半径；（3）若AC是⊙O的切线，直接写出APPD的取值范围．（1）证明：连接OA，OB，OP，OP交AB于点H．如图：∵OA＝OB，AP＝BP，∴PO是AB的垂直平分线．∴∠OHA＝90°，∵PD∥AB，∴∠OPD＝∠OHA＝90°，即OP⊥PD，点P在⊙O上，∴PD是⊙O的切线，（2）解：∵BP＝3，∴AP＝3．∵∠P AC＝90°，由勾股定理可得AC=√PC2−PA2=6√2．∵PD∥AB，∴△PDC∽△BAC．∴PC BC=DC AC，即912=6√2，解得DC =92√2，∴AD =32√2，PD =√AD 2+PA 2=32√6．∵△PDC ∽△BAC ． ∴PC BC=PD AB，即912=32√6AB，解得AB =2√6，∵OP 是AB 的垂直平分线， ∴AH =12AB =√6， ∵∠AHP ＝90°，由勾股定理得HP =√AP 2−AH 2=√3， 设⊙O 半径为r ．在 Rt △AHO 中，∠OHA ＝90°∴OH 2+AH 2＝OA 2．即 (r −√3)2+(√6)2=r 2，解得 r =32√3，∴⊙O 的半径为3√32，（3）解：如图：∵PD 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的切线， ∴AD ＝PD ， ∴∠APD ＝∠P AD ， ∵P A ＝PB ， ∴∠P AB ＝∠PBA ， ∵PD ∥AB ， ∴∠APD ＝∠P AB ，∵∠P AD ＝∠PBA ， ∴△P AD ∽△BAP ， ∴AP AB=PD BP，即APPD=AB PB，设⊙O 的半径为r ，OE ＝a （0≤a ＜r ），则PE ＝r ﹣a ，BE =√OB 2−OE 2=√r 2−a 2，AB ＝2BE ＝2√r 2−a 2， PB =√BE 2+PE 2=√2r 2−2ar ， ∴AP PD=AB PB=2√r 2−a 2√2r 2−2ar=√2√r+a r，∵0≤a ＜r ， ∴√2≤APPD ＜2，同理，当P 在优弧AB 上时，如图：则AP PD=AB PB=2√r 2−a 2222=√2√r−a r，∵0≤a ＜r ， ∴0＜APPD ＜√2， 综上可得0＜APPD＜2， 27．（9分）某酒杯的轴截面如图①所示，其中杯体轴截面ABC 呈曲线形状（忽略杯体的厚度）．点A 、C 在杯口处，AC ＝12cm ，点B 是曲线上的最低点．当酒杯装满液体时，液体最大深度（最低点B 到AC 的距离）是4cm ．将杯中的液体倒出一部分后，液体的最大深度（最低点B 到MN 的距离）恰好为2cm ，如图②所示．（1）如果杯体轴截面ABC 呈抛物线形状，求此时MN 的长度；（2）如果杯体轴截面ABC 呈双曲线形状，求此时MN 的长度． 解：（1）建立如图所示的直角坐标系，设y ＝ax 2，将C （6，4）代入，得4＝36a ，解得a =19，∴y =19x 2，将y ＝2代入y =19x 2，得2=19x 2，解得x ＝±32．∴液面宽为MN 长度为6√2cm ；（2）建立如图所示的直角坐标系，设y =k x ，在Rt △AEC 中，D 为AC 中点，AC ＝12，AE =CE =6√2，ED ＝6．∵BD ＝4，∴EB ＝2．根据对称性，设点B 的坐标为（a ，a ）．则点A 的坐标为 (a −√2，a +5√2)．将B （a ，a ），A(a −√2，a +5√2) 分别代入 y =k x ，得{a =k a a +5√2=k a−√2， 解得{a =5√24k =258， ∴y =258x ．在 Rt △MEN 中，G 为MN 中点，BG ＝2，根据对称性，设点M 、N 的坐标分别为（x ，y ），（y ，x ）． ∴点G 的坐标为 (x+y 2，x+y 2)，点E 的坐标为（x ，x ）， 又点B 的坐标为 (54√2，54√2)，∴x+y 2−54√2=√2，∴(x +y)2=812， ∴（x ﹣y ）2＝（x +y ）2﹣4xy =812−252=28， 即 EN =√28=2√7，∴MN =2√7⋅√2=2√14， ∴液面宽为 2√14cm ．。
南京市中考数学试卷2023
2023年江苏省南京市中考数学模拟试卷【满分：120分】一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.计算30(20)+-的结果等于()A.10B.10- C.50 D.50-2.若一个正方形的面积是12，则它的边长是()A. B.3C. D.43.计算()232a ab -的结果是()A.54a b B.44a b C.54a b - D.44a b -4.某地近年来持续干旱，为了倡导节约用水，该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，（m 取13m ≤≤的整数）.用水量/x 吨34567频数1254m-m下列关于用水量的统计量中，不会发生变化的是()A.平均数、中位数B.众数、中位数C.平均数、方差D.众数、方差5.下列一元二次方程中，两根之和为1的是()A.210x x ++= B.230x x -+= C.2210x x --= D.250x x --=6.如图，在半径为3的O e 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是»AC 的中点，AC 与BD 交于点E .