第2章地图数学基础汇总
地图学第二章地图投影和应用
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
地图投影的实质：
球面上任一点的位置均是由它的经纬度所确定的，因此实施 投影时，是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上，并将相 同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网；然后再将 球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。由此可见， 地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按一定的数学法 则转移到平面上。
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等积条件必须令a*b=1,即变形 椭圆的最大长度比与最小长度
比互为倒数关系，a=1/b或 b=1/a。由此看来，在不同点上
变形椭圆的形状相差很大，即 长轴越长，则短轴越短。在等 积投影上以破坏图形的相似性 来保持面积上的相等。因此， 等积投影的角度变形大。
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正轴圆柱投影经纬线形状：经线为一组平行且间隔 相等的直线，纬线与经线垂直。
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在切线和割线上 无任何变形，离 切线或割线愈远， 则变形愈大， 在割线外侧的变 形为正，在内侧 的为负。
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圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面 相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上， 然后将圆锥面展为平面而成的一种投影。 正轴投影 横轴投影 斜轴投影
m ds '
ds
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
Vm表示长度变形
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
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特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
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对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
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2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980 西安坐标系” 大地 坐标的起算点——大 地原点。
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§2 地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
2.1 地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
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2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位
置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
地图学第二章复习题及答案
地图学第二章复习题及答案第二章复习题一、选择题1.将地球椭球面上的点投影到平面上，必然会产生变形，长度变形是长度比与1的（B）。
A.积B.差C.和D.商2.为了阐明作为投影变形结果各点上产生的角度和面积变形的概念，法国数学家底索采用了一种图解方法，即通过（D）来论述和显示投影在各方向上的变形。
A.透视光线B.参考椭圆C.数学方法D.变形椭圆3.按投影变形性质分类，可将地图投影分为等角投影、等积投影和（A）。
A.任意投影B.方位投影C.圆柱投影D.圆锥投影4.圆锥投影中纬线投影后为（D），经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比。
A.直线B.相交于圆心的直线束C.相交于某一点的弧线D.同心圆圆弧5.我国自1978年以后采用（C）作为百万分一地形图的数学基础。
A.等面积圆锥投影B.等距离圆锥投影C.等角圆锥投影D.等角方位投影6.正轴等距圆锥投影沿（A）保持等距离，即m=1。
A.经线B.纬线。
C.旋转轴D.标准纬线。
7.正轴圆锥投影的变形只与（B）发生关系，而与经差无关，因此同一条纬线上的变形是相等的，也就是说，圆锥投影的等变形线与纬线一致。
A.经线B.纬线C.距离D.方向8.圆锥投影最适宜用于（D）处沿纬线伸展的制图区域的投影。
