正项级数的拉阿贝对数判别法
正项级数收敛性判别法研究
山 东 教 育 学 院 学 报
总第 72 期
正项级数收敛性判别法研究
宿小迪
1 引 言 无穷级数的基本问题之一是其收敛性的判别 问题。该 问题反映了无限过程中有限与无限的矛盾 , 这一矛盾的解决是成功运用极限理论的一个典范 。本文拟 从理论和应用两个层面对此作一归纳综述。 2 理 论层面 2. 1 基本理论 级数基本理论是正项级数收敛性判别法的基 础和出发点。 因此 , 这里先就级数基本理论作一概括。 2. 1. 1 基本概念
∞
∑u
n= 1 ∞
∞
n
收敛 , 则它的余项 r n → 0( n →∞ ) 。
∞ ∞ n n
∑u
n= 1 n
n
收敛 , c 是任意常数 , 则
∞ n 都收敛 , 则 n
∑cu = c∑u 。
n= 1 n= 1 ∞ n n ∞ n n= 1 n= 1
∞
( 4) 若
∑u
n= 1 ∞ n
与
∑v
n= 1
∑( u ± v ) = ∑u ± ∑v 。
∑ ∑
∑
∑
n→ ∞
> 0, 则必存在 > 0, 使得对足够大的 N , 当 n > N 时 , K n ≥ > 0。 反之 , 则不成立 , 对 K < 0 的情形也是如 此 , 不 过易知上下极限形式与原判别法的判别范围是完全一致的 ( 见例 1) 。 3. 2. 2 结构形式的改变 在同一判别精度上 ( 指使用的是同种标准级数 ) , 改变判别法的结构形式也可以改变其范围或提高 其判别的针对性。 ( 1) 达朗贝 尔判别法 与柯西判别 法 二法 均使用几何 级数作为 标准级 数 , 但 判别范 围却不 同 , 易 证: a n 若 lim n+ 1 = q, 则 lim an = q n → ∞ an n →∞ 反之不然 , 这说明柯西判 别法要比达朗贝尔 判别法强 , 甚至某些用拉贝判别 法或 bertr and 判别法都判 别无法判别的级数却可以用柯西判别法判 别 ( 例 2) 。当然 , 使用 起来柯西判别法往 往不如达朗贝尔判 别法简单。 ( 2) 拉贝判别法与对 数判别法 二法同 使用 P —级数级作 为标准级 数 , 但对 数判别法 对一般项出 现指数形式的级数往往更为有效。 1 ( 3) Bertr and 判别法 与高斯判别 法 Ber tr and 判别法使 用的标准 级数是 , 该法 已经达 n( lnn) p 到了很高的 判别精度 , 它常用的是其极限 形式 , 而高斯 判别法则可以看作 达朗贝尔判别法 和拉贝判别 an+ 1 1 法的 综合 与提高 , 因 为当 ≠ 1 时 , lim = , 此 时即 达朗 贝尔 判别 法 , 当 = 1 时 , 先 考 虑 Rn = n n →∞ an an n ( - 1) = + , lim R = , 对 ≠ 1 的情 形 , 就是拉贝判别法 : 对 = 1 的情形 , 考虑 Bn = lnn( Rn - 1) an+ 1 n n →∞ n lnn = n , lim B n = B = 0。由 Bert rand 判别法知 , 此时级数发散。可见高斯判别法已可以解决一部分必须 n n →∞ 由 Ber trand 判别 法才能解决的问题 ( 例 3) 。事实上 , 对高斯判 别法作一 简单推广 , 可进一 步提高其精 度:
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是数学分析中常用的两种判别法。
它们主要用于判断无穷级数的收敛性或发散性，是处理级数问题时的重要工具。
本文将分别介绍这两种判别法的原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这两种方法。
一、狄利克雷判别法1. 狄利克雷判别法的基本原理狄利克雷判别法是判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于交错级数或者交替级数。
该判别法的基本原理是：若无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)严格单调趋于0，即\(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq 0\)且\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)；2）\(b_n\)的部分和\(S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n\)有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|S_1| \leq M\)。
2. 狄利克雷判别法的应用以交错调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\)为例，根据狄利克雷判别法，可以将\(a_n = 1/n\)，\(b_n = (-1)^{n+1}\)，显然\(a_n\)严格单调趋于0，\(b_n\)的部分和\(S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots\)是交错有界数列，因此根据狄利克雷判别法，该级数收敛。
二、阿贝尔判别法1. 阿贝尔判别法的基本原理阿贝尔判别法是判断无穷级数收敛性的另一种方法，主要适用于幂级数。
该判别法的基本原理是：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)是一个关于\(n\)的数列，且有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|a_n| \leq M\)；2）对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\)是有界的。
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性∑n=1到无穷1/1+a的n次方当a>1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a<1，所以级数和收敛。
当0<=a<=1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和是不收敛的。
当-1<a<0时，|a^n|=|a|^n < 1，所以-1< a^n < 1，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和还是不收敛的。
当a=-1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中的奇数项分母为零，没有意义。
