第2章 地图的数学基础
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
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内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
金太阳教育网
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2
金实太阳教例育网引入
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观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
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光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
品质来自专业
信赖源于诚信
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
北师大版二年级数学下册第二单元《方向与位置》(精品同步教学设计)
3.学生在学习过程中，可能对平面图的方向表示感到困惑。教师应运用生动形象的教学手段，如动画、实物演示等，帮助学生理解和掌握。
4.学生在小组合作中，可能会出现分工不均、沟通不畅等问题。教师应关注学生的人际交往能力，适时给予指导和帮助，提高学生的团队协作能力。
作业布置时，教师应注意以下几点：
1.作业难度适中，既要巩固基础知识，又要适当提高，以培养学生的挑战精神。
2.作业内容要与生活实际相结合，让学生感受数学在生活中的应用，提高学习兴趣。
3.作业形式多样化，注重培养学生的动手操作能力、团队协作能力和创新思维能力。
4.作业评价要及时、具体，针对学生的优点和不足给予指导，鼓励学生持续进步。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：让学生掌握用前后、左右、上下等词语描述物体在空间中的位置，以及运用简单的图形和符号表示方向。
2.难点：培养学生根据方向和距离确定物体在空间中具体位置的能力，以及在实际问题中运用方向和位置知识解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设生活情境，激发兴趣：结合学生的生活经验，设计有趣的教学情境，如寻宝游戏、小动物找家等，让学生在实际操作中感知方向和位置，提高学生的学习兴趣。
4.培养学生对方向和位置的观察、思考、分析能力，提高解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、交流等教学活动，引导学生探索和掌握方向和位置的概念。
2.运用小组合作、自主探究等方式，培养学生的空间观念和团队协作能力。
3.结合生活实际，设计有趣的教学情境，让学生在实际操作中感受方向和位置的变化，提高学生的动手操作能力和问题解决能力。
人教版小学四年级数学下册第二单元位置与方向整章课件PPT课件
在生活中一般我们先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。题中1号检查点的方向，一般说成“东 偏北30°”。
北 60°
1号点 方向：东偏北30°
方向：北偏东60°
30°
西
东
起点
南
练一练
起点的北偏东30°表示哪个方向？在练习卡上作出这一方向。 北
30°
西
东
起点
南
北
500米
45°
文化广场
电视塔
(2)体育场在电视塔的西偏南 30º方向 2 500 米处。 北
30°
电视塔
500米 体育场
(3)博物馆在电视塔的西偏北 20º方向 2 千米处。 北
博物馆 500米
20°
电视塔
(4)动物园在电视塔的东偏北 40º方向 1 500 米处。
北 动物园
500米
电视塔
位置与方向(二)
根据同伴的描述，画出路线示意图。
我向正南方向走 50 米到路口，再向南偏西约 30º走
北
100 米到公园。
公园
30°
50米
我先定下你出发时的位置。
1.
