定积分在生活中的应用

PINGDINGSHAN UNIVERSITY

院系 : 经济与管理学院

题目 : 定积分在生活中的应用

年级专业: 11级市场营销班

学生姓名 : 孙天鹏

定积分在生活中的应用

定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述

1、定积分的定义：

设函数()f x 在区间[],a b 上有界.

①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=L ,把区间[],a b 分成n

个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -L 且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，

221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。

②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积

()i i f x ξ∆（1,2,,i n =L ）

， ③作出和 ()1

n

i i i S f x ξ==∆∑。记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆L 作极限()0

1

lim n

i i P i f x ξ→=∆∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当

0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在

区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b

a f x dx ⎰，即

()b a

f x dx ⎰=I =()0

1

lim n

i i

P i f x ξ→=∆∑,

其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做

积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。

2．定积分的性质

设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且

性质1 ()b

a kf x dx ⎰

=()b a

k f x dx ⎰;

性质2

()()b

a f x g x dx +⎡

⎤⎣⎦⎰=()b

a f x dx ⎰+()b

a g x dx ⎰ ()()b

a

f x

g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰

=()b

a f x dx ⎰-()b

a g x dx ⎰.

性质3 定积分对于积分区间的可加性

设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()c

a f x dx ⎰=()b

a f x dx ⎰+()c

b f x dx ⎰。

性质 4 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1b

a dx ⎰=b

a dx ⎰=

b a -。

性质 5 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()b

a f x dx ⎰≥0()a

b <。

性质 6 如果在],[b a 上,M x f m ≤≤)(,则⎰-≤≤-b

a

a b M dx x f a b m )()()(

性质 7（定积分中值定理）如果)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存一点ξ使得 ⎰-=b

a a

b f dx x f ))(()(ξ

3．定理

定理1 微积分基本定理

如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限函数()x φ=()x

a f t dt ⎰在[],a

b 上

可导,并且它的导数是 ()'x φ=

()x

a

d f t dt

dx

⎰=()f x ()a x b ≤≤.

定理 2 原函数存在定理

如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()x φ=()x

a f t dt ⎰就是()f x 在

[],a b 上的一个原函数.

定理3 如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数, 则

()b a

f x dx ⎰=()()F b F a -

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 二 、定积分的应用

1、定积分在几何中的应用

（1）设连续函数)(x f 和)(x g 满足条件)(x g ≤)(x f ，∈x ],[b a ．求曲线=y )(x f ，=y )(x g 及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积S ．（如图1） 解法步骤：

第一步：在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([x g x f -为高，以dx 为底的矩形面积近似，于是

dx x g x f dS )]()([-=．

第二步：在区间],[b a 上将dS 无限求和，得到⎰-=b

a dx x g x f S )]()([.

（2）上面所诉方法是以x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线

)(y x ϕ=、)(y x ψ=其中)()(y y ψϕ≥与直线

c y =、

d y =所围成的平面图形（图2）

的面积为：

⎰-=d

c dy y y S )]()([ψϕ

例1 求由曲线x y sin =，x y cos =及直线0=x ，π=x 所围成图形的面积A ．

解 （1）作出图形，如图所示．

图2