当a<-1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a，绝对值<1，所以级数和也是收敛，并且是绝对收敛的。
阿贝尔（Abel）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷（Dirichlet）判别法合称为A-D判别法。
主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。
编辑本段级数应用数项级数若数列{an} 单调有界，级数Σ(n=1,∞) bn 收敛，则任意项数项级数Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛函数项级数若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x↔D关于n单调，且函数列{an(x)} 在D上一致有界，即存在M>0，使得│an(x)│≤M (x↔D，n↔N)；同时，函数项级数Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛，则函数项级数Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x↔D) 在D上一致收敛编辑本段积分应用反常积分无穷限反常积分：若∫(a,+∞) f(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛无界函数反常积分：若∫(a,b) f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛含参变量积分若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛；(2)、g(x,y)关于x单调，即对于每一个固定的y↔[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、g(x,y)一致有界，即存在M>0，使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞，y↔[c,d])。
正项级数敛散性判别的一种新方法
正项级数敛散性判别的一种新方法吴国磊【摘要】正项级数的比较判别法,常见的有达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝对数判别法和高斯判别法等,但各有优缺点,本文主要研究了拉贝(Raabe)判别法,并在此基础上给出了它的推广.【期刊名称】《枣庄学院学报》【年(卷),期】2013(030)005【总页数】8页(P66-73)【关键词】正项级数;拉贝判别法;敛散性【作者】吴国磊【作者单位】如皋高等师范学校数理与信息技术系,江苏如皋226500【正文语种】中文【中图分类】O173.10 引言众所周知，级数是微积分学中的重要的内容，对于数项级数敛散性的判别，通常我们总是先判定它是否是绝对收敛，而判定绝对收敛的本质就是判别正项级数的收敛性.正项级数的判别法，常见的有D＇Alembert判别法、Cauchy判别法、Raabe 对数判别法和Gauss判别法等，但都有一定的局限性，很多学者在此基础上进行了改进，如文献［1］—［5］，事实上，我们可以根据Raabe判别法，给出了一个与其类似的新判别法.1 已有相关研究1.1 Raabe判别法Raabe 判别法［6］设是正项级数，则(1)r＞1时，级数收敛;(2)r＜1时，级数发散.该判别法和如下形式是等价的:对正项级数比值可以写成下面形式:(1)r＞1时，级数收敛;(2)r＜1时，级数发散.1.2 Gauss判别法Gauss判别法［7］对正项级数，比值可以表示成下面形式:其中λ，μ是常数，而θn是有界量: θ n≤L;那么，(1)如果λ＞1或λ=1，μ＞1级数收敛;(2)如果λ＜1或λ=1，μ＜1级数发散. 1.3 一个引理引理［1］设给定正项级数如果从某项起，不等式成立，则从收敛可推出收敛;从发散可推出发散.2 Raabe判别法的推广2.1 Raabe判别法的第一步改进王晖东、刘笑颖［8］已经对Raabe判别法进行过改进，如下:定理1［8］设为正项级数，满足，则有:(1)若r＞1，g(n)≤0，则收敛;(2)若r＜1，g(n)≥0，则发散.证明:当n→∞ 时，有且若令则由于级数当p＞1时，级数收敛;当p≤1时，级数发散.(1)若r＞1，取1＜p＜r，则由g(n)≤0和上式知，对于充分大的N，有vn收敛，根据引理，收敛.(2)若r＜1，取r＜p＜1，则由g(n)≥0和上式知，对于充分大的N，有vn发散，根据引理，发散.2.2 Raabe判别法的两步改进进一步的改进，可得两步改进方法:定理2［8］设为正项级数，满足且则有(1)若r＞1，g(n)≤0，则收敛;(2)若r＜1，g(n)≥0，则发散.王晖东、刘笑颖对Raabe判别法进行改进仅限于此，若将上述两个定理进行再次推广，可以得到如下的新方法.2.3 Raabe判别法的多步改进设为正项级数，满足，且且则有(1)若r＞1，g(n)≤0，则收敛;(2)若r＜1，g(n)≥0，则发散.证明:当n→∞ 时，有再使用数学归纳法，当m=1时，则当m=k+1时，有由于级数，当p＞1时收敛;当p≤1时发散.(1)若r＞1，取1＜p＜r，则由g(n)≤0和上式知，对于充分大的N，有vn收敛，根据引理，收敛.(2)若r＜1，取r＜p＜1，则由g(n)≥0和上式知，对于充分大的N，有vn发散，根据引理，发散.2.4 Raabe判别法的多步改进的实效举例例判断的敛散性.此时，为了方便描述，令现在将式子如下展开此时，如果取r＞1，则g(n)＞0;如果取r＜1，则g(n)＜0，此时该判别法失效.我们用更进一步的改进定理来判断其收敛性.这时有此时，如果取0＜r＜1，则g(n)≥0，则该级数发散.参考文献［1］杨钟玄.正项级数敛散性的一个新判别法［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2005，28(6):667－670.［2］洪勇.一个新的正项级数敛散性判别定理及应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2004，27(3):245－247.［3］高原，刘大彬.关于正项级数敛散性判定的一种方法［J］.齐齐哈尔大学学报，2011，27(4):86－88.［4］张永明.正项级数收敛性的一种新的判别法［J］.数学的实践与认识，2004，34(1):173－176.［5］王炳安，李淑敏.关于正项级数的一组收敛性判别法［J］.大连大学学报，2004，25(4):1－5.［6］陈纪修，於崇华，金路.《数学分析》第二版［M］.高等教育出版社，2004.22－23.［7］童小龙.Gauss判别法的改进［J］.中国矿业大学(北京)(博士专家论坛)，2008:352－353.［8］王晖东，刘笑颖.拉贝判别法的推广［J］.大学数学，2011，27(4):165 －170.［责任编辑:闫昕］。