若E 是BD 的中点，则AC 的长是()B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7.蚕丝是中国古代文明产物之一，蚕丝是最细的天然纤维，它的截面可以近似地看成圆，直径约为0.000011m ，将0.000011m 用科学记数法表示为_________m.8.代数式11x -有意义，则x 的取值范围是_______9.计算：=__________.10.已知21x y =⎧⎨=⎩，是关于x y ，的二元71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩次方程组的一个解，则=a b +___________.11.分式方程532y y=-的解为y =_________.12.如图，在ABC 中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠=________度.13.已知一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，且当24x ≤≤时，46y ≤≤，则b k的值是__________.14.如图,P Q ，分别是O 的内接正五边形ABCDE 的边AB BC ，上的点,BP CQ =,则POQ ∠=__________.15.如图，正六边形内接于O ，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是________.16.如图，抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）与x 轴交于,A B 两点，顶点 ,P m n ().给出下列结论：①20a c +<；②若123311,,,,,222y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在抛物线上，则123y y y >>；③关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解，则k c n >-；④当1n a=-时，ABP 为等腰直角三角形.其中正确的结论是__________（填写序号）.三、解答题（本大题共11小题，共88分）17.（7分）先化简,再求值:2222224333a b a ba a ab a b a b b +-⎛⎫-÷ ⎪-+⋅-⎝⎭,其中3,2a b .18.（7分）若关于x y ，的二元一次方程组533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩的解中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围.19.（8分）如图，ABO 与CDO 关于点O 成中心对称，点,E F 在线段AC 上，且AF CE =，求证：FD BE =.20.（8分）如图，反比例函数()00ky k x x=≠>，的图象与2y x =的图象相交于点C ，过直线上点()8A a ,作AB y ⊥轴交于点B ，交反比例函数图象于点D ，且4AB BD =.（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB 的面积.21.（8分）课外兴趣小组为了解某段路上机动车的车速，抽查了一段时间内若干辆车的车速（车速取整数，单位：km/h ）并制成如图所示的频数分布直方图.已知车速在41km/h 到50km/h 的车辆数占抽查车辆数的310.（1）在这段时间内他们抽查的车有_________辆；（2）被抽查车辆车速的中位数所在速度段（单位：km/h ）是()A.30.5~40.5B.40.5~50.5C.50.5~60.5D.60.5~70.5（3）补全频数分布直方图；（4）如果全天超速（车速大于60km/h）的车有200辆，则当天的车流量约为多少辆？22.（8分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分.昆明斗南毗邻滇池东岸是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉.下表是甲、乙两户斗南花农周一到周五连续5日的玫瑰花日销售情况，单位：扎(20支/扎).花农星期一星期二星期三星期四星期五甲5638466679乙3955425967(1)从甲花农连续5日的销售量中随机抽取一个，求日销售量高于50扎的概率；(2)从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的概率.23.（8分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且60BC=海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/时，问渔船在B处需要等待多长≈≈≈，结果精确到0.1时间才能得到海监船A的救援？ 2.45时）24.（8分）如图，已知正方形ABCD，连接AC，BD交于点O，CE平分ACD∠交BD于点E.（1）求DE 的长；（2）过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ，求BF 的长.25.