小兵的家在哈尔滨，距北京大约 1 057 千米。北京在哈尔滨 的____偏____ _____的方向上，哈尔滨在北京的 ____偏 ____ ______ 的方向上。
600
你能说出学校距他们家 的方向和路程吗？
学校在小刚家的___偏___ ___的南方向上， 西距离约是45_°__米。
800
3. 商场
书店
200 米 (1) 根据上面的路线图，说一说小玲去书店和回
来时所走的方向和路程，完成下表。
第2章 数学力学基础
（3）散度：n 阶张量场的散度是一个n 1阶张量场，
如 Aij xk
Bijk
它对任一指标的散度为对应张量梯度关于该指标的缩并。
如A 的梯度的分量是
A i x j
Bij，缩并 Bii
Ai xi
div A
6、例：
梯度 （1）
A
Ai
xi
；
（2）
是拉普拉斯算子
二、张量与张量场
1、坐标变换 －旧系k 新系k的旋转变换, ui 、uj 都省去
M
变换系数 ij 与逆变换系数 ij ji , ij cos
x1
约定求和： x2
11x1 12 x2 13 x3 21x1 22 x2 23 x3
奥斯特罗格拉德斯基－高斯公式：
divadv a nd ,
V
斯托克斯公式：
通量W
n a
M
d
rota n d L a ds, 环量I
L a
ds M
r
o
4、势量场、管量场、调和场
（1）若a grad, 则 a 为势量场 为a 的势函数 充要条件rota 0
第二章 数学力学基础
一、场——梯度、散度、旋度
1、场：是一个与空间区域相关联的概念，若在空间区域V上分布着量A，
便称其为量A的场，它可以是数量场或矢量场
数量场 x,y,z,t的等量面：t 时刻＝const曲面 填满整个域V
矢量场ax, y, z,t的矢线方程：a d r 0或 dx dy dz a填满整个域 V r 矢径
第12课时第2章2.3海图制图
2.3 海图制图知识点1 编辑设计海图制图的编辑设计工作主要包括海图总体设计、制图区域的研究、制图资料的分析和选择、确定图面配置、拟订编辑计划等工作内容。
（一）海图总体设计包括：海图图幅设计、确定海图的数学基础、构思海图内容及表示方法。
（二）制图资料的搜集包括：控制测量资料、海测资料、成图资料、遥感图像资料、其他资料。
（三）制图区域研究（四）制图方案制订主要包括：选择海图编绘方法，确定对制图资料的加工处理、转绘的原则和方法，拟定印刷工艺方案。
（五）编辑文件编写编辑文件是编辑设计的主要成果。
编辑文件的内容一般包括对海图的性质、用途、规格、数学基础、内容及表示、精度标准、技术方法做出基本规定。
知识点2 制图综合关于海图内容的压缩、化简和图形关系处理的制图技术，称为制图综合。
制图综合的基本原则是表示主要的、典型的、本质的信息，舍去、缩小或不突出表示次要的信息。
制图综合的方法，主要有选取、化简、概括和移位，而对于实地制图现象向图形转换，还包括对实地物标的分类分级、建立符号系统。
（一）海图内容选取①资格法：根据规定应达到的数量或质量标准来选取海图内容；②定额法：以适当的海图载负量为基础，规定一定面积内海图内容的选取指标；③平方根定律法：根据资料海图的载负量与新编海图的载负量之间的比例关系，规定海图内容的选取指标。
（二）形状化简形状化简主要用于呈线状与面状分布的要素以及表示地貌的等高线（等深线）等。
海图在编绘过程中，因比例尺的缩小，一部分图形缩小到难以分辨的程度或因弯曲过细而妨碍主要特征的显示，通过形状的化简，可以保留该地物特有的轮廓特征，并区别出从海图用途来说必须表示的特征。
形状化简的主要方法是删除、合并和夸大。
（三）数量特征概括随着比例尺的缩小，制图物体的数量特征在图上的显示趋向概略，这种方法即称为数量特征的概括。
数量特征概括的具体方法有分级合并（用扩大级差的方法来减少分级）、取消低等级别（规定某一数量等级以下的制图物体不予表示）和用概括数字代替精确数字（对某些用数字表示的要素，根据海图的具体用途或比例尺，用概括数字代替）三类。
2021届数学基础第二章第10讲函数的图象含解析
2021届高考数学一轮基础反馈训练：第二章第10讲 函数的图象含解析基础知识反馈卡·2。
10时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分，共30分）1．函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是( )A B CD2．函数y ＝321x x 的图象大致是( ) A B CD3．函数f （x ）＝x 2－2|x |的图象大致是( ）A B CD4．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( ）A B CD5．已知函数f (x ）的图象如图J2。
10-1,则f (x ）的解析式可能是（）图J2-10。
