2019年常微分方程期末考试试卷.doc

常微分方程期末考试试卷

学院_______ 班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________

一.填空题 (30分)

1. dy =P(x)y Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子

解为___________ 。

2 .函数f (x, y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果

3.若® (X)为毕卡逼近序列和n(X)｝的极限，则有p (X)-®n(X)兰______

4 .方程d^ = X2y2定义在矩形域R:-2_x_2,-2_ y_2上，贝U经过点

dx

(0，0)的解的存在区间是 __________ 。

5.函数组e t,e-L,e2t的伏朗斯基行列式为___________ 。

6 .若Xi (t)(i =1,2,…，n)为齐线性方程的一个基本解组，X(t)为非齐线性方

程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为___________ o

7 .若①(t)是x = A(t)x的基解矩阵，则向量函数①(t) = _________________ 是

x =A(t)x + f(t)的满足初始条件®(t0)=0的解；向量函数申(t) = ____________

是x‘ = A(t)x • f⑴的满足初始条件「(t o)=的解。

8.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量W,V2,…M，它们对应的特征

值分别为人，妇,…人，那么矩阵①(t)= ________ 是常系数线性方程组

x‘二Ax的一个基解矩阵。

9 .满足________ 的点(x*, y*)，称为驻定方程组。

计算题 (60分)

2 2 3

10. 求方程4x y dx 2(x y-1)dy = 0 的通解。

dy dy 11•求方程

dy

飞取—x =0的通解

dx

"dy _ 2

2

12•求初值问题」dX=X _y

R:x+1|G, 的解的存在区间，并求

I y(-1)=0

第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 13. 求方程x ，9x 二tsi n 3t 的通解。 14. 试求方程组x = Ax f (t)的解:(t).

15. 试求线性方程组；：》7y ・19，dy *2y ・5的奇点，并判断奇点 的类型及稳

定性。

三.证明题 (10分)

16 .如果(t)是x^ Ax 满足初始条件「(t 。)= 的解，那么

1 2

,心 4 3

常微分方程期终考试试卷答案

.填空题 (30分)

P (x)dx

_[P(x)dx

1. y = e ( Q(x)e dx c)

2. f (x, y)在 R 上连续，存在 L >0，使 f (x, yj - f (x, y ?)兰 L % — y ?，对于 任意(x, yj,(x, y ?) R

二.

计算题 （60 分）

7. 8. e 1t

v 1,e

，2t

v 2^' ,e'nt v n

9. X(x, y) =0,Y(x, y) =0

3.

型— (n 1)!

4.

5. 1 1

x _ - 4

t e t e t e 4 _t e

-t -e _L

e

e 2t 2e 2t

4e 2t

6. X(t)八 C j X i (t) x(t)

i 吕

10.解:

■y

=6x i 2y

.:y : x -M

1 2y

积分因子和y ）

1 1 1

U=2x3y2'(y)二N =2x3y2—2y^ :y

1

得：“y)=_4y2

1

因此方程的通解为：y°(x3y 一3) =c 11. 解：令少=y' = p 则p • e p- x = 0 dx

p

得: x = p e

那么y 二pdx 二p(1 e p)dp

2

=p pe p_ e p c

2

)-x = p e p

因此方程的通解为：＜p2

y= : +(p-1)e p +c

- 2

又至

误差估计为：Mi)十1)!宀24

12.解：M max. ,f(x,y) =4

x — x0 E1=a, y — y0兰1=b , h = min(a,

M

b T

解的存在区间为X-X。=x +1’

令o(x)二y o

x 2

MX) MO yX dx

x3

(x) = 0 4 x x31、2 x3x7x4

63 18 9 42

13 .解：. 9=0= ，1 = 3i, .2 = -3i

冬-3i是方程的特征值，设x(t)二t(At B)e3it

得：x" =(2A-9Bt 12Ait 6Bi -9At2)e3it

则2A 12 Ait 6Bi =t

1 1

得：A l,B -

12 36

1 21

因此方程的通解为：x(t) = G cos3t - C2 sin 3t - t cos3t •t sin3t

12 36

d e5t

则基解矩阵叮-(t) = e t e5t

||_- e 2e

因此方程的通解

为：

®(t) =^(t)①，(0)H 十①(t)f ①，(s)f

(s)ds

；2x-7y+19 = 0-』

-x-2y +5 =0

1 t 4 21

+—e —e ——

4 5

1 t

e

+丄+ 1

+ e

2 5 一

3 5t

一e

20

3 5t

五e

14.解: det( ■ E - A)二

■ -1

-4

_2=仇+1)(人—5)=0

J(0)

e’

J -L

IL_e

5t

e

2e5t111 01『L

■3

t 丄

①(t)［①(s)f(s)ds =

5t

e

120

3 5t

-e t

4

2

5

-

5

一

15.解:

x= 1

J =3

(「E _ A)% =0 得

取*

C2E - A)V2 =0 得