（8分）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价1y （元）与销售时间x （月）之间呈现如图（1）所示（一条线段）的变化趋势，每千克成本2y （元）与销售时间x （月）满足函数关系式228y mx mx n =-+，其变化趋势如图（2）所示.（1）求2y 的表达式.（2）第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？最大利润是多少？26.（9分）回答下列问题：（1）观察发现如图1，若点A ,B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP BP +的值最小.方法如下：作点B 关于直线l 的对称点'B ，连接'AB ，与直线l 的交点就是所求的点P .如图2，在等边三角形ABC 中，2AD =，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP PE +的值最小.方法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP PE +的最小值为__________.（2）实践运用如图3，在四边形ABCD 中，点B 与点D 关于AC 对称，对角线AC 与BD 交于点O ,8AC =，点P 是对角线AC 上的一个动点，AB BC CD AD BD ====，点M 是AB 的中点，求PM PB +的最小值.（3）拓展延伸如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠.（保留作图痕迹，不必写出作法）27.（9分）已知：菱形4m 60ABCD AB B =∠=︒，，，点P Q ,分别从点B C ,同时出发，沿线段BC CD ,以1m/s 的速度向终点C D ，运动,运动时间为t 秒.（1）连接AP AQ PQ ,,，试判断APQ 的形状，并说明理由.（2）当 1.5t =秒时，连接AC ，与PQ 相交于点K .求AK 的长.（3）连接AC 交BD 于点O ，当P Q ,分别运动到点C D ,时，将APQ ∠沿射线CA 方向平移，使点P 与点O 重合，然后以点O 为旋转中心将APQ ∠旋转一定的角度，使角的两边分别于CD AD ,交于S K ,点，再以OS 为一边在SOC ∠内作SOT ∠,使SOT BDC ∠=∠,OT 边交BC 的延长线于点T ,若 4.8BT =,求AK 的长.答案以及解析1.答案：A解析：本题考查有理数的运算.30(20)10+-=，故选A.2.答案：A解析：本题考查正方形的面积公式.设正方形边长为a ，则212a =，解得a =（舍负），故选A.3.答案：A解析：()23232454a ab a a b a b -=⋅=.故选A.4.答案：B解析：∵月用水量为6吨和7吨的频数和是4，∴频数之和是125412+++=，则这组数据的中位数是第6、7个数据的平均数，即5552+=吨，∴对于不同的整数m ，中位数不会发生改变.∵5出现的次数最多，出现了5次，∴众数是5吨，∴众数也不会发生改变.故选B.5.答案：D解析：由一元二次方程的根与系数的关系，得230x x -+=与230x x -+=的两根之和为1. 在方程230x x -+=中，0∆<，∴该方程无实数根，250x x ∴--=的两根之和为1.故选D.6.答案：D解析：本题考查垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理.如图，连接,BC OD 且OD 交AC 于点F .AB Q 是O e 的直径，90ACB ∴∠=︒.D Q 是»AC 的中点，,OD AC F ∴⊥是AC 的中点，12OF BC ∴=.E Q 是BD 的中点，DE BE ∴=.又DEF BEC DFE BCE ∠=∠∠=∠，，(AAS),DEF BEC BC DF ∴≅∴=V V .Q 圆O 的半径为3，6AB ∴=.设BC x =，则33,2,2OD x x AC ==∴=∴=== D.7.答案：51.110-⨯解析：50.000011 1.110-=⨯.8.答案：1x ³-且1x ¹9.答案：4解析：本题考查二次根式的混合运算.原式624==-=-=.10.答案：5解析：把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩，得2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩所以5a b +=.11.答案：-3解析：方程两边都乘(-2)y y ，得53-6y y =，得3y =-.经检验3y =-是原分式方程的解.12.答案：32解析：本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质.根据题意可得BD 平分ABC∠，直线MN 垂直平分1,2AB A ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=∠.84,180C A ABC ∠=∴∠+∠=-︒︒Q 96,396,32.C A A ︒︒∠=∴∠=∴∠=︒13.答案：8-解析： 一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限，0,k ∴<∴y 随x 的增大而减小.