三种不常见的正项级数收敛性判别法-10页精选文档
三类不常见的正项级数收敛性判别法赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。
尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。
先介绍积分判别法。
先建立如下三个简单的引理。
引理1 设()f x 为[,]a +∞上的一个单调递增函数，则lim ()x f x →+∞存在当且仅当()f x 有界。
证明：先证明必要性。
假设lim ()x f x →+∞存在，记lim ()x f x A →+∞=。
则存在一个0R >，当x R >时，有()1f x A -<，于是()()()1f x f x A A f x A A A =-+≤-+<+。
又()f x 单调递增，因此，()()f x f a ≥。
于是，()f x 有界。
充分性，若()f x 有界，则()f x 为单调有界函数，极限lim ()x f x →+∞必存在。
得证！引理 2 设()f x 为[,]a +∞上的一个单调递增函数，则lim ()x f x →+∞存在当且仅当{}()f n 有界。
证明：必要性显然。
充分性：[,)x a ∀∈+∞，[][]1x x x ≤<+，[]()(1)f x f x ≤+。
再由{}()f n 的有界性就知道了。
引理3 设()f x 为[,)a +∞上的非负可积函数。
则()af x dx +∞⎰收敛当且仅当()Aaf x dx ⎰有界，当且仅当{}()naf x dx ⎰有界。
证明：()af x dx +∞⎰收敛当且仅当lim()AaA f x dx →+∞⎰存在。
由于()f x 非负，因此，()A af x dx ⎰是单调递增的。
由引理1，()Aaf x dx ⎰收敛当且仅当()Aaf x dx ⎰有界；由引理2，()A af x dx ⎰收敛当且仅当{}()naf x dx ⎰有界。
广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法广义积分阿贝尔判别法（Abel's Test for Integrals）和狄利克雷判别法（Dirichlet's Test）是用于判定某些不定积分是否收敛的数学工具。
这两个方法通常用于处理函数项级数的收敛性问题。
广义积分阿贝尔判别法：给定形如f(x)g(x)dx 的广义积分，其中 f(x) 和g(x) 是定义在区间[a,∞) 上的连续函数。
狄利克雷判别法：考虑形如 f(x)g(x)dx 的广义积分，其中f(x) 和 g(x) 是定义在区间[a,∞) 上的连续函数。
这两个判别法通常用于研究无穷级数和广义积分的收敛性，特别是在处理带有调和级数（harmonic series）或其他特定函数项的问题时。
这些方法的证明涉及到对积分或级数的逐项积分和逐项求和。
正项级数的收敛判别法及其推广
引言数项级数又称无穷级数,简称级数.若数项级数的各项都由正数组成,则称为正项级数.级数理论是数学中一个非常重要的理论,正项级数又是级数中的基础部分,具有很强的实用价值和广泛的应用.作为一种常用的研究工具广泛的应用于其他数学科学和科学技术领域,因此它的收敛判定问题一直被人们所研究.正项级数的收敛判别法中,常用的且比较典型的判别法有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法等.为了比较方便、简单的判别正项级数是否收敛,首先,可以根据其特点选择适当的方法,如：柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法,使正项级数收敛的判别变得更加简便.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法、对数判别法、次数差审敛法等.一般是,当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较判别法,若比较判别法还是无法判别时,再使用正项级数收敛的充要条件进行判定.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,并给出了不同通项特点的正项级数选用的不同的判别法.1关于正项级数的一些基础知识定义1.1.1[1] 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12n u u u ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ （1）称为数项级数或无穷级数（也简称级数）,其中n u 称为数项级数的通项. 数项级数（1）也常写作：1n n u ∞=∑或简单写作n u ∑.数项级数（1）的前n 项之和记为12...n S u u u =+++ （2）称它为数项级数（1）的第n 个部分和,也简称部分和.若数项级数的各项符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数.定义1.1.2[1] 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S,则称数项级数（1）收敛,称S 为数项级数（1）的和,记作12......n S u u u =++++或1n n S u ∞==∑.若{}n S 是发散数列,则称数项级数（1）发散.2 正项级数常用的收敛判别法定理2.1 [1] （基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例1 判定正项级数()()()112111nn n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断.解 记()()()12111nn n a u a a a =+++ ,则()()()()()()()()()121211211111111111n n n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++ 级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛. 定理2.2[2](级数收敛的柯西准则) 级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε,总存在N ,使得当n N >时,对于任意的正整数1,2,3,p = ,都成立着12.n n n p u u u ε++++++<对于正项级数1n n u ∞=∑,由于0n u >,因此,只要12n n n p u u u ε++++++< 即可.