小升初专项训练-找规律篇

测试卷6 （找规律篇）

时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________

1

如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么

2

观察1+3=4 ；4+5=9 ；9+7=16 ；16+9=25 ；25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022

3一串分数：12123412345612812 ,,,,,,,,,,,,.....,,,......,

33,55557777779991111

其中的第2000个分数

是 .

4

在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少2......7......5......8 (3)

5

请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来；

(2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；

(3)你能选出55个数满足要求吗

【附答案】

1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。

2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下

面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。

3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8…88=1980<2000，

这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。

4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，……

它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。

它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。

5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。

(2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。

(3)，同37的例子，

01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个

12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。

23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。

………

89和98必选其一，选出1个。

如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上11~99这9个数就是54个。

小升初专项训练 找规律篇

典型例题解析

1 与周期相关的找规律问题

【例1】、（★★）7

n

化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n 为多少 【解】

7

n

化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷27=73…21,所以n=6。

【例2】、（★★）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少

【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使5个数一周期，所以2003÷5=400…3，所以余4。

【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是2月几日

【来源】 第五届“华杯赛”初赛第16题

【解】因为3×7<24<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子. 2 图表中的找规律问题

【例4】、（★★）图中，任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891，那么B=_______.

【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第5题

【解】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷(9×9)=11.

【例5】（★★★）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；

（2）数127应排在上起第几行，左起第几列

【解】：本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，

并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n 个数是（n-1）2

+1，②第n 行中，以第一个数至第n 个数依次递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n 个数依次递增1．

由此（1）〔（13-1）2

+1〕+9=154；（2）127=112+6=〔（12-1）2

+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置．

3 较复杂的数列找规律

【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。从这六个数中每次或者取1个，或者取

几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，第60个数是______。 【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题 【解】最大的（即第63个数）是 1+3+9+27+81+243=364

第60个数（倒数第4个数）是 364－1－3＝360。

【例7】、（★★★）在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第15题 【解】原来的总和是10+11+…+98+99=

2

90

)9910(?+=4905，被7除余2的两位数是

7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13十2=93.

共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的101

，因此这-手续使总和减少了 (16+23+…+93)×(1-101)=

2

12

)9316(?+×109=

所以，经过改变之后，所有数的和是4905—=.

【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半

破了，经过2分钟还有201没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂

泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.

【来源】 1990年小学数学奥林匹克决赛第8题

【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.

此时没有破的肥皂泡共有 100+100×201

+100×21=155(个).

4与斐波那契数列相关的找规律

【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：

1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）

【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584

绝对是一棵大树。

【例10】（★★）有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法

【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始：

1根，有：1种；

2根，有1、1，2，共两种；

3根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；

4根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；

5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；

6根，得到24=13+7+4种；

即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。

由此得到，10根为274种。

[拓展]爬楼梯问题。

【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得

数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个

【来源】仁华考题

【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。

归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

5 有趣的猫捉耗子规律

注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置因此我们称之为猫捉耗子的问题。

【例12】、（★★★）50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列…一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号

【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12……50都是2的倍数；

第二次剩下的是：4、8、12、16……48都是4=22的倍数；

第三次剩下的是：8、16、24……都是8=23的倍数，……这样每次剩下的都是2n的倍数，现在要

剩下一只，这样就是看1～50中2n的最大数就是32号。

【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号……这样请问最后留下的3个数字是＿＿＿。

【解】360

【例13】、（★★★）50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、……、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢

【来源】03年圆明杯数学竞赛试题

【解】：方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A人，A＝2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。

现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50＝25+18，所以最后剩下的为18×2＝36号。

现在剩下的是42号，所以开始取的为1+(42－36)＝7号。

方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚…则最后剩下的均为1号。

比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，

而50枚先取50－32＝18枚后，剩32枚，取走了2、4、6、8、…、36，则37为剩下的32枚重排列后的1号，38为2号。故最后剩下的为37号，即若开始取2号，剩下37号，现剩下的为42号，故开始从7号开始取的。

【例14】、（★★★）把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；……（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数

【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1～8，最后剩的是1。

我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。

这样，数的个数是16，32，64，……，2n时，最后剩的都是起始数1。

当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。

根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2n时，下一步起始数就是最后剩下的数。

解：因为1024=210，2048=211，

2110＜1993＜211，

1993-1024=969，

就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：

969×2=1938

下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。

练习按照例1的操作规则

（1）如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数

（2）如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数

说明：这道例题的解题思路是：

特殊→一般→特殊

（简单情况）（一般规律）（较复杂情况）

一般规律：

把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，……（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x是哪个数

解：设2k≤n≤2k+1，k是自然数。

x=（n-2k）×2+1

【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留1，擦去2；保留3，擦去4；……（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数

【解】剩下的规律是剩下2n时，都是最后一号留下，所以答案是1938。

【例15】、（★★★）100个小朋友围成一圈，并依次标号为1至100号。从第1号开始1至2报数，凡是报到1的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。问这个小朋友是多少号

【解】与上题不同１００＝２6

＋３６３６×２＝７２

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）与周期相关的找规律问题参见例1，2，3

2）图表中的找规律问题参见例4，5

3）较复杂的数列找规律参见例6，7，8

4）与斐波那契数列相关的找规律参见例，9，10，11

5）有趣的猫捉耗子规律参见例12，13，14，15

【课外知识】

珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。

珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。

那一天，她得到了许多人的赞美。她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。

自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。

温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱——人人都喜欢的那种可爱。

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1—类型3；题2，3，4—类型5；题5，6，7—类型2，

１、（★）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。

【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是4181/6765。

２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、…、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起

【解】先取走15

３. （★★★）把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4，……。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数

【解】（1992-1024）×2+1=1937

４. （★★★）把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；……，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数

【解】

５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多

A C

B D

【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149种，所以多5种。

6、（★★）如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法

【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法…所以到8号房间总共有34种房间。

7、（★★★）如数表：

第1行 1 2 3 … 14 15

第2行 30 29 28 … 17 16

第3行 31 32 33 … 44 45

……………………

第n行…………A………………

第n＋1行…………B………………

第n行有一个数A，它的下一行（第n＋1行）有一个数B，且A和B在同一竖列。如果

A+B＝391，那么n=_______。

【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题

【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开始，相邻两行第一列的两个数的和依次是

31，61，91，121，…。（*）

每项比前一项多30，因此391是（*）中的第(391—31)÷30＋1＝13个数，即n＝13.