当24x ≤≤时，46y ≤≤，∴当2x =时，6y =；当4x =时，4y =，2644k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩，8bk ∴=-.14.答案：72︒解析：如图，连接,,OA OB OC .∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，72.AOB BOC OA OB OC ∴∠=∠=︒== ，54OBA OCB ∴∠=∠=︒.在OBP 和OCQ 中，OB OC OBP OCQ =∠=∠ ，,BP CQ OBP OCQ =∴ ，≌，.BOP COQ BOC BOQ QOC ∴∠=∠∠=∠+∠ ，,72POQ BOP BOQ POQ BOC ∠∠∠∠∠=+∴== .15.答案：16解析：如图，连接OA . 正六边形内接于O ，OAB ∴ ，OBC 都是等边三角形，,OA AB BC OC ∴===∴四边形OABC 是菱形， ,OBC S S ∴=∴阴影扇形飞镖落在阴影部分的概率是16.16.答案：②④解析：1,0,.122b a a b x a -<>∴>-=- 时，0y >，0,20a b c a c a b c ∴-+>∴+>-+>，故①错误；若123311,,,,,222y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在抛物线上，由图象可知，123y y y >>，故②正确；抛物线与直线y t =有交点时，方程2ax bx c t ++=有解，2,0t n ax bx c t ∴++-= 有实数解，要使得20ax bx k ++=有实数解，则k c t c n =--，故③错误；设抛物线的对称轴交x 轴于点H .22412,44,42ac b b b ac x a a a--±=-∴-=∴= ，2,2.,A B x x AB PH BH AH PH BH AH a∴-=∴==∴== ，ABP ∴ 是直角三角形，PA PB ABP =∴ ，是等腰直角三角形，故④正确.17.答案：原式()22222()42()43()3()()3()()3()()a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b a b +++-=-==-+-+-+-.当a b ==103==.18.答案：533x y m x y m -=-⎧⎨+=+⎩①②+①②得242x m =-，解得21x m =-.-②①得228y m =+，解得4y m =+ x 的值为负数，y 的值为正数，21040m m -<⎧∴⎨+>⎩解得142m <<-19.答案：证明：ABO 与CDO 关于点O 成中心对称，,BO DO AO CO ∴==.,AF CE AO AF CO CE FO EO =∴-=-∴= ，.在FOD 和EOB 中，FO EOFOD EOB BO DO ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()FOD EOB SAS DF BE ∴∴= ≌，.20.答案：（1）由点()8A a ,在2y x =上，则4a =，()4,8A ∴.AB y ⊥ 轴，与反比例函数图象交于点D ，且4AB BD =.∴1BD =，即()1,8D .∴8k =，反比例函数解析式为8y x=.（2）C 是直线2y x =与反比例函数8y x =图象的交点，∴82x x=，0x > ，2x ∴=，则()2,4C .148162ABD S =⨯⨯=△，13462ADC S =⨯⨯=△，10ABD ADC OCDB S S S =-=△△四边形.21.答案：解：（1）观察频数分布直方图知车速在41km/h 到50km/h 的车辆数为12，占抽查车辆数的310，3124010÷=（辆）.故答案为40.（2） 共抽查40辆车，∴中位数为第20，21辆车速度的平均数，由频数分布直方图知在40.5~50.5段.故选B.（3）图略.提示：50.5~60.5段应为9辆，数据为9.（4）8200100040÷=（辆）.答：当天的车流量约为1000辆.22.答案：(1)35；(2)1425.解析：(1)一共五种可能即56、38、46、66、79高于50的有3种所以概率是35(2)列表分析如下甲乙563846667939(56,39)(38,39)(46,39)(66,39)(79,39)55(56,55)(38,55)(46,55)(66,55)(79,55)45(56,42)(38,42)(46,42)(66,42)(79,42)59(56,59)(38,59)(46,59)(66,59)(79,59)67(56,67)(38,67)(46,67)(66,67)(79,67)23.答案：因为A 在B 的正西北方向，延长AB 交南北轴于点D ，则AB CD ⊥于点D.45, BCD BD CD BD CD ∠=︒⊥∴= ，.在Rt BDC 中，cos ,60CDBCD BC BC∠== 海里，即2cos 45602CD CD ==∴= 海里，BD CD ∴==海里.在Rt ADC 中，tan ADACDCD ∠= ，即tan 60== .AD ∴=海里.AB AD BD ∴=-=海里. 海监船A 的航行速度为30海里/时，则渔船在B 处需要等待的时间为30(62)2.45 1.41 1.04 1.03030AB ==-=≈（时）.