注：当级数的通项为等差或等比数列,或通项为含二项以上根式的四则运算,且通项极限无法求出时,可以选用定义和柯西收敛原理进行判断.例2 111123n+++++解 取010,2n ε<<∀,若令p n =,则01111112222n p n S S n n n n n ε+-=+++>⋅=>++因此,由柯西收敛原理知级数11n n∞=∑发散.例3 ()1221n n n n ∞=+-++∑解()()()()322142325243221n S n n n=-++-++-++++-++ =1221n n -++-+=11221n n -++++则lim 12n n S S →∞==-.所以,由级数收敛的定义知原级数收敛.定理2.3[1]若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2.4[1] 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 定理2.5[1] 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.定理2.6[2]（比较审敛法）设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n N >都有n n u v ≤则（i ）若级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1n n u ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散,则级数1n n v ∞=∑也发散.比较审敛法的极限式设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数.若有limnn nu l v →∞=,则 （1）当0l <<+∞时,级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2）当0l =时,若级数1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑也收敛；（3）当l =+∞时,若级数1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑也发散.注：当级数的通项型如1nu 或含有sin ,cos θθ等三角函数的因子时,可以通过对其进行适当的放缩,然后再与几何级数、P 级数等常见的已知其敛散性的级数进行比较,选用比较判别法进行判定.例4 判别正项级数()11,11nn a a ∞=>+∑[6]收敛. 解 因为1101nn a a ⎛⎫<≤ ⎪+⎝⎭,101a <<,而级数11nn a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,所以由比较判别法知级数111nn a∞=+∑收敛. 例5 判别正项级数()ln 21ln nn n ∞=∑的敛散性.解 因为存在正整数N ,当n N >时,有()ln ln lnln 2ln 21111ln nn nne e n n =≤=,而正项级数211n n ∞=∑是收敛的,所以由比较判别法知级数()ln 21ln nn n ∞=∑收敛. 定理2.7[2]柯西判别法（根式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数.且存在某正数0N 及正常数l ,则（i ）若对一切0n N >,成立不等式nn u l ≤＜1,则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若对一切0n N >,成立不等式1n n u ≥,则级数n u ∑发散. 柯西判别法的极限形式：对于正项级数1n n u ∞=∑,设lim ,nn n r u →∞=那么,当1r <时,级数1n n u ∞=∑收敛;当1r >时,级数1n n u ∞=∑发散;当1r =时,级数1n n u ∞=∑的收敛性需要进一步判定.例6 判定正项级数()1212nnn ∞=+-∑的敛散性. 分析：本题级数的通项中含有()1n-,这种类型是柯西判别法的典型类型,只要取上极限进行判断即可.解 记()212nn nu +-=,则()________211lim lim122nnn n n n u →∞→∞+-==<. 所以,由达朗贝尔判别法的极限形式得级数()1212nnn ∞=+-∑收敛. 定理2.8[2]比式判别法设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q（01q <<）.(i)若对一切0n N >,成立不等式1n n u q u +≤,则级数1n n u ∞=∑收敛; (ii) 若对一切0n N >,成立不等式11n n u u +≥,则级数1n n u ∞=∑发散. 达朗贝尔判别法的极限形式：对于正项级数1n n u ∞=∑,当1lim 1nn n u r u →∞-=<时,级数1n n u ∞=∑收敛；当1lim 1n nn u r u →∞-=>时,级数1n n u ∞=∑发散；当1r =时,级数1n n u ∞=∑的收敛性需要进一步判定.注：当级数的通项含有型如!n 或n a ,或分子、分母含多个因子连乘时,选用达朗贝尔判别法.例7 判别正项级数()11321!n n n ∞=⋅⋅⋅-∑ 的敛散性.解 由于,121lim lim 211n n n nu n u n +→∞→∞+==>+,所以级数()11321!n n n ∞=⋅⋅⋅-∑ 发散.例8 判别正项级数()()()()21,0111nnn x x x x x ∞=>+++∑ 的敛散性. 解 由于11,011limlim,1120,1n n n n nx x u xx u x x ++→∞→∞<<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩ 所以,1lim 1n n nu u +→∞<.故正项级数()()()()21,0111n n n x x x x x ∞=>+++∑ 收敛. 定理2.9 [1] （积分判别法） 设()f x 为[)1,+∞上非负减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分()1f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散.注：当级数的通项含有型如1n u ,n u 为含有ln n 的表达式或1nu 可以找到原函数,或函数()f x 为[)1,+∞上非负单调递减函数且()n u f n =时,可以选用积分判别法.