1A．f（x）＝错误!－x3B．f（x）＝错误!＋x3C．f（x）＝错误!－x3D．f(x)＝错误!＋x36．函数y＝ln｜x－1|的图象大致是（)二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3x（x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.8．（2015年安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝2a与函数y＝|x－a｜－1的图象只有一个交点，则a的值为________．9．设奇函数f（x）的定义域为［－5，5]．若当x∈［0，5]时,f(x)的图象如图J2.10。
2，则不等式f（x)＜0的解集是____________．图J2.10。
2三、解答题（共15分）10．直线y＝1与曲线y＝x2－｜x｜＋a有四个交点，求实数a 的取值范围．基础知识反馈卡·2。
101．C2。
A3．B解析:∵函数f（x)＝x2－2｜x|，∴f(3）＝9－8＝1〉0，故排除C，D;∵f（0）＝－1，f错误!＝错误!－212＝0.25－错误!〈－1，故排除A。
故选B.4．A解析：∵f（－x）＝－x sin(－x）＝x sin x＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∴其图象关于y轴对称,故排除B，C；∵f（π)＝πsin π＝0，排除D.故选A。
MapGIS教程 23、地图学课件
《地图学》教学大纲（实习大纲附后）一、说明（一）课程性质地理信息系统专业：主干课、专业类基础课。
地理科学专业、资源环境与城乡规划管理专业：专业类基础课。
（二）教学目的本课程通过对地图学基本理论、地图制图和地图应用基本方法和技术的讲授，使学生掌握该领域的专业基础知识，包括基本概念、基本理论与基本原理，以及地图制图的基本技能与方法，提高学生编图、用图的能力，为后继课程的学习服务。
同时，该课程重视新理论、新技术的探索，并结合经济建设的实际和具体实践，培养学生解决实际问题的能力和从事科学研究的素质。
（三）教学内容本课程注重反映现代地图学和制图技术的最新成果，体系和内容以目前地图学理论和技术进行组织与安排。
主要内容包括地图学基本理论、地图制图学、应用地图学三部分，具体又包括地图学导论、地图的数学基础、地图概括、地图符号、地图表示、地图图型、遥感制图、数字地图制图、地理信息系统与地图、地图复制等内容。
同时，根据地图学本身实践性很强的特点，本课程还配合了地图参观、描绘，投影变换，制图字体书写，地图数字化，专题地图编制，计算机制图等方面的实习内容。
（四）教学时数（宋体小四加粗）总计72学时，其中讲授54学时，实验18学时。
另外，安排野外实习和参观访问18学时作为实践性教学环节。
（五）教学方式该课程在教学观念和教学方法上注重能力培养，采用课堂讲授与具体实践相结合的方法完成教学任务。
通过课堂讲授来完成专业基本知识、基本理论与原理的系统学习，通过具体的实验、实习，使学生的实践能力获得提高，达到对地图学更深的理解和掌握。
在地图制图实验上，少部分在常规制图实验室进行，多数要求在计算机软硬件支持下，在数字环境下进行。
根据地图学插图多、内容杂的特点，课堂讲授全部采用多媒体授课方式。
（六）学时分配二、本文第一章导论教学要点：（1）地图的基本特征：遵循一定的数学法则，具有完整的符号系统，经过地图概括，是地理信息的载体。
地图的定义。
苏教版数学必修2第二章2.1.5平面上两点间的距离课件(共21张PPT)
变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。
分析
l
：证明：设MN中点为O，由中点坐标公式得O（3,0）,
M
Байду номын сангаас
（3,0）在直线l上,所以MN被l平分；
O
所以：
N
所以点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称
例3、求证：点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称
变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。
分析
：
l M
O
N
所以点M关于直线l的对称点N为（1,1）
本课小结：
1、平面上P1（x1,y1）,P2（x2,y2）两点间的距离：
2、平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,线段P1P2的中点是M（x0,y0）
3、数学思想：从特殊到一般的数学思想， 方程的思想
问题情境
已知A（-1,3），B（3，-2），C（6，-1），D（2,4）， 四边形ABCD是否是平行四边形？
证明对角线互相平分
证明两条对边平行 证明两条对边相等
……
M
A1
M1
C1
由A1M1=M1C1，得
所以线段AC的中点M坐标为 同理可得线段BD中点的坐标也为