答：渔船在B 处需要等待1.0时，才能得到海监船A 的救援.24.答案：（1） 四边形ABCD 是正方形，9045ABC ADC DBC BCA ACD ∴∠=∠=︒∠=∠=∠=︒，. CE 平分DCA ∠，122.52ACE DCE ACD ∠∠∠∴=== ，4522.567.5BCE BCA ACE ∠∠∠∴=+=+= .45DBC ∠= ，18067.54567.5BEC BCE ∠∠∴=--== ，BE BC ∴==.在Rt BCD 中，由勾股定理得2BD =，2DE BD BE ∴=-=-.（2）,90EF CE CEF ∠⊥∴= ，9067.522.5FEB CEF CEB DCE ∠∠∠∠∴=-=-== ，45,FBE CDE BE BC CD ∠∠==== ，(ASA)FEB ECD ∴≅，2BF DE ∴==-.25.答案：（1）由题意得，函数2y 的图象经过点(3,6),(7,7)，924649567m m n m m n -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得18638m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.2y ∴的表达式为2216388y x x =-+（112x ≤≤，x 是整数）.（2）设1(0)y kx b k =+≠.函数1y 的图象过点(4,11),(8,10)，411810k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得1,412.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1y ∴的表达式为11124y x =-+（112x ≤≤，x 是整数）.设这种水果每千克所获得的利润为w 元.则221211631124888w y y x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2333121(3)4884x x +=--+（112x ≤≤，x 是整数），∴当3x =时，w 取最大值214.∴第3月销售这种水果，每千克所获得的利润最大，最大利润是214元.26.答案：(1)2因为C 是点B 关于AD 的对称点,所以BP PC =,所以BP PE PC PE CE +=+=.由题意易证BAD BCE V V ≌,所以2CE AD ==,所以BP PE +的最小值为2.(2)如图,由题意可知AC 所在直线是BD 的对称轴,连接MD 交AC 于点P ,连接PB ,则PD PB =,此时PM PB +的值最小,PM PB MD +=.因为M ,O 为AB ,BD 的中点,由题意易证BMD BOA V V ≌,所以142MD AO AC ===,所以PM PB +的最小值为4.（3）如图所示.27.答案：（1）判断;APQ 是等边三角形证明：连接AC∵菱形ABCD ∴AB BC =∵60B ∠=︒∴ABC 是等边三角形∴AB AC =①∵,P Q 分别从点,B C 同时出发，且速度相同∴BP CQ =.②∵菱形ABCD∴112120602ACQ BCD ==⨯︒=︒∠∴ACQ B ∠=∠.③由①②③得ABP ACQ ≌ .∴,13AP AQ =∠=∠∵12120160122B BAC AD =⨯∠+∠=∠=︒=︒∠∴1360PAQ ∠+∠=︒=∠∴APQ 是等边三角形（2）由（1）得APQ 是等边三角形∴60APQ ∠=︒∴45120∠+∠=︒∵60ACB ∠=︒∴56120∠+∠=︒∴46∠=∠，∵60B ACB ∠=∠=︒∴ABP PCK ∽ ∴BP ABCK CP=∵当 1.5t =秒时, 1.5BP =∴4 1.5 2.5CP =-=∴1.542.5CK =∴1516CK =∴151431616AK AC CK =-=-=(3)∵菱形ABCD∴1302BDC DB C C AB ∠︒===∠∠∵SOT BDC ∠=∠可证DOS BTO ∽ ∴DO DSBT BO=∵430BC BDC DBC =∠=∠=︒∴223CO AO BO DO ====∴34.823=∴ 2.5DS =∴4 2.5 1.5CS =-=∵DAC KOS ACD ∠=∠=∠可证∴AOK CSO ∽ ∴AK AOCO CS =∴22 1.5AK =∴83AK =。
2023年江苏省南京市中考数学复习模拟真题试卷附解析
A C D OB 2023年江苏省南京市中考数学复习模拟真题试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是 （ ）2．若点A （2，n ）在x 轴上，则点B （n-2，n+1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．用代入法解方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩ ，使得代入后化简比较容易的变形是（ ） A ．由①得x=243y - B ．由①得y=234x - C ．由②得x=52y + D ．由②得y=2x-54．下列多项式因式分解正确的是（ ）A ．22)2(44-=+-a a aB ．22)21(441a a a -=-+C ．22)1(1x x +=+D ． 222)(y x y xy x +=++5．