例9 判别正项级数31ln ln ln n n n n∞=∑的敛散性.解 由于()()3333ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnd x d x dx x x x x x x x +∞+∞+∞+∞====+∞⎰⎰⎰,则广义积分3ln ln ln dxx x x+∞⎰发散,所以由柯西积分判别法知原级数发散.定理2.10 [1]（拉贝判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数r ,(i) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛;(ii) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n u +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑发散.拉贝判别法的极限形式设1n n u ∞=∑为正项级数,且极限1lim 1n n n u n r u +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭存在,则(i)当1r >时,级数1n n u ∞=∑收敛；(ii)当1r <时,级数1n n u ∞=∑发散.注：当级数的通项含有阶乘与n 次幂,型如!n 与n a 时,而使用柯西判别法、达朗贝尔判别法时极限等于1等无法判断其敛散性的时候,可选用拉贝判别法.例10 讨论级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑当1,2,3s =时的敛散性. 解 无论1,2,3s =哪一值,对级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑的比式极限,都有1lim 1n n n uu +→∞=,所以用比式判别法无法判别级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨论,当1s =时,由于12111122222n n u n n n n u n n +⎛⎫+⎛⎫-=-=→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ （n →∞）,所以级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑是发散的. 当2s =时,由于()()21243211112222n n n n u n n n u n n +⎡⎤+⎛⎫+⎛⎫-=-=<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （n →∞）, 由拉贝判别法可知级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑发散. 当3s =时,由于()()2313121872131122222n n n n n u n n n u n n +++⎡⎤⎛⎫+⎛⎫-=-=→⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （n →∞）,所以级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑收敛. 定理2.11[1]（对数判别法） 对于正项级数1n n u ∞=∑,若从某一项起,有1ln1ln n u p n ≥>,则级数1n n u ∞=∑收敛；若从某一项起,有1ln 1ln nu n <,则级数1n n u ∞=∑发散.对数判别法的极限形式：对于正项级数1n n u ∞=∑,如果1lnlimln nn u r n →∞=,那么,当1r >时级数收敛；1r <时级数发散；1r =时级数的收敛性需要进一步判定.注：当级数的通项ln n u n n =或()()ln ln g n n u f n =时,可以选用对数判别法.例11 判别级数()ln 21ln ln nn n ∞=∑[8]的敛散性.解 因为()1lnln ln ln ln nu n n=,对0α>,N ∃,当n N >时,有()ln lnln 11n α≥+>,所以原级数收敛.使用上面定理时，通常要根据通项的特点来使用相应的判别法,一般情况下有个使用的先后顺序,顺序是：柯西判别法,达朗贝尔判别法,比较判别法,基本判别法.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.3．正项级数收敛判别法的推广前面我们介绍了判别正项级数敛散性的一些常用判别法,但是有些题目用那些常用方法判别时可能会经过特别麻烦的过程才能得到结果或者得不到结果.为了解决这个问题,我们将一些常用的判别法进行推广,就使得对某些级数的敛散性判别变得更加容易了.3.1[5]D-C 判别法对于级数1n n n u v =∞∑,其中0,0n n u v >>,若11limn n n u L u +→∞=,2lim n n n v L →∞=,那么（i ）当1201L L ≤<时,级数1n n n u v =∞∑收敛；（ii ）当121L L >（含12L L =+∞的情形）时,级数1n n n u v =∞∑发散；（iii ）当121L L =或120L L =⎧⎨=+∞⎩或120L L =+∞⎧⎨=⎩时,级数1n n n u v =∞∑的收敛性待确定.例12判别级数()21121ln 1!n n n n n n ∞=⎛⎫⋅+⋅+ ⎪⎝⎭∑的收敛性.解 令()ln 1!n n u n +=,2121n n n v n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则有()()11ln 21lim lim 01ln 1n n n nn u L u n n +→∞→∞+==⋅=++,21lim lim 212nn n n n L v e n →∞→∞⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.从而,1201L L =<,由D-C 判别法知,原级数收敛.3.2[3]越项比值判别法设正项级数1n n u ∞=∑的通项n u 是递减的,如果2limnn nu u λ→∞=,则（1）当12λ<时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当12λ>时,级数1n n u ∞=∑发散.3.3[7]次数差审敛法若正项级数1n n u ∞=∑的一般项n u 为关于项数n 的分式形式（若为整式则分母视为1）,设分子的最高次数为k ,分母的最高次数为m .（1）若1m k -≤,则级数发散； （2）若1m k ->,则级数收敛.