第2章21,22地图的数学基础1资料
第2章 地图的数学基础习题及参考答案
第二章地图的数学基础习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
3.1：100万的地形图，是按经差2º，纬差3º划分。
4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。
5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。
6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。
7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。
8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。
10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。
11.J—50—5—E表示1：5万地形图。
12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。
13.等积投影的面积变形接近零。
14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。
15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。
16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。
17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。
18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。
以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。
）19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。
20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。
二、名词解释1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.长度比12.长度变形13.面积比14.面积变形15.角度变形16.等变形线17.方位投影18.圆住投影19.圆锥投影20.高斯-克吕格投影21.直线定向22.真子午线23.磁子午线24.磁偏角25.子午线收敛角26.磁坐偏角27.方位角28.象限角29.三北方向三、问答题1.简述地球仪上经纬网的特点。
第2章-地球体与地图投影ppt课件
北极、南极、赤道、本初子午线地理坐标就是用经线、纬线、经度、纬度表示地面点位的球面坐标。天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度
§1 地球体
天文经纬度以铅垂线为依据建立天文纬度ψ：观测点的铅垂线方向与赤道平面间的夹角天文经度λ：观测点子午面与本初子午面间的两面角
§1 地球体
大地经纬度地面点在参考椭球面上大地经度λ：参考椭球面上观测点的大地子午面与本初子午面间的两面角大地纬度ψ：参考椭球面上观测点的法线与赤道面间的夹角
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:a = 6 378 137mb = 6 356 752.3m
a - b 6378137 - 6356752.3f = —— = ———————— a 6378137
§3 地图投影
§3 地图投影
概念投影：数学上的含义是两个面（平面或曲面）上点与点（或线与线）的对应关系；在一个面上的点，另一个面上只有唯一的点与之对应。地图投影：按照一定数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点位的地理坐标与地图上相对应点位的平面直角坐标或平面极坐标间，建立起一一对应的函数关系。
§2 大地测量系统
高程控制网中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点（72.289m)，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》上升29毫米。（72.260m) 。
陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点——大地原点。
§2 大地测量系统
平面控制网
§2 大地测量系统
平面控制网三角测量：以大地原点为基础，在地面上选择一系列控制点，建立起一系列相连接的三角形，组成三角锁和三角网。
新编地图学教程讲义
第1章导论第2章地图的数学基础第3章地图概括第4章地图符号第5章地图表示第6章地图图型第7章遥感制图*第8章数字地图制图*第9章地理信息系统与地图*第10章地图复制*前言1、自我介绍及了解学生2、地图学的地位一般大学的课程分为三种：专业课（专业基础课、专业技能课）、公共课和选修课(专业选修课、公共选修课).地图学是我国高等院校地学各专业的一门专业基础课，开设的面相当广泛。
地图学既是一门综合性学科，又是一门技术性很强的应用性学科。
因此，地图学无论在过去，还是在进行重大改革的今天，都在各相关专业的课程体系中占有不可替代的地位。
近十余年来，不少高新技术在地图学中的渗入及应用，已经在地图学的学科领域内，涌现了许多富有生命力的新理论，产生许多已完全改变过去生产工艺的新技术、新方法。
这些新的理论、技术、方法，改变与扩大了地图学的应用领域，改变了我们对地图学中许多具体问题的思维方式。
为了更好地突出地图学专业基础课的特点，面向广阔与日益更新的应用领域，反映地图学的各项新成果，培养新世纪人才的能力与素质，学习新的地图学势在必行。
3、学习内容及学时分配前言——1学时第1章导论——5学时第2章地图的数学基础——10学时第3章地图概括——8学时第4章地图符号——8学时第5章地图表示——8学时第6章地图图型——10学时4、学习要求（1）认真听讲，做好课堂笔记；（2）按时完成作业；（3）勤学好问。
5、主要参考书（1）《地图学基础》陆漱芬编（2）《测量与制图》（3）《地图学》张力果编6、成绩评定期末总评成绩共计100分，其中平时成绩30%，期末考试70%。
●平时成绩包括作业和考勤。
作业成绩共24分，共有16次作业，作业批改分A、B两个等级，1次A计1.5分，B计1分；作业必须按时完成，未按时完成的作业以评定等级的60%计分。
考勤共6分，缺课（无论任何理由）1节扣1分，扣完为止。
●期末考试卷面共100分，以卷面成绩的70%计入期末总评成绩。
地图学第2.2章
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
第二章 地图的数学基础1-3节
（一）卫星定位的技术优势
观测点之间无需通视 提供3维坐标
定位精度高
观测时间短 全天候定位 操作简便
（二）GPS系统的组成部分
（二）地图表面和地球球面的矛盾
地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表
面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，
然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成 平面，必然要发生断裂或褶皱。 无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开， 或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂 隙的。
地图表面和地球球面的矛盾
空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们 在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道 面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上 任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。 它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系 统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
地球体 自然表面 大地水准面 物理表面 测量实施的 基础面
参考椭球面
数学表面 测量计算的 基础面
自然面、物理面、数学面关系图 自然表面 大地水准面
参考椭球面
二、地理坐标
用经线、纬线、经度、纬度表示地面点位的球面
坐标。
天文经纬度
大地经纬度
地心经纬度
① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位 置，用天文经度和天文纬度表示。
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对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980 西安坐标系” 大地 坐标的起算点——大 地原点。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
§2 地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
2.1 地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位
置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
第二章 地图的数学基础(1)
略最高高潮面
平均大潮高潮面 平均小潮高潮面
它们的高差在海图“潮
信表”中“平均海面” 一项下注明，如平均海 面为2.2米，意既深度基
平均海水面
平 均 海 面 高 平均小潮低潮面
干 出 高
平均大潮低潮面 略最低低潮面
理论深度基准面
水 深
准面在平均海水面下2.2
米处。
干出滩
干出礁
2-1 空间坐标系
三、高程系——海岸线