下列各直线的表示法中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题6．若函数ｙ＝（ｍ＋１）231m m x++是反比例函数，则m 的值为 . －27．如图，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ．二次函数222c x x y ++-=的对称轴和x 轴相交于点（0,m ）则m 8．已知的值为__________． 9．若矩形的对角线交点到两邻边的距离差为4 cm ，周长56 cm ，则这个矩形的两邻边长分别为 和 ．10．如图，已知AB ∥CD ，∠B=80°，∠BMD=30°，则∠D= ．11．如图，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=36°，∠ACB=60°，AQ 平分∠FAC ，则∠HAQ= ．12． 若 2 是关于x 的方程220a x -=的根，则 a= ．13．如图是一次函数1y ax b =+(a 、b 为常数，且0a ≠)、1y kx c =+（k 、c 为常数，且0k ≠) 的图象，观察图象直接写出同时满足10y ≥，20y ≥时，x 的取值范围 ． 解答题14．若分式27x x -无意义，则x 的值为 . 15．方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 的解为_________．16．纳米是一种长度单位，9110nm -=，已知某种植物花粉的直径约为4800nm ，用科学记数法表示该种花粉的直径为 nm ．17． 已知AD 是△ABC 的中线，如果△ABC 的面积是18cm 2,则△ADC 的面积是 cm 2.18．已知 x= 2007，则22231()(2)122x x x --+-+= ．19．把(+4)-(-6)-(+7)写成省略加号的和的形式为 . 三、解答题20．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下： 实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2003的倍数的频数 513 17 26 32 36 39 49 55 61 3的倍数的频率（1(2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？(3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？(4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？21．小明为了测量某一高楼 MN的高，在离 N点 200 m 的 A处水平放置了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退到点C 正好从镜中看到楼的顶点M，若 AC=l5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1 m).22．已知：如图，□ABCD中，DF⊥AC，BE⊥AC，M，N分别是AB，DC的中点.求证：四边形MENF是平行四边形.23．已知：△ABC为等边三角形，D为AC上任意一点，连结BD．(１）在BD左边，以BD为一边作等边△BDE（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(２）连结AE，求证：CD＝AE24．你知道棱柱与直棱柱的关系吗?请简要说明．25．解方程:113 22xx x-=---26．若n为整数，则22(21)(21)n n+--能被8整除吗？请说明理由.27．某高校共有 5 个同规格的大餐厅和 2 个同规格的小餐厅，经过测试：同时开放 1 个大餐厅，2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅， 1 个小餐厅，可供2280 名学生就餐.(1)求 1 个大餐厅，1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2)若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由.28．2004年7月至lO月间哈尔滨市和南京市的月平均气温如下表：(1)?哪个月最低?(2)两市中哪个市的气温下降更快?29．为了能有效地使用电力资源，某市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：O0用电每千瓦时0．55元(“峰电”价)，21：00至次日8：00每千瓦时0．30元(“谷电”价)．王老师家使用“峰谷”电后，5月份用电量为300千瓦时，付电费115元．求王老师家该月使用“峰电”多少千瓦时．30．已知关于x的方程21 (2cos)04x a x-+=有两个相等的实数根，试求锐角α的度数并说明理由.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．D4．A5．D二、填空题6．7．408．19．10 cm，18 cm10．50°11．12°2±13．21x -≤<14．3.515．21x y =⎧⎨=⎩ 16． 4.8×10-617．918．119．4+6-7三、解答题20．