证明 （1）当1m k -≤时,分四种情况讨论.①若0m k -<,则其部分和数列一定是一个单调增加无解数列,故部分和数列的极限不存在,由级数发散的定义,级数发散.②若0m k -=,则一般项的极限为分子、分母的最高次数的系数比,即一般项的极限不可能为0,根据级数收敛的必要条件,级数发散.③若01m k <-<,此时n nu 的分子的次数高于分母的次数,则有lim =+n n nu →∞∞,根据极限审敛法,级数发散.④若1m k -=,此时n nu 的分子、分母的最高次数相同,则有lim 0n n nu l →∞=≠,根据极限审敛法,级数发散.综上,若1m k -≤,级数1n n u ∞=∑发散.（2）若1m k ->,设p m k =-,则存在p ＞1使得lim 1p n n n u →∞=,根据极限审敛法,级数收敛.例13判定级数31ln n nn∞=∑的敛散性. 分析：这里我们把ln n 认为n 的最高次数为1,此时3121m k -=-=>,猜想级数收敛.启示我们找一个收敛级数与该级数比较.解 因为ln n n <得332ln 1n n n n n <=,因为级数211n n∞=∑收敛,,由比较审敛法知31ln n nn ∞=∑收敛. 例14 判定级数211n nn ∞=+∑的敛散性 解 由次数差审敛法,2111,222m k -=-=<所以此级数发散. 3.4[8]柯西判别法的推广设1n n a ∞=∑为正项级数,若存在正定数a ,使得1lim ann n a r →∞=,则（i ）当01r ≤<时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当1r <≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.例15考察正项级数3/21()21n n n n ∞=+∑的敛散性.解 由于321lim lim1212n nn n n an →∞→∞==<+,故由柯西判别法的推广知此级数收敛.且容易看出这样判别较运用柯西判别法来判定,显得更加简便快捷.3.5[8]达朗贝尔判别法的推广 设1n n a ∞=∑为正项级数,且1lim lnn n na n q a +→∞=,则 （i ）当-∞≤q ＜-1时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当-1＜q ≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.例16考察正项级数31135(21)()2462n n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅∑的敛散性.解 由于3121limlim()122n n n na n a n +→∞→∞+==+,故达朗贝尔判别法失效,但由于3221213213lim lnlim ln()lim ln()12222222n n n n n n a n n n n n a n n n ++→∞→∞→∞++===-<-+++,故由达朗贝尔判别法的推广知此级数收敛.3.6[12]比较判别法的推广（1）若正项级数1n n u ∞=∑收敛,则级数1kn n u ∞=∑也收敛（k N +∈）；（2）若正项级数1n n v ∞=∑发散,且lim n n v →∞=+∞,则级数1k n n v ∞=∑发散.证明 用数学归纳法和比较判别法来证明.（1）当2k =时,因为级数1n n u ∞=∑收敛,所以lim 0n n u →∞=,从而2lim lim 0nn n n nu u u →∞→∞==,即21n n u ∞=∑收敛. 假设k m =时1knn u ∞=∑收敛,则1k m =+时,由1lim lim 0m n n m n n nu u u +→∞→∞==得11m n n u ∞+=∑收敛,所以结论成立.（2）当2k =时,2lim lim n n n n nv v v →∞→∞==+∞,由比较判别法知21n n v ∞=∑发散.假设k m =时1knn v ∞=∑发散,则1k m =+时,因为1li m li m m nn m n n nv v v +→∞→∞==+∞,所以11m nn v∞+=∑发散,因此结论成立.例17 判别级数10021213n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑的敛散性.解 由级数123n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑和级数211n n ∞=∑收敛,可得级数2213n n ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦收敛.再由比较判别法的推广得级数10021213n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑收敛.3.7[6]拉贝判别法的推广 引理[6]设正项级数1nn n a =∑发散,则级数1nan na s ∞=∑当1a >时是收敛的,当1a ≤时是发散的.其中,1nn k k s a ==∑.证明 先证明1a =时级数发散.因为正项级数1nnn a=∑发散,所以()n s n →∞→∞,并且n s 单调递增.于是11111.nnk k k k n n m k m k mk n n n s s s s s s ss s s s ----==--->==-∑∑对任意m ,存在n 使得112m n s s -<,从而11.2n k k k mk s s s -=->∑于是,级数1nn n a =∑发散.当1a <时,由比较判别法知级数1nn n a =∑发散.当1a >时,同样因为正项级数1nn n a =∑发散,所以()n s n →∞→∞,并且n s 单调递增.故对任意k ,存在k n ,使得122k k k n s +>>,这说明()()()()11211112112212112222k k k k k k k n n n aaaka k a n n n a a a a aa a aa a aa ++++--+++-++⋅⋅⋅+<=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+所以对正项级数1nn n a =∑适当的加括号后所得的级数是收敛的,从而,原级数收敛.定理 设正项级数1nn a∞=∑（0,1,2,...n a n ≠=）发散.若正项级数1nn u∞=∑（0,1,2,...n u n ≠=）满足1211 (i)n n n n n n n a a a u a R a u a →∞+++++⎛⎫-= ⎪⎝⎭（3）则（i ）当1R >（包括R =∞）时级数1n n u ∞=∑收敛（ii ）当1R <时级数1n n u ∞=∑发散（iii ）当R=1时级数1n n u ∞=∑的敛散性不定.