高三数学理科立体几何备考试题及解答

A

B

M D

E

O

C

2007年高三数学理科立体几何备考试题及解答

命题人：中山一中数学理科备课组

1

．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======

（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离． 解：方法一：

（I ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q

,,.BO DO BC

CD CO BD ==∴⊥Q

在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==

而2,AC = 222

,

AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O =Q I AO ∴⊥平面BCD ；

（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB

与CD 所成的角 在OME ∆中，

111,22

EM AB OE DC =

===

OM Q 是直角AOC ∆

斜边AC 上的中线，1

1,2

OM AC ∴=

= cos

,4OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos

4

（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h

,

11

(33)

E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S

--∆∆=∴=Q 在ACD ∆中，2,CA CD AD =

==

B

E

1

22

ACD

S

∆

∴==

而2

1

1,2

2

CDE

AO S

∆

===

1

.

7

2

CDE

ACD

AO S

h

S

∆

∆

∴===∴点E到平面ACD

的距离为

7

方法二：

（I）同方法一．

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),

B D-

1

(0,0,1),((1,0,1),(1,

2

C A E BA CD

=-=-

u u u r u u u r

.

cos,

BA CD

BA CD

BA CD

∴<>==

u u u r u u u r

u u u r u u u r

u u u r u u u r

∴异面直线AB与CD

所成角的大小为arccos

4

（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),

n x y z

=

r

则

.(,,).(1,0,1)0,

.(,,1)0,

n AD x y z

n AC x y z

⎧=--=

⎪

⎨

=-=

⎪⎩

r u u u r

r u u u r

0,

0.

x z

z

+=

⎧⎪

∴

-=

令1,

y=

得(

n=

r

是平面ACD的一个法向量．

又

1

(,

22

EC=-

u u u r

∴点E到平面ACD的距离

.

EC n

h

n

===

u u u r r

r

y

2．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱长1AA =2，

11,60DD AB DA D ⊥︒=∠．

（1） 求证：⊥1AD 平面ABCD ；

（2） 求二面角1D BD A --的大小的余弦值； （3） 求1C 到平面1BDD 的距离．

解：（1）在1ADD ∆中，︒=∠==60,1,211DA D DA DD ， 由此易得 ,90,311︒=∠=

DAD AD

对于问题（2）与（3），有两种方法：

方法一：（2）如图，连结AC ，交BD 于G ，连结G D 1，

正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又⊥1AD 平面ABCD ，由三垂线定理可得，G D BD 1⊥，故GA D 1∠是二面角1D BD A --的平面角． 在22,3,11=

=

∆AG AD GAD Rt 中，可求得2

141=GD ， 从而77

2

/142/2cos 11=

==

∠G D AG GA D ； （3）由11//DD CC ，可知1C 到平面1BDD 的距离即为C 到平面1BDD 的距离，设该距离为d,连结1CD ，由BCD D BDD C V V --=11 得

=⋅∆131AD S BCD d S BDD ⋅∆13

1

， ⇒⎭

⎬⎫⊂⊥D D AA AD D D AA AB 11111平面平面⇒⎪⎭⎪

⎬⎫=⋂⊥⊥D DD AD DD AB AD

AB 11;111ABCD AD A AD AB AB AD AD AD 平面⊥⇒⎪⎭

⎪⎬⎫=⋂⊥⊥