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；(2）0.31；(3）0.31；(4）0.321．∴BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∴∠C=∠N=90°，∵∠BAC=∠MAN..∴△BCA ∽△MNA. ∴BC AC MN AN =,即1.615200MN =, 1.620015213()MN m =⨯÷≈⋅． 22．提示：证明FN //EM ．23．（1）略(2）只要证明：△ABE ≌△CBD （SAS ）24．略25．26．能被8整除27．( 1) 1 个大餐厅可供 960 名学生就餐， 1 个小餐厅可供360 人就餐；(2)5300 人 28．(1)平均气温南京高．哈尔滨7月份最高，10月份最低；南京8月份最高，10月份最低．(2)两市中哈尔滨市的气温下降更快29．100千瓦30． 由题意，知221(2cos )44cos 104a α∆=-⨯=-=，∴1cos 2α=±． 又∵α为锐角，1cos 2a =-不合题意，舍去，∴1cos 2α=，α=60°。
2023南京中考数学试卷26
2023南京中考数学试卷26在2023年的南京中考数学试卷中，第26题是一个与平面几何有关的问题。
本题要求学生使用平面几何的相关知识，解决给定的几何问题。
题目描述如下：已知一个四边形ABCD，其中AB = BC，CD = DA，且∠BCD = 90°。
点E是线段AB的中点，点F是线段CD的中点。
连接线段EF并延长，交BC延长线于点G。
如果∠DGB = 90°，求证：∠ABD = ∠BCD。
首先，我们需要明确题目中给出的几何条件。
根据题目描述，四边形ABCD的两对对边分别相等，且其中一个内角是直角。
另外，点E是线段AB的中点，点F 是线段CD的中点，线段EF交BC的延长线于点G，且∠DGB是直角。
我们需要利用这些已知条件，来证明∠ABD = ∠BCD。
下面是一个证明过程的简要描述：首先，根据四边形ABCD的条件，我们可以得知∠ABD = ∠ADC，∠BCD = ∠BCA。
接下来，我们需要利用点E是线段AB的中点，点F是线段CD的中点这两个条件。
根据线段的中点定理，可以得知线段EF平分线段AB和CD。
因此，我们可以得到∠DEG = ∠GFC。
然后，我们来考虑三角形DEG和GFC。
这两个三角形有两个对应的角是相等的，即∠DEG = ∠GFC。
此外，根据题目中给出的条件，∠DGB = 90°。
因此，根据三角形内角和为180°的性质，我们可以得到∠DEG + ∠GFC + ∠DGB = 180°。
结合∠DEG = ∠GFC，我们可以得到2∠DEG + ∠DGB = 180°。
接下来，我们将证明∠ABD = ∠BCD。
根据四边形ABCD的条件，我们已经知道∠ABD = ∠ADC，∠BCD = ∠BCA。
我们需要证明∠ABD = ∠BCD，即∠ABD - ∠ADC = ∠BCD - ∠BCA。
我们可以将∠ABD - ∠ADC表示为(∠ABD -∠DEG) - (∠ADC - ∠DEG)，∠BCD - ∠BCA表示为(∠GFC - ∠BCA) - (∠GFC - ∠DEG)。
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南京2023年中考数学试卷(含答案)第一部分选择题（共20小题，每小题5分，共100分）
1.下列哪一个数字不是四位数？
A.5000
B.1234
C.2345
D.7890
2.若a×b=90，a÷b=9，则a²-b²=?
A.656
B.828
C.610
D.800
3.若正方形ABCD的面积为16，则图中蓝色区域的面积为（图略）
A.10
B.2√2
C.4
D.8
4.如图，右边三角形的面积与左边三角形的面积之和为32，所以s等于多少（图略）
A.4
B.5
C.6
D.7
5.若x<y，则（x-y）÷(x+y)的值范围是
A.[-1,0)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.[-1,1)
6.已知函数f(x)=ax²+bx+c，当x=1,2,3时，f(x)的值分别是
5,8,15，则a+b+c=?
A.11
B.12
C.13
D.14
7.如图，E是三角形ABC中AC边的中点，DE交BC边于点F，若AB=4，AD=3，则FC=?
A.1
B.2
C.3
D.4
8.1升水中加入5%盐酸，得到一种液体溶液，该溶液与自来水
的体积比为1:4，则该1升液体溶液中盐酸的质量为多少？
A.40g
B.20g
C.10g
D.5g
9.已知如图，O是正方形ABCD的外接圆心，则∠BOC=多少
度（图略）
A.30
B.45
C.60
D.75
10.如图，若BC∥DE，则x+y=？
（图略）
A.80
B.90
C.100
D.120
11.已知函数f(x)=a.sin(x)+b，其中a,b∈R，当x=π/6时，f(x)=1。
当x=5π/12时，f(x)=2。
则f(π/3)的值为多少？
A.2+√3
B.1+3√3/2
C.1+√3/2
D.√3+1
12.若a，b和c是三个不相等的正数，且它们的平均数和调和
平均数的和为10，则a，b，c的乘积为
A.1/6
B.1/7
C.1/8
D.1/9
13.若a+b+c=6, a²+b²+c²=14，则a³+b³+c³=?