A.高纬度B.低纬度C.赤道D.中纬度9.就制图区域形状而言，方位投影适宜于具有圆形轮廓的地区，就制图区域地理位置而言，在两极地区，适宜用（A）投影。
A.正轴B.斜轴C.横轴D.纵轴10.横轴等积方位投影在广大地区的小比例尺制图中，特别是（B）中应用得很多。
A.全球地图B.东西半球图C.各大洲地图D.两极地图11.在正常位置的圆柱投影中，纬线表象为（A），经线表象为平行直线。
A.平行直线B.相交于圆心的直线束C.相交于某一点的弧线D.同心圆圆弧12.等角航线是地面上两点之间的一条特殊的定位线，它是两点间同（C）构成相同方位角的一条曲线。
A.所有纬线B.投影轴C.所有经线D.大圆航线13.1949年中华人民共和国成立以后，就确定（D）为我国地形图系列中1：50万，1：20万，1：10万，1：5万，1：2.5万，1：1万及更大比例尺地形图的数学基础。
地图学复习要点归纳
地图学复习要点归纳第⼀章地图与地图学1.地图的基本特征：具有特定的数学法则（地图投影）——地球曲⾯到地图平⾯的转换；采⽤符号系统表⽰地物或现象——表现信息的语⾔⼯具对信息进⾏综合（制图综合）——解决复杂的海量信息和有限的平⾯容量的⽭盾2.地图的定义：地图是空间信息的载体，是将空间信息按特定的数学法则定位于平⾯，并经科学提炼和有机概括后以符号化的形式描述在平⾯上地图形。
3.地图的构成要素：数学要素，地理要素，辅助要素数学要素是地图数学法则的具体表现形式。
决定了地图上物体的分布位置。
（1）坐标⽹：地理坐标⽹：我们常说的经纬度就是⼀种地理坐标，它标定了物体在地球椭球⾯上的位置，可约略认为是物体在地球表⾯上的位置；平⾯直⾓坐标⽹：在⼤⽐例尺地形图上，还绘有棋盘状的⽅格⽹，俗称“⽅⾥⽹”，是地图上的平⾯直⾓坐标⽹，主要⽤于图上快速判定物体间的距离。
(2)⽐例尺：⽐例尺是指地图上线段长度与相应的实地长度之⽐，它标志着地图模型的缩放程度，通过它，我们才能将图上量测的距离换算为实地的距离。
(3)测量控制点：测量控制点是地图测量和绘制时的控制基础，只出现在⼤⽐例尺地形图上。
每个点都有准确的平⾯坐标和地⾯⾼程，是确定周围地物的控制和依据。
地理要素是地图内容的主体部分。
它表⽰了图区范围内各种⾃然和社会经济要素的分布、联系及变化状况，是地图使⽤者阅读的⽬标和主要信息。
辅助要素是⼀些帮助我们阅读和使⽤地图的⼯具，类似于产品的使⽤说明。
包括地图名称、图例、制作和出版单位、出版时间等。
4.地图分类（1）按照内容的不同，地图家庭有两⼤分⽀：普通地图和专题地图。
普通地图：各种基本地理要素（⽔系、地貌、⼟质、植被、居民地、交通⽹、境界等）齐全，且内容详细程度相对均衡，能满⾜多⽅⾯的应⽤需求，因⽽也是最基本的地图，是制作专题地图的基础地图。
专题地图：重在表⽰某⼀种或⼏种专题要素，这些作为地图主题的要素通常⽐普通地图中详细得多，包含了普通地图上所没有⽽属于专业领域特殊需要的内容。
第2章地理空间数学基础
第2章地理空间数学基础
地图是现实世界的模型，它按照一定的比例和投影原则， 有选择地将复杂的三维地理空间的某些内容投影到二维平 面介质上，并用符号将这些内容表现出来。
地图是根据一定的数学法则，使用地图语言，通过制图综 合，表示地面上地理事物的空间分布、联系及在时间中发 展变化状态的图形。
第2章地理空间数学基础
• 长半径
a（赤道半径）
• 短半径
b（极半径） 第2章地理空间数学基础
•扁率
α=(a-b)/a
• 第一偏心率 e2=(a2- b2)/ a2
• 第二偏心率 e’2=(a2- b2)/ b2
• 通过长轴和短轴来度量地球的形状。不 同的方法其长短轴参数不一样，所适用
的地区也就不同。
• 在北美通常使用CLARKE1866，在我国 （1978年起使用IUGG国际椭球）和前苏 联使用克拉索夫斯基椭球体 KRASOVSKY。
大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面
（3）地球椭球体模型
第2章地理空间数学基础
大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体 内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处 和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然 是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂， 但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转 轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转 椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体， 简称椭球体。
• 地面上点位的确定 地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和 纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两 组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地表面某两 点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例 如北京在地球上的位置可由北纬39°56'和东经116°24'来 确定。