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面， 用简单的数学公式即可表达 ：
x a
2 2
y a
2 2
z b
2 2
1
0
短 半 径 b 长半径a
常用的符号有a、b、α、 e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面
到。
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用 各国根据适合本国的区域地球特点来采用椭球体。
中国：
• 1932年前采用白塞尔椭球，其后采用海福特椭球；
• 1952年采用克拉索夫斯基椭球；
• 1980年进行天文大地网平差时，采用国际大地测量 协会1975年推荐的GRS—75椭球，坐标原点设在陕 西西安——1980国家大地坐标系； • 现在我国军用地图上所采用的就是“整体平差值的 1954年北京坐标系”，区别于从原苏联1942年坐标 系联测、平差推算到我国的“1954年北京坐标系”。
度元素（a或b）。
这些基本元素，由于推求的年代不同，测定的 地区不同，其成果很不一致，因此地球椭球的元素
第二章：地图的数
地球上的经纬线的长度的特点： 第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
地球上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
第二，在同一经度带内，纬度愈高，
网格面积愈小
地球上的经纬线角度的特点：
在地球上经线和纬线处处都呈直角相交
§2.5 地图的分幅与编号 主要内容：
1. 2. 3. 4. 地图编号 我国基本地形图的分幅和编号 地图分幅的概念和方法 地形图编号的计算方法
一、地图的分幅
1.为什么要分幅？ 区域表达，编图、印刷、保管和使用 的方便。 2.地图分幅的方法 矩形分幅
经纬线分幅
拼接 不拼接
矩形分幅
拼接分幅：
适用：挂图和大于1：2000的地形图
或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，
然后将椭圆柱面展开成平面即成。
中央子午线：与椭圆柱重合的子午线
两种常用的分带方式及中央子午线的计算 6°带：从0°子午线开始每6 °经差为一带，中间的子 午线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=6n-3 n为带号 3°带：从1°30′开始每3 °经差为一带，其中间的子午 线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=3n n为带号
2.4 地图比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
d 1 D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
2. 地图比例尺的形式
二、 椭球定位与定向
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本章教学基本内容
地图的控制网、坐标系 地图投影的定义、分类 地图常见的投影及应用 地图投影的判别、选择、变换 地图比例尺、、定向、分幅与编码
§ 2.1 地球椭球体与大地控制
2.1.1 地球椭球体 1、地球的自然表面
为了了解地球的形状，让我们由远及近，地观察 一下地球的自然表面。
二、高程系
中国56年黄海高程系高程起
算面是 黄海平均海水面。
青
1956年在青岛观象山设立了
岛 观
水准原点，其他各控制点的绝对
象
高程均是据此推
山
算，称为56年黄局公布：
原
启用《1985国家高程基准》
点
取代《黄海平均海水面》
命名为85高程基准，高程原点也 是青岛观象山设立的水准原点。
全球测图
区域（国家）测图
WGS84坐标系、2000国家大地坐标 1954年北京坐标系、1980西安
系,天文地理坐标系
坐标系
2、中国的大地坐标系统 1） 80西安坐标系
80西安坐标系选用1975年国际大地测量协会推 荐的参考椭球：
ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
它是一个规则 的数学表面，所 以人们视其为 地 球体的数学表面 ，也是对地球形 体的二级逼近， 用于测量计算的 基准面。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
North Pole
a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2
地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面 上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。
在大地测量学中，常以 天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经 纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采用 地心经纬度。
地心坐标系与参心坐标系的区别
原点定 义
2）2000国家大地坐标系（地心）
2008年3月，由国土资源部正式上报国务院 《关于中国采用2000国家大地坐标系的请示》， 并于2008年4月获得国务院批准。自2008年7月1 日起，中国将全面启用2000国家大地坐标系
采用的地球椭球参数如下： 长半轴 a＝6378137m 扁率 f＝1/298.257222101 地心引力常数 GM＝3.986004418×1014m3s-2 自转角速度 ω＝7.292l15×10-5rad s-1
Polar Axis
Equator
b
a
Equatorial Axis
f = —aa-—b = —63—781—63377—8-16—3375—67—52.—3
—1f = 298.257
对 a，b，f 的具体测定就是近代 大地测量的一项重要工作。
South Pole
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准 面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准 面符合最好的一个地球椭球体 —— 参考椭球体，这项 工作就是参考椭球体定位。
大地水准面的意义：
1）地球形体的一级逼近
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的 相当。
2）起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业 务中，均把地球当作正球体。
3）重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高 度）。
3、椭球体、正球体、参考椭球体
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球 体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭 球体。
② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，
用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。
大地经度 B：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。
大地纬度L：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负。
③ 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。
2.1.2 大地控制
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、 科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而 言，就是球面坐标系统的建立。 一、地理坐标与大地坐标系
三、大地控制网
由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全 国各地。
浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的 正球体。
事实是： 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、
赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
2、大地水准面与大地体
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向 （铅垂线）成正交，这个面叫水准面。
在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相 重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面， 这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等 位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。
1、地理坐标系 —— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的 位置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度λ：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。
天文纬度φ： 在地球上定义为铅垂线与赤道平 面间的夹角。
椭球定 位
椭球定 向
适用范 围
实例
以地球质心（总地球椭球体中心） 以参考椭球体中心为原点的坐
为原点的坐标系
标系
总地球椭球体中心与地球质心重 合 总地球椭球面与全球大地水准面 差距的平方和最小
参考椭球体中心与地球质心不 重合 参考椭球面与区域大地水准面 差距的平方和最小
椭球短轴与地球自转轴重合
椭球短轴与地球自转轴平行