一般地：对于平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）, 线段P1P2的中点是M（x0,y0），则
例2：已知△ABC 的顶点坐标为A（-1,5），B（-2，-1）， C（4,7），求BC边上的中线AM的长。
解：设M（x,y）
由两点间距离公式得：
即M（1，3）
会求点A关于点 B的对称点D吗？
高中数学：第2章 第2章 2.1.2 函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)基础·初探]教材整理1函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是()A B C D【解析】 借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12.【答案】 A小组合作型]函数的表示法(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x 转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)；当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：x (台) 1 2 345y (元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x (台) 678910y (元)18 000 21 000 24 000 27 000 30 000③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.再练一题]1．购买某种饮料x听，所需钱数y元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}，则y∈{2,4,6,8}．列表法：x/听123 4y/元2468图象法：求函数的解析式(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数y ＝f (x )是一次函数，且f (x )]2－3f (x )＝4x 2－10x ＋4，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b )＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可． 3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23x ＋13. 【答案】 23x ＋13分段函数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】 分段求解，再求并集．【解】 当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4.∴x 的取值范围是{x |x >0或x <－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f f (a )]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止． (2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．再练一题]3．本题中解析式不变求f (－3)，f (f (－3))，f (f (f (－3)))的值． 【解】 f (－3)＝－(－3)－2＝1， f (f (－3))＝f (1)＝1＋2＝3， f (f (f (－3)))＝f (3)＝3＋2＝5.探究共研型]作函数的图象探究1 【提示】 列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A．C．4 D．5【解析】由表可知f(11)＝4.【答案】 C2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10【解析】法一设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x.∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x，故选A.【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图2-1-4，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2-1-4 【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 25．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 【解】 (1)f (x )图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是－1,3]，即f(x)的值域是－1,3]．。