证明 由1R >,可以找到a 满足1R a >>,记1n n k k S a ==∑.因为级数1nn k a =∑发散,所以()n s n →∞→∞,由引理知级数1nan na s ∞=∑是收敛的.这时,若记n n a n a b s =,则2112111(1)(1)(1)2a n n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b s a s s a +++++⋅-=+=++⋅+⋅⋅⋅ 11()n n n n na a a o a s s +⋅=++ 又由（3）知,当n 充分大,R 是常数时1211(),0()n n n n n n a a a u a R n a u a εε++++⋅⋅⋅+-=+→→∞11()n n nn n nu a R a u a s ε+++=+11()1()n n n n n n nu b R a a o u b s s ε+++--++, 其中nn n a b s =,当n 充分大时可以保证上式右端大于0,从而由引理知级数1nn u ∞=∑收敛.当R =∞时,与上面的证明相似.当1R <时,由（1）得111n n n nn n n n u a a b u a s b +++<+=,由引理知1n n u ∞=∑发散.3.8[4]厄尔马可夫判别法设()f x 为递减的正值连续函数,又设()()lim x x x e f e f x λ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.厄尔马可夫判别法的推广设()f x 为递减的正值连续函数,()x φ为递增可导函数,并满足()x x φ>,如果()()()()/limx x f x f x φφλ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.证明 （1）设1λ<,由于()()()()/limx x f x f x φφλ→∞=,0ε∴∀>,有0N >,使当x N >时,有()()()/()()x f x f x φφλε<+.取ε使1p ελ+=<,则()()()/()x f x pf x φφ<.于是当b N >时,有()()()/()bb NNx f x dx p f x dx φφ<⎰⎰,()()()()b bN Nf x dx p f x dx φφ<⎰⎰,()()()()()()0(1)()b b b N NN p f x dx p f x dx f x dx φφφφ<-<-⎰⎰⎰=()()()()N b Nbp f x dx f x dx φφ-⎰⎰.由于N 充分大且b N >,故()b b φ<,又因()0f x >,故()()0b bf x dx φ>⎰,从而,()()()()(1)()b N N Np f x dx p f x dx φφφ-<⎰⎰,()()()()()(1)b N N Npf x dx f x dx p φφφ<-⎰⎰固定N ,让b →+∞,取极限得()()()()(1)N N N pf x dx f x dx p φφ+∞≤-⎰⎰.于是由柯西积分判别法知级数()1n f n ∞=∑收敛.（2）当1λ>时,则取N 充分大,可得当x N >时,()()()/()()()x f x f x f x φφλε>->.从而()()()/()bb NNx f x dx f x dx φφ>⎰⎰,()()()()b bN Nf x dx f x dx φφ>⎰⎰,()()()()b N bNf x dx f x dx φφ>=⎰⎰常数, ()b N >上式表明,无论b 多大,总有()b b φ>使()()b b f x dx φ>⎰某常数,从而积分()Nf x dx +∞⎰发散.再由柯西判别法知级数()1n f n ∞=∑发散.小 结正项级数是级数理论的重要组成部分,而它的敛散性的判定又是级数理论的核心问题.因此,正项级数敛散性的判定在理论和实际中都有广泛的应用.但敛散性的判别方法却不尽相同.一、介绍了正项级数常用的收敛判别法. 常用的收敛判别法有： ●基本判别法如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛. ●级数收敛的柯西准则级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε,总存在N ,使得当n N>时,对于任意的正整数1,2,3,p = ,都成立着12.n n n p u u u ε++++++<对于正项级数1n n u ∞=∑,由于0n u >,因此,只要12n n n p u u u ε++++++< 即可.●比较审敛法设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n N >都有n n u v ≤则（i ）若级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1n n u ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散,则级数1n n v ∞=∑也发散.●柯西判别法（根式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数.且存在某正数0N 及正常数l ,则（i ）若对一切0n N >,成立不等式nn u l ≤＜1,则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若对一切0n N >,成立不等式1n n u ≥,则级数n u ∑发散. ●达朗贝尔判别法（或称比式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q （01q <<）.(i)若对一切0n N >,成立不等式1n n u q u +≤,则级数1n n u ∞=∑收敛; (ii) 若对一切0n N >,成立不等式11n n u u +≥,则级数1n n u ∞=∑发散. ●积分判别法设()f x 为[)1,+∞上非负减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分()1f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散. ●拉贝判别法设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数r ,(i) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛;(ii) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n u +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑发散.