A.48
B.54
C.64
D.72
14.如图，AD是ABCD的一条对角线，BD=CE，AD=8，BE=6，则DF=（图略）
A.2.4
B.3.6
C.4.8
D.5.2
15.已知函数f(x)=x-ln(x)，则f(x)在(1,+∞)的最小值为多少？
A.1
B.1/2
C.2e/5
D.2e/3
16.已知函数f(x)=a.x³+x²-x-1，则方程f(x)=0的一个实根在（1,2）内，另一个实根在（-2,-1）内，则a=？
A.-2/3
B.-5/3
C.-4/3
D.-1/3
17.如图，若AB=AC，∠ABC=50度，则∠ADF=？
（图略）
A.20
B.25
C.30
D.35
18.若3sinβ=4cosβ，则cos3β=？
A.-1/4
B.1/8
C.1/2
D.3/4
19.如图，正方体OABC-DEFG的棱长为1，∠AHB=60度，则BC、DG的距离为（图略）
A.√2/2
B.√3/2
C.√6/2
D.√6/3
20.整式f(x)除以(x-1)的余数为2，除以(x-2)的余数为3，则f(x)除以(x-1)(x-2)的余数为多少？
A.5x-7
B.5x+1
C.5x+7
D.5x-1
第二部分填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
21.当x取正根时，x²-3x+2的值为____。
22.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A等于多少度（图略）。
23.设M为集合{5,6,7,8}的非空子集，则全排列中M中最大数
与最小数之差为____。
24.方程4sin²x=3的解集是{x|____}。
25.下列数列中，公差最大的是____数列。
26.如图双曲线y²-x²=1的左右两支分别过点A、B，则∠AOB
等于多少度（图略）。
27.如图，以CK为直径的圆与CD交AB于E，若AC=2,AE=1，则BE=____（图略）。
28.已知等差数列S31=100，S50=200，则S8+S41=____。
29.方程(a-b)²+2a=25无解，则b的取值范围为____。
30.已知△ABC，D为BC边上一点，同时∠BAD=∠ACD，证明：AB²=BD×BC（证明过程不必写出）。
第三部分解答题（共6小题，每小题10分，共60分）
31.已知复数z满足|z+1+√3i|=1，请证明：z的实部和虚部都不
小于-1。
32.在抛物线y=2x²-kx+1上，存在且仅存在两个不同的点P,Q，它们的横坐标之和等于4。
求该抛物线的解析式及k的取值范围。
33.已知曲线L的参数方程是x=2cos(t)-cos(2t), y=2sin(t)-sin(2t)，求当y=√3时，对应的x的值。
34.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+10，求f(x)的单调区间。
35.如图，在长方形ABCD中，E是线段BC的中点，H是线段AE的中点，连接FH，过点E作交线段FH于G，则证明：
DG=3FE（证明过程不必写出）。
（图略）
36.已知等差数列a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn的前n项和分别为Sn和Tn，请根据这些已知量，求证：a1Tn+a2(Tn-Sn)+a3(Sn-
Tn+a4(3Tn-2Sn)+……+an((n-1)Tn-(n-2)Sn)=nSnTn。
第四部分综合应用题（共2小题，每小题20分，共40分）
37.大棚里可以种植南瓜、西瓜、甜瓜三种作物。
南瓜、西瓜、甜瓜的单价分别是2元/kg，3元/kg，4元/kg。
若现有南瓜、西瓜、甜瓜各不少于1kg，在预算为650元的情况下，应该如何购买，才能使采购的总重量最大？最大重量为多少？
38.如图，F是正六棱柱ABCDEF的底面中心，对顶点A直线平行于DF交平面BCDE于点G，连接AF，交BC于点H，设ABCDEF的棱长为1，则△AFG的面积为_____。
（图略）。