高等数学基础第二章
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
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面积比与面积变形
• 面积比P就是投影面上的微分面积与球面上相应的微分 面积之比，即投影面上的变形椭圆的面积与球面上微分 圆的面积之比。 • P=a·b P=a·b=m·n P=m·n·sinθ • 面积比也是一个变量，在地图上会因点的位置不同而不 同。 • 面积变形（Vp）指面积比与1的差值，Vp = P－1 • 面积比同长度比一样，也是一个只有大于1或小于1（个 别地方等于1）而没有负值的相对数量，而面积变形则 有正有负。 • 面积比大于1，面积变形为正，表示投影后面积增大； 面积比小于1，面积变形为负，表示投影后面积缩小； 面积比等于1，面积变形为零，表示投影后面积不变。
2.2我国的大地坐标系统
大 地 控 制 网 平面控制网(由三角测量或导线测量完成 )
大地原点 大地坐标系 三角点△、导线点□ 地理坐标 1980中国国家大地坐标系 平面位置
高程控制网(由水准测量或三角高程测量完成)
高 绝对高程 水准原点 水准点 程 相对高程 高程系 1985年国家高程基准 值
高程位置 地面点位
• 地理坐标，就是用经纬度表示地面 点位置的球面坐标。 1.天文经纬度
2.大地经纬度 3.地心经纬度
大地体
地球椭球体 地球椭球体
天文经纬度：
天文经度
天文测量法
天文纬度（铅垂线与赤道面 的夹角）
大地体
测有天文经纬度坐标的地面点， 称为天文点，它是一种地面控制 点。如大地坐标原点。符号为☆
大地水准面 铅 垂 线
§4 地图投影的应用
制图区 域范围
地图比例尺 教学内容 投影方法
1：100万
中 小
等角圆锥投影
4.1 地形图投影
大中比例尺
高斯—克吕格投影
方位投影、圆锥投影 和伪圆锥投影 多圆锥投影、圆柱投 影和伪圆柱投影
中 大
中小比例尺 小比例尺
4.2 区域图投影 4.3 世界地图 投影
4.1 地形图投影
• 国家基本比例尺地形图：1：100万、1：50 万、1：25万、1：10万、1：5万、1：2.5 万、1：1万、1：5000 • 大中比例尺地形图采用高斯—克吕格投影 • 新编百万分一地形图则采用边纬与中纬变 形绝对值相等的双标准纬线等角圆锥投影
长度比与长度变形
• 长度比μ：就是投影面上一微分线段和球面上相应微分 线段之比。 • 长度比≠地图比例尺 • 局部比例尺=主比例尺×长度比 • 长度比是个变量，在地图上会因地点不同而不同；还会 在同一地点上因方向不同而不同 • 最大长度比a、最小长度比b、经线长度比m和纬线长度 比n • 长度变形就是长度比与1的差值。Vμ= μ －1 • 长度比是一个相对数量，只有大于1或小于1的数（个别 地方等于1），没有负数。而长度变形则有正有负。 • 长度比大于1，长度变形为正，表示投影后长度增加； 长度比小于1，长度变形为负，表示投影后长度缩小； 长度比等于1，长度变形为零，表示投影后长度不变。
地球仪上经纬网的特性
• 第一，所有纬线圈都是互相平行的圆，长度不等，赤道 最长，纬度越高长度越短，到极点为0； • 第二，所有经线圈都是大圆，长度相等，经线在赤道上 平行，随着纬度的升高而逐渐收敛于极点； • 第三，经纬线互相垂直； • 第四，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；在 同一条经线上，纬差相同的经线弧长亦相等； • 第五，在同一纬度带内，经差相同的球面梯形形状相同、 面积相等；在同一经度带内，纬差相同的球面梯形形状 不同、面积不等，面积由低纬向高纬逐渐缩小。
Δh（cm） 0.078
2
7.85
31
71
125
196
785 78500
平面图
• • • • • 制图范围较小 无球面与平面的矛盾 不考虑地图投影方法 比例尺 平面位置关系
• 制图区域的范围较大：
②球面与平面的矛盾
地图投影
即一般地图上 所标注的比例 尺，其实质是 进行地图投影 时地球半径缩 小的比率，在 ①大与小的矛盾 地图上只体现 主比例尺 在无变形的点 或线上。 比例尺 局部比例尺 投影面上有 变形处的比 例尺
变形
地图比例尺的表现形式
• 数字式、文字式（说明式）、图解式（直 线比例尺、斜分比例尺、复式比例尺）、 特殊比例尺（变比例尺、无级别比例尺）
将一张古地图上的“一尺折百里”用公制表示其数字式、文字式 （说明式）和直线式图解比例尺。
1 1 3 解：∵1尺= 米，1里=500米∴“一尺折百里”即 500 150000 100 3 1 数字式：1：150000或 150000 1
角度变形