NewMapChart2-6
d.已知某地图的图号， d.已知某地图的图号，求该图幅所在的地理位置 已知某地图的图号 步骤： 步骤： 由已知的图号判断该地形图的比例尺； Ⅰ 由已知的图号判断该地形图的比例尺； 由下列公式计算出该地形图左上角的经纬度： Ⅱ 由下列公式计算出该地形图左上角的经纬度：
D − 1 ϕ Zi = h ⋅ ∆ ϕ − i ⋅ ∆ϕi hi D −1 λ Z i = { − 31} ⋅ ∆ λ + i ⋅ ∆ λ i l l i
f.实际应用
根据经纬度求图号； Ⅰ 根据经纬度求图号； 根据图号，求其地图的地理位置。 Ⅱ 根据图号，求其地图的地理位置。
实例1：
已知某地位于东经120°10′15″，北纬30°15°10″求该地所在的 已知某地位于东经120°10′15″，北纬30°15°10″求该地所在的 120 30 万地形图的图号？ 1：1万地形图的图号？ 步骤： 步骤： 求该地所在的1 100万地形图图号及四角点经纬度 万地形图图号及四角点经纬度， Ⅰ 求该地所在的1：100万地形图图号及四角点经纬度，并标注在草图上 以经差30′ 纬差20′ 30′， 20′将 100万草图分为12行 12列 万草图分为12 Ⅱ 以经差30′，纬差20′将1：100万草图分为12行、12列； 以经差3′45″ 纬差2′30″ 3′45″， 2′30″， 10万草图分为 万草图分为8 Ⅲ 以经差3′45″，纬差2′30″，将1：10万草图分为8行、8列； 依该地点的经纬度判断所求图号的在1 万内的序号； Ⅳ 依该地点的经纬度判断所求图号的在1：1万内的序号；最后求出结果
J-50-5-(31) -c
d.我国各种比例尺地形图的图幅范围大小及相互间的数量关系
e.求相邻图幅图号
地图学课件-地图的数学基础
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1. GPS系统由三个独立的部分组成
空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在 高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨 道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地 球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。
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2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数
a = 6 378 140m
b = 6 356 755m f = 1/298.257
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大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下 缺少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在 制图业务中，均把地球当作正球体。
3. 重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准 面的高度）。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
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3.2 地图的比例尺
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地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它 向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间 系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
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用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理 得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户 的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点 的距离和航向或提供图示。
第二讲 地图数学基础
• 地图是地理学和地质学等区域性学科的“第二 语言”。
• 地球科学既是地图学的应用对象又是地图学的 研究对象，地图作为科学研究的有效工具，促 进了地球科学的发展。
• 地理学和地质学等区域性学科又是地图学，特 别是专题地图学的科学内容基础和主要资料来 源。
• 地图学与地学等区域性学科相结合，形成地球 学20科20/8/1各2 部门或区域的专题地图学，如地质制图
2020/8/12
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国家大地原点（陕西泾阳）
主要的地球椭球体元素