●对数判别法对于正项级数1n n u ∞=∑,若从某一项起,有1ln1ln nu p n ≥>,则级数1n n u ∞=∑收敛；若从某一项起,有1ln1ln nu n <,则级数1n n u ∞=∑发散. 二、介绍了推广后的正项级数收敛判别法 ●D-C 判别法对于级数1n n n u v =∞∑,其中0,0n n u v >>,若11limn n n u L u +→∞=,2lim n n n v L →∞=,那么（i ）当1201L L ≤<时,级数1n n n u v =∞∑收敛；（ii ）当121L L >（含12L L =+∞的情形）时,级数1n n n u v =∞∑发散；（iii ）当121L L =或120L L =⎧⎨=+∞⎩或120L L =+∞⎧⎨=⎩时,级数1n n n u v =∞∑的收敛性待确定.●越项比值判别法设正项级数1n n u ∞=∑的通项n u 是递减的,如果2limnn nu u λ→∞=,则（1）当12λ<时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当12λ>时,级数1n n u ∞=∑发散.●次数差审敛法若正项级数1n n u ∞=∑的一般项n u 为关于项数n 的分式形式（若为整式则分母视为1）,设分子的最高次数为k ,分母的最高次数为m .（1）若1m k -≤,则级数发散； （2）若1m k ->,则级数收敛. ●柯西判别法的推广设1n n a ∞=∑为正项级数,若存在正定数a ,使得1lim ann n a r →∞=,则（i ）当01r ≤<时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当1r <≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.●达朗贝尔判别法的推广 设1n n a ∞=∑为正项级数,且1lim lnn n na n q a +→∞=,则 （i ）当-∞≤q ＜-1时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当-1＜q ≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.●比较判别法的推广（1）若正项级数1n n u ∞=∑收敛,则级数1kn n u ∞=∑也收敛（k N +∈）；（2）若正项级数1n n v ∞=∑发散,且lim n n v →∞=+∞,则级数1k n n v ∞=∑发散.●拉贝判别法的推广 设正项级数1nn a∞=∑（0,1,2,...n a n ≠=）发散.若正项级数1nn u∞=∑（0,1,2,...n u n ≠=）满足1211 (i)n n n n n n n a a a u a R a u a →∞+++++⎛⎫-= ⎪⎝⎭则（i ）当1R >（包括R =∞）时级数1n n u ∞=∑收敛（ii ）当1R <时级数1n n u ∞=∑发散（iii ）当R=1时级数1n n u ∞=∑的敛散性不定.●]厄尔马可夫判别法设()f x 为递减的正值连续函数,又设()()lim x x x e f e f x λ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.厄尔马可夫判别法的推广：设()f x 为递减的正值连续函数,()x φ为递增可导函数,并满足()x x φ>,如果()()()()/limx x f x f x φφλ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.当然,这只是正项级数收敛判别法及其推广的一小部分,除了这些之外,还有好多其他判别法有待于我们进行更深刻的研究.致谢随着这篇本科毕业论文的最后落笔,四年河北北方学院的学习生活也即将划上一个圆满的句号.这四年也注定将成为我人生中的一段重要旅程回忆.四年来,我的师长、我的领导、我的同学给予我的关心和帮助,使我终身收益,倍感珍惜.在本文的撰写过程中,韩振芳老师作为我的指导老师,她治学严谨,学识渊博,视野广阔,为我营造了一种良好的学术氛围.置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了明确的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多待人接物与为人处世的道理.其严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力,与无微不至、感人至深的人文关怀,令人如沐春风,倍感温馨.正是由于她在百忙之中多次审阅全文,对细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见,本文才得以成型.在此特向韩振芳老师致以衷心的谢意！同时感谢所有教导过我的老师们四年来对我的栽培和教育,感谢同学朋友们对我的关心帮助.同时也感谢学院为我提供良好的做毕业论文的环境.最后再一次感谢所有在毕业论文中曾经帮助过我的良师益友和同学,以及在论文中被我引用或参考的论著的作者.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M]. 北京:高等教育出版社(第三版),2001:1-23.[2] 欧阳光中,朱学炎等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2007:90-112.[3] 斯琴.正项级数的敛散性判别法[J]. 河套大学学报,2009.6(2): 18-22.[4] 杨钟玄.关于正项级数敛散性判别法及其联系[J].天水师专学报,1999,19(3):80-83.[5] 张永明.正项级数的D-C判别法[J].工科数学,2002, 18(2):95-96.[6] 唐翠娥.级数敛散性的拉阿贝判别法的推广[J].大学数学,2005,22(2):132-134.[7] 李智军.判定正项级数敛散性的一种简便方法[J].科技咨询,2008,6(29):249-250.[8] 林映木.关于正项级数的Cauchy判别法和D’Alembert判别法的推广[J].韩山师专学报,1994,8(3):54-57.[9] 刘羽.正项级数敛散性的判别法研究[J].网络财富,2009.23(23):98-101.[10]吴良森等编著. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社,2002.2:196-248.[11]潘红,储亚伟.正项级数收敛判别的几种新方法[J].科技信息,2005,(8): 4-7.。