• 角度变形是指过地面上某点的任意两条方 向线的夹角α，与经过投影后的角度α＇之 差值。 • 最大角度变形ω
ab sin 2 ab sin
2
★角度变形是形状变
形的具体标志
m 2 n 2 2mn sin 2 2 m n 2mn sin
相关概念
• 标准点：指地图投影面上没有任何变形的点， 即投影面与地球椭球体面相切的切点。离开标 准点愈远，则变形愈大。 • 标准线：指地图投影面上没有任何变形的一种 线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的一 条或两条线。标准线分标准纬线和标准经线。 离开标准线愈远，则变形愈大。 • 等变形线：指投影面上变形值相等的各点的连 线。用来显示地图投影变形的大小和分布状况。
任意投影
等角投影
• 等角投影：指投影面上某点的任意两方向 线的夹角与地球椭球体面上相应的夹角相 等的投影。 • 等角投影必须满足的条件：α‘=α，或ω=0 或a = b 或θ=90° 且m = n • 等角投影又称正形投影或相似投影 • 等角投影适于编制风向、洋流、航海、航 空等交通图以及各种比例尺地形图。 • 等角投影的面积变形大
3.5 地图投影分类
（一）按地图投影的构成方法分类
方位投影 几何投影 圆柱投影 正轴投影 切投影
圆锥投影
伪方位投影 伪圆柱投影 非几何投影 伪圆锥投影 多圆锥投影
横轴投影
斜轴投影
割投影
同心圆弧与同轴圆弧
正轴投影经纬线形状
3.5 地图投影分类
（二）按地图投影的变形性质分类 等角投影
等积投影
1．高斯—克吕格投影
• 高斯投影的构成方法：椭圆柱面为投影面、 地球椭球体、横轴、相切于某条经线、中 央经线、等角、一定经差范围（6°或 3°）、沿母线剖开展平 • 等角横轴切椭圆柱投影 • 经纬网形状： • 变形分布规律： • 6°或3°分带投影，其中1：5000和1：1 万采用经差3°分带 。
大地经纬度：
地球椭球体
大地经度 大地测量法 大地纬度（法线与赤道面 的夹角）
地球参考椭球体面 法 线
地心经纬度：
地心经度（同大地经度）
地心纬度（任意点与地球椭 球体质量中心的连线与赤道 面的夹角） 地球椭球体
地球参考椭球体面； 任意点与地球椭球体 质量中心的连线
三种经纬度关系示意图
在地理学研究 及地图学的小 比例尺制图中， 由于要求的经 度不高，通常 将椭球体当成 正球体看待， 地理坐标均采 用地球表面的 球面坐标，大 地经纬度与地 心经纬度是统 一的。
投影不同 等变形线形状不同 不同形状的制图区域
3.4 地图投影方法（一）
• 透视几何法 ：透视 的几何原理
地球
缩小
平面
透明的地球仪
投影面
可展曲面
光源 （球心、球面或球外 ）
圆 柱 面
圆 锥 面
比较原始 、有很大局限性 不能将全球都投影下来
3.4 地图投影方法（二）
• 数学分析法 ：即用数学解析方法在球面与 投影面之间建立点与点的函数关系（函数 公式），并计算经纬线交点的平面坐标值， 最终在平面上绘出坐标网的一种投影方法。 是当前绝大多数地图投影均采用的方法。
§3 地图投影
3.1 地图投影的意义
3.2地图比例尺
地图比例尺：地图上一直线段的长度与地面 上相应直线距离水平投影长度之比。 • 制图区域的范围很小 平面图
涵盖的实地范围很小；比 例尺很大，一般大于1： 5000；在同一幅地图内比 例尺处处相同。主要供工 程施工和编制详细规划等 工作使用 不考虑地球曲率影响， 把小块地区的地球表面 （大地水准面）当作水 平面，将地面上的地物 按铅垂线投影到水平面 上，用缩小的相似图形 表示其平面位置及相互 关系的测制而成的地图
地球三面关系
地球椭球体定位
地球椭球体定位
• 局部定位 • 参考椭球体 • 大地原点 • 1953年前 ~ 海福特椭球参数； 1953年后 ~ 克拉索夫斯基椭球参数 1954北京坐标系，大地原点在北京 1978年开始 ~ ICA-75椭球 1980西安坐标系，大地原点在中部 西安市附近的泾阳县境内。
等积投影
• 等积投影：指投影面上的任意图形面积与地球 椭球体面上相应的图形面积相等的投影。 • 等积投影必须满足的条件： Vp = 0 ，或 P = 1，或ab = 1或a = 1/b或b = 1/a 或θ=90°，m n = 1。 • 等积投影的角度变形大 • 等积投影适用于编制面积无变形的政区图、人 口密度图、土地利用图、森林和矿藏分布图以 及其他自然和社会经济地图。
水平面代替水准面
水平面代替水准面的距离误差和相对误差表
D（km） 10 20 50 100 Δα（cm） 0.82 6.7 102.0 814.0 Δα/D 1/1000000 1/300000 1/49000 1/12000
水平面代替水准面的高程误差表
D（km）
0.1
0.5
1
2
3
4
5
10
100
地图投影变形
• 用地图投影的方法将球面向平面转绘时引 起的经纬网几何特性（长度（距离）、角 度（形状）和面积）的变化，称为地图投 影变形。