名称 地心 地轴 地极 子午面 子午圈 首子午面 首子午线 法线 平行面 平行圈 赤道面 赤道圈 地理坐标系
现代地图学与测绘学的关系
• 没有精密的测量就没有精确的地图；测制地形图 的过程中，各种成图要素的表示方法，地图概括 及其编辑工作，都需要地图学方面的知识。
• 在我国，行政部门与学会组织，都把地图学与测 量学结合在一起统一管理，把地图学作为测绘学 的一个分支；同样地理学的相关单位也把地图学 作为地理学的组成学科之一。在国家科学分类系 统中，地图学作为理科，在地球科学大类中，同 自然地理学、地质学、海洋学等并列为二级学科
• 美国的地质调查局（USGS）甚至把地质学、地理学、测 绘学组合在一起，除编制生产地形图、地质图、还编制生 产其他专题地图。
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二．地球的形状与大小
2.1地球的自然表面（自然球体） 2.2地球的物理表面（大地体） 2.3地球的数学表面（旋转椭球体）
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2.3.2我国与测量制图相关的几个椭球体参数
• 参考椭球体定位：地球的长半径、短半径和扁 率测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面 的相对关系，即确定与局部地区大地水准面符 合最好的一个地球椭球体－参考椭球体，这项 工作就是参考椭球体定位。
2第二章 计算机地图制图的数据基础
3.空间数据标准化管理
(3)分类与编码标准 ——要素类别 ——类别编码
d.投影带概念与投影带划分
设置投影带的目的：
保证投影带带内的投影误差小于测量误
差控制要求。
高斯-克吕格通常按经度间隔6°或3°分带。
高斯投影带划分
我国规定 除1:100万以外国家基本地形图均采 用高斯—克吕格投影, 1:2.5万～1:50万采用经 差60分带, 1: 1万采用经差30分带
60 分带 从00子午线起，自西向东每隔经差60 为一投影 带，全球60带各带带号为1，2，3···60表示，我国 位于东经720～1360之间，13～23带。
30 分带 从东经1030’经线开始，自西向东每隔 经差30 为一投影带，全球120带。
60 分带和30 分带
e.高斯平面直角坐标系
以中央经线为x轴，赤 道为y轴，两轴交点 为坐标原地O。 我国位于北半球，x>0, y 坐标中央经线以西 为负值,不方便，将 各带纵轴西移500公 里。
通用坐标
yA=245km y’A=745km 纵轴西移500km yB=-168km y’B=332km
大地经纬度坐标
平面直角坐标
影响因素 考察某地的大地坐标，须对应采用的 椭球体及其轴向
2）常用大地坐标系统
(1)54北京坐标系——克拉索夫斯基椭球体 (2)80西安坐标系 1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会上通 对国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球 体。称为GRS(1975)，中国自1980年开始采用 GRS(1975)新参考椭球体系。 (3)推行2000坐标系， 椭球体与WGS84所用相似 (4)WGS84(全球大地测量系统1984) 国际时间局根据卫星大地测量数据确定的地球椭球体。
地图学第二章地图投影
地图学第⼆章地图投影地图学第 2 章地图的数学基础 §1 地球体和地球坐标系 §2 地图⽐例尺 §3 地图投影的基本概念与⽅法 §4 地图投影的分类 §5 ⽅位投影 §6 圆柱投影 §7 圆锥投影 §8 其他地图投影§9 地图投影的识别与应⽤ §3 地图投影概念和⽅法 3.1 地图投影的意义地球椭球体表⾯是不可展曲⾯，要将曲⾯上的客观事物表⽰在有限的平⾯图纸上，必须经过由曲⾯到平⾯的转换。
地图投影：在地球椭球⾯和平⾯之间建⽴点与点之间函数关系的数学⽅法，称为地图投影。
x = f 1(j , l )y = f 2(j , l )地图投影的实质：是将地球椭球⾯上的经纬线⽹按照⼀定的数学法则转移到平⾯上。
3.3 地图投影变形 1. 投影变形的概念把地图上和地球仪上的经纬线⽹进⾏⽐较，可以发现变形表现在长度、⾯积和⾓度三个⽅⾯。
2.变形椭圆取地⾯上⼀个微分圆（⼩到可忽略地球曲⾯的影响，把它当作平⾯看待），它投影到平⾯上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。
这种图解⽅法就叫变形椭圆。
为纬线长度⽐代⼊： X 2 + Y 2 = 1，得2222''1X Y m n += 微⼩圆→变形椭圆该⽅程证明: 地球⾯上的微⼩圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O '为原点，以相交成q ⾓的两共轭直径为坐标轴的椭圆⽅程式。
⽤正等测法画⽔平放置的圆时,圆变为椭圆,圆的任意⼀对互相垂直的直径变为椭圆的⼀对直径,它们叫做椭圆的共轭直径。
特别⽅向：变形椭圆上相互垂直的两个⽅向及经向和纬向长轴⽅向（极⼤值）a短轴⽅向（极⼩值）b 据阿波隆尼定理，有经线⽅向 m ；纬线⽅向 n m 2 + n 2 = a 2 + b 2统称主⽅向 m ·n ·sin q = a ·b3.投影变形的性质和⼤⼩长度⽐和长度变形：投影⾯上⼀微⼩线段（变形椭圆半径）和球⾯上相应微⼩线段（球⾯上微⼩圆半径，已按规定的⽐例缩⼩）之⽐。