定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用

一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：

()()()b

a R

b R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()b

a C

b C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()b

a L

b L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润

()I x 的改变量（增量）

。 解 首先求边际利润

()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+

所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

300

250

(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰

⎰=250万元 300

300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元

二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称

2

121

()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。

例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：

()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于

2

200()(0.08r t dt dt =+⎰

⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为

20()0.0820r t dt

r ==+-⎰0.094≈

例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为

()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔

[3，8]内年平均变化率

解 由于

38

85852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰

所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为

8

53()7.61083L t dt

'=⨯-⎰（元/年）

即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。

三、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个项目在t （年）时的收入为()f t （万元），年利率为r ，即贴现率是()rt f t e

-，则应用定积分计算，该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()b

rt a f t e ndt -⎰。

设某工程总投资在竣工时的贴现值为A （万元），竣工后的年收入预计为a （万元）年利率为r ，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A ，即使关系式

0T

rt ae dt A -=⎰

成立的时间T （年）称为该项工程的投资回收期。

例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预

计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。

解 这里1000A =，200a =，0.08r =，则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为

0.080.080.08002002002500(1)0.08T

t t T

T e dt e e ---==--⎰

令 0.082500(1)T e --=1000，即得该工程回收期为

